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LE TASSELLAZIONI DELLO SPAZIO
In questo capitolo vogliamo mostrare esempi di poliedri che hanno la singolare e attraente proprietà
di tassellare lo spazio. Si tratta di poliedri che, una volta disposti con le facce coincidenti, sono in
grado di riempire completamente lo spazio senza lasciarvi buchi e fessure.
Oltre a mostrare alcuni di questi poliedri, ci interessa spiegare il motivo per cui essi tassellano lo
spazio. Per farlo useremo semplici considerazioni che sfruttano proprietà e caratteristiche spesso già
incontrate in altri capitoli.
Il punto di riferimento e di partenza è il cubo, prima di tutto perché il cubo è un poliedro che
tassella lo spazio, ma poi anche perché abbiamo con il cubo una familiarità di lunga data, che ci
permette di “vederlo” meglio di tutti gli altri poliedri. Quest’ultima può sembrare una considerazione
scontata, ma una delle difficoltà della tassellazione dello spazio è proprio quella di vedere
fisicamente la disposizione dei poliedri che la compongono. Infatti, a differenza dei poligoni che
pavimentano il piano, i poliedri che tassellano lo spazio “nascondono” dietro di loro altri poliedri,
rendendone ostica anche una parziale visualizzazione, per non parlare della loro rappresentazione su
un piano.
Inoltre partiamo dal cubo perché ormai, dopo averlo sezionato e smussato in tanti modi diversi con
uno o più piani, lo conosciamo in modo approfondito. Proprio i solidi che si generano dividendo
con uno o più piani un cubo ci permetteranno di costruire, in alcuni casi, poliedri più complessi che
tassellano lo spazio.
Quindi la nostra ricerca si concentrerà su tali poliedri, peraltro in gran parte già incontrati nei
precedenti capitoli perché interessanti per le loro regolarità e simmetrie. Le principali tassellazioni
che esamineremo coinvolgono i seguenti solidi:
ottaedri tronchi;
ottaedri e cubottaedri;
ottaedri e cubi tronchi;
ottaedri e tetraedri;
tetraedri e tetraedri tronchi;
dodecaedri rombici.
Come vedremo, alcune di queste tassellazioni condurranno spontaneamente a trovarne altre, in un
gioco di ricerca che in questo capitolo è ben lungi dall’essere esaurito. Anche per questo alla fine
sono presentati alcuni problemi che possono aiutare a scoprire altre tassellazioni.
Un’ultima avvertenza: si farà un uso molto frequente e un po’ disinvolto delle figure. In realtà le
figure sono tragicamente inefficaci nel raffigurare lo spazio tridimensionale, soprattutto se questo
spazio è riempito di poliedri. Ma i riferimenti saranno comunque frequenti e non sempre espliciti
perché le figure sono qui più che mai un completamento del testo, il quale a sua volta non sempre è
abbastanza espressivo ed esauriente. In queste pagine mancano inevitabilmelte i modelli dei solidi,
che, pur nella loro imperfezione, sono gli oggetti più efficaci per introdurre la tassellazione dello
spazio.
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1. Tassellazione con ottaedri tronchi
Come suggerisce il nome, l’ottaedro tronco si ottiene troncando i vertici dell’ottaedro. Già
sappiamo (vedere Togliere pezzi) che affinché le facce siano tutte poligoni regolari, in questo caso
esagoni e quadrati, occorre che i piani che tagliano l’ottaedro passino da punti che dividono lo
spigolo in parti una doppia dell’altra.
Figura 1: Ottaedro tronco
L’ottaedro tronco è un solido archimedeo che da solo tassella lo spazio. Per dimostrarlo osserviamo
che l’ottaedro tronco si può ottenere anche da un cubo. Ecco come: tagliamo un cubo con un piano
perpendicolare alla diagonale del cubo e passante per il punto medio della stessa (figura 2). Come
già abbiamo visto in Cubo in pezzi, tale taglio crea due solidi, ognuno di volume metà del volume
del cubo, e avente 7 facce una delle quali è una faccia esagonale regolare.
Riesaminiamo tutte le facce di questo solido: oltre alla faccia esagonale (che ha per vertici 6 dei
punti medi degli spigoli del cubo iniziale), altre tre facce sono dei triangoli rettangoli isosceli e altre
tre sono pentagoni con tre angoli retti.
Figura 2: Solido, parte del cubo, che presenta una faccia esagonale regolare
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Ma questo solido è una parte anche dell’ottaedro tronco. Infatti, se si incollano tra loro (vedi figura
3) otto poliedri come questi facendo aderire tra loro le facce pentagonali si ottiene un solido con 8
facce esagonali e 6 facce quadrate.
Figura 3: Otto solidi formano l’ottedro tronco
Ed ecco perché si può affermare che l’ottaedro tronco tassella lo spazio: i cubi tassellano lo spazio,
ma ogni cubo che tassella lo spazio può essere scomposto in due pezzi aventi una faccia esagonale.
Rimuoviamo ora uno dei due pezzi. Se disponiamo i cubi in modo da incollare le facce pentagonali
del pezzo rimasto, in blu in figura 3 o in figura 4, allora si formano degli ottaedri tronchi, uno ogni
otto pezzi.
Lo spazio rimanente, vedi figura 4 in basso, è quello lasciato dai pezzi rimossi, ciascuno dei quali è,
a sua volta, parte di un ottaedro tronco. L’intero spazio viene così riempito da ottaedri tronchi.
Figura 4
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Figura 4: porzione di una tassellazione con ottaedri tronchi
2. Tassellazione con ottaedri e cubottaedri
Il cubottaedro è un cubo al quale sono stati smussati i vertici fino a ottenere 6 facce quadrate e otto
facce triangolari.
Figura 5: cubottaedro
I cubottaedri da soli non possono quindi tassellare lo spazio perché una volta affiancati rimane da
riempire lo spazio creatosi dopo aver smussato il cubo.
Tale spazio è riempito esattamente da solidi con 8 facce triangolari uguali. Si tratta di ottaedri di
spigolo uguale a quello del cuboattedro.
Figura 6: cubottaedri e ottaedri
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Anche in questo caso possiamo capire meglio che si tratta proprio di ottaedri utilizzando le sezioni
del cubo.
Sappiamo infatti che tagliando un cubo con un piano perpendicolare alla diagonale e passante per
un vertice del cubo si ottiene una sezione a forma di triangolo equilatero. I vertici del triangolo
equilatero sono 3 dei vertici del cubo e il cubo viene scomposto in due poliedri, rappresentati dalla
figura sotto da un solido blu e da un solido rosso.
Figura 7
Visto che il cubo tassella lo spazio, allora anche la coppia solido blu - solido rosso tassella lo
spazio. D’altra parte otto solidi blu incollati tra loro lungo le loro facce quadrate formano un
cubottaedro. Otto solidi rossi incollati lungo le loro facce triangolari isosceli formano invece un
ottaedro regolare.
Figura 8
Possiamo quindi immaginare lo spazio tassellato da cubi composti da solidi blu e solidi rossi,
disposti in modo tale che i solidi blu formino dei cubottaedri e i solidi rossi formino degli ottaedri,
come già illustrato dalla figura 7.
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3. Tassellazione con ottaedri e cubi tronchi
Con il procedimento visto sopra possiamo ottenere una tassellazione formata da ottaedri e cubi
tronchi.
Infatti il cubo tronco è un cubo al quale sono stati smussati i vertici, stavolta però in modo da
ottenere 8 facce triangolari e 6 facce ottagonali regolari.
Figura 9
Dato che anche il cubo tronco possiede facce triangolari perpendicolari alla diagonale del cubo
(vedere Togliere pezzi...), lo spazio che rimane vuoto affiancando cubi tronchi ha la stessa forma del
caso precedente e può essere riempito da ottaedri regolari.
Figura 10
La spiegazione che utilizza le sezioni del cubo è molto simile alla precedente. Stavolta il cubo che
tassella lo spazio è scomposto in due poliedri, uno dei quali, quello rosso (vedi figura 12) è ancora
un ottavo di ottaedro, mentre l’altro solido, quello blu, è un ottavo di cubo tronco.
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4. Tassellazione con ottaedri e tetraedri
Figura 11
E’ possibile tassellare lo spazio anche con ottaedri e tetraedri e poiché i due solidi sono poliedri
regolari, questa tassellazione è particolarmente interessante anche se forse meno immediata da
vedere rispetto alle tassellazioni appena trattate.
Per apprezzarla meglio, e incontrare proprietà di poliedri che hanno che fare con gli ottaedri e i
tetraedri, affrontiamo questo argomento da tre diversi punti di vista:
1) Cinque tetraedri che compongono il cubo;
2) Stella octangula;
3) Piramidi a base quadrata.
1) Cinque tetraedri che compongono il cubo
In questo primo ragionamento utilizziamo ancora il cubo.
Abbiamo visto più volte (Dal cubo a… e Cubo in pezzi) come ottenere una piramide a base
triangolare equilatera tagliando un cubo con un piano: è sufficiente che il piano sia perpendicolare
ad una diagonale, se poi questo piano passa anche per un vertice per la simmetria del cubo rispetto
alla diagonale, passa anche per altri due vertici del cubo.
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Da un solo cubo possiamo ottenere quattro piramidi siffatte, tagliandolo quattro volte, ogni volta
con un piano perpendicolare ad una delle diagonali.
Figura 12
Il solido che rimane togliendo dal cubo le quattro piramidi è un tetraedro regolare: le 4 facce, uguali
fra loro, sono triangoli equilateri; gli spigoli sono diagonali delle facce del cubo.
Figura 13
A questo punto possiamo usare l’argomento già usato in precedenza: i cubi tassellano lo spazio,
quindi anche le quattro piramidi e il tetraedro tassellano lo spazio. Ma i cubi che tassellano lo spazio
possono essere disposti in modo che le facce triangolari isosceli delle piramidi vadano a coincidere.
Se questo succede, nei vertici comuni dei cubi si incontrano 8 piramidi che, come già sappiamo,
costituiscono un ottaedro.
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2) Stella octangula.
Figura 14
Un altro modo per vedere la stessa tassellazione sfrutta un altro poliedro già incontrato: la stella
octangula (vedere Aggiungere pezzi).
La stella octangula, costituita dall’unione di due tetraedri regolari uguali disposti in modo che i loro
spigoli si intersechino ad angolo retto nel loro punto medio, ha tre proprietà che qui ci interessano:
può essere inscritta in un cubo;
l’intersezione dei due tetraedri è un ottaedro regolare;
è formata da un ottaedro sulle facce del quale sono stati incollati dei tetraedri.
Figura 15: proprietà della stella octangula
Il volume che la stella octangula lascia vuoto nel cubo in cui è inscritta può essere riempito da 12
poliedri (uno per ogni spigolo del cubo) tutti uguali tra loro (vedi figura 17).
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Figura 16
Tali poliedri, tetraedri irregolari aventi due facce triangolari equilatere, non sono altro che “quarti”
di ottaedro, e per di più quarti di un ottaedro uguale all’ottaedro i cui vertici sono i centri delle facce
del cubo iniziale.
Il cubo nel quale è inscritta la stella octangula si può vedere allora come la somma di un ottaedro (il
“cuore” della stella octangula), di 8 tetraedri (le “punte” della stella) e di 8 “quarti” di ottaedro (gli
spazi rimasti vuoti).
Se tasselliamo lo spazio con cubi identici e con la stessa composizione, i quarti di ottaedro si
saldano tra di loro formando ottaedri e lo spazio viene così riempito solo da ottaedri e tetraedri.
Figura 17
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3) Piramidi a base quadrata.
La tassellazione dello spazio con ottaedri e tetraedri si può anche dimostrare (quasi) senza parole,
con un unico avvertimento (dovuto al solito problema della rappresentazione nel piano di figure
tridimensionali): nella figura seguente le due piramidi hanno base quadrata e facce laterali a forma
di triangolo equilatero.
Figura 18
Come si vede (attenzione anche alle linee tratteggiate) il tetraedro si incunea perfettamente fra le
due piramidi, due delle sue facce coincidono con due facce delle piramidi, le altre sono complanari
ad altre facce delle piramidi.
Vediamo ora come sono disposti i tetraedri e gli ottaedri all’interno della tassellazione.
Ogni ottaedro è circondato da 8 tetraedri (come nella stella octangula); ogni tetraedro è circondato a
sua volta da 4 ottaedri.
Attorno ad ogni spigolo si incontrano 4 pezzi (2 sono tetraedri e 2 sono ottaedri); attorno ad ogni
vertice si incontrano 14 pezzi: 8 tetraedri e 6 ottaedri (è difficile vederlo con disegni, perché alcuni
pezzi ne nascondono altri, si vede però bene con i modeli solidi). Inoltre attorno ad ogni vertice si
incontrano 12 spigoli.
La figura seguente mostra diversi spaccati della tassellazione che possono in parte aiutare nei
conteggi precedenti (in blu gli ottaedri, in grigio i tetraedri).
Figura 19
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In particolare la figura più a sinistra suggerisce che la tassellazione è formata da piani paralleli con
4 diverse orientazioni. Questi piani contenenti le facce delle celle mostrano la pavimentazione del
piano con triangoli equilateri (vedi anche la figura più a destra).
Una delle immagini più suggestive della tassellazione con ottaedri e tetraedri appare nella litografia
Platelminti di M. C. Escher.
Da notare come la tassellazione tetraedro-otteaedro si osserva non solo sullo sfondo di questo
mondo, ma anche in forme geometricamente notevoli negli anfratti e nei ponti che uniscono le
pareti.
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5. Tetraedri e tetraedri tronchi che tassellano lo spazio
Abbiamo visto come ottaedri e tetraedri tassellano lo spazio. Se si accostano opportunamente 6
tetraedri (in grigio nel centro della figura 21, dove due tetraedri rimangono nascosti) e 4 ottaedri (in
viola) è possibile formare un tetraedro tronco.
Si tratta di un solido archimedeo che si ottiene usualmente troncando un tetraedro regolare in modo
che si formino 3 facce a forma di triangolo equilatero e 3 facce a forma esagonale regolare (vedere
Togliere pezzi).
Figura 20
Si spiega allora come si possa tassellare lo spazio con tetraedri tronchi e tetraedri regolari: si tratta
in realtà della tassellazione ottaedri – tetraedri, rivista però con i poliedri “raggruppati” in modo
diverso.
Figura 21
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6. Tassellazione con dodecaedro rombico
Anche la tassellazione dello spazio da parte di dodecaedri rombici è facile da comprendere a partire
dal cubo.
Un cubo è composto da sei piramidi uguali aventi per base una faccia del cubo e per vertice il
centro del cubo.
Figura 23
Se le basi delle sei piramidi (da ora in poi chiamate piramidi 1/6) vengono incollate all’esterno di un
cubo uguale a quello dalle quali sono state ottenute, si ottiene un dodecaedro rombico (Cubo in
pezzi e I risvolti segreti del dodecaedro rombico). Si osservi che le diagonali minori delle facce
romboidali coincidono con gli spigoli del cubo.
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Figura 24
Ora, se attacchiamo alle facce del dodecaedro altri dodecaedri uguali, i cubi formano una specie di
scacchiera in tre dimensioni in cui ogni cubo è circondato da 6 piramidi, ognuna delle quali è 1/6 di
un altro cubo. Nella figura sotto si vede una visione parziale di questa scacchiera.
Figura 25
Nella tassellazione ogni dodecaedro rombico è circondato da altri 12 dodecaedri; nei vertici del
dodecaedro dove convergono 4 spigoli si incontrano 6 dodecaedri, invece nei vertici dove
convergono 3 spigoli, si incontrano 4 dodecaedri.
Ecco altre porzioni di questa tassellazione.
Figura 26
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La tassellazione dello spazio con il dodecaedro rombico ci riporta anche alla tassellazione con
ottaedri e tetraedri .
Il tetraedro è composto da quattro piramidi uguali aventi per base una faccia del tetraedro e per
vertice il centro del tetraedro stesso (da ora in poi piramide ¼) (vedere Cubo in pezzi).
Figura 27
Incollando su ogni faccia di un ottaedro la faccia triangolare di una piramide ¼, tale che i due
triangoli che devono combaciare abbiano uguale lato, si ottiene un dodecaedro rombico (vedere Dal
cubo al…). Si noti anche che le diagonali maggiori delle facce romboidali coincidono con gli
spigoli dell’ottaedro.
Figura 28
A questo punto congiungendo gli ottaedri inscritti nei dodecaedri tramite gli spigoli si riproduce la
tassellazione ottaedro-tetraedro, con al posto dei tetraedri le quattro piramidi ¼ che insieme
costituiscono i tetraedri stessi.
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Figura 29
C’è poi un’altra tassellazione che può essere vista come una variante della tassellazione con
tetraedri tronchi e tetraedri. In quest’ultima ogni tetraedro è circondato da 4 tetraedri tronchi
disposti tutti nello stesso modo. Allora, dividendo ogni tetraedro in quattro tetraedri uguali e
incollando un quarto di tetraedro su ognuna delle facce triangolari del tetraedro tronco si ha un
solido con 16 facce (4 esagonali e 12 triangolari, a sinistra nella figura sotto) che tassella lo spazio
(a destra nella figura sotto).
Figura 30
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7. Altre tassellazioni derivanti dal dodecaedro rombico
Visto che il dodecaedro rombico tassella lo spazio, una scomposizione del dodecaedro rombico in
parti uguali genera altri poliedri che tassellano lo spazio.
Una di queste scomposizioni è costituita dall’esaedro che si forma tagliando il dodecaedro rombico
con piani passanti dal centro del dodecaedro e dalle diagonali maggiori dei rombi. Questo esaedro si
può ottenere anche incollando tra loro le facce equilatere di due piramidi: la piramide ¼ e la
piramide che rappresenta 1/8 di ottaedro (piramide 1/8).
Figura 31
Un altro poliedro che tassella lo spazio è l’ottaedro (non regolare) che si ottiene incollando le basi
di due delle piramidi 1/6. Il dodecaedro rombico è infatti formato da 6 ottaedri di questo tipo.
Figura 32
Naturalmente anche la piramide 1/6 tassella lo spazio.
La stessa proprietà è valida per il poliedro concavo rappresentato a destra nella figura seguente,
composto da 3 piramidi 1/6 poste su 3 facce adiacenti del cubo.
Figura 33
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Allora anche il solido (concavo) ottenuto incollando sulle 3 facce quadrate (e poi sulle successive
facce quadrate che compaiono man mano) altri poliedri dello stesso tipo (figura sotto a sinistra)
tassella lo spazio:
Figura 34
Quest’ultimo solido che tassella lo spazio può essere visto come la compenetrazione di 3 ottaedri
non regolari congruenti, ottaedri che si ottengono incollando tra loro le facce quadrate di due
piramidi 1/6.
Figura 35
Si tratta inoltre di un solido notevole, parente del dodecaedro rombico: il dodecaedro rombico
stellato. Come si vede nella Figura 36, su ognuna delle facce di un dodecaedro rombico compare
una piramide con quattro facce laterali.
Figura 36
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Nella litografia Cascata di M.C. Escher, una delle figure impossibili più famose, lo sguardo viene
catturato dal percorso dell’acqua e dalla struttura delle torri (triangolo di Penrose), ma in cima alle
torri ci sono due poliedri. Quello a destra è proprio il dodecaedro rombico stellato.
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8. Problemi e ulteriori questioni
1) Considera le piramidi di base quadrata, il cui piede dell’altezza coincide con uno dei vertici
del quadrato di base. Tra tutte queste piramidi considera quella di altezza uguale allo spigolo
del quadrato e quella di altezza uguale a metà del lato quadrato. Dimostra che ciascuna di
queste due piramidi tassella lo spazio.
2) Ad ogni faccia di un tetraedro regolare viene incollata una piramide che rappresenta un
ottavo di ottaedro regolare. Dimostra che il solido che si forma tassella lo spazio.
3) Considera l’ottaedro in figura. Su ciascuna delle quattro facce verdi incolla un tetraedro
regolare. Quante facce ha il solido risultante?
4) Il poliedro a sinistra in figura è ottenuto tagliando con un piano passante da tre vertici del
cubo che sta sotto due cubi impilati uno sull’altro.
a) Verifica che tale poliedro tassella lo spazio.
b) Tre di questi poliedri disposti opportunamente formano, insieme a un cubo,
l’eptaedro con la faccia esagonale già incontrato svariate volte. Trova questa
disposizione.
5) Un modo alternativo per trovare poliedri che tassellano lo spazio sfrutta i parallelipedi.
Infatti i parallelepipedi, come il cubo, tassellano lo spazio. Se troviamo una disposizione di
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poliedri che forma un parallelipedo, allora quella disposizione tassella lo spazio. Utilizzando
questa osservazione, dimostra che i tetraedri tronchi e i tetraedri tassellano lo spazio.
6) Un altro modo ancora per trovare poliedri che tassellano lo spazio consiste nel fare
riferimento alla pavimentazione del piano. Infatti prismi che hanno per base poligoni che
pavimentano il piano, tassellano lo spazio. Utilizzando questa osservazione, dimostra che il
poliedro in figura, ottenuto incollando due prismi triangolari lungo una faccia laterale
quadrata, tassella lo spazio.
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