(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI La meccanica ... - DIMA
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(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong><br />
UGO BRUZZO<br />
<strong>La</strong> <strong>meccanica</strong> dei sistemi continui si sviluppa sulla base della fondamentale<br />
osservazione che ogni processo è governato dagli stessi principi fisici, indipendentemente<br />
dal tipo di corpo considerato. In effetti, qualunque sia la sostanza<br />
considerata, e qualunque sia il tipo di processo a cui la sostanza è sottoposta,<br />
la massa deve conservarsi, l’energia deve soddisfare un opportuno bilancio, e<br />
così via. Sono le equazioni costitutive che, combinate con i principi fisici, generano<br />
le singole teorie (elasticità, fluidodinamica, magnetoidrodinamica, ecc.).<br />
In accordo con questo schema, la trattazione in questo capitolo sarà dapprima<br />
del tutto generale, e riguarderà la scrittura dei principi fisici sotto forma di<br />
equazioni di bilancio (Par. 1,2). In particolare nel Par. 2 vedremo come la<br />
scrittura di un’equazione che descriva la conservazione dell’energia richieda la<br />
considerazione della termodinamica. Nel Par. 3 vengono introdotte la temperatura<br />
e il concetto di processo termocinetico; vengono inoltre brevemente<br />
discusse le equzioni costitutive. Nel Par. 4 verrà infine introdotta la seconda<br />
legge della termodinamica, vista come vincolo a priori sulle equazioni costitutive.<br />
1. Equazioni di bilancio<br />
Equazione di continuità.Ricordiamo che un sistema continuo è fra l’altro<br />
caratterizzato da una funzione non negativa ρ(x, t), detta densità di massa,<br />
tale che, detta ∆t una generica porzione del sistema all’istante t, l’integrale<br />
<br />
M(∆t) ≡ ρ (III.1.1)<br />
fornisca la massa della porzione ∆t. Nella <strong>meccanica</strong> dei sistemi continui<br />
le grandezze fisicamente rilevanti sono definite frequentemente in termini di<br />
quantità specifiche — ovvero riferite all’unità di massa. Di conseguenza tali<br />
grandezze sono calcolabili come l’integrale di ρ (la densità di massa) per la<br />
grandezza specifica: intuitivamente, “l’elemento di massa” dM è dato dal<br />
prodotto ρdV , dove dV è “l’elemento di volume”. Allora, se per esempio η è<br />
la densità specifica di una grandezza H, il valore di H relativo a una porzione<br />
∆t di continuo è<br />
<br />
H(∆t) = ρη . (III.1.2)<br />
1<br />
∆t<br />
∆t
2 UGO BRUZZO<br />
Ricordando il teorema del trasporto, e considerata all’istante t una porzione<br />
∆t che rappresenti l’evoluzione di una fissata porzione ∆ nella configurazione di<br />
riferimento (cioé ∆t = Ψt(∆), dove Ψt è l’evoluzione del continuo), l’Eq. (III.1.2)<br />
fornisce<br />
d<br />
dt H(∆t) = d<br />
<br />
dt ∆t<br />
<br />
ρη =<br />
∆t<br />
∂(ρη)<br />
∂t<br />
<br />
+ Div (ρηv) =<br />
∆t<br />
[( ˙ρ + ρ Div v)η + ρ ˙η]<br />
(III.1.3)<br />
dove con il punto sovrapposto si è denotata la derivata totale rispetto al tempo:<br />
˙ρ ≡ dρ ∂ρ<br />
=<br />
dt ∂t + ∇vρ = ∂ρ ∂ρ ∂ρ<br />
+ vi = + v · Grad ρ .<br />
∂t ∂xi ∂t<br />
In particolare, ponendo η = 1, nel qual caso la grandezza H è la massa, si<br />
ottiene<br />
d<br />
dt M(∆t)<br />
<br />
∂ρ<br />
= + Div (ρv) = [ ˙ρ + ρ Div v] . (III.1.4)<br />
∂t<br />
∆t<br />
Poiché la frontiera di ∆t è formata ad ogni istante dalle stesse particelle, dal<br />
volume ∆t non possono uscire, né possono entrarvi, particelle. Quindi è del<br />
tutto naturale imporre che la massa di ogni porzione ∆ si conservi nel tempo.<br />
Allora l’Eq. (III.1.4) implica, essendo valida per ogni regione di integrazione<br />
∆t,<br />
˙ρ + ρ Div v = 0 (III.1.5)<br />
(equazione di continuità). L’equazione di continuità esprime quindi la conservazione<br />
della massa. Ciò si può visualizzare in modo leggermente diverso nella<br />
seguente maniera. Usando la forma alternativa del teorema del trasporto (vedi<br />
per esempio Eq. (III.1.3)) l’equazione di continuità si può riscrivere<br />
∂ρ<br />
+ Div (ρv) = 0 .<br />
∂t<br />
(III.1.6)<br />
Sia V una regione di V3 (quindi V appare fissa, e non è una porzione del<br />
continuo che viene seguita durante l’evoluzione). Integrando la (III.1.6) su V ,<br />
e usando il teorema di Gauss, si ottiene:<br />
<br />
∂ρ<br />
= −<br />
∂t<br />
ρv · n da<br />
V<br />
dove n è il versore normale di ∂V , orientato verso l’esterno. Questa equazione<br />
esprime il fatto che la variazione nel tempo della massa contenuta in V (membro<br />
di sinistra dell’equazione; infatti d<br />
∂ρ<br />
ρ = ) uguaglia il flusso entrante<br />
dt V V ∂t<br />
di particelle, espresso dal flusso del campo vettoriale −ρv (membro di destra).<br />
Si noti infine che la (III.1.6) è formalmente identica all’equazione di continuità<br />
dell’elettromagnetismo, a patto di sostituire ρ con la densità di carica elettrica<br />
e ρv con il vettore densità di corrente j.<br />
∂V<br />
∆t
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 3<br />
Usando l’equazione di continuità, e ritornando all’Eq. (III.1.2), si ha la seguente<br />
Proposizione, che verrà sistematicamente impiegata nei successivi sviluppi.<br />
Proposizione III.1.1 Se H è una grandezza fisica la cui densità specifica<br />
è η, e si suppone verificata l’equazione di continuità, si ha<br />
d<br />
dt H(∆t)<br />
<br />
= ρ ˙η . (III.1.7)<br />
Dimostrazione. Segue dalla (III.1.3) usando l’equazione di continuità. <br />
Forze agenti su un continuo. Una delle assunzioni fondamentali della<br />
<strong>meccanica</strong> dei continui è che le forze siano distribuite; solo occasionalmente,<br />
nella formulazione di semplici modelli, si introducono forze concentrate, cioé<br />
applicate in punti isolati del continuo. In altre parole le forze agiscono in ogni<br />
parte ∆t del continuo in esame. Tali forze possono essere di due tipi:<br />
• forze di volume Fb, descritte da una densità specifica b, in modo che<br />
la forza totale di volume che agisce su una porzione ∆t di continuo sia<br />
data da<br />
<br />
Fb(∆t) = ρ b ;<br />
∆t<br />
esempi di forze di volume sono la forza peso (dove b non è altro che<br />
l’accelerazione di gravità g) o la forza elettrica (dove b = ρeE/ρ, essendo<br />
ρe la densità di carica elettrica ed E il campo elettrico);<br />
• forze di contatto Fc, che agiscono sulla superficie ∂∆t del volume ∆t,<br />
e che sostanzialmente descrivono le interazioni di contatto tra le varie<br />
parti del continuo. Esempio tipico di forze di contatto sono le forze di<br />
pressione, le tensioni (per esempio la tensione superficiale) e le forze<br />
d’attrito interne dei continui (forze viscose). Si assume inoltre che le<br />
forze di contatto si possano scrivere nella forma<br />
<br />
Fc(∆t) = t(n) da (III.1.8)<br />
(integrale di superficie) dove il campo vettoriale t (detto trazione) rappresenta<br />
la “densità superficiale di forze di contatto”. In accordo alla<br />
notazione, si assume che il vettore t dipenda, oltre che da x e dal<br />
tempo, dalle proprietà locali della superficie ∂∆t, riassunte nella normale<br />
n, considerata orientata verso l’esterno.<br />
Nota III.1.1. Nelle precedenti equazioni per la prima volta si introducono<br />
integrali di campi vettoriali, mentre sinora si è dato significato invariante, cioé<br />
indipendente dal sistema di coordinate, solamente all’integrale di grandezze<br />
scalari. Poiché l’integrazione corrisponde sostanzialmente a un processo di<br />
somma, integrare un campo vettoriale richiede la somma di vettori applicati in<br />
∂∆t<br />
∆t
4 UGO BRUZZO<br />
punti diversi, la quale operazione, come già discusso in precedenza, è priva di<br />
significato. Altra obiezione che si può sollevare è che il risultato dell’integrale è<br />
“un vettore non applicato”, e quindi non è un vettore nel senso della geometria<br />
differenziale. Si può comunque dare un significato a uguaglianze come quella<br />
che segue questa nota supponendo di usare sistemi di coordinate cartesiane<br />
ortogonali, e considerando l’integrale di un campo vettoriale come una terna<br />
di integrali di funzioni (le componenti del campo). Il risultato dell’integrale<br />
è allora una terna di numeri reali. Si verifica facilmente che la risultante<br />
uguaglianza è invariante per trasformazioni di coordinate, purché queste ultime<br />
siano limitate a coordinate cartesiane ortogonali. Per semplificare la<br />
discussione, e avendo visto che a equazioni di tale tipo è possibile dare senso<br />
compiuto, nel seguito accetteremo equazioni contenenti integrali di campi vettoriali.<br />
<br />
<strong>La</strong> risultante e il momento rispetto al polo xO delle forze che agiscono su ∆t<br />
sono definiti attraverso le relazioni<br />
<br />
R(∆t) =<br />
MO =<br />
<br />
∆t<br />
∆t<br />
<br />
ρ(x − xO) ∧ b +<br />
<br />
ρb +<br />
∂∆t<br />
∂∆t<br />
t(n) da (III.1.9)<br />
(x − xO) ∧ t(n) da . (III.1.10)<br />
Leggi di Eulero. Diamo dapprima una formulazione integrale delle leggi<br />
di conservazione della quantità di moto e del momento angolare. A questo<br />
scopo introduciamo, per ogni porzione ∆t del continuo, la sua quantità di<br />
moto P(∆t) e il suo momento angolare LO(∆t), quest’ultimo riferito a un polo<br />
xO che appaia fisso nel riferimento considerato, ponendo<br />
<br />
P(∆t) = ρv (III.1.11)<br />
<br />
LO(∆t) =<br />
∆t<br />
∆t<br />
ρ(x − xO) ∧ v . (III.1.12)<br />
Per analogia con la <strong>meccanica</strong> dei sistemi di punti materiali, dove valgono le<br />
equazioni cardinali, si assume quanto segue:<br />
in ogni sistema di riferimento inerziale l’evoluzione del continuo soddisfa le<br />
relazioni (dette leggi di Eulero)<br />
R(∆t) = d<br />
dt P(∆t), MO(∆t) = d<br />
dt LO(∆t) per ogni porzione ∆t del continuo<br />
(III.1.13)<br />
che esprimono rispettivamente il bilancio della quantità di moto e del momento<br />
angolare.<br />
Contrariamente a quanto avviene nella <strong>meccanica</strong> dei sistemi di punti materiali,<br />
dove le equazioni cardinali si dimostrano a partire dalla seconda legge della
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 5<br />
dinamica, nella <strong>meccanica</strong> dei sistemi continui le leggi di Eulero non sono<br />
dimostrabili, ma sono degli assiomi. Si noti infine che il bilancio del momento<br />
angolare, così come scritto nella (III.1.13), si scosta dalla seconda equazione<br />
cardinale per l’assenza di un contributo contenente la velocità del polo O, in<br />
quanto il polo è qui assunto fermo.<br />
Usando la Proposizione (III.1.1), le derivate temporali che appaiono nella<br />
(III.1.13) si scrivono<br />
d<br />
dt P(∆t)<br />
<br />
=<br />
∆t<br />
ρ a ,<br />
d<br />
dt LO<br />
<br />
=<br />
∆t<br />
ρ (x − xO) ∧ a . (III.1.14)<br />
Le rappresentazioni (III.1.9), (III.1.10) e (III.1.13) permettono di porre le leggi<br />
di Eulero nella forma integrale<br />
<br />
<br />
ρb + t(n) da = ρ a , (III.1.15)<br />
<br />
∆t<br />
<br />
ρ(x − xO) ∧ b +<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
<br />
(x − xO) ∧ t(n) da =<br />
∆t<br />
ρ (x − xO) ∧ a . (III.1.16)<br />
2. Forma locale delle equazioni di bilancio<br />
Tensore degli sforzi. Dalla forma integrale (III.1.15,16) delle equazioni<br />
di bilancio (Leggi di Eulero), vediamo che per poter mettere tali equazioni in<br />
forma locale, analogamente a quanto è stato fatto per l’equazione di bilancio<br />
relativa alla massa, è necessario trasformare gli integrali di superficie in integrali<br />
di volume, in modo da poter poi invocare l’arbitrarietà della regione<br />
di integrazione e dedurre l’uguaglianza degli integrandi. A questo scopo è<br />
necessario considerare un risultato, dovuto a Cauchy, il quale asserisce che la<br />
trazione t(n) si può esprimere mediante un tensore doppio T , detto tensore<br />
degli sforzi, in accordo alla formula<br />
t i (n) = T ik nk . (III.2.1)<br />
A livello dello sviluppo logico della presente trattazione, l’esistenza del tensore<br />
degli sforzi viene assunta come assioma. Tale assioma si può giustificare con<br />
la discussione seguente, la quale potrebbe essere affinata, sino a costituire una<br />
dimostrazione della (III.2.1), cosa che peraltro qui non ci proponiamo.<br />
Il teorema di Cauchy (cenno di dimostrazione). <strong>La</strong> “dimostrazione”<br />
della (III.2.1) assume che sia verificata l’equazione di bilancio della quantità<br />
di moto (III.1.15), e che le quantità ρa e ρb siano a ogni istante limitate come<br />
funzioni del posto.<br />
Si consideri una regione ∆ (il tempo è ritenuto fissato e verrà omesso dalla<br />
notazione) di continuo, che, con riferimento a un fissato sistema di coordinate<br />
cartesiane ortogonali centrate in un punto x del continuo, abbia la forma di
6 UGO BRUZZO<br />
un tetraedro avente per vertici l’origine e i punti (L, 0, 0), (0, L, 0) e (0, 0, L).<br />
Le lunghezze degli spigoli giacenti sugli assi coordinati valgono dunque L. Si<br />
scriva l’Eq. di bilancio (III.1.15) nella forma<br />
<br />
<br />
ρ(a − b) = t(n)da ; (III.2.2)<br />
∆t<br />
in base all’ipotesi di limitatezza, il membro di sinistra della (III.2.2) soddisfa<br />
la condizione <br />
<br />
<br />
<br />
ρ(a − b) <br />
≤ KL3<br />
∆<br />
essendo K un’opportuna costante positiva. Le precedenti equazioni implicano<br />
lim<br />
L→0<br />
1<br />
L2 <br />
t(n)da = 0 . (III.2.3)<br />
∂∆<br />
Denotiamo con Σ0 la faccia “obliqua” del tetraedro, con Σi la faccia ortogonale<br />
all’asse x i , e con A0, Ai le rispettive aree. Si vede elementarmente che, se n è<br />
la normale a Σ0, allora Ai = A0 ni. Usando il teorema della media, si ottiene<br />
<br />
dove z (k) , z (k)<br />
i<br />
∂∆t<br />
3<br />
t<br />
∂∆<br />
k (n) da = A0t k (n, z (k) ) +<br />
i=1<br />
A0<br />
<br />
t k (n, z (k) ) +<br />
3<br />
i=1<br />
Ait k (−ei, z (k)<br />
i ) =<br />
ni t k (−ei, z (k)<br />
i )<br />
sono per ogni k opportuni punti di Σ0 e Σi rispettivamente,<br />
ei è il versore dell’i-esimo asse coordinato, e si è usato il fatto che il versore<br />
normale a Σi è −ei. <strong>La</strong> notazione t(−ei, z) rappresenta la trazione relativa alla<br />
superficie di normale −ei valutata in zi. Ricordando l’Eq. (III.2.3), e notando<br />
che<br />
lim A0<br />
= c = 0 ,<br />
L→0 L2 si ha che effettuando il limite L → 0,<br />
3<br />
t(n, x) + nit(−ei, xi) = 0 , (III.2.4)<br />
i=1<br />
in quanto in tale limite i punti z (k) , z (k)<br />
i<br />
<br />
,<br />
vanno tutti a coincidere con x. Si<br />
noti che durante l’operazione di limite il versore n rimane costante. Ponendo<br />
n = ei la (III.2.4) fornisce<br />
t(ei, x) = −t(−ei, x)
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 7<br />
per cui la (III.2.4) stessa si può riscrivere (sopprimendo la notazione della<br />
dipendenza da x)<br />
t(n) = n i t(ei) . (III.2.5)<br />
Ponendo t(ei) = T k i ek, la (III.2.5) si può scrivere<br />
t i (n) = T ik nk<br />
per cui si ottiene la (III.2.1). <br />
L’interpretazione fisica delle componenti del tensore degli sforzi appare chiara<br />
dalla (III.2.1) e dal significato della trazione t: la componente T ik rappresenta<br />
l’i-esima componente della forza di contatto che si manifesta su una superficie<br />
che nel punto considerato è normale al k-esimo asse coordinato. In particolare<br />
le componenti di T fuori diagonale vengono dette sforzi di taglio, mentre le<br />
componenti diagonali sono dette pressioni o tensioni a seconda che esse siano<br />
negative o positive, cioé a seconda che esse individuino forze dirette verso<br />
l’interno (pressioni) o verso l’esterno (tensioni) della superficie. Come primo<br />
esempio di tensore degli sforzi discutiamo brevemente il caso di un fluido perfetto,<br />
che verrà ripreso in maggior dettaglio nel Capitolo IV. Per definizione,<br />
un fluido perfetto è incapace di esercitare sforzi di taglio; in effetti, un fluido<br />
reale non troppo viscoso si dispone istantaneamente in modo tale da offrire<br />
la sua superficie a contatto con l’esterno perpendicolare allo sforzo; in particolare,<br />
un fluido perfetto prende in maniera praticamente istantanea la forma<br />
del contenitore in cui è posto. Matematicamente, ciò equivale al fatto che in<br />
coordinate cartesiane ortogonali T è diagonale. Inoltre, un fluido perfetto è<br />
isotropo, nel senso che non privilegia alcuna direzione; quindi T è un multiplo<br />
dell’identità. Poiché un fluido perfetto inoltre esercita solo pressioni, e non<br />
tensioni, si ha<br />
T ik = −pδ ik in coordinate cartesiane,<br />
(ovvero, T ik = −p gik in coordinate arbitrarie), essendo p una funzione non<br />
negativa. Il fatto che T sia proporzionale all’identità segue anche dal fatto che<br />
un tensore doppio che in ogni sistema di coordinate cartesiane ortogonali sia<br />
diagonale è necessariamente un multiplo dell’identità.<br />
Prima legge di Cauchy. In virtù del teorema di Cauchy, la prima legge di<br />
Eulero (III.1.15) ammette la rappresentazione<br />
<br />
<br />
ρb + T (n) da = ρ a , (III.2.6) .<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
Una immediata generalizzazione del teorema di Gauss fornisce ora l’equazione<br />
<br />
<br />
<br />
T (n) da = Div T ; in componenti, T ik <br />
nk da = T ik ;k .<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
(III.2.7)
8 UGO BRUZZO<br />
Applicando questo risultato alla (III.2.6) si perviene alla relazione<br />
<br />
ρb + Div T = ρ a ,<br />
∆t<br />
∆t<br />
che si ritiene valida per ogni scelta della regione ∆t. Essa quindi implica<br />
∆t<br />
ρa = ρb + Div T . (III.2.8)<br />
L’Eq. (III.2.8), detta prima legge di Cauchy, rappresenta il bilancio della quantità<br />
di moto in forma locale, nel senso che essa è una relazione fra campi tensoriali,<br />
valida punto per punto. Inoltre la (III.2.8) è un’equazione alle derivate<br />
parziali, come risulta dalla scrittura (II.2.5) dell’accelerazione.<br />
Seconda legge di Cauchy. Vediamo adesso l’espressione locale dell’equazione<br />
di bilancio del momento angolare (III.1.16). Usando il teorema di Cauchy,<br />
questa si scrive<br />
<br />
<br />
<br />
ρ(x − xO) ∧ b + (x − xO) ∧ T (n) da = ρ (x − xO) ∧ a .<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
Introducendo la prima legge di Cauchy (III.2.8), si ottiene<br />
<br />
<br />
(x − xO) ∧ T (n) da = (x − xO) ∧ Div T .<br />
∂∆t<br />
∂∆t<br />
Conviene adesso passare alla notazione in componenti, e in particolare usare<br />
coordinate cartesiane ortogonali. <strong>La</strong> precedente equazione diviene<br />
<br />
εijk (x j − x j<br />
O )T kh <br />
nh da = εijk (x j − x j<br />
O )T kh ;h ; (III.2.9)<br />
Ricordando che in coordinate cartesiane ortogonali le componenti del tensore<br />
di Ricci coincidono con il simbolo di Levi-Civita, e sono quindi costanti, si ha<br />
avendo usato il fatto che<br />
εijk (x j − x j<br />
O )T kh ;h = εijk (x j − x j<br />
O )T<br />
kh<br />
;h − εijk T kj ,<br />
(x j − x j<br />
O )<br />
∂xh = δ j<br />
h .<br />
Usando il teorema di Gauss il membro di destra della (III.2.9) diventa<br />
<br />
εijk (x j − x j<br />
O )T kh <br />
nh da − εijk T kj ,<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
∆t<br />
O );h = ∂(xj − x j<br />
il contributo del primo termine di questa equazione al membro di destra della<br />
(III.2.9) si elide con il membro di sinistra. <strong>La</strong> (III.2.9) si riduce quindi a<br />
<br />
εijk T kj = 0 ;<br />
∆t<br />
∆t<br />
∆t
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 9<br />
essendo la regione di integrazione arbitraria, si ottiene<br />
Moltiplicando per ε ihm , la (III.2.10) fornisce<br />
εijk T kj = 0 . (III.2.10)<br />
T hm − T mh = 0 ovvero T hm = T mh . (III.2.11)<br />
D’altra parte la (III.2.11) implica banalmente la (III.2.10). Troviamo quindi<br />
che, supposte valide l’equazione di continuità e il bilancio della quantità di<br />
moto, il bilancio del momento angolare equivale matematicamente alla simmetria<br />
del tensore degli sforzi. Ciò non significa che un generico sistema continuo<br />
abbia il tensore degli sforzi simmetrico; piuttosto, il significato della (III.2.10)<br />
è che fra le leggi che regolano l’evoluzione del sistema va inclusa la condizione<br />
che la parte antisimmetrica del tensore degli sforzi si annulli. In altri termini,<br />
l’Eq. (III.2.11) (detta seconda legge di Cauchy) non è una restrizione a priori<br />
sul continuo, ma una equazione del moto; infatti esistono sistemi il cui tensore<br />
degli sforzi ha una parte antisimmetrica (esempi sono le miscele o i continui micropolari,<br />
cioé i continui che su scala sufficientemente piccola hanno momenti<br />
di dipolo elettrico o magnetico non nulli).<br />
Teorema dell’energia cinetica. Iniziamo ora a discutere gli aspetti energetici<br />
della <strong>meccanica</strong> dei sistemi continui. In particolare, vedremo che la<br />
scrittura del teorema dell’energia cinetica (cioé il calcolo esplicito della derivata<br />
temporale dell’energia cinetica) ci porterà a concludere che, in generale, non<br />
è possibile dedurre o imporre la conservazione dell’energia <strong>meccanica</strong>, e che,<br />
conformemente ai risultati della termodinamica, per avere una legge di conservazione<br />
di tipo energetico è necessario prevedere l’esistenza di forme di energia<br />
non meccaniche. Ciò condurrà infine alla formulazione del primo principio<br />
della termodinamica, inteso come un’equazione di bilancio energetico che ogni<br />
possibile evoluzione del continuo deve necessariamente verificare.<br />
Definiamo l’energia cinetica relativa a una porzione ∆t del continuo come<br />
<br />
K(∆t) = 1<br />
2<br />
Dalla Proposizione III.1.1 si ottiene<br />
<br />
˙K(∆t) = 1<br />
2<br />
∆t<br />
∆t<br />
ρ v 2 .<br />
ρ d<br />
dt v2 <br />
=<br />
∆t<br />
ρv · a .<br />
Inserendo ora la prima legge di Cauchy (III.2.8), e passando alla notazione in<br />
coordinate, si ha<br />
<br />
˙K(∆t) =<br />
∆t<br />
vi(ρ b i + T ik ;k) . (III.2.12)
10 UGO BRUZZO<br />
Usando l’identità vi T ik ;k = (vi T ik );k−vi;k T ik e il teorema di Gauss, la (III.2.12)<br />
si scrive<br />
<br />
˙K(∆t) =<br />
∆t<br />
<br />
ρb · v +<br />
∂∆t<br />
<br />
t · v −<br />
∆t<br />
vi;k T ik . (III.2.13)<br />
Introduciamo ora le quantità<br />
<br />
Πb(∆t) = ρb · v = potenza delle forze di volume<br />
∆t <br />
Πc(∆t) = t · v = potenza delle forze di contatto<br />
∂∆t<br />
Π(∆t) = Πb(∆t) + Πc(∆t) = potenza totale<br />
e sostituiamo nella (III.2.13) la seconda legge di Cauchy (III.2.11). Il tensore<br />
degli sforzi si può allora ritenere simmetrico, per cui in luogo delle componenti<br />
vi;k del tensore gradiente di velocità possiamo inserire le componenti della<br />
parte simmetrica di quest’ultimo, cioé le componenti del tensore velocità di<br />
deformazione D (si veda il Par. II.4). <strong>La</strong> (III.2.13) si trascrive allora<br />
<br />
˙K(∆t) = Π(∆t) − Dik T ik . (III.2.14)<br />
L’Eq. (III.2.14) esprime il teorema dell’energia cinetica per i sistemi continui.<br />
In tale relazione si noti la presenza del termine − <br />
∆t Dik T ik , detto potenza<br />
degli sforzi, che non compare nel teorema dell’energia cinetica per i sistemi di<br />
punti materiali. In generale la presenza di tale termine preclude la validità di<br />
un teorema di conservazione dell’energia <strong>meccanica</strong>. In effetti, anche nel caso<br />
in cui esista una funzione “energia potenziale” U tale che ˙ U = −Π (cosa che<br />
in generale non avviene), si ottiene<br />
<br />
d<br />
(K + U) = − Dik T<br />
dt ik<br />
(III.2.15)<br />
per cui “l’energia <strong>meccanica</strong> totale” K +U non si conserva. Quindi la mancata<br />
conservazione dell’energia <strong>meccanica</strong> è dovuta al lavoro compiuto dagli sforzi.<br />
Ciò appare evidente dai due esempi seguenti.<br />
Esempio III.2.1. Nel caso in cui il continuo Bt sia un corpo rigido, si ponga<br />
∆t = Bt, e si assuma che le forze di volume (forze esterne) siano conservative.<br />
Le forze di contatto in questo caso sono le reazioni vincolari che assicurano<br />
la rigidità, le quali come noto hanno potenza nulla, Πc = 0. Si ha allora<br />
˙U = −Π, essendo U il potenziale delle forze esterne. Per un corpo rigido si ha<br />
inoltre D = 0 (criterio di rigidità di Eulero), per cui la (III.2.15) fornisce la<br />
conservazione dell’energia <strong>meccanica</strong>. <br />
∆t<br />
∆t
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 11<br />
Esercizio III.2.1. Si dimostri l’identità<br />
tr D = ρ d 1<br />
dt ρ .<br />
Esempio III.2.2. Si consideri come continuo un fluido perfetto, per cui<br />
−T ik Dik = pgik Dik = ptr D; si ha allora<br />
<br />
− Dik T ik <br />
= pρ d 1<br />
dt ρ =<br />
<br />
ρp ˙υ<br />
∆t<br />
∆t<br />
avendo introdotto il volume specifico υ = 1/ρ. Quindi la potenza degli sforzi è<br />
il lavoro svolto dalle forze di pressione nell’unità di tempo. Se inoltre si assume<br />
p costante nello spazio si ha<br />
<br />
−<br />
∆t<br />
Dik T ik <br />
= p<br />
∆t<br />
∆t<br />
ρ ˙υ = p d<br />
dt vol(∆t)<br />
(si confronti con il termine “p dV ” delle trattazioni elementari dell’idrodinamica).<br />
<br />
Primo principio della termodinamica. <strong>La</strong> mancata conservazione dell’energia<br />
<strong>meccanica</strong> suggerisce il fatto che per ristabilire una conservazione dell’energia<br />
sia necessario considerare l’esistenza di forme di energia non <strong>meccanica</strong><br />
(calore). Già in termodinamica elementare si considera una legge di conservazione<br />
(il primo principio) dove sono incluse energie non meccaniche; usualmente<br />
il primo principio si scrive nella forma<br />
∆Q = L + ∆U (III.2.16)<br />
ed è enunciato dicendo che la quantità di calore che entra in un sistema termodinamico<br />
durante una trasformazione uguaglia la variazione dell’energia interna<br />
del sistema sommata al lavoro che il sistema compie sull’esterno. L’energia<br />
interna è una funzione che dipende solo dallo stato del sistema (“funzione<br />
di stato”), per cui una sua variazione rende conto del fatto che il sistema<br />
ha cambiato stato “internamente”. Infine, per una corretta interpretazione<br />
della (III.2.16) nell’ambito della termodinamica elementare, notiamo i seguenti<br />
punti:<br />
• non si assume l’esistenza di una “funzione calore”, ma si dà solo senso<br />
alla “quantità di calore scambiato”.<br />
• L’Eq. (III.2.16) si riferisce a trasformazioni fra stati in cui il sistema<br />
sta in equilibrio termodinamico. L’equilibrio termodinamico implica<br />
l’equilibrio meccanico, per cui l’energia cinetica è nulla prima e dopo<br />
la trasformazione. Per questo motivo, la (III.2.16) non contiene un<br />
termine cinetico.
12 UGO BRUZZO<br />
Vogliamo ora generalizzare il primo principio della termodinamica al caso dei<br />
sistemi continui. A questo scopo assumiamo l’esistenza di una funzione scalare<br />
U, detta energia interna, la quale ammette una densità specifica ε:<br />
<br />
U(∆t) = ρε , (III.2.17)<br />
e di una funzione scalare Q, che rappresenta fisicamente la quantità di energia<br />
non <strong>meccanica</strong> (calore) che entra nella porzione ∆t nell’unità di tempo, e che<br />
ammette una rappresentazione del tipo<br />
<br />
Q(∆t) = ρ r + h da . (III.2.18)<br />
∆t<br />
Nella (III.2.18) il campo scalare h rappresenta il flusso di calore che entra nella<br />
porzione di continuo attraverso la sua superficie, e rende quindi conto dei processi<br />
di conduzione. L’integrale di volume descrive invece processi per cui ogni<br />
porzione microscopica del continuo assorbe calore direttamente, senza interazione<br />
con i suoi vicini, e rende conto per esempio dei processi di trasporto<br />
di calore per irraggiamento. Infatti in tali processi, la materia assorbe (totalmente<br />
o parzialmente) delle onde elettromagnetiche, ed è tale energia assorbita<br />
per unità di massa del continuo che viene rappresentata nella (III.2.18) dal termine<br />
r. Quest’ultimo è usualmente detto rifornimento di energia.<br />
Imponiamo infine il primo principio nella forma<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
Q(∆t) = −Π(∆t) + ˙ U(∆t) + ˙ K(∆t) . (III.2.19)<br />
Il primo principio è stato imposto a livello di potenze, e non di energie; questo<br />
permette di evitare il problema della non-esistenza della “quantità di calore”.<br />
Inoltre la potenza ha il segno opposto del lavoro nella (III.2.16) a causa delle<br />
diverse convenzioni. Infine, nella (III.2.19) compare un termine cinetico, in<br />
quanto il primo principio della termodinamica si assume valido istante per<br />
istante per ogni evoluzione del sistema, e non solamente in condizioni di equilibrio.<br />
Vogliamo ora scrivere il primo principio in forma locale. Usando le definizioni<br />
(III.2.17) e (III.2.18), la Proposizione (III.1.1), e il teorema dell’energia cinetica,<br />
si ottiene<br />
<br />
ρ r + h da = ρ ˙ε − T ik Dik . (III.2.20)<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
Per scrivere quest’ultima equazione in forma locale è necessario scrivere l’integrale<br />
di superficie sotto forma di integrale di volume. A questo scopo riscriviamo la<br />
∆t
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 13<br />
(III.2.20) nella forma<br />
<br />
<br />
ik<br />
ρ ˙ε − ρ r − T Dik = h da . (III.2.21)<br />
∆t<br />
∂∆t<br />
Ragionando come si è fatto per l’introduzione del tensore degli sforzi, e in<br />
particolare assumendo che l’integrando del membro di sinistra della (III.2.21)<br />
sia limitato su Bt a ogni istante, e che il flusso di calore h dipenda dalla<br />
superficie su cui è valutato solo tramite la normale n a questa, appare naturale<br />
assumere l’esistenza di un campo vettoriale q tale che<br />
h = −q · n .<br />
Il segno meno è stato inserito per far sì che il flusso di q sia positivo quando<br />
il calore entra nella superficie; cioé, q punta nella direzione in cui si muove il<br />
flusso di energia.<br />
Usando il teorema di Gauss, si ottiene ora<br />
<br />
<br />
<br />
h da = − q · nda = − Div q<br />
∂∆t<br />
∂∆t<br />
per cui la (III.2.21), essendo valida per ogni regione ∆t, fornisce la forma locale<br />
del primo principio:<br />
ρ ˙ε = − Div q + ρ r + T ik Dik . (III.2.22)<br />
3. Temperatura ed equazioni costitutive; la seconda legge della termodinamica.<br />
È noto dalla termodinamica elementare che, nel momento in cui si preveda<br />
l’esistenza di forme di energia che a livello macroscopico non si possono interpretare<br />
<strong>meccanica</strong>mente, è anche necessario introdurre una nuova variabile per<br />
descrivere lo stato del sistema: la temperatura. Dal nostro punto di vista, ci<br />
limitiamo ad assumere l’esistenza di un campo scalare, dipendente dal tempo<br />
e strettamente positivo, denotato con θ(x, t) e detto campo di temperatura.<br />
In seguito all’introduzione di questa nuova variabile, l’evoluzione del sistema<br />
non è più descritta completamente dalla deformazione Ψt: è necessario specificare<br />
anche la temperatura. Diciamo processo termocinetico una specificazione<br />
dei campi dipendenti dal tempo v(x, t) e θ(x, t) (la specificazione ad ogni istante<br />
del campo di velocità è sostanzialmente equivalente alla specificazione<br />
della deformazione). Il processo termocinetico è l’equivalente in termo<strong>meccanica</strong><br />
dei continui della legge oraria del moto nella <strong>meccanica</strong> del punto materiale.<br />
<strong>La</strong> soluzione del problema del moto in termo<strong>meccanica</strong> dei continui<br />
consiste nella determinazione del processo termocinetico, una volta opportunamente<br />
fissate le condizioni iniziali e al contorno.<br />
∆t
14 UGO BRUZZO<br />
Equazioni costitutive. Abbiamo sinora imposto che l’evoluzione di un<br />
generico sistema continuo verifichi le seguenti condizioni, che esprimiamo in<br />
forma locale:<br />
˙ρ + ρ Div v = 0 equazione di continuità (1 eq. scalare)<br />
ρa = ρb + Div T bilancio della quantità di moto (3 eq. “scalari”)<br />
T ik = T ki<br />
bilancio del momento angolare (3 eq. “scalari”)<br />
ρ ˙ε = − Div q + ρ r + T ik Dik bilancio dell’energia (1 eq. scalare).<br />
Abbiamo quindi in totale 8 equazioni. Queste vanno considerate come equazioni<br />
del moto, nel senso che le evoluzioni reali del sistema sono tutte e solo quelle che<br />
verificano il sistema di equazioni alle derivate parziali formato dalle equazioni<br />
di bilancio. D’altra parte tale sistema contiene le seguenti incognite:<br />
ρ (densità di massa; 1 incognita)<br />
θ (temperatura; 1 incognita)<br />
v (campo di velocità; 3 incognite)<br />
b (densità delle forze di volume; 3 incognite)<br />
T (tensore degli sforzi; 9 incognite)<br />
r (rifornimento di energia; 1 incognita)<br />
q (vettore flusso di calore; 3 incognite)<br />
ε (energia interna specifica; 1 incognita)<br />
per un totale di 22 incognite. Vedremo più avanti che la formulazione del<br />
secondo principio della termodinamica richiede l’introduzione di un’ulteriore<br />
quantità scalare (entropia). Quindi il numero di incognite supera largamente<br />
il numero di equazioni. Sarebbe d’altra parte impensabile che lo schema sinora<br />
costruito fosse in grado di prevedere l’evoluzione di tutti i possibili continui,<br />
senza che il formalismo sia informato di quale continuo stiamo studiando!<br />
Le relazioni che specificano la natura del continuo sotto esame sono dette<br />
equazioni costitutive. Esse determinano il valore delle quantità sopra elencate<br />
in funzione del processo termocinetico. In generale tali relazioni sono date come<br />
funzionali del processo termocinetico, nel senso che i valori delle quantità in<br />
questione in un dato punto a un certo istante non dipendono solo dallo stato<br />
termocinetico del continuo in quel punto e a quell’istante, ma piuttosto dallo<br />
stato termocinetico in tutti i punti e a tutti gli istanti, con l’ovvia restrizione<br />
che lo stato futuro del continuo non possa influenzarne lo stato presente. Per<br />
esempio, potremmo assumere che in un fluido il tensore degli sforzi sia del tipo
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 15<br />
Tik = −pgik, con la pressione p determinata dalla relazione<br />
t<br />
p(x, t) = dt ′<br />
<br />
−∞<br />
Bt ′<br />
d 3 x ′ G(v(x ′ , t ′ ), θ(x ′ , t ′ ), x, t) ,<br />
dove G è una funzione opportunamente regolare. Da questo punto di vista,<br />
l’ipotesi più semplice è che il valore di una quantità in un certo punto e a<br />
un certo istante dipenda dalla velocità e dalla temperatura in quel punto e a<br />
quell’istante. Per esempio, nei continui fluidi si assume usualmente p = p(ρ, θ),<br />
la quale equazione va letta nel senso<br />
p(x, t) = p(ρ(x, t), θ(x, t)) .<br />
Si noti che una dipendenza dalla densità è in ultima analisi una dipendenza<br />
dalla velocità, visto che le due grandezze sono legate dall’equazione di continuità.<br />
Esempio III.3.1. Come esempio realistico di equazione costitutiva consideriamo<br />
la legge di Fourier, che è la più semplice caratterizzazione possibile del<br />
processo di conduzione termica nei continui. L’esperienza mostra che, se si<br />
pone una porzione di un continuo solido o fluido fra due pareti piane parallele<br />
a distanza L, aventi superficie A e poste rispettivamente a temperature θ1 e<br />
θ2, con θ1 < θ2, la quantità di calore che viene trasferita per unità di tempo<br />
dalla parete calda alla parete fredda è con buona approssimazione data da<br />
Q = κA θ2 − θ1<br />
. (III.3.1)<br />
L<br />
Poiché il campo vettoriale q rappresenta proprio la quantità di calore per unità<br />
di tempo e per unità di superficie, la più naturale generalizzazione della legge<br />
sperimentale (III.3.1) nell’ambito della termo<strong>meccanica</strong> dei sistemi continui è<br />
q = −κ Grad θ (III.3.2)<br />
(legge di Fourier). Se nella (III.3.2) la quantità κ è uno scalare (coefficiente di<br />
conduttività termica), il processo di conduzione termica è isotropo, nel senso<br />
che il continuo non possiede direzioni privilegiate e quindi il flusso di calore<br />
avviene nella direzione del gradiente di temperatura. In generale, κ è invece un<br />
tensore: per esempio, in un cristallo il flusso di calore non ha necessariamente<br />
la direzione del gradiente di temperatura.<br />
<strong>La</strong> seconda legge della termodinamica. Dal punto di vista logico,<br />
il secondo principio della termodinamica svolge un ruolo diverso dai principi<br />
fisici sinora introdotti, espressi localmente dalle equazioni (III.1.5), (III.2.8),<br />
(III.2.11) e (III.2.22). Infatti questi ultimi sono intesi come restrizioni sulle<br />
possibili evoluzioni del sistema, per cui essi determinano, fra tutti le evoluzioni<br />
a priori concepibili, l’evoluzione effettiva del sistema a partire da fissate condizioni<br />
iniziali; essi sono quindi delle equazioni del moto. Viceversa, il secondo
16 UGO BRUZZO<br />
principio della termodinamica verrà inteso come un vincolo a priori sulla caratterizzazione<br />
costitutiva del continuo; ovvero, verrano considerati realistici, e<br />
quindi accettabili, solamente i modelli di continuo che soddisfino il secondo<br />
principio identicamente, per ogni possibile evoluzione del sistema che verifichi<br />
le equazioni di bilancio (conservazione di massa, quantità di moto, momento<br />
angolare ed energia).<br />
Un esempio in termodinamica elementare. Consideriamo un semplice<br />
esempio di calcolo di una variazione di entropia nell’ambito della termodinamica<br />
elementare. Il sistema sotto esame è costituito da una mole di gas ideale<br />
posto in contatto termico con un termostato a temperatura θ0. Il gas, partendo<br />
da uno stato iniziale di equilibrio termodinamico, subisce una compressione<br />
violenta (irreversibile), ottenuta applicando una pressione esterna pari<br />
al doppio della pressione iniziale P0 del gas, dopodiché si aspetta che si ristabilisca<br />
l’equilibrio termico. Poiché l’entriopia del gas è una funzione di stato,<br />
possiamo calcolarne la variazione lungo una qualsiasi trasformazione (fittizia)<br />
reversibile che porti dallo stato iniziale a quello finale. Per esempio, possiamo<br />
scegliere una compressione reversibile isoterma. In una tale trasformazione, la<br />
variazione di entropia del gas è<br />
Vi<br />
∆Hgas =<br />
dQ<br />
θ<br />
dove l’integrale si intende effettuato lungo la trasformazione considerata nello<br />
spazio dei parametri termodinamici, e dQ è il calore scambiato. Ricordando<br />
che in un gas ideale l’energia interna è funzione solo della temperatura, che nel<br />
nostro caso è costante, e usando l’equazione di stato pV = Rθ, con R costante<br />
dei gas perfetti, si ha dQ = pdV = Rθ0 dV , per cui<br />
V<br />
Vf dV Vf<br />
∆Hgas = R = R log = R log<br />
V Vi<br />
P0<br />
= −R log 2 < 0 .<br />
2P0<br />
Si noti che il calcolo della quantità ∆Hgas coinvolge l’equazione di stato; ovvero,<br />
nel linguaggio della <strong>meccanica</strong> dei continui, la sua valutazione richiede la<br />
conoscenza delle equazioni costitutive.<br />
Il calore che esce dal gas entra nel termostato. <strong>La</strong> variazione di entropia del<br />
termostato è<br />
∆Htermostato = ∆Qtermostato<br />
θ0<br />
= − ∆Qgas<br />
θ0<br />
= − L<br />
θ0<br />
= − 2P (Vf − Vi)<br />
θ0<br />
= R.<br />
Per il calcolo della variazione totale di entropia del sistema gas + termostato<br />
si ha<br />
∆Htotale = ∆Hgas + ∆Htermostato = R(1 − log 2) > 0
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 17<br />
in accordo con la seconda legge della termodinamica, la cui formulazione<br />
nell’ambito della termodinamica elementare consiste nell’affermare che in ogni<br />
possibile trasformazione termodinamica di un sistema, l’entropia dell’universo<br />
cresce o al più rimane costante. In particolare, per una trasformazione reversibile<br />
l’entropia dell’universo rimane costante.<br />
Disuguaglianza di Clausius–Duhem. Ritornando ora nell’ambito della<br />
termo<strong>meccanica</strong> dei sistemi continui, vediamo come si possa esprimere la seconda<br />
legge della termodinamica in tale ambito. Sulla falsariga di quanto visto<br />
nel precedente esempio, appare naturale supporre l’esistenza di una grandezza<br />
fisica, detta entropia, la quale ammette una densità specifica η:<br />
<br />
H(∆t) = ρη .<br />
<strong>La</strong> quantità che non può decrescere nel tempo non è H, ma piuttosto la somma<br />
di H con l’entropia del resto dell’universo (cioé di tutto l’universo salvo la<br />
porzione di continuo ∆t). Poiché q · n rappresenta la quantità di calore per<br />
unità di tempo e per unità di superficie che esce da una superficie di normale<br />
n, mentre il calore per unità di tempo che esce dalla porzione per effetti di<br />
tipo volumico è −ρr, si suppone che valga la disuguaglianza<br />
<br />
˙H(∆t) +<br />
∂∆t<br />
∆t<br />
q · n<br />
da −<br />
θ<br />
<br />
∆t<br />
ρr<br />
θ<br />
≥ 0 . (III.3.3)<br />
<strong>La</strong> precedente discussione ha comunque una valore puramente euristico; la<br />
disequazione (III.3.3), detta disuguaglianza di Clausius–Duhem, è un assioma.<br />
Prima di discutere in che modo essa è ritenuta un assioma, vediamo come<br />
la (III.3.3) si porta dalla formulazione integrale a quella locale: è sufficiente<br />
usare il teorema di Gauss sull’integrale di superficie e invocare l’arbitrarietà<br />
della regione ∆t per ottenere<br />
ρ ˙η + Div<br />
<br />
q<br />
<br />
−<br />
θ<br />
ρr<br />
θ<br />
≥ 0 . (III.3.4)<br />
I processi termocinetici che verificano la (III.3.4) con il segno di uguale sono<br />
detti reversibili.<br />
<strong>La</strong> seconda legge della termodinamica consiste nell’assumere che ogni processo<br />
termocinetico che verifica le equazioni di bilancio soddisfi automaticamente<br />
la disuguaglianza (III.3.4). Un continuo che ammetta dei processi termocinetici<br />
che, pur verificando le equazioni di bilancio, non soddisfino la (III.3.4),<br />
è da considerarsi inammissibile. In altri termini, la seconda legge della termodinamica<br />
non è da considerarsi come una restrizione sui possibili processi<br />
termocinetici che un dato continuo può compiere, ma piuttosto come una restrizione<br />
sulla caratterizzazione costitutiva del continuo; possiamo accettare
18 UGO BRUZZO<br />
solo modelli di continuo che verifichino identicamentela seconda legge della<br />
termodinamica per tutte le evoluzioni ammesse dalle equazioni di bilancio.<br />
Imposizione della disuguaglianza di Clausius–Duhem. A stretto rigore,<br />
prima di imporre la disuguaglianza di Clausius–Duhem sarebbe necessario<br />
caratterizzare l’insieme dei processi termocinetici effettivamente ammissibili<br />
per il continuo sotto esame, ovvero l’insieme dei processi termocinetici che<br />
verificano le equazioni di bilancio; è infatti su questi ultimi che va imposta<br />
la disuguaglianza di Clausius–Duhem. Ciò equivarrebbe alla determinazione<br />
dell’integrale generale del sistema di equazioni alle derivate parziali costituito<br />
dal complesso delle equazioni di bilancio, la qual cosa è impossibile anche nei<br />
casi più elementari. Si può comunque aggirare questo ostacolo, perlomeno per<br />
una vasta classe di sistemi continui, mediante la seguente procedura.<br />
(i) Consideriamo innanzi tutto solamente sistemi il cui tensore degli sforzi<br />
sia simmetrico, in modo che l’equazione di bilancio del momento angolare sia<br />
verificata identicamente.<br />
(ii) Specifichiamo il processo termocinetico arbitrariamente e consideriamo<br />
l’equazione di continuità come un’equazione alle derivate parziali per la funzione<br />
densità; a questo punto l’equazione di continuità non deve più essere<br />
imposta.<br />
(iii) Usiamo la prima legge di Cauchy e il primo principio della termodinamica<br />
per determinare b e r, che ovviamente rinunciamo a caratterizzare costitutivamente.<br />
A questo punto i bilanci della quantità di moto e dell’energia non<br />
devono più essere imposti.<br />
In questo modo abbiamo ottenuto (per sistemi il cui tensore degli sforzi sia<br />
simmetrico) una classe di processi termocinetici che – pur non rappresentando<br />
l’integrale generale delle equazioni di bilancio – sicuramente soddisfano queste<br />
ultime. Usualmente l’applicazione della disuguaglianza di Clausius–Duhem a<br />
tale classe di processi termocinetici fornisce sufficienti informazioni.<br />
Esempio III.3.1. Sistema idrostatico omogeneo.<br />
È un sistema in cui il tensore<br />
degli sforzi è del tipo Tik = −pgik, e pressione, densità e temperatura non<br />
dipendono dal posto. Lo stato del sistema è quindi descritto da funzioni solo<br />
del tempo p, θ, V (usiamo il volume invece della densità per uniformità con<br />
le convenzioni correnti). L’energia interna e l’entropia di questo sistema sono<br />
date da funzioni U = U(V, θ) e H = H(V, θ). Per un sistema di questo tipo la<br />
disuguaglianza (III.3.4) si riduce a<br />
˙H − Q<br />
θ<br />
<br />
≥ 0 con Q =<br />
Bt<br />
ρr . (III.3.5)
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 19<br />
Valutando esplicitamente la potenza degli sforzi, il primo principio si scrive<br />
Q = ˙ U + p ˙ <br />
∂U<br />
V = + p ˙V +<br />
∂V ∂U<br />
∂θ ˙ θ .<br />
<strong>La</strong> disuguaglianza (III.3.5) si scrive allora<br />
<br />
θ ∂H<br />
<br />
∂U<br />
− − p ˙V + θ<br />
∂V ∂V ∂H<br />
∂θ<br />
<br />
∂U<br />
− ˙θ ≥ 0 . (III.3.6)<br />
∂θ<br />
In base alla precedente discussione, il processo termocinetico è arbitrario; consideriamo<br />
allora la (III.3.6) prima per un certo processo termocinetico, poi per<br />
il processo che si ottiene invertendo l’ordine del tempo. In questo secondo processo<br />
le quantità ˙ V e ˙ θ cambiano segno, per cui la (III.3.6) deve valere anche<br />
nel verso opposto, ovvero vale come uguaglianza. Quindi un sistema omogeneo<br />
idrostatico può compiere solo trasformazioni reversibili.<br />
Nella (III.3.6) le quantità ˙ V e ˙ θ sono arbitrarie, per cui si ottiene infine la<br />
coppia di equazioni<br />
θ ∂H ∂U<br />
− − p = 0 (III.3.7a)<br />
∂V ∂V<br />
θ ∂H ∂U<br />
− = 0 . (III.3.7b)<br />
∂θ ∂θ<br />
Le equazioni (III.3.7) vincolano la caratterizzazione costitutiva del sistema; se<br />
l’energia interna si suppone assegnata, le (III.3.7) determinano l’entropia. Per<br />
esempio nel caso di gas ideale omogeneo, in cui si ha<br />
U = CV θ, p = Rθ<br />
V ,<br />
dove CV è detto calore specifico a volume costante ed R è la costante di stato<br />
dei gas perfetti, le (III.3.7) si scrivono<br />
∂H R<br />
=<br />
∂V V ;<br />
∂H CV<br />
= . (III.3.8)<br />
∂θ θ<br />
Le Eq. (III.3.8) costituiscono un sistema di equazioni differenziali per H che<br />
verifica le necessarie condizioni di integrabilità; infatti si ha<br />
<br />
∂ R<br />
=<br />
∂θ V<br />
∂<br />
<br />
CV<br />
= 0 .<br />
∂V θ<br />
<strong>La</strong> soluzione del sistema (III.3.8) è<br />
H(V, θ) = CV log θ<br />
θ0<br />
+ R log V<br />
dove V0 è θ sono costanti arbitrarie. Quest’ultima equazione esprime la forma<br />
generale dell’entropia di un gas ideale. * <br />
* Si veda ad esempio M. W. Zemansky, Calore e termodinamica,Zanichelli 1970.<br />
V0
20 UGO BRUZZO<br />
Esempio III.3.2. Fluido conduttore. Consideriamo un fluido conduttore di<br />
calore, caratterizzato dalle equazioni<br />
⎧<br />
⎪⎨ Tik = −pgik p = p(ρ, θ)<br />
ε = ε(ρ, θ) η = η(ρ, θ)<br />
⎪⎩<br />
q = −κ Grad θ .<br />
(III.3.9)<br />
Assumiamo che κ sia uno scalare, e studiamo le restrizioni che il secondo<br />
principio impone sulle quantità contenute nelle (III.3.9). Poiché<br />
<br />
q<br />
<br />
Div =<br />
θ<br />
1 1<br />
Div q − q · Grad θ ,<br />
θ θ2 la (III.3.4) si scrive<br />
ρθ ˙η + Div q + ρr − 1<br />
q · Grad θ ≥ 0 .<br />
θ<br />
Inserendo la legge di Fourier, ricavando il termine Div q − ρr dal primo principio,<br />
e sostituendo, si ottiene<br />
ρθ ˙η − ρ ˙ε − ptr D + κ<br />
θ Grad θ2 ≥ 0 . (III.3.10)<br />
Calcolando le derivate totali rispetto al tempo, e ricordando che tr D = Div v =<br />
− ˙ρ/ρ, la (III.3.10) si può mettere nella forma<br />
<br />
ρθ ∂η<br />
<br />
− ρ∂ε ˙θ + ρθ<br />
∂θ ∂θ<br />
∂η<br />
<br />
p<br />
− ρ∂ε + ˙ρ +<br />
∂ρ ∂ρ ρ<br />
κ<br />
θ Grad θ2 ≥ 0 . (III.3.11)<br />
Imponiamo ora che la (III.3.11) valga per alcuni processi termocinetici particolari.<br />
Consideriamo dapprima un processo in cui la temperatura non dipenda dal<br />
posto, per cui Grad θ = 0. Lo stesso ragionamento che nell’esempio precedente<br />
ha portato alle equazioni (III.3.7) fornisce le equazioni<br />
θ ∂η ∂ε<br />
−<br />
∂θ ∂θ<br />
= 0 (III.3.12a)<br />
θ ∂η ∂ε p<br />
− + = 0 (III.3.12b)<br />
∂ρ ∂ρ ρ2 che generalizzano le (III.3.7).<br />
Inserendo le (III.3.12) nella (III.3.11) si ottiene<br />
κ<br />
θ Grad θ2 ≥ 0<br />
la quale implica<br />
κ ≥ 0 . (III.3.13)<br />
Quest’ultima condizione asserisce che il calore fluisce dalle regioni del continuo<br />
a temperatura più elevata verso le zone a temperatura più bassa. Ciò non è
(<strong>TERMO</strong>)<strong>DINAMICA</strong> <strong>DEI</strong> <strong>SISTEMI</strong> <strong>CONTINUI</strong> 21<br />
necessariamente verificato in modelli più complessi di quello sotto esame, in<br />
quanto la presenza di “pompe di calore” può invertire la direzione del flusso di<br />
calore; in altri termini, il calore fluisce dal freddo verso il caldo purché si compia<br />
lavoro sul sistema (come accade in un frigorifero). Comunque nel continuo che<br />
stiamo esaminando ciò non è possibile, in quanto non previsto dalle equazioni<br />
costitutive, per cui effettivamente il calore fluisce dal caldo verso il freddo. In<br />
questo senso la (III.3.13) è coerente con l’enunciato detto “di Clausius” del<br />
secondo principio, così come è formulato nella termodinamica elementare. *<br />
* Si veda per esempio M. W. Zemansky, op. cit.