Parte1

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA
DESCRITTIVA
Stefania Naddeo

INDICE
1. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE 3
2. VALORI CARATTERISTICI DELLE DISTRIBUZIONI 20
3. INDICI DI VARIABILITA’ 31
4. DISTRIBUZIONI BIVARIATE 39
APPENDICE
Tavola A: Funzione di ripartizione della normale standardizzata 47
Tavola B: Quantili della normale standardizzata 48
2

1. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
(Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 2 delle dispense)
Esercizio 1.1
La seguente serie è relativa ad una variabile discreta X rilevata su 20 individui:
0 1 1 0 0 1 1 2 2 2 4 2 2 2 4 4 4 4 4 4
Determinare la distribuzione di frequenza della variabile e rappresentarla graficamente.
Soluzione
La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva.
X freq. ass. freq. rel.
0 3 0,15
1 4 0,20
2 6 0,30
4 7 0,35
totale 20 1,00
Una rappresentazione grafica adeguata per una variabile quantitativa discreta è il
diagramma per ordinate che nel caso esaminato assume la forma riportata nella figura
successiva.
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 1 2 3 4
Esercizio 1.2
La seguente serie è relativa ad una variabile continua X rilevata su 10 individui:
1,2 1,5 2,0 2,1 2,8 3,3 3,6 4,2 5,9 6,8
sintetizzare i dati in una distribuzione costituita dalle classi 1-|2, 2-|4 e 4-|7 e disegnarne
l’istogramma corrispondente.
Soluzione
La distribuzione espressa in termini di frequenze relative assume la forma riportata nella
tabella successiva.
X freq. ass. freq. rel. ampiezza classe densità
1 -| 2 3 0,3 1 0,3
2 -| 4 4 0,4 2 0,2
4 -| 7 3 0,3 3 0,1
totale 10 1,0
L’istogramma assume la forma seguente
3

0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7
Esercizio 1.3
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile X qualitativa sconnessa,
X freq. ass. cum.
a 25
b 75
c 95
d 100
calcolare le frequenze relative e rappresentare graficamente la distribuzione così ottenuta
mediante un grafico a nastri.
Soluzione
La distribuzione espressa in termini di frequenze relative è la seguente
X freq. rel.
a 0,25
b 0,50
c 0,20
d 0,05
totale 1,00
Il grafico a nastri corrispondente assume la forma
d
c
a
b
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Da notare che le modalità della variabile sono state elencate in base ai valori delle
frequenze associate.
4

Esercizio 1.4
Rappresentare graficamente la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X
X freq. rel.
-1 0,25
0 0,40
1 0,20
2 0,10
3 0,05
totale 1,00
determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione corrispondente e calcolare
la quota di individui con un valore della variabile compreso nell’intervallo (0, 2].
Soluzione
La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-2 -1 0 1 2 3 4
L’espressione formale della funzione di ripartizione risulta
⎧0
x < -1
⎪0,25
⎪
0,65
F(x) = ⎨
⎪
0,85
⎪0,95
⎪⎩
1
-1≤
x < 0
0≤
x < 1
1≤
x < 2
2≤
x < 3
x ≥3
La quota di individui con un valore della variabile compreso nell’intervallo (0, 2] è dato da
F(2) – F(0) = 0,95 – 0,65 = 0,30.
Esercizio 1.5
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X
X freq. rel. cum.
2 0,55
4 0,75
6 1,00
rappresentarla graficamente, determinare l’espressione formale della funzione di
ripartizione e disegnarne il grafico.
5

Soluzione
La rappresentazione grafica della distribuzione assume la forma
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6
L’espressione formale della funzione di ripartizione risulta
⎧0
x < 2
⎪0,55
2≤
x < 4
F(x) = ⎨
⎪
0,75 4≤
x < 6
⎪⎩
1 x ≥6
e la rappresentazione grafica corrispondente è data da
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 2 4 6 8
Esercizio 1.6
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X
X freq. rel. cum.
3 -| 4 0,5
4 -| 6 0,8
6 -| 10 1,0
disegnarne l’istogramma corrispondente.
Soluzione
Sulla base dei risultati riportati nella nella tabella successiva
X freq. rel. ampiezza classe densità
3 -| 4 0,5 1 0,50
4 -| 6 0,3 2 0,15
6 -| 10 0,2 4 0,05
totale 1,0
6

l’istogramma assume la forma seguente
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Esercizio 1.7
Data la seguente serie di valori relativa ad una variabile discreta X
1 3 4 2 2 1 3 3 2 2
determinare la distribuzione di frequenza della variabile espressa mediante le frequenze
relative cumulate. Rappresentare graficamente la funzione di ripartizione corrispondente e
calcolare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 3.
Soluzione
La distribuzione è la seguente
X freq. ass. freq. rel. freq. rel. cum
1 2 0,2 0,2
2 4 0,4 0,6
3 3 0,3 0,9
4 1 0,1 1,0
totale 10 1,0
Il grafico della funzione di ripartizione assume la forma
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 3 è data da
F(3) = 0,9.
7

Esercizio 1.8
La seguente serie è relativa ad una variabile discreta X rilevata su 10 individui:
242, 245, 244, 248, 247, 242, 248, 244, 246, 242.
Scrivere l’espressione analitica della funzione di ripartizione corrispondente e disegnarne il
grafico. Determinare la quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a
243.
Soluzione
L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da
⎧0
x < 242
⎪0,3
242≤
x < 244
⎪
⎪
0,5 244 ≤ x < 245
F(x) = ⎨0,6
245≤
x < 246
⎪0,7
246 ≤ x < 247
⎪
0,8 247≤
x < 248
⎪
⎩1
x ≥248
ed il grafico corrispondente assume la forma
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
La quota di individui con un valore della variabile minore o uguale a 243 è data da
F(243) = 0,3.
Esercizio 1.9
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X
X freq. rel.
18 -| 20 0,06
20 -| 25 0,10
25 -| 30 0,30
30 -| 60 0,54
totale 1,00
calcolare la quota di individui con un valore della variabile: inferiore a 19, b) superiore a
22, c) compreso fra 40 e 50.
8

Soluzione
L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da
⎧0
x ≤18
⎪0,03(
x-18)
18<
x ≤20
⎪
0,06+
0,02(
x-20)
20 < x ≤25
F(x) = ⎨
⎪
0,16+
0,06(
x-25)
25 < x ≤30
⎪0,46+
0,018(
x-30)
30<
x ≤60
⎪⎩
1
x > 60
per cui le quote richieste sono:
a) F(19) = 0,03,
b) 1−F(22) = 1−(0,06+0,02×2) = 0,9,
c) F(50)−F(40) = 0,46+0,018×20−(0,46+0,018×10) = 0,18.
Esercizio 1.10
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X
X densità
2 -| 10 0,025
10 -| 20 0,020
20 -| 40 0,030
calcolare la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore a 5, b) superiore a
30, c) compreso fra 10 e 15.
Soluzione
Sulla base delle informazioni riportate nella tabella seguente le quote richieste risultano
X freq. rel. freq. rel. cum.
2 -| 10 0,2 0,2
10 -| 20 0,2 0,4
20 -| 40 0,6 1,0
totale 1,0
a) F(5) = 0,025(5−2) = 0,075,
b) 1−F(30) = 1−[0,4+0,03(30−20)] = 0,30,
c) F(15)−F(10) = 0,2+0,02(15−10) – 0,2 = 0,10.
Esercizio 1.11
Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 10 individui
8,0 6,4 7,8 7,4 7,6 7,8 7,0 6,4 8,4 8,8
costruire la distribuzione di frequenza nelle classi 6-|7, 7-|8 e 8-|9. Disegnare i grafici
sovrapposti delle funzioni di ripartizione della serie originaria e della distribuzione in classi.
Soluzione
La distribuzione in classi è data da
X freq. rel. freq. rel. cum.
6 -| 7 0,3 0,3
7 -| 8 0,5 0,8
8 -| 9 0,2 1,0
totale 1,0
9

Pertanto i grafici sovrapposti delle due funzioni di ripartizione assumono la forma riportata
nel grafico seguente
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
5 5,2 5,4 5,6 5,8 6 6,2 6,4 6,6 6,8 7 7,2 7,4 7,6 7,8 8 8,2 8,4 8,6 8,8 9 9,2 9,4 9,6 9,8 10
Esercizio 1.12
Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui
2,6 2,0 2,2 2,0 2,3 2,4
determinare l’espressione analitica della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico.
Determinare la quota di individui con un valore della variabile superiore a 2,5.
Soluzione
La serie ordinata è
2,0 2,0 2,2 2,3 2,4 2,6
L’espressione analitica della funzione di ripartizione è data da
⎧0
x < 2,0
⎪
0, 3
⎪
⎪0,5
F(x) = ⎨
⎪0,
6
⎪0,83
⎪
⎩1
2,0≤
x < 2,2
2,2≤
x < 2,3
2,3≤
x < 2,4
2,4≤
x < 2,6
x ≥2,6
ed il grafico corrispondente assume la forma
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3
La quota di persone con un valore di X maggiore di 2,5 è data da
1 − F(2,5) = 1−0,83
= 0,16
.
10

Esercizio 1.13
Data la seguente serie relativa al numero di figli rilevati su una collettività di 10 famiglie,
2 1 3 4 4 3 2 2 1 2
costruire la distribuzione di frequenza e farne la rappresentazione grafica corrispondente.
Soluzione
La distribuzione assume la forma riportata nella tabella successiva.
X freq. rel.
1 0,2
2 0,4
3 0,2
4 0,2
totale 1,0
Una rappresentazione grafica adeguata è il diagramma per ordinate
0,4
0,2
0
0 1 2 3 4
Esercizio 1.14
Date le frequenze cumulate relative alle ore di funzionamento di un componente
elettronico, determinare le frequenze relative associate a ciascuna classe e le frequenze
assolute corrispondenti sapendo che la numerosità complessiva è pari a 20.
ore freq. rel. cum.
2.000 -| 3.000 0,10
3.000 -| 5.000 0,25
5.000 -| 7.500 0,40
7.500 -| 10.000 0,65
10.000 -| 14.000 0,90
14.000 -| 20.000 1,00
Soluzione
Le frequenze richieste sono riportate nella tabella successiva.
ore freq. relative freq. assolute
2.000 -| 3.000 0,10 2
3.000 -| 5.000 0,15 3
5.000 -| 7.500 0,15 3
7.500 -| 10.000 0,25 5
10.000 -| 14.000 0,25 5
14.000 -| 20.000 0,10 2
totale 1,00 20
11

Esercizio 1.15
La seguente serie di dati si riferisce alle altezze (in centimetri) di 15 piantine
17,4 20,4 20,0 20,0 18,4 18,6 18,6 15,3 16,5 18,0 16,3 18,0 11,8 15,5 18,0
Sintetizzare la serie con un raggruppamento nelle classi 11-|16, 16-|18, 18-|22 e disegnare
l’istogramma ed il grafico della funzione di ripartizione corrispondente.
Soluzione
Dalla serie originaria si ottengono i dati contenuti nella tabella successiva
altezze freq. ass. freq. rel. ampiezza intervallo densità freq. rel. cum
11 -| 16 3 0,2 5 0,04 0,2
16 -| 18 6 0,4 2 0,20 0,6
18 -| 22 6 0,4 4 0,10 1,0
totale 15 1,0
L’istogramma assume la forma seguente
0,2
0,15
0,1
0,05
0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
ed il grafico della funzione di ripartizione risulta
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Esercizio 1.16
Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente
X freq. ass.
2 -| 4 28
4 -| 10 12
10 -| 20 10
totale 50
determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico.
12

Soluzione
Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella
tabella successiva
X freq. rel. freq. rel. cum. densità
2 -| 4 0,56 0,56 0,28
4 -| 10 0,24 0,80 0,04
10 -| 20 0,20 1,00 0,02
totale 1,00
Pertanto l’espressione formale della funzione di ripartizione risulta
⎧0
⎪0,28(
x−2)
⎪
F(x) = ⎨0,56+
0,04(
x−
4)
⎪0,8+
0,02(
x−10)
⎪
⎩1
x ≤2
2<
x ≤ 4
4<
x ≤10
10 < x ≤20
x > 20
ed il grafico corrispondente assume la forma
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Esercizio 1.17
Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente
X freq. rel. cum.
5 -| 20 0,60
20 -| 30 0,80
30 -| 35 0,95
35 -| 40 1,00
determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione e disegnarne il grafico
Soluzione
Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le informazioni riportate nella
tabella successiva
X freq. rel. amp. classe densità
5 -| 20 0,60 15 0,04
20 -| 30 0,20 10 0,02
30 -| 35 0,15 5 0,03
35 -| 40 0,05 5 0,01
totale 1,00
Pertanto l’espressione formale della funzione di ripartizione risulta
13

⎧0
x ≤5
⎪0,04(
x−5)
5<
x ≤20
⎪
0,6+
0,02(
x−20)
20<
x ≤30
F(x) = ⎨
⎪
0,8+
0,03(
x−30)
30 < x ≤35
⎪0,95+
0,01(
x−35)
35<
x ≤ 40
⎪⎩
1
x > 40
ed il grafico corrispondente assume la forma
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Esercizio 1.18
Data una variabile discreta X la cui funzione di ripartizione è data da
⎧0
x < 0
⎪0,
4 0≤
x < 1
⎪
F(x) = ⎨0,6
1≤
x < 2
⎪0,9
2≤
x < 3
⎪
⎩1
x ≥3
disegnare il grafico corrispondente, determinare la distribuzione della variabile X e farne il
grafico.
Soluzione
Il grafico della funzione di ripartizione è
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1 0 1 2 3 4
la distribuzione di frequenza assume la forma seguente
14

X freq. rel.
0 0,4
1 0,2
2 0,3
3 0,1
totale 1,0
La rappresentazione grafica corrispondente assume la forma
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 1 2 3
Esercizio 1.19
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da
⎧0
x ≤5
⎪0,1(
x−5)
5<
x ≤7
⎪
0,2+
0,1(
x−7)
7<
x ≤10
F(x) = ⎨
⎪
0,5+
0,03(
x−10)
10 < x ≤20
⎪0,8+
0,01(
x−20)
20<
x ≤ 40
⎪⎩
1
x > 40
determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e disegnare l’istogramma.
Soluzione
La distribuzione di frequenza è data da
X densità ampiezza intervallo freq. rel.
5 -| 7 0,10 2 0,2
7 -| 10 0,10 3 0,3
10 -| 20 0,03 10 0,3
20 -| 40 0,01 20 0,2
totale 1,0
per cui l’istogramma assume la forma seguente
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
15

Esercizio 1.20
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di
parametri μ=10 e σ=2, determinare la quota di individui che presentano un’intensità di X:
a) inferiore a 8, b) superiore a 13, c) compresa fra 9 e 11.
Soluzione
X−µ
Bisogna ricorrere alla variabile standardizzata U=
per poter utilizzare le tavole della
σ
distribuzione normale standard. In questo modo le soluzioni sono
⎛ 8−10
⎞
a) F(8) = Φ⎜
⎟ = Φ(
−1)
= 1−Φ(
1)
= 0,
159
⎝ 2 ⎠
⎛13 −10
⎞
b) 1 − F(13) = 1−Φ⎜
⎟ = 1−Φ(
1,
5)
= 0,
067
⎝ 2 ⎠
⎛11−10 ⎞ ⎛ 9−10
⎞
c) F(11) − F(9) = Φ⎜
⎟−Φ⎜
⎟ = 2Φ(
0,
5)
−1=
0,
382
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Esercizio 1.21
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di
parametri μ=25 e σ=6, determinare la quota di individui che presentano un’intensità di X:
a) superiore a 28, b) compresa fra 24 e 26.
Soluzione
Una volta effettuata la standardizzazione le quote richieste risultano
⎛ 28−25
⎞
a) 1 − F(28) = Φ⎜
⎟ = 1−Φ(
0,
5)
= 0,
309
⎝ 6 ⎠
⎛ 26−25
⎞ ⎛ 24−25
⎞
b) F(26) − F(24) = Φ⎜
⎟−Φ⎜
⎟ = 2Φ(
0,
17)
−1=
0,
134
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
Esercizio 1.22
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello
teorico
⎧0
x ≤ −1
⎪
1 3
F(x) = ⎨ ( x + 1)
−1<
x < 1
⎪2
⎪
⎩1
x ≥1
determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente.
Soluzione
Data la funzione di ripartizione, la funzione di densità corrispondente si ottiene effettuando
dF(
x)
3 2
la derivata. Risulta = x , per cui la funzione di densità di frequenza è data da
dx 2
⎧3
2
⎪ x
−1<
x < 1
f(x) = ⎨2
⎪
⎩0
altrove
16

Esercizio 1.23
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico
⎪⎧
2
3x
0<
x < 1
f(x) = ⎨
⎪⎩ 0
altrove
si determini la funzione di ripartizione corrispondente
Soluzione
Data la precedente funzione di densità, la funzione di ripartizione si ottiene effettuando
l’integrale
x
x
3
3
2 2 ⎡t
⎤ ⎛ x ⎞
3t dt 3 t dt 3 3⎜
0⎟
∫ = ∫ = ⎢ ⎥ = = x
3 ⎜
−
3 ⎟
0
0 ⎣ ⎦ 0 ⎝ ⎠
per cui risulta
⎧0
x ≤0
⎪ 3
F(x) = ⎨x
0<
x < 1
⎪
⎩
1
x ≥1
x
3
Esercizio 1.24
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico
⎧x
+ 1
⎪
1≤
x ≤3
f(x) = ⎨ 6
⎪
⎩0
altrove
si determini la funzione di ripartizione corrispondente
Soluzione
La funzione di ripartizione si ottiene effettuando l’integrale da 1 a x della funzione di
densità. Dato che
x
x
x
2
2
2
t+
1 1 1 ⎡t
⎤ 1 ⎡x
⎛ 1 ⎞⎤
x x 1
∫ dt = ( t 1)
dt t
x 1
6 6∫
+ = ⎢ + ⎥ = ⎢ + −⎜
+ ⎟⎥
= + −
6 2 6 2 2 12 6 4
1
1 ⎣ ⎦1
⎣ ⎝ ⎠⎦
la funzione di ripartizione assume la forma
⎧0
x < 1
⎪ 2
⎪x
x 1
F(x) = ⎨ + − 1≤
x ≤3
⎪12
6 4
⎪1
x > 3
⎩
Esercizio 1.25
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico
⎪⎧
3
20x ( 1−x
) 0≤
x ≤1
f(x) = ⎨
⎪⎩ 0
altrove
si determini la funzione di ripartizione corrispondente
17

Soluzione
Dato che
x
x
3
∫ 20t
0
= ∫
0
⎡ 4
t
⎢
⎣ 4
5
t ⎤
⎥
5 ⎦ 0
−
la funzione di ripartizione assume la forma
⎧0
x < 0
⎪ 4 5
F(x) = ⎨5x
−4x
⎪
⎩
1
0≤
x ≤1
x > 1
3 4
4 5
( 1-t
) dt 20 t -t
dt = 20 − = 5x 4x
x
Esercizio 1.26
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello
teorico
⎧0
x ≤0
⎪
1
F(x) = ⎨ x(
6−
x)
0<
x < 1
⎪5
⎪
⎩1
x ≥1
determinare la funzione di densità di frequenza corrispondente.
Soluzione
dF(
x)
1
Risulta = ( 6−2x
) per cui la funzione di densità di frequenza è data da
dx 5
⎧1
⎪ ( 6−2x
) 0<
x < 1
f(x) = ⎨5
⎪
⎩0
altrove
Esercizio 1.27
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico
⎧ 3 2
⎪ ( x −2x)
-2≤
x ≤0
f(x) = ⎨20
⎪
⎩0
altrove
si determini la funzione di ripartizione corrispondente
Soluzione
Dato che
x
x
3 2
⎡ 3 ⎤ ⎡ 3
⎤ ⎡ 3
2 3 t 2 3 x 2 ⎛ 8 ⎞ 3 x 20⎤
( t -2t)
dt = ⎢ −t
⎥ = ⎢ −x
−⎜
− −4⎟⎥
= ⎢ −x
+ ⎥
20 ⎣ 3 ⎦ 20 ⎣ 3 ⎝ 3 ⎠⎦
20 ⎣ 3 ⎦
∫ 20
3
-2
la funzione di ripartizione assume la forma
⎧0
x < -2
⎪
1 3
2
F(x) = ⎨ ( x −3x
) + 1
⎪20
⎪
⎩1
-2≤
x ≤0
x > 0
-2
18

Esercizio 1.28
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è data da
⎧0
x ≤-1
⎪0,
3+
0,
3x
-1<
x ≤0
⎪
F(x) = ⎨0,3+
0, 25x
0<
x ≤2
⎪0,4+
0,2x
2<
x ≤3
⎪
⎩1
x > 3
disegnarne il grafico corrispondente e calcolare la quota di individui con un valore della
variabile: a) minore di 0, b) superiore a 1, d) maggiore di 5.
Soluzione
I valori delle funzione di ripartizione in corrispondenza degli estremi delle classi si
ottengono sostituendo tali valori nelle rispettive espressioni formali e risultano pari a quelli
riportati nella tabella seguente,
X freq. rel. cum.
-1 -| 0 0,30
0 -| 2 0,75
2 -| 3 1,00
per cui il grafico assume la forma
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Le quote richieste si ottengono dalle diverse espressioni formali e risultano:
a) F(0) = 0,3
b) 1−F(1) = 1−(0,3+0,25) = 0,45
c) 1−F(5) = 1-1 = 0
19

2. VALORI CARATTERISTICI DELLE DISTRIBUZIONI
(Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 3 delle dispense)
Esercizio 2.1
Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui
2,6 2,0 2,2 2,0 2,3 2,4
determinare il valore dei tre quartili della variabile
Soluzione
Si consideri innanzitutto la serie ordinata
2,0 2,0 2,2 2,3 2,4 2,6
Non c’è nessuna intensità della variabile in corrispondenza della quale la funzione di
ripartizione assume il valore 0,25, pertanto come primo quartile si prende quella intensità
in corrispondenza della quale per la prima volta la F(x) assume un valore maggiore di
0,25. Per cui
x0,25=2,0
perchè F(2,0)= 0, 3.
Lo stesso discorso vale per il terzo quartile che risulta
x0,75=2,4.
Per quanto riguarda la mediana, c’è tutto un intervallo di valori in corrispondenza del quale
la F(x) vale 0,5. Come mediana si prende la semisomma degli estremi di questo intervallo
2,
2+
2,
3
x0,5 = = 2,
25.
2
Esercizio 2.2
Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 12 individui
6,0 6,4 10,2 10,0 11,8 7,2 4,5 8,1 5,1 9,8 10,9 10,0
determinare il valore dei tre quartili della variabile
Soluzione
La serie ordinata è
4,5 5,1 6,0 6,4 7,2 8,1 9,8 10,0 10,0 10,2 10,9 11,8
Risulta quindi
6+
6,
4
x0,25 = = 6,
2,
2
8,
1+
9,
8
x0,5 = = 8,
95,
2
10+
10,
2
x0,75 = = 10,
1.
2
Esercizio 2.3
Data la seguente serie ordinata di valori di una variabile continua X rilevata su 14 individui
2,1 2,3 2,7 2,9 3,0 4,1 5,1 5,2 6,2 6,4 7,1 8,2 9,0 9,3
determinare il valore dei tre quartili
20

Soluzione
I tre quartili risultano
x0,25 = 2,
9,
5,
1+
5,
2
x0,5 = = 5,
15,
2
x0,75 = 7,
1.
Esercizio 2.4
Sulla base della seguente distribuzione di frequenza
X freq. rel.
5 -| 7 0,2
7 -| 10 0,3
10 -| 20 0,3
20 -| 40 0,2
totale 1,0
determinare il valore dei tre quartili della variabile
Soluzione
Data una distribuzione in classi, il valore del quantile xp di ordine p, che supponiamo
contenuto nella classe i-esima, si ottiene ponendo
p − F(xi
−1)
xp
= xi
−1
+
f (x)
i
Pertanto, date le frequenze relative cumulate riportate nella tabella seguente
X freq. rel. cum.
5 -| 7 0,2
7 -| 10 0,5
10 -| 20 0,8
20 -| 40 1,0
il primo quartile corrisponde a
0,25−0,
20
x0,25 = 7+
= 7,
5
0,1
La mediana si ottiene direttamente dai dati della tabella e risulta
x0,5=10
ed il terzo quartile è dato da
0,75−0,
5
x0,75 = 10+
= 18,
3
0,03
Esercizio 2.5
Sulla base della seguente distribuzione di frequenza
X densità
5 -| 9 0,025
9 -| 15 0,100
15 -| 25 0,030
determinare il valore dei primi due decili e la quota di individui con un valore della variabile
inferiore o uguale a 10.
21

Soluzione
Sulla base dei dati si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva
X freq. rel. freq. rel. cum.
5 -| 9 0,1 0,1
9 -| 15 0,6 0,7
15 -| 25 0,3 1,0
totale 1,0
dalle quali risulta
x0,1 = 9
0,2−0,
1
x0,2 = 9+
= 10
0,1
F(10) = 0,1+0,1 = 0,2.
Esercizio 2.6
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X
X freq. rel. cum.
-1 0,25
0 0,65
1 0,85
2 0,95
3 1,00
determinare la quota di individui con un valore di X maggiore di 1, la moda e la media
aritmetica.
Soluzione
La quota di individui con un valore di X maggiore di 1 è data da 1–F(1) = 1–0,85 = 0,15.
Ottenuta la distribuzione espressa mediante le frequenze relative
X freq. rel.
-1 0,25
0 0,40
1 0,20
2 0,10
3 0,05
totale 1,00
risulta che la moda è pari a 0, mentre la media è
E(X) = -1×0,25 + 1×0,2 + 2×0,1 + 3×0,05 = 0,30.
Esercizio 2.7
Sulla base della seguente funzione di ripartizione
⎧0
x < 1
⎪0,2
1≤
x < 2
⎪
F(x) = ⎨0,6
2≤
x < 3
⎪0,8
3≤
x < 4
⎪
⎩1
x ≥ 4
determinare la distribuzione di frequenza corrispondente e calcolare il valore della media
aritmetica della variabile.
22

Soluzione
Sulla base della funzione di ripartizione si ottiene la distribuzione riportata nella tabella
successiva.
X freq. rel. cum freq. rel.
1 0,2 0,2
2 0,6 0,4
3 0,8 0,2
4 1,0 0,2
totale 1,0
Pertanto la media della variabile risulta
E(X)=2,4.
Esercizio 2.8
Sulla base della seguente funzione di ripartizione
⎧0
x ≤1
⎪
⎪0,3(
x-1)
1<
x ≤2
⎪
F(x) = ⎨0,
3+
0,
25(
x−2)
2<
x ≤ 4
⎪
⎪
0, 8+
0,
05(
x−
4)
4<
x ≤8
⎪
⎩1
x > 8
calcolare il valore della media aritmetica della variabile.
Soluzione
Si ottiene la distribuzione riportata nella tabella successiva.
X freq. rel. cum freq. rel.
1 -| 2 0,3 0,3
2 -| 4 0,8 0,5
4 -| 8 1,0 0,2
totale 1,0
Pertanto la media della variabile risulta
E(X) = 1,5×0,3 + 3×0,5 + 6×0,2 = 3,15.
Esercizio 2.9
Date le seguenti informazioni relative ai prezzi unitari ed alle quantità di un certo bene
acquistato in 4 diversi esercizi, calcolare la media dei prezzi ponderata con le quantità.
prezzo (in euro) quantità
3,15 7
3,20 6
3,30 2
3,35 5
Soluzione
La media dei prezzi ponderata con le quantità risulta
3,
15×
7+
3,
20×
6+
3,
30×
2+
3,
35×
5
E ( X)
= = 3,
23 .
7+
6+
2+
5
23

Esercizio 2.10
Date le seguenti informazioni relative al prezzo al quintale ed alle quantità di un certo bene
acquistato in 5 diverse occasioni, calcolare il prezzo medio al quintale del bene
considerato.
prezzo
(al quintale)
quantità
(in quintali)
40,00 150
41,00 450
41,50 500
42,00 300
43,00 1000
Soluzione
La media dei prezzi ponderata con le quantità risulta
100800
E ( X)
= = 42,
00 .
2400
Esercizio 2.11
Data la seguente distribuzione in classi
X freq. ass.
3 -| 5 8
5 -| 8 6
8 -| 15 7
15 -| 40 4
totale 25
determinare l’espressione formale della funzione di ripartizione, calcolare la mediana e la
quota di individui con un valore della variabile maggiore di 10.
Soluzione
Dai dati si ottengono le informazioni riportate nella tabella successiva
X freq. rel. freq. rel. cum. densità
3 -| 5 0,32 0,32 0,1600
5 -| 8 0,24 0,56 0,0800
8 -| 15 0,28 0,84 0,0400
15 -| 40 0,16 1,00 0,0064
totale 1,00
L’espressione formale della funzione di ripartizione risulta quindi
⎧0
⎪0,16(
x−3)
⎪
0,32+
0,08(
x−5)
F(x) = ⎨
⎪
0,56+
0,04(
x−8)
⎪0,84+
0,0064(
x−15)
⎪⎩
1
x ≤3
3<
x ≤5
5<
x ≤8
8<
x ≤15
15<
x ≤ 40
x > 40
La mediana è contenuta nella seconda classe e risulta
0,5−0,
32
x0,5 = 5+
= 7,
25 .
0,08
La quota di individui con un valore di X maggiore di 10 corrisponde a
1−F(10) = 1−[0,56+0,04(10−8)] = 0,36.
24

Esercizio 2.12
Data la seguente serie di osservazioni relativa ad una variabile continua
2,8 1,7 4,8 3,5 3,9 3,7 1,2 5,7 7,1 2,0
individuare i tre quartili. Costruire inoltre la distribuzione sintetica nelle classi di valori 1-|2,
2-|4, 4-|8 e individuare la classe modale.
Soluzione
Una volta ordinata la serie, risulta
x0,25 = 2
x 0,5
3,5+
3,
7
=
2
=
3,
6
x0,75 = 4,8
La classe modale è la prima classe, 1-|2, dato che è questa la classe con la maggiore
densità di frequenza (pari a 0,3).
Esercizio 2.13
Sulla base della seguente distribuzione di frequenza
X freq. rel. cum.
5 -| 20 0,15
20 -| 30 0,55
30 -| 35 0,80
35 -| 40 1,00
costruire l’istogramma, determinare la classe modale e la media aritmetica.
Soluzione
Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le seguenti informazioni
X freq. rel. densità val. centrale
5 -| 20 0,15 0,01 12,5
20 -| 30 0,40 0,04 25,0
30 -| 35 0,25 0,05 32,5
35 -| 40 0,20 0,04 37,5
totale 1,00
L’istogramma assume la forma seguente
0 ,0 5
0 ,0 4
0 ,0 3
0 ,0 2
0 ,0 1
0
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8 3 0 3 2 3 4 3 6 3 8 4 0
La classe modale è 30-|35.
La media è E(X)=12,5×0,15+25×0,4+32,5×0,25+37,5×0,2=27,5.
25

Esercizio 2.14
Data la seguente serie di valori di una variabile continua X rilevata su 6 individui
5,1 3,2 3,1 2,4 4,9 5,2 4,1 4,0
calcolare il terzo decile, la mediana, la media e il secondo momento dall’origine.
Soluzione
Data la serie ordinata risulta
x0,3=3,2
4+
4,
1
x0,5 = = 4,
05
2
La media della variabile è E(X)=4
e infine la media dei quadrati è E(X 2 )=16,935
Esercizio 2.15
Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente
X freq. ass.
2 -| 4 28
4 -| 10 12
10 -| 20 10
totale 50
calcolare la media e il secondo momento centrale della variabile.
Soluzione
Sulla base della distribuzione precedente si ottengono le seguenti frequenze relative
X freq. rel.
2 -| 4 0,56
4 -| 10 0,24
10 -| 20 0,20
totale 1,00
per cui E(X) = 6,36.
La media dei quadrati è E(X 2 ) = 61,8 e il secondo momento centrale è quindi
E[(X−mx) 2 ] = E(X 2 ) – [E(X)] 2 = 61,8 – (6,36) 2 = 21,3504
Esercizio 2.16
Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva.
X freq. ass.
2 -| 5 18
5 -| 8 22
8 -| 12 10
totale 50
calcolare: a) la classe modale, b) la media aritmetica, c) il secondo momento centrale.
Soluzione
a) La classe modale è 5-|8 perchè a questo intervallo è associata la massima densità di
frequenza, pari a 0 , 146
.
b) E(X) = 3,5×0,36 + 6,5×0,44 + 10×0,2 = 6,12.
c) E[(X−mx) 2 ] = 5,5456 dato che E(X 2 ) = 43.
26

Esercizio 2.17
Sulla base della distribuzione espressa mediante le densità di frequenza
X densità
5 -| 15 0,038
15 -| 35 0,016
35 -| 50 0,020
calcolare la media della variabile X, il primo quartile e la quota di individui con un valore
della variabile compreso fra 10 e 30.
Soluzione
Una volta ottenute le frequenze relative a partire dalle densità di frequenza si ha
E(X) = 10×0,38 + 25×0,32 + 42,5×0,3 = 24,55,
0,
25
x0,25 = 5+
≅11,
5789 ,
0,038
F(30)−F(10) = 0,38+0,016(30−15) − [0,038(10−5)] = 0,43.
Esercizio 2.18
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata dal seguente modello teorico
⎧3
2
⎪ x
−1<
x < 1
f(x) = ⎨2
⎪
⎩0
altrove
calcolare la media e la quota di individui con un valore della variabile: a) inferiore o uguale
a –0,5; b) superiore a 0,5.
Soluzione
La media della variabile X risulta
1
1
1
4
3 2 3 3 3 ⎡ x ⎤ 3 ⎛ 1 1 ⎞
E(x) = ∫ x x dx = x dx
0
2 2 ∫ = ⎢ ⎥ = ⎜ − ⎟ = .
2 4 2 4 4
−1
−1
⎣ ⎦ −1
⎝ ⎠
Per calcolare le quote richieste è opportuno determinare la forma della funzione di
ripartizione della variabile, che si ottiene effettuando l’integrale
x
x
x
( x + 1)
3
3
3 2 3 2 3 ⎡t
⎤ 3 ⎡ x ⎛ 1⎞⎤
1 3
∫ t dt = t dt
2 2 ∫ = ⎢ ⎥ = ⎢ −⎜
− ⎟⎥
=
2 3 2 3 3 2
−1
−1
⎣ ⎦ −1
⎣ ⎝ ⎠⎦
per cui la funzione di ripartizione assume la forma
⎧0
x ≤ −1
⎪
1 3
F(x) = ⎨ ( x + 1)
−1<
x < 1
⎪2
⎪
⎩1
x ≥1
La quota di individui con un valore della variabile inferiore o uguale a –0,5 è data da
1 3
F( − 0,5) = ( −0,5
+ 1)
= 0,
4375 ,
2
mentre la quota di individui con un valore della variabile superiore a 0,5 corrisponde a
1 3
1−
F(0,5) = 1−
( 0,5 + 1)
= 0,
4375 .
2
27

Esercizio 2.19
Determinare il valore modale di una variabile X la cui funzione di ripartizione è
approssimata dal seguente modello teorico
⎧0
x ≤0
⎪ 4 3 2
F(x) = ⎨3x
−8x
+ 6x 0<
x < 1
⎪
⎩
1
x ≥1
Soluzione
Per trovare la moda occorre individuare il punto di massimo della funzione di densità
⎪⎧
3 2
12x −24x
+ 12x 0<
x < 1
f(x) = ⎨
⎪⎩ 0
altrove
Derivando la funzione e uguagliandola a zero si ottiene l’equazione
36x 2 −48x+12=0
che ammette le due soluzioni
4m 2
6
di cui la soluzione x=1/3 è il punto di massimo, come risulta dal segno della derivata
seconda calcolata in corrispondenza di questo valore.
Esercizio 2.20
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello
teorico
⎧0
x ≤0
⎪ 3
F(x) = ⎨x
0<
x < 1
⎪
⎩
1
x ≥1
calcolare l’ottavo centile, la mediana, la media e il secondo momento centrale.
Soluzione
Il generico quantile di ordine p della variabile X, xp, si ottiene uguagliando il valore della
funzione di ripartizione a p e determinando il valore della variabile X che soddisfa
l’uguaglianza.
Per quanto riguarda la mediana si ha quindi
(x0,5) 3 = 0,5
da cui si ottiene
x
0,5
= 3 0,
5 ≅0,
7937 .
Per calcolare la media e la varianza è necessario determinare la funzione di densità della
variabile, che si ottiene effettuando la derivata rispetto ad x della funzione di ripartizione.
Risulta
⎪⎧
2
3x
0<
x < 1
f(x) = ⎨
⎪⎩ 0
altrove
per cui la media è data da
E
1
⎡ 4
x ⎤
⎢ ⎥
⎣ 4 ⎦
1
⎛ 1
⎜ −
⎝ 4
3
4
3 ( X)
3x dx = 3 = 3 0 = = 0,
75
= ∫
0
0
⎞
⎟
⎠
,
28

la media dei quadrati è
1
5
2 4 ⎡ x ⎤ ⎛ 1 ⎞ 3
( X ) = ∫ 3x dx = 3⎢
⎥ = 3⎜
−0⎟
= = 0,
6
E
,
5 5 5
0 ⎣ ⎦ 0 ⎝ ⎠
per cui il secondo momento centrale risulta
E[(X−mx) 2 ] = 0,6−0,75 2 = 0,0375.
1
Esercizio 2.21
Data una variabile X la cui funzione di densità è approssimata dal seguente modello
teorico
⎧ 1−0,5x
0<
x < 2
f(x) = ⎨
⎩0
altrove
calcolare la media e il secondo momento dall’origine.
Soluzione
La media è pari a
E
2
2
⎡ 2
x
⎣ 2
2
( X)
= ∫ x(
1-0,5x
) dx = ∫(
x-0,5x
) dx = ⎢ − ⎥ = ⎜2
⎟ = = 0,
6
0
e la media dei quadrati è
E
2
0
2
3
x ⎤
6 ⎦
2
0
29
⎛ 8 ⎞
−
⎝ 6 ⎠
3 4
2 2
2 3 ⎡x
x ⎤ ⎛ 8 ⎞ 2
( X ) = ∫ x ( 1-0,5x
) dx = ∫(
x -0,5x
) dx = ⎢ − ⎥ = ⎜ −2⎟
= = 0,
6
0
0
⎣ 3
Esercizio 2.22
Data una variabile X la cui funzione di ripartizione è approssimata dal seguente modello
⎧0
x ≤-1
⎪
1 2
F(x) = ⎨ ( x+
1)
-1<
x < 1
⎪4
⎪
⎩1
x ≥1
calcolare la mediana e la media.
Soluzione
Per quanto riguarda la mediana si pone
1 2
0,5
( x + 1)
= 0,
5
4
da cui si ottiene l’unica soluzione accettabile = −1+
2 ≅ 0,
4142.
Per calcolare la media è necessario determinare la funzione di densità della variabile
⎧x
+ 1
⎪
-1<
x < 1
f(x) = ⎨ 2
⎪
⎩0
altrove
per cui la media è data da
E
1
1
2
1 ⎡ 3
x
2 ⎣ 3
1
3
2 ( X)
= ∫ ( x + x)
dx = ⎢ + ⎥ = = 0,
3
-1
2
x ⎤
2 ⎦
1
-1
.
8
⎦
2
0
x 0,5
⎝ 3
4
6
⎠
3
,
.

Esercizio 2.23
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una normale di parametri μ=8
e σ=4, determinare: a) il primo decile, b) la mediana, c) la quota di individui che
presentano un’intensità di X compresa fra 6 e 10.
Soluzione
a) x0,1= μ + σu0,1 = 8 + 4×(-1,282) = 2,872
b) x0,5= 8
⎛10 −8
⎞
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
⎛ 6−8
⎞
⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
c) F(10) − F(6) = Φ −Φ
= 2Φ(
0,
5)
−1=
0,
382
Esercizio 2.24
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da un modello normale di
parametri μ=40 e σ=0,5, determinarne il primo quartile. Calcolare inoltre la quota di
individui che presentano un’intensità di X: a) inferiore a 39, b) compresa fra 39 e 41, c)
maggiore di 41.
Soluzione
Il venticinquesimo centile
x0,025= 40 + 0,5×(-0.674) = 39,663
⎛ 39−40
⎞
= Φ⎜
⎟
⎝ 0,
5 ⎠
⎛ 41−40
⎞ ⎛ 39−40
⎞
F 41 − F(39) = Φ⎜
⎟−Φ⎜
⎟ = Φ 2 −Φ
−2
= 2×
Φ 2 −1=
0,
⎝ 0,
5 ⎠ ⎝ 0,
5 ⎠
⎛ 41−40
⎞
1 −
F 41 = 1−Φ⎜
⎟ = 1−Φ
2 = 0,
⎝ 0,
5 ⎠
a) F(39) = Φ(
−2)
= 1−Φ(
2)
= 1−0,
977 = 0,
023
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 954
c) ( ) ( ) 023
30

3. INDICI DI VARIABILITA’
(Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono al capitolo 4 delle dispense)
Esercizio 3.1
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X
X freq. assolute
10 4
20 3
30 2
40 1
totale 10
calcolare la media e la varianza.
Soluzione
E(X) = 10×0,4 + 20×0,3 + 30×0,2 + 40×0,1 = 20
E(X 2 ) = 10 2 ×0,4 + 20 2 ×0,3 + 30 2 ×0,2 + 40 2 ×0,1 = 500
V(X) = 500−20 2 = 100.
Esercizio 3.2
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile discreta X
X freq. rel. cum.
2 0,25
4 0,75
6 1,00
calcolare la media e lo scarto quadratico medio.
Soluzione
E(X) = 2×0,25 + 4×0,5 + 6×0,25 = 4
E(X 2 ) = 4×0,25 + 16×0,5 + 36×0,25 = 18
V(X) = 2
Sx = (2) 1/2 ≅ 1,4142.
Esercizio 3.3
Date le seguenti intensità relative ad una variabile discreta X rilevata su 20 individui
2 3 5 5 3 2 2 2 6 6 2 2 2 3 2 3 3 3 5 5
calcolare media e varianza.
Soluzione
La distribuzione di frequenza risulta
X freq. rel.
2 0,4
3 0,3
5 0,2
6 0,1
totale 1,0
31

Gli indici richiesti assumono i valori seguenti
E(X) = 3,3
E(X 2 ) = 12,9
V(X) = 2,01.
Esercizio 3.4
Date le seguenti intensità relative ad una variabile discreta X rilevata su 20 individui
0 0 1 3 2 2 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 1 2 2 2
calcolare il coefficiente di variazione s/m.
Soluzione
La distribuzione di frequenza risulta
X freq. rel.
0 0,4
1 0,2
2 0,3
3 0,1
totale 1,0
E(X) = 1,1
E(X 2 ) = 2,3
V(X) = 1,09
s
m
=
1,
09
1,
1
≅
0,
9491
Esercizio 3.5
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X calcolare il coefficiente
di variazione
X densità
5 -| 6 0,4500
6 -| 8 0,1500
8 -| 12 0,0625
Soluzione
La distribuzione espressa mediante le frequenze relative risulta
X val. centr. freq. rel.
5 -| 6 5,5 0,45
6 -| 8 7,0 0,30
8 -| 12 10,0 0,25
totale 1,00
Gli indici richiesti assumono i valori seguenti
E(X) = 7,075
E(X 2 ) = 53,3125
V(X) = 3,256875
s
m
=
3,
256875
7,
075
≅
0,
2551
32

Esercizio 3.6
Data una variabile X con una media pari a 15 ed una varianza pari a 2, si determini media
e varianza della variabile trasformata Y=3X−5.
Soluzione
In base alle proprietà della media e varianza di una trasformazione lineare risulta
E(Y) = 3E(X)−5 = 3×15−5 =40,
V(Y) = 3 2 ×V(X) = 9×2=18.
Esercizio 3.7
Data una variabile X la cui distribuzione è riportata nella tabella seguente
X freq. rel. cum.
1 0,4
2 0,7
3 0,9
4 1,0
calcolare la media e la varianza della variabile.
Data inoltre la variabile Y=2+4X, se ne determini media e varianza.
Soluzione
Una volta ottenute le frequenze relative, risulta
E(X) = 2
E(X 2 ) = 5
V(X) = E(X 2 ) – [E(X)] 2 = 5–4 = 1.
In base alle proprietà della media e varianza di una trasformazione lineare risulta
E(Y) = 2+4E(X) = 2+4×2 = 10,
V(Y) = 4 2 V(X) = 16×1 = 16.
Esercizio 3.8
Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva.
X freq. ass. cum.
0 25
1 75
2 95
3 100
calcolare il coefficiente di variazione della variabile X.
Soluzione
Risulta
E(X) = 1,05
E(X 2 ) = 1,75
V(X) = 0,6475
s 0,
6475
= ≅0,
7664 .
m 1,
05
33

Esercizio 3.9
Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva.
X freq. rel.
3 -| 4 0,5
4 -| 6 0,3
6 -| 10 0,2
totale 1,0
calcolare il coefficiente di variazione della variabile X.
Soluzione
Risulta
E(X) = 4,85
E(X 2 ) = 26,425
V(X) = 2,9025
s 2,
9025
= ≅ 0,
3513 .
m 4,
85
Esercizio 3.10
Sulla base della distribuzione riportata nella nella tabella successiva.
X freq. rel. cum.
5 -| 7 0,1
7 -| 15 0,4
15 -| 35 0,8
35 -| 80 1,0
calcolare il coefficiente di variazione della variabile Y=4X.
Soluzione
Una volta calcolate le frequenze relative si ottiene
E(X) = 25,4 E(X 2 da cui risulta
) = 951,15 V(X) = 305,99
E(Y) = 101,6 V(Y) = 4.895,84
s
=
m
4.
895,
84
≅ 0,
6887 .
101,
6
Esercizio 3.11
Data la seguente distribuzione relativa ad una variabile continua X
X freq. rel.
0 -| 2 0,25
2 -| 8 0,50
8 -| 10 0,25
totale 1,00
disegnare l’istogramma e determinare il valore dell’indice di asimmetria a3.
34

Soluzione
Sulla base della forma dell’istogramma
0,125
0,1
0,075
0,05
0,025
0
0 2 4 6 8 10
si nota che la distribuzione è simmetrica, per cui l’indice di asimmetria è pari a zero.
Esercizio 3.12
Data una variabile X la cui distribuzione è approssimata da una distribuzione normale di
parametri μ=−1 e σ=3, determinare: a) il primo quartile, b) la media e lo scarto quadratico
medio della variabile trasformata Y=–5x+4.
Soluzione
a) x0,25= μ + σu0,25 = −1 + 3(-0,674) = −3,022
b) E(Y) = −5E(X)+4 = −5(−1)+4 = 9
c) V(Y) = 25V(X) = 225 per cui = 225 = 15
s y
Esercizio 3.13
Data la seguente funzione di ripartizione relativa ad una variabile X determinare la
distribuzione di frequenza corrispondente, la media e la varianza.
⎧0
x < 3
⎪0,
3 3≤
x < 5
F(x) = ⎨
⎪
0,
8 5≤
x < 8
⎪⎩
1 x ≥8
Soluzione
La distribuzione di frequenza è
X freq. rel.
3 0,3
5 0,5
8 0,2
totale 1,0
E(X) = 5
E(X 2 ) = 28
V(X) = 3
35

Esercizio 3.14
Data la variabile definita nel precedente esercizio si determini il coefficiente di variazione
della variabile Y = 3X−4.
Soluzione
E(Y) = 3×5−4 = 11
V(Y) = 9×3 = 27
sy
27
= ≅ 0,4724 .
m 11
y
Esercizio 3.15
Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile continua
X
⎧ 8(
x−1)
1<
x < 1,5
f(x) = ⎨
⎩0
altrove
si calcoli media e varianza.
Soluzione
E
E
1,5
3 2
2 ⎡x
x ⎤
( X)
= 8 ∫ ( x -x)
dx = 8⎢
− ⎥ = 8[
( 1,
125−1,
125)
−(
0,
3−0,
5)
] = 1,
3
1
1,5
⎣ 3
2
⎦
1,5
1
4 3
2
3 2 ⎡ x x ⎤
( X ) = 8 ∫ ( x -x
) dx = 8⎢
− ⎥ = 8[
( 1,
265625−1,
125)
−(
0,
25−0,
3)
] = 1,
7916
1
( X)
0,
0138
V =
⎣
4
3
⎦
1,5
1
Esercizio 3.16
Dato il seguente modello teorico che approssima la funzione di ripartizione di una variabile
continua X
⎧0
x < -1
⎪
1 3 1
F(x) = ⎨ x + −1<
x < 1
⎪2
2
⎪
⎩1
x > 1
se ne calcoli media e varianza.
Soluzione
Dall’espressione precedente si ottiene la seguente funzione di densità
⎧3
2
⎪ x −1<
x < 1
f(x) = ⎨2
⎪
⎩0
altrove
e quindi risulta
E
3
2
1
3 ⎡ 4
x ⎤
⎢ ⎥
2 ⎣ 4 ⎦
3 ( X)
x dx = = 0
= ∫
-1
1
-1
36

E
5
2 3 4 3 ⎡ x ⎤ 3 2 3
( X ) = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = × = = V(
X)
2
1
-1
2 ⎣ 5 ⎦
1
-1
2
5
5
Esercizio 3.17
Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile X
⎧ 2x 0<
x < 1
f(x) = ⎨
⎩0
altrove
se ne calcoli il terzo ed il quarto momento dall’origine.
Soluzione
E
E
1
5
3 4 ⎡ x ⎤ 2
( X ) = ∫ 2x dx = 2⎢
⎥ = = 0,
4
0
1
⎣ 5 ⎦
6
4 5 ⎡ x ⎤ 2
( X ) = ∫ 2x dx = 2⎢
⎥ = = 0,
3
0
⎣
6
⎦
1
0
1
0
5
6
Esercizio 3.18
Dato il modello teorico dell’esercizio 3.17 si calcoli l’espressione del generico momento
dall’origine di ordine r.
Soluzione
E
r ( X )
=
1
∫
0
2x
r+
1
⎡ r+
2
x ⎤
dx = 2⎢
⎥
⎣ r+
2 ⎦
1
0
2
=
r + 2
Esercizio 3.19
Dato il seguente modello teorico che approssima la distribuzione di una variabile X
⎧3
2
⎪ x −1<
x < 1
f(x) = ⎨2
⎪
⎩0
altrove
si determini l’espressione generica del momento dall’origine di ordine r e si calcoli il terzo e
il quarto momento dall’origine.
Soluzione
Il generico momento di ordine r è dato da
r ( X )
1
r 3
3 r 2 3 ⎡ +
+ x ⎤
E = ∫ x dx = ⎢ ⎥
2 2 r 3
-1
⎣ + ⎦
per cui si ha
3 1 1
E( X ) 0
2 6 6
3 ⎛ ⎞
=
⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠
1
-1
37

3 ⎛ 1 1⎞
3
( X ) = ⎜ + ⎟ = ≅ 0,
4286
E 4
2⎝
7
7 ⎠
7
Esercizio 3.20
Dato il seguente modello teorico che approssima la funzione di ripartizione di una variabile
continua X
⎧0
x ≤5
⎪
x-5
F(x) = ⎨
5<
x < 10
⎪ 5
⎪
⎩1
x ≥10
se ne calcoli media e varianza.
Soluzione
Dall’espressione precedente si ottiene la seguente funzione di densità
⎧1
⎪ 5<
x < 10
f(x) = ⎨5
⎪
⎩0
altrove
e quindi risulta
E
E
1
5
10
1 ⎡ 2
x ⎤
⎢ ⎥
5 ⎣ 2 ⎦
10
1⎛
100−25
⎞
⎜ ⎟
5⎝
2 ⎠
( X)
xdx = =
= 7,
5
= ∫
5
5
3
2 1 2 1⎡
x ⎤ 1⎛
1000−125
⎞
( X ) = ∫ x dx = ⎢ ⎥ = ⎜ ⎟ = 58,
3
( X)
5
10
5
V =
2,083
5 ⎣ 3 ⎦
10
5
5⎝
3
⎠
38

4. DISTRIBUZIONI BIVARIATE
(Gli esercizi contenuti in questa sezione si riferiscono ai capitoli 5-6 delle dispense)
Esercizio 4.1
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y rilevate su 10 individui,
(1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 2) (1, 0) (1, 1) (0, 2) (0, 2) (1,0)
costruire la distribuzione di frequenza corrispondente espressa mediante le frequenze
relative. Calcolare inoltre le distribuzioni della variabile Y condizionata a X.
Soluzione
La tabella a doppia entrata assume la forma seguente
Y 0 1 2 totale
X
0 0,0 0,1 0,4 0,5
1 0,3 0,2 0,0 0,5
totale 0,3 0,3 0,4 1,0
Le distribuzioni di Y|x sono
Y 0 1 2 totale
X
0 0,0 0,2 0,8 1,0
1 0,6 0,4 0,0 1,0
Esercizio 4.2
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) di una variabile discreta X e di una variabile
continua Y rilevate su 10 individui,
(2; –0,4) (0; –2,8) (0; 0,3) (4; 2,6) (4; 1,9)
(0; –1) (4; 4,8) (2, –1,6) (2; 1,0) (2; 3,6)
costruire la distribuzione di frequenza corrispondente considerando le classi –3-|–1, –1-|1,
1-|5 per la variabile Y. Calcolare inoltre le distribuzioni della variabile X condizionata a Y.
Soluzione
La tabella a doppia entrata assume la forma seguente
Y –3-|–1 –1-|1 1-|5 totale
X
0 0,2 0,1 0,0 0,3
2 0,1 0,2 0,1 0,4
4 0,0 0,0 0,3 0,3
totale 0,3 0,3 0,4 1,0
Le distribuzioni di X|y sono
Y –3-|–1 –1-|1 1-|5
X
0 0 , 66
0 , 33
0,00
2 0 , 33
0 , 66
0,25
4 0,00 0,00 0,75
totale 1,00 1,00 1,00
39

Esercizio 4.3
Completare la seguente tabella sotto ipotesi di indipendenza assoluta fra le due variabili
Y a b c totale
X
0 0,3
1 0,2
2 0,5
totale 0,2 0,5 0,3 1,0
Soluzione
Y
X
a b c totale
0 0,06 0,15 0,09 0,30
1 0,04 0,10 0,06 0,20
2 0,10 0,25 0,15 0,50
totale 0,20 0,50 0,30 1,00
Esercizio 4.4
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y rilevate su 10 individui,
(0, 1) (0, 2) (0, 1) (0, 2) (0, 2) (2, 1) (2, 1) (2, 2) (2, 1) (2, 1)
costruire la distribuzione di frequenza espressa mediante le frequenze relative.
Calcolare il valore dell’indice χ 2 /n e indicare il valore minimo e massimo che può assumere
l’indice per la tabella.
Soluzione
La tabella a doppia entrata assume la forma seguente
Y 1 2 totale
X
0 0,2 0,3 0,5
2 0,4 0,1 0,5
totale 0,6 0,4 1,0
La formula più semplice per calcolare l’indice richiesto assume la forma
2
χ
2
fij
= ∑∑
f f
−1
n i j i. .j
e nel caso esaminato si ottiene
2 2
2
2
2
χ 0,
2 0,
3 0,
4 0,
1
= + + + −1=
0,16
.
n 0,
5×
0,
6 0,
5×
0,
4 0,
5×
0,
6 0,
5×
0,
4
I valori estremi dell’indice sono
⎛ 2
χ ⎞ ⎛ 2
min⎜
⎟
χ ⎞
⎜
= 0
n ⎟
, max⎜
⎟
⎜
= min( 2,
2)
−1=
1
⎝ ⎠ n ⎟
⎝ ⎠
dato che il valore minimo è sempre pari a zero ed il massimo corrisponde al minore fra il
numero di righe e di colonne della tabella diminutio di 1.
40

Esercizio 4.5
Data la seguente distribuzione doppia calcolare le frequenze interne sotto ipotesi di
indipendenza assoluta fra le due variabili e determinare il valore del χ 2 /n.
Y 0 1 totale
X
0 0,2 0,2 0,4
2 0,1 0,3 0,4
4 0,0 0,2 0,2
totale 0,3 0,7 1,0
Soluzione
La tabella sotto ipotesi di indipendenza assoluta fra le due variabili è
Y 0 1 totale
X
0 0,12 0,28 0,40
2 0,12 0,28 0,40
4 0,06 0,14 0,20
totale 0,30 0,70 1,00
2
2
2
2
χ 0,
2 0,
2 0,
1 0,
3 0,
2
= + + + + −1=
0,16
n 0,
3×
0,
4 0,
7×
0,
4 0,
3×
0,
4 0,
7×
0,
4 0,
7×
0,
2
2
Esercizio 4.6
Data la seguente distribuzione doppia calcolare il valore del χ 2 /n ed indicare il suo valore
minimo e massimo per la tabella in esame.
Y 0 2 4 totale
X
1 0,03 0,05 0,02 0,10
2 0,09 0,15 0,06 0,30
3 0,18 0,30 0,12 0,60
totale 0,30 0,50 0,20 1,00
Soluzione
Dalla tabella si nota che le due variabili sono indipendenti in senso assoluto, dato che
2
χ
f ij = fi.
f.j
, pertanto risulta = 0
n
⎛ 2
χ ⎞ ⎛ 2
min⎜
⎟
χ ⎞
⎜
= 0
n ⎟
, max⎜
⎟
⎜
= min( 3,
3)
−1=
2
⎝ ⎠ n ⎟
⎝ ⎠
Esercizio 4.7
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y rilevate su 6 individui,
(0, 3) (1, 2) (2, 1) (2, 3) (3, 2) (4, 3)
disegnare lo scatter e calcolare la covarianza fra le due variabili.
2
41

Soluzione
4
3
2
1
0
E(X) = 2
E(Y) = 2 , 3
0 1 2 3 4
E(XY) = 4, 6
sxy= E(XY) − E(X)E(Y) = 0.
Esercizio 4.8
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y rilevate su 8 individui,
costruire la distribuzione doppia e calcolare il primo momento misto dall’origine
(0, 1) (3, 2) (0, 1) (0, 1) (3, 1) (3, 2) (1, 1) (3, 1)
Soluzione
La distribuzione doppia assume la forma
Y 1 2 totale
X
0 0,375 0,000 0,375
1 0,125 0,000 0,125
3 0,250 0,250 0,500
totale 0,750 0,250 1,000
E(XY) = 2,375
Esercizio 4.9
Date due variabili X ed Y per le quali le varianze sono rispettivamente V(X)=10 e V(Y)=5 e
la cui covarianza è Cov(X,Y)=4, calcolare la varianza delle variabili: a) S=X+Y, b) D=X-Y.
Soluzione
V(S) = V(X)+ V(Y)+2Cov(X,Y) = 10 + 5 + 2×4 = 23
V(D) = V(X)+ V(Y)−2Cov(X,Y) = 10 + 5 − 2×4 = 7
Esercizio 4.10
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y rilevate su 4 individui,
(0, 5) (1, 3) (2, 1) (3, 1)
calcolare il coefficiente di correlazione lineare fra le due variabili.
42

Soluzione
E(X) = 1,5 E(X 2 ) = 3,5 V(X) = 1,25
E(Y) = 2,5 E(Y 2 ) = 9 V(Y) = 2,75
E(XY) = 2 sxy= −1,75
r =
−1,75
≅ −0,
9439 .
2,75∗1,25
Esercizio 4.11
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y, calcolare la covarianza
fra le due variabili
(2, 1) (0, 2) (1, 1) (1, 2) (2, 1) (0, 3) (1, 2) (1, 2) (0, 3) (2, 1)
Soluzione
Sistemate le osservazioni in una tabella a doppia entrata
Y 1 2 3 totale
X
0 0,0 0,1 0,2 0,3
1 0,1 0,3 0,0 0,4
2 0,3 0,0 0,0 0,3
totale 0,4 0,4 0,2 1,0
si ottiene facilmente
E(X) = 1
E(Y) = 1,8
E(XY) = 1,3
sxy = E(XY) – E(X)E(Y) = −0,5.
Esercizio 4.12
Sulla base dei dati dell’esercizio precedente, determinare l’equazione della retta di
regressione della Y sulla X.
Soluzione
Il modello di regressione assume la forma
Y* = a + bx
in cui
a = my – bmx
sxy
b = .
2
s
x
Sulla base dei risultati dell’esercizio precedente e della varianza della X
E(X 2 ) = 1,6 V(X) = 0,6
si ottiene quindi
0,5
b = − = −0,
83
0,6
a = 1,
8+
0,
83∗1=
2,
63
Y* 2,
63−0,
83x
= .
43

Esercizio 4.13
Data la seguente distribuzione doppia calcolare la covarianza fra le due variabili
Y 8-|12 12-|18 18-|22 totale
X
0,5-|1,5 0,00 0,15 0,15 0,30
1,5-|2,5 0,20 0,10 0,20 0,50
2,5-|3,5 0,10 0,10 0,00 0,20
totale 0,30 0,35 0,35 1,00
Soluzione
Y
X
10 15 20 totale
1 0,00 0,15 0,15 0,30
2 0,20 0,10 0,20 0,50
3 0,10 0,10 0,00 0,20
totale 0,30 0,35 0,35 1,00
E(X) = 1,9
E(Y) = 15,25
E(XY) = 27,75
sxy = E(XY) – E(X)E(Y) = −1,225.
Esercizio 4.14
Data la seguente distribuzione doppia calcolare i parametri della retta di regressione della
Y sulla X e stimare il valore teorico di Y per x=1 e x=3
Y 0 1 2 totale
X
0 0,2 0,1 0,0 0,3
2 0,0 0,3 0,1 0,4
4 0,0 0,0 0,3 0,3
totale 0,2 0,4 0,4 1,0
Soluzione
E(X) = 2,0 E(X 2 ) = 6,4 V(X) = 2,4
E(Y) = 1,2
E(XY) = 3,4 sxy = E(XY) – E(X)E(Y) = 1.
I paramentri della retta di regressione sono quindi
1
b = = 0,
416
2,4
a = 1,
2−0,
416×
2=
0,
36
Dato il modello di regressione
Y* = 0,
36+
0,
416x
i valori stimati della variabile dipendente assumono i valori:
per x=1 Y* = 0,
36+
0,
416×
1=
0,783
per x=3 Y* =
0,
36+
0,
416×
2=
1,19
44

Esercizio 4.15
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y
(−3, −4) (−1, −3) (1, 1) (1, 3) (2, 6)
disegnare lo scatter e calcolare il primo momento misto dall’origine.
Soluzione
-3 -2 -1 -1 0 1 2
E(X) = 0
E(Y) = 0,6
E(XY) = 6,2
Esercizio 4.16
Sulla base dei dati dell’esercizio precedente calcolare l’equazione della retta di
regressione della Y sulla X e stimare il valore teorico di Y per x=0.
Soluzione
sxy = E(XY) – E(X)E(Y) = 6,2
E(X 2 ) = 3,2 V(X) = 3,2
I parametri della retta di regressione sono quindi pari a
6,2
b = = 1,
9375
3,2
a = 0,
6−1,
9375×
0 = 0,
6
Dato il modello di regressione lineare
Y* = 0,
6+
1,
9375x
il valore stimato della Y è
per x=0 y* = 0,
6
Esercizio 4.17
Date le seguenti coppie di osservazioni (xi, yi) delle variabili X e Y
(1, −5) (2, −3) (3, 0) (3, 1) (4, 2)
calcolare il coefficiente di determinazione lineare.
45
6
5
4
3
2
1
0
-2
-3
-4

Soluzione
E(X) = 2,6 E(X 2 ) = 7,8 V(X) = 1,04
E(Y) = −1 E(Y 2 ) = 7,8 V(Y) = 6,8
E(XY) = 0 sxy = 2,6
r
2
=
( s )
s
xy
2
x
s
2
2
y
2
2,
6
= ≅0,
9559
1,
04×
6,
8
Esercizio 4.18
Data la seguente distribuzione doppia calcolare la covarianza fra le due variabili
Y 0-|3 3-|5 5-|10 totale
X
0 0,15 0,12 0.03 0,30
2 0,25 0,20 0.05 0,50
4 0,10 0,08 0,02 0,20
totale 0,50 0,40 0,10 1,00
Soluzione
Le variabili risultano indipendenti in senso assoluto, pertanto la loro covarianza è pari a
zero.
Esercizio 4.19
Data la seguente distribuzione doppia calcolare il coefficiente di determinazione lineare fra
le due variabili
Y 0 1 2 totale
X
−1,5-|−0,5 40 0 0 40
−0,5-| 0,5 0 40 40 80
0,5-| 1,5 0 20 60 80
totale 40 60 100 200
Soluzione
Y
X
0 1 2 totale
−1 0,2 0,0 0,0 0,2
0 0,0 0,2 0,2 0,4
1 0,0 0,1 0,3 0,4
totale 0,2 0,3 0,5 1,00
E(X) = 0,2 E(X 2 ) = 0,6 V(X) = 0,56
E(Y) = 1,3 E(Y 2 ) = 2,3 V(Y) = 0,61
E(XY) = 0,7 sxy = 0,44
r
2
( s )
=
s
xy
2
x
s
2
2
y
=
2
0,
44
0,
56×
0,
61
≅
0,
5667
46

Tavola A
Funzione di ripartizione della variabile casuale normale standardizzata
u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,532 0,536
0,1 0,540 0,544 0,548 0,552 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575
0,2 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614
0,3 0,618 0,622 0,626 0,629 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,652
0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688
0,5 0,691 0,695 0,698 0,702 0,705 0,709 0,712 0,716 0,719 0,722
0,6 0,726 0,729 0,732 0,736 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755
0,7 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,782 0,785
0,8 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,802 0,805 0,808 0,811 0,813
0,9 0,816 0,819 0,821 0,824 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839
1,0 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,862
1,1 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883
1,2 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901
1,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918
1,4 0,919 0,921 0,922 0,924 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932
1,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,942 0,943 0,944
1,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,951 0,952 0,953 0,954 0,954
1,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963
1,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971
1,9 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977
2,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982
2,1 0,982 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986
2,2 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989
2,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992
2,4 0,992 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994
2,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995
2,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996
2,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997
2,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998
2,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999
3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999
47

Tavola B
Quantili della variabile casuale normale standardizzata
p up
0,001 -3,090
0,005 -2,576
0,010 -2,326
0,025 -1,960
0,050 -1,645
0,100 -1,282
0,150 -1,036
0,200 -0,842
0,250 -0,674
0,300 -0,524
0,350 -0,385
0,400 -0,253
0,450 -0,126
0,500 0,000
0,550 0,126
0,600 0,253
0,650 0,385
0,700 0,524
0,750 0,674
0,800 0,842
0,850 1,036
0,900 1,282
0,950 1,645
0,975 1,960
0,990 2,326
0,995 2,576
0,999 3,090
48