Geometrie non Euclidee - Istituto Cambi-Serrani

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punti antipodali punti diametralmente opposti della superficie sferica congruenza fra congruenza fra gli archi di cerchio massimo in geometria euclidea segmenti angolo diedro tra i due piani che tagliano la sfera secondo le due rette, oppure angolo tra due rette angolo che coincide con l'angolo delle due rette tangenti alla sfera nel punto di intersezione delle due rette e giacenti nei piani da esse individuati congruenza tra angoli congruenza tra angoli in senso euclideo In base a queste considerazioni è abbastanza intuitivo vedere che tutti gli assiomi della geometria sferica risultano essere proposizioni valide in geometria euclidea. - Per due punti antipodali passano infinite rette, infatti ogni piano passante per la retta che unisce i punti diametralmente opposti della sfera la taglia secondo un cerchio massimo passante per i due punti (basti pensare alla superficie terrestre e ai due poli, tutti i meridiani passano per essi.) - Per due punti non antipodali passa una sola retta, infatti i due punti sulla sfera individuano col centro di essa un unico piano che taglia sulla sfera un cerchio massimo passante per i due punti. Anche l'assioma di Riemann è verificato, infatti due rette si incontrano sempre, poiché due cerchi massimi sono individuati da due piani, entrambi passanti per il centro della sfera, che hanno quindi come intersezione una retta che taglia la sfera in due punti antipodali comuni alle due rette. - Tutte le rette sono congruenti, infatti tutti i cerchi massimi sono congruenti fra loro. - Tutte le perpendicolari alla stessa retta passano per due punti antipodali, infatti tutti i cerchi massimi perpendicolari ad un dato cerchio massimo si incontrano in due punti antipodali. - Tutte le rette che passano per un punto dato passano anche per il suo antipodale, infatti ogni cerchio massimo che passa per un punto passa anche per il suo antipodale. E così via; l'immediata visualizzazione della geometria sferica mediante questa interpretazione consente di coglierne facilmente gli aspetti più caratteristici. Le principali caratteristiche non euclidee della geometria sulla sfera Aiutandoci sempre con il modello sferico, immaginando dunque che il nostro ambiente geometrico non sia più il piano euclideo ma la superficie sferica S 2 , riesaminiamo rapidamente le principali caratteristiche non euclidee di questa nuova geometria. Teniamo presente che il piano e la superficie sferica sono ambienti bidimensionali, anche se la sfera in sé è un oggetto tridimensionale. - Le linee "rette" sulla superficie sferica sono le circonferenze massime, infatti, esse ci
forniscono il percorso più breve tra due punti, non antipodali, di S 2 . (L'analogia tra le rette del piano euclideo e le rette della superficie sferica è molto forte: entrambe sono caratterizzate dal fatto di essere le linee più brevi, l'unica differenza è che per punti antipodali si perde l'unicità del percorso minimo!) - per due punti del piano euclideo passa una e una sola retta, lo stesso accade per due punti non antipodali di S 2 , ma per due punti antipodali passano infinite rette; - due rette euclidee hanno al più un punto in comune mentre due rette di S 2 hanno sempre due punti in comune; - nel piano euclideo esistono rette parallele, mentre non esistono rette parallele (cioè rette che non si intersechino) in S 2 , ad esempio tutte le rette perpendicolari ad una retta data, che nel piano euclideo sono tutte parallele tra loro, in S 2 si intersecano in una coppia di punti antipodali, detti in questo caso poli (si pensi alla superficie terrestre: i meridiani sono tutti perpendicolari all'equatore e si incontrano ai poli); - nel piano euclideo esiste una e una sola retta passante per un dato punto P e perpendicolare a una data retta, in S 2 ciò è vero se e solo se P non è un polo per la retta; - le rette euclidee sono tutte infinitamente estese, mentre in S 2 hanno tutte la stessa lunghezza finita; - il piano euclideo è infinitamente esteso, mentre S 2 ha area finita; - di tre punti qualsiasi di una retta euclidea, uno e uno solo sta tra gli altri due, la stessa cosa non si può dire per una retta di S 2 trattandosi di una linea chiusa, quindi se due punti nel piano euclideo individuano un unico segmento, in S 2 due punti individuano due segmenti. - altra differenza con la geometria euclidea è il fatto che la somma degli angoli di un triangolo in S 2 è maggiore di due angoli retti. Realizzeremo alcuni semplici esperimenti utilizzando oggetti facilmente reperibili. Sono esperimenti che ci consentono di intuire nozioni profonde, spesso molto difficili da abbordare sul piano del formalismo matematico. Ritagliate una strisciolina rettilinea di cartoncino flessibile (lunga e stretta, ad esempio di 0.5 cm x 30 cm) e applicatela su un pallone o su una palla di polistirolo come vedete nella fotografia seguente.
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