La ripartizione trasversale dei carichi - Sei
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modulo D I ponti<br />
<strong>La</strong> <strong>ripartizione</strong> <strong>trasversale</strong> <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong><br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
<strong>La</strong> disposizione <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong> da considerare nei calcoli della struttura deve essere quella più gravosa, ossia<br />
quella che determina i massimi valori delle sollecitazioni.<br />
Tale aspetto investe due problemi:<br />
– determinazione della massima sollecitazione tagliante in una sezione e individuazione della sezione ove<br />
si verifica il massimo <strong>dei</strong> momenti flettenti, studio sommariamente effettuato nel testo limitatamente a<br />
travi appoggiate agli estremi;<br />
– disposizione <strong>trasversale</strong> più gravosa <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong> con determinazione delle quote di questi che competono<br />
alle varie travi principali, ossia la <strong>ripartizione</strong> <strong>trasversale</strong> <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong>, tenendo conto che i <strong>carichi</strong> percorrenti<br />
un ponte si trovano normalmente in posizione eccentrica rispetto all’asse longitudinale della struttura.<br />
Quest’ultimo problema può essere risolto applicando l’ipotesi semplificata di Albenga-Courbon, in base<br />
alla quale la sovrastruttura si considera costituita di travi longitudinali fra loro collegate da traversi infinitamente<br />
rigidi, per cui tutto l’impalcato si comporta come un elemento perfettamente rigido e quindi<br />
non può inflettersi nel piano <strong>trasversale</strong> verticale.<br />
Il metodo di Albenga-Courbon è approssimato, però presenta il vantaggio di un’applicazione abbastanza<br />
semplice; può essere applicato solo per impalcati a pianta rettangolare allungata.<br />
Al fine di capire il criterio posto alla base dell’ipotesi di Courbon, prendiamo per primo in considerazione<br />
un ponte con traversi di limitata sezione, e pertanto particolarmente flessibili, e supponiamo che il carico sia<br />
disposto vicino al bordo del marciapiede laterale [fig. 1]; a causa della notevole flessibilità <strong>dei</strong> traversi, questi<br />
e la soletta si deformano trasversalmente e il carico si distribuisce in modo differente fra le varie travi, e<br />
precisamente le travi A e B sopportano la maggior parte del carico, mentre la trave D è quasi scarica.<br />
Courbon considera invece i traversi con una rigidezza elevata, perfettamente solidali con le travi principali,<br />
e le due serie di travi presentano una rigidezza flessionale pressoché uguale. Con tale situazione il<br />
complesso di impalcato, costituito di travi principali, traversi e soletta, non può flettersi trasversalmente<br />
come prima per effetto del carico, che provoca invece una rotazione rigida dell’impalcato in senso <strong>trasversale</strong><br />
[fig. 2], determinando una <strong>ripartizione</strong> lineare <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong>.<br />
Poiché il carico considerato percorre di norma il ponte in posizione eccentrica, la risultante P di tale carico<br />
presenta un’eccentricità e rispetto all’asse longitudinale, per cui la situazione è analoga a quella che si<br />
ha nella presso-flessione, riferita però a un sistema discontinuo formato dalle n travi principali.<br />
fig.1<br />
fig.2<br />
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011<br />
1
modulo D I ponti<br />
Applicando il teorema del trasporto, la situazione anzidetta è uguale a quella che si ha applicando la forza<br />
P sull’asse longitudinale e aggiungendo il momento M = P ⋅ e [fig. 3]. Poiché il carico P può assumere<br />
infinite posizioni, occorre determinare, in funzione di ogni valore dell’eccentricità e, la quota parte di P<br />
che viene a gravare su una determinata trave. Prendiamo quindi in esame una soletta di impalcato e immaginiamo<br />
di sostituire le travi principali, che supponiamo di uguale rigidezza, ossia con uguale momento<br />
d’inerzia, omogenee, con le stesse caratteristiche geometriche di sezione e uguale interasse, con altrettante<br />
molle anch’esse tutte con le medesime caratteristiche.<br />
<strong>La</strong> forza P [fig. 4a] applicata sull’asse longitudinale del ponte determina uno spostamento δ uguale di tutte<br />
le molle, dipendente dall’intensità della P, ognuna delle quali ha una reazione r con intensità:<br />
r<br />
essendo n il numero delle molle, ossia delle<br />
travi principali.<br />
Il momento P ⋅ e, applicato in corrispondenza<br />
dell’asse della carreggiata [fig. 4b], provoca<br />
una rotazione rigida α dell’impalcato<br />
intorno al punto O con spostamenti δ tutti<br />
differenti, ma proporzionali alla distanza d<br />
delle molle, ossia delle travi, dall’asse, che<br />
reagiscono con reazioni r diverse in quanto<br />
diverse sono le aliquote del carico P che<br />
ogni molla deve sopportare e che determinano<br />
il loro spostamento.<br />
Generalizzando, la reazione ri di una generica<br />
molla i risulta [fig. 4c]:<br />
[1]<br />
ri = δi = α ⋅ di e quindi:<br />
[2]<br />
P<br />
=<br />
n<br />
fig.3<br />
ri di α = [3]<br />
essendo δi il suo spostamento e di la sua<br />
distanza dal punto O.<br />
Per l’equilibrio alla rotazione dell’impalcato,<br />
al momento M = P ⋅ e devono opporsi i<br />
momenti delle reazioni r di tutte le molle,<br />
sempre rispetto al punto O, e quindi deve<br />
essere:<br />
P ⋅ e = i=n<br />
∑ri<br />
⋅ di i=1<br />
Sostituendo la [2]:<br />
P ⋅ e = i=n<br />
∑α<br />
⋅ d2 i = α ⋅ i=n<br />
∑<br />
e per la [3]:<br />
i=1<br />
ri di P ⋅ e = ⋅ i=n<br />
∑<br />
da cui:<br />
P ⋅ e ⋅ di ri = i=n<br />
∑d<br />
i=1<br />
2 i<br />
d<br />
i=1<br />
2 i<br />
d<br />
i=1<br />
2 i<br />
a)<br />
b)<br />
c)<br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
fig.4<br />
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011<br />
2
modulo D I ponti<br />
Per il principio di sovrapposizione degli effetti l’aliquota P i che compete alla trave i è uguale alla somma<br />
delle reazioni r ed r dovute rispettivamente al carico P e al momento M, ossia:<br />
P P ⋅ e ⋅ di Pi = r + ri = ± i=n<br />
n<br />
∑d<br />
i=1<br />
2 i<br />
<strong>La</strong> quota P i del carico P che agisce sulla trave generica i è quindi data da:<br />
Pi = P ⋅ ± =P⋅ki [4]<br />
i=n<br />
d2 ⎛ 1 e ⋅ di ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ n<br />
⎟<br />
i ⎝<br />
⎠<br />
∑<br />
i=1<br />
Il fattore:<br />
1 e ⋅ di ki = ± i=n<br />
[5]<br />
n<br />
∑d<br />
i=1<br />
2 i<br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
è detto coefficiente di <strong>ripartizione</strong> del carico P per la trave i considerata.<br />
Nella [4] il segno positivo si assume per le travi che, rispetto all’asse dell’impalcato, si trovano dalla stessa<br />
parte del carico P o della risultante <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong>.<br />
<strong>La</strong> trave più sollecitata è sempre quella più lontana dall’asse, detta trave di riva, per cui i calcoli di progetto<br />
e le verifiche di sicurezza vengono sviluppati solo per questa trave, dato che di norma tutte le travi<br />
dell’impalcato sono uguali.<br />
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011<br />
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modulo D I ponti<br />
ESERCIZIO SVOLTO<br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
Calcolare i coefficienti di <strong>ripartizione</strong> del carico P = 70 kN gravante su un impalcato da ponte<br />
costituito di 6 travi poste a un interasse costante i = 2,00 m [fig. a] e relativi alla trave di riva.<br />
a<br />
b<br />
Supponiamo dapprima che il carico P venga a coincidere con la trave 1 di riva e ricaviamo il<br />
relativo coefficiente k1(1) e quello k1(6) della trave simmetrica; si ha quindi:<br />
= 5,00 m<br />
d1 =−d6 = 5,00 m<br />
Sostituendo nella [5] si ha:<br />
d2 =−d5 = 3,00 m d3 =−d4 = 1,00 m<br />
5,00 × 5,00<br />
1<br />
k1 = ± = ± = ±0,3571<br />
i=n 2 × 5,00 6<br />
2 + 2 × 3,002 + 2 × 1,002 e= ⋅i<br />
1 e ⋅ di 1<br />
n 6<br />
5<br />
2<br />
∑d<br />
i=1<br />
2 i<br />
e quindi i coefficienti di <strong>ripartizione</strong> relativi alle travi 1 e 6 , quest’ultima simmetrica alla 1 ,<br />
risultano rispettivamente:<br />
1<br />
k1(1) = +0,3571 ≈ 0,5238<br />
6<br />
1<br />
k1(6) = −0,3571 ≈−0,1904<br />
6<br />
Riportando su una fondamentale i due valori calcolati si ottiene il diagramma in figura b.<br />
Per calcolare i coefficienti di <strong>ripartizione</strong> delle altre travi si considera il carico P gravante prima<br />
5 , e quindi sulla<br />
sulla trave 2 e si ricava il coefficiente k 1(2) e quello k 1(5) della trave simmetrica <br />
trave 3 per i coefficienti k 1(3) e k 1(4), applicando sempre la [5].<br />
U. Alasia - M. Pugno, CCorrssoo dii Coostrruzzionii 5 © SEI, 2011<br />
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modulo D I ponti<br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
Più semplicemente i valori di questi coefficienti si possono ottenere considerando la proporzionalità<br />
fra i lati <strong>dei</strong> triangoli simili, individuando prima la distanza d0 dal punto O:<br />
0,5238 : 7,33 = k1(2) : 5,33 k1(2) ≈ 0,3809<br />
0,5238 : 7,33 = k 1(3) : 3,33 k 1(3) ≈ 0,2380<br />
0,5238 : 7,33 = k 1(4) : 1,33 k 1(4) ≈ 0,0950<br />
0,1904 : 2,67 = k1(5) : 0,67 k1(5) ≈ 0,0478<br />
Per una qualunque posizione del carico P, l’ordinata, letta sul diagramma in figura b in corrispondenza<br />
del suo punto di applicazione C, fornisce il valore del coefficiente k per il quale si deve<br />
moltiplicare l’intensità di P per ottenere la quota di carico che grava sulla trave 1 .<br />
Sul Manuale sono riportati i coefficiente di <strong>ripartizione</strong> per la sola trave di riva relativi a impalcati da<br />
due a sette travi. Considerando la condizione più gravosa per <strong>carichi</strong> mobili, vengono trascurati i<br />
coefficienti negativi, in quanto comportano una riduzione <strong>dei</strong> <strong>carichi</strong> che agiscono sulla trave di riva.<br />
Pertanto, con i valori calcolati, le quote del carico P gravanti sulla trave 1 , in funzione della posizione<br />
del carico stesso, hanno le seguenti intensità:<br />
– il carico P è applicato sulla trave 1 :<br />
P 1(1) = k1(1) ⋅ P = 0,5238 × 70 ≈ 36,67 kN<br />
– il carico P è applicato sulla trave 2 :<br />
P 1(2) = k1(2) ⋅ P = 0,3809 × 70 ≈ 26,66 kN<br />
– il carico P è applicato sulla trave 3 :<br />
P 1(3) = k1(3) ⋅ P = 0,2380 × 70 = 16,66 kN<br />
– il carico P è applicato sulla trave 4 :<br />
P 1(4) = k1(4) ⋅ P = 0,0950 × 70 = 6,65 kN<br />
– il carico P è applicato sulla trave 5 :<br />
P 1(5) = k1(5) ⋅ P =−0,0478 × 70 = − 3,35 kN<br />
– il carico P è applicato sulla trave 6 :<br />
P 1(6) = k1(6) ⋅ P =−0,1904 × 70 = − 13,33 kN<br />
Il segno negativo indica che le travi 5 e 6 sono soggette a un carico diretto verso l’alto.<br />
U. Alasia - M. Pugno, CCorrssoo dii Coostrruzzionii 5 © SEI, 2011<br />
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modulo D I ponti<br />
VERIFICA<br />
Unità 1 <strong>La</strong> progettazione <strong>dei</strong> ponti<br />
Calcolare i coefficienti di <strong>ripartizione</strong> del carico concentrato P = 10 kN per le travi dell’impalcato<br />
in figura e per la posizione C del carico.<br />
1 2 3<br />
1,00 3,00<br />
1,00<br />
0,833<br />
1,50<br />
C<br />
0,4998<br />
0,50<br />
0,333<br />
1,00<br />
1,50<br />
2,50 0,50<br />
- 0,167<br />
[vedi figura]<br />
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011<br />
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