(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI La meccanica ... - DIMA

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI
UGO BRUZZO
La meccanica dei sistemi continui si sviluppa sulla base della fondamentale
osservazione che ogni processo è governato dagli stessi principi fisici, indipendentemente
dal tipo di corpo considerato. In effetti, qualunque sia la sostanza
considerata, e qualunque sia il tipo di processo a cui la sostanza è sottoposta,
la massa deve conservarsi, l’energia deve soddisfare un opportuno bilancio, e
così via. Sono le equazioni costitutive che, combinate con i principi fisici, generano
le singole teorie (elasticità, fluidodinamica, magnetoidrodinamica, ecc.).
In accordo con questo schema, la trattazione in questo capitolo sarà dapprima
del tutto generale, e riguarderà la scrittura dei principi fisici sotto forma di
equazioni di bilancio (Par. 1,2). In particolare nel Par. 2 vedremo come la
scrittura di un’equazione che descriva la conservazione dell’energia richieda la
considerazione della termodinamica. Nel Par. 3 vengono introdotte la temperatura
e il concetto di processo termocinetico; vengono inoltre brevemente
discusse le equzioni costitutive. Nel Par. 4 verrà infine introdotta la seconda
legge della termodinamica, vista come vincolo a priori sulle equazioni costitutive.
1. Equazioni di bilancio
Equazione di continuità.Ricordiamo che un sistema continuo è fra l’altro
caratterizzato da una funzione non negativa ρ(x, t), detta densità di massa,
tale che, detta ∆t una generica porzione del sistema all’istante t, l’integrale
M(∆t) ≡ ρ (III.1.1)
fornisca la massa della porzione ∆t. Nella meccanica dei sistemi continui
le grandezze fisicamente rilevanti sono definite frequentemente in termini di
quantità specifiche — ovvero riferite all’unità di massa. Di conseguenza tali
grandezze sono calcolabili come l’integrale di ρ (la densità di massa) per la
grandezza specifica: intuitivamente, “l’elemento di massa” dM è dato dal
prodotto ρdV , dove dV è “l’elemento di volume”. Allora, se per esempio η è
la densità specifica di una grandezza H, il valore di H relativo a una porzione
∆t di continuo è
H(∆t) = ρη . (III.1.2)
1
∆t
∆t

2 UGO BRUZZO
Ricordando il teorema del trasporto, e considerata all’istante t una porzione
∆t che rappresenti l’evoluzione di una fissata porzione ∆ nella configurazione di
riferimento (cioé ∆t = Ψt(∆), dove Ψt è l’evoluzione del continuo), l’Eq. (III.1.2)
fornisce
d
dt H(∆t) = d
dt ∆t
ρη =
∆t
∂(ρη)
∂t
+ Div (ρηv) =
∆t
[( ˙ρ + ρ Div v)η + ρ ˙η]
(III.1.3)
dove con il punto sovrapposto si è denotata la derivata totale rispetto al tempo:
˙ρ ≡ dρ ∂ρ
=
dt ∂t + ∇vρ = ∂ρ ∂ρ ∂ρ
+ vi = + v · Grad ρ .
∂t ∂xi ∂t
In particolare, ponendo η = 1, nel qual caso la grandezza H è la massa, si
ottiene
d
dt M(∆t)
∂ρ
= + Div (ρv) = [ ˙ρ + ρ Div v] . (III.1.4)
∂t
∆t
Poiché la frontiera di ∆t è formata ad ogni istante dalle stesse particelle, dal
volume ∆t non possono uscire, né possono entrarvi, particelle. Quindi è del
tutto naturale imporre che la massa di ogni porzione ∆ si conservi nel tempo.
Allora l’Eq. (III.1.4) implica, essendo valida per ogni regione di integrazione
∆t,
˙ρ + ρ Div v = 0 (III.1.5)
(equazione di continuità). L’equazione di continuità esprime quindi la conservazione
della massa. Ciò si può visualizzare in modo leggermente diverso nella
seguente maniera. Usando la forma alternativa del teorema del trasporto (vedi
per esempio Eq. (III.1.3)) l’equazione di continuità si può riscrivere
∂ρ
+ Div (ρv) = 0 .
∂t
(III.1.6)
Sia V una regione di V3 (quindi V appare fissa, e non è una porzione del
continuo che viene seguita durante l’evoluzione). Integrando la (III.1.6) su V ,
e usando il teorema di Gauss, si ottiene:
∂ρ
= −
∂t
ρv · n da
V
dove n è il versore normale di ∂V , orientato verso l’esterno. Questa equazione
esprime il fatto che la variazione nel tempo della massa contenuta in V (membro
di sinistra dell’equazione; infatti d
∂ρ
ρ = ) uguaglia il flusso entrante
dt V V ∂t
di particelle, espresso dal flusso del campo vettoriale −ρv (membro di destra).
Si noti infine che la (III.1.6) è formalmente identica all’equazione di continuità
dell’elettromagnetismo, a patto di sostituire ρ con la densità di carica elettrica
e ρv con il vettore densità di corrente j.
∂V
∆t

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 3
Usando l’equazione di continuità, e ritornando all’Eq. (III.1.2), si ha la seguente
Proposizione, che verrà sistematicamente impiegata nei successivi sviluppi.
Proposizione III.1.1 Se H è una grandezza fisica la cui densità specifica
è η, e si suppone verificata l’equazione di continuità, si ha
d
dt H(∆t)
= ρ ˙η . (III.1.7)
Dimostrazione. Segue dalla (III.1.3) usando l’equazione di continuità.
Forze agenti su un continuo. Una delle assunzioni fondamentali della
meccanica dei continui è che le forze siano distribuite; solo occasionalmente,
nella formulazione di semplici modelli, si introducono forze concentrate, cioé
applicate in punti isolati del continuo. In altre parole le forze agiscono in ogni
parte ∆t del continuo in esame. Tali forze possono essere di due tipi:
• forze di volume Fb, descritte da una densità specifica b, in modo che
la forza totale di volume che agisce su una porzione ∆t di continuo sia
data da
Fb(∆t) = ρ b ;
∆t
esempi di forze di volume sono la forza peso (dove b non è altro che
l’accelerazione di gravità g) o la forza elettrica (dove b = ρeE/ρ, essendo
ρe la densità di carica elettrica ed E il campo elettrico);
• forze di contatto Fc, che agiscono sulla superficie ∂∆t del volume ∆t,
e che sostanzialmente descrivono le interazioni di contatto tra le varie
parti del continuo. Esempio tipico di forze di contatto sono le forze di
pressione, le tensioni (per esempio la tensione superficiale) e le forze
d’attrito interne dei continui (forze viscose). Si assume inoltre che le
forze di contatto si possano scrivere nella forma
Fc(∆t) = t(n) da (III.1.8)
(integrale di superficie) dove il campo vettoriale t (detto trazione) rappresenta
la “densità superficiale di forze di contatto”. In accordo alla
notazione, si assume che il vettore t dipenda, oltre che da x e dal
tempo, dalle proprietà locali della superficie ∂∆t, riassunte nella normale
n, considerata orientata verso l’esterno.
Nota III.1.1. Nelle precedenti equazioni per la prima volta si introducono
integrali di campi vettoriali, mentre sinora si è dato significato invariante, cioé
indipendente dal sistema di coordinate, solamente all’integrale di grandezze
scalari. Poiché l’integrazione corrisponde sostanzialmente a un processo di
somma, integrare un campo vettoriale richiede la somma di vettori applicati in
∂∆t
∆t

4 UGO BRUZZO
punti diversi, la quale operazione, come già discusso in precedenza, è priva di
significato. Altra obiezione che si può sollevare è che il risultato dell’integrale è
“un vettore non applicato”, e quindi non è un vettore nel senso della geometria
differenziale. Si può comunque dare un significato a uguaglianze come quella
che segue questa nota supponendo di usare sistemi di coordinate cartesiane
ortogonali, e considerando l’integrale di un campo vettoriale come una terna
di integrali di funzioni (le componenti del campo). Il risultato dell’integrale
è allora una terna di numeri reali. Si verifica facilmente che la risultante
uguaglianza è invariante per trasformazioni di coordinate, purché queste ultime
siano limitate a coordinate cartesiane ortogonali. Per semplificare la
discussione, e avendo visto che a equazioni di tale tipo è possibile dare senso
compiuto, nel seguito accetteremo equazioni contenenti integrali di campi vettoriali.
La risultante e il momento rispetto al polo xO delle forze che agiscono su ∆t
sono definiti attraverso le relazioni
R(∆t) =
MO =
∆t
∆t
ρ(x − xO) ∧ b +
ρb +
∂∆t
∂∆t
t(n) da (III.1.9)
(x − xO) ∧ t(n) da . (III.1.10)
Leggi di Eulero. Diamo dapprima una formulazione integrale delle leggi
di conservazione della quantità di moto e del momento angolare. A questo
scopo introduciamo, per ogni porzione ∆t del continuo, la sua quantità di
moto P(∆t) e il suo momento angolare LO(∆t), quest’ultimo riferito a un polo
xO che appaia fisso nel riferimento considerato, ponendo
P(∆t) = ρv (III.1.11)
LO(∆t) =
∆t
∆t
ρ(x − xO) ∧ v . (III.1.12)
Per analogia con la meccanica dei sistemi di punti materiali, dove valgono le
equazioni cardinali, si assume quanto segue:
in ogni sistema di riferimento inerziale l’evoluzione del continuo soddisfa le
relazioni (dette leggi di Eulero)
R(∆t) = d
dt P(∆t), MO(∆t) = d
dt LO(∆t) per ogni porzione ∆t del continuo
(III.1.13)
che esprimono rispettivamente il bilancio della quantità di moto e del momento
angolare.
Contrariamente a quanto avviene nella meccanica dei sistemi di punti materiali,
dove le equazioni cardinali si dimostrano a partire dalla seconda legge della

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 5
dinamica, nella meccanica dei sistemi continui le leggi di Eulero non sono
dimostrabili, ma sono degli assiomi. Si noti infine che il bilancio del momento
angolare, così come scritto nella (III.1.13), si scosta dalla seconda equazione
cardinale per l’assenza di un contributo contenente la velocità del polo O, in
quanto il polo è qui assunto fermo.
Usando la Proposizione (III.1.1), le derivate temporali che appaiono nella
(III.1.13) si scrivono
d
dt P(∆t)
=
∆t
ρ a ,
d
dt LO
=
∆t
ρ (x − xO) ∧ a . (III.1.14)
Le rappresentazioni (III.1.9), (III.1.10) e (III.1.13) permettono di porre le leggi
di Eulero nella forma integrale
ρb + t(n) da = ρ a , (III.1.15)
∆t
ρ(x − xO) ∧ b +
∆t
∂∆t
∂∆t
∆t
(x − xO) ∧ t(n) da =
∆t
ρ (x − xO) ∧ a . (III.1.16)
2. Forma locale delle equazioni di bilancio
Tensore degli sforzi. Dalla forma integrale (III.1.15,16) delle equazioni
di bilancio (Leggi di Eulero), vediamo che per poter mettere tali equazioni in
forma locale, analogamente a quanto è stato fatto per l’equazione di bilancio
relativa alla massa, è necessario trasformare gli integrali di superficie in integrali
di volume, in modo da poter poi invocare l’arbitrarietà della regione
di integrazione e dedurre l’uguaglianza degli integrandi. A questo scopo è
necessario considerare un risultato, dovuto a Cauchy, il quale asserisce che la
trazione t(n) si può esprimere mediante un tensore doppio T , detto tensore
degli sforzi, in accordo alla formula
t i (n) = T ik nk . (III.2.1)
A livello dello sviluppo logico della presente trattazione, l’esistenza del tensore
degli sforzi viene assunta come assioma. Tale assioma si può giustificare con
la discussione seguente, la quale potrebbe essere affinata, sino a costituire una
dimostrazione della (III.2.1), cosa che peraltro qui non ci proponiamo.
Il teorema di Cauchy (cenno di dimostrazione). La “dimostrazione”
della (III.2.1) assume che sia verificata l’equazione di bilancio della quantità
di moto (III.1.15), e che le quantità ρa e ρb siano a ogni istante limitate come
funzioni del posto.
Si consideri una regione ∆ (il tempo è ritenuto fissato e verrà omesso dalla
notazione) di continuo, che, con riferimento a un fissato sistema di coordinate
cartesiane ortogonali centrate in un punto x del continuo, abbia la forma di

6 UGO BRUZZO
un tetraedro avente per vertici l’origine e i punti (L, 0, 0), (0, L, 0) e (0, 0, L).
Le lunghezze degli spigoli giacenti sugli assi coordinati valgono dunque L. Si
scriva l’Eq. di bilancio (III.1.15) nella forma
ρ(a − b) = t(n)da ; (III.2.2)
∆t
in base all’ipotesi di limitatezza, il membro di sinistra della (III.2.2) soddisfa
la condizione
ρ(a − b)
≤ KL3
∆
essendo K un’opportuna costante positiva. Le precedenti equazioni implicano
lim
L→0
1
L2
t(n)da = 0 . (III.2.3)
∂∆
Denotiamo con Σ0 la faccia “obliqua” del tetraedro, con Σi la faccia ortogonale
all’asse x i , e con A0, Ai le rispettive aree. Si vede elementarmente che, se n è
la normale a Σ0, allora Ai = A0 ni. Usando il teorema della media, si ottiene
dove z (k) , z (k)
i
∂∆t
3
t
∂∆
k (n) da = A0t k (n, z (k) ) +
i=1
A0
t k (n, z (k) ) +
3
i=1
Ait k (−ei, z (k)
i ) =
ni t k (−ei, z (k)
i )
sono per ogni k opportuni punti di Σ0 e Σi rispettivamente,
ei è il versore dell’i-esimo asse coordinato, e si è usato il fatto che il versore
normale a Σi è −ei. La notazione t(−ei, z) rappresenta la trazione relativa alla
superficie di normale −ei valutata in zi. Ricordando l’Eq. (III.2.3), e notando
che
lim A0
= c = 0 ,
L→0 L2 si ha che effettuando il limite L → 0,
3
t(n, x) + nit(−ei, xi) = 0 , (III.2.4)
i=1
in quanto in tale limite i punti z (k) , z (k)
i
,
vanno tutti a coincidere con x. Si
noti che durante l’operazione di limite il versore n rimane costante. Ponendo
n = ei la (III.2.4) fornisce
t(ei, x) = −t(−ei, x)

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 7
per cui la (III.2.4) stessa si può riscrivere (sopprimendo la notazione della
dipendenza da x)
t(n) = n i t(ei) . (III.2.5)
Ponendo t(ei) = T k i ek, la (III.2.5) si può scrivere
t i (n) = T ik nk
per cui si ottiene la (III.2.1).
L’interpretazione fisica delle componenti del tensore degli sforzi appare chiara
dalla (III.2.1) e dal significato della trazione t: la componente T ik rappresenta
l’i-esima componente della forza di contatto che si manifesta su una superficie
che nel punto considerato è normale al k-esimo asse coordinato. In particolare
le componenti di T fuori diagonale vengono dette sforzi di taglio, mentre le
componenti diagonali sono dette pressioni o tensioni a seconda che esse siano
negative o positive, cioé a seconda che esse individuino forze dirette verso
l’interno (pressioni) o verso l’esterno (tensioni) della superficie. Come primo
esempio di tensore degli sforzi discutiamo brevemente il caso di un fluido perfetto,
che verrà ripreso in maggior dettaglio nel Capitolo IV. Per definizione,
un fluido perfetto è incapace di esercitare sforzi di taglio; in effetti, un fluido
reale non troppo viscoso si dispone istantaneamente in modo tale da offrire
la sua superficie a contatto con l’esterno perpendicolare allo sforzo; in particolare,
un fluido perfetto prende in maniera praticamente istantanea la forma
del contenitore in cui è posto. Matematicamente, ciò equivale al fatto che in
coordinate cartesiane ortogonali T è diagonale. Inoltre, un fluido perfetto è
isotropo, nel senso che non privilegia alcuna direzione; quindi T è un multiplo
dell’identità. Poiché un fluido perfetto inoltre esercita solo pressioni, e non
tensioni, si ha
T ik = −pδ ik in coordinate cartesiane,
(ovvero, T ik = −p gik in coordinate arbitrarie), essendo p una funzione non
negativa. Il fatto che T sia proporzionale all’identità segue anche dal fatto che
un tensore doppio che in ogni sistema di coordinate cartesiane ortogonali sia
diagonale è necessariamente un multiplo dell’identità.
Prima legge di Cauchy. In virtù del teorema di Cauchy, la prima legge di
Eulero (III.1.15) ammette la rappresentazione
ρb + T (n) da = ρ a , (III.2.6) .
∆t
∂∆t
Una immediata generalizzazione del teorema di Gauss fornisce ora l’equazione
T (n) da = Div T ; in componenti, T ik
nk da = T ik ;k .
∂∆t
∆t
∆t
∂∆t
∆t
(III.2.7)

8 UGO BRUZZO
Applicando questo risultato alla (III.2.6) si perviene alla relazione
ρb + Div T = ρ a ,
∆t
∆t
che si ritiene valida per ogni scelta della regione ∆t. Essa quindi implica
∆t
ρa = ρb + Div T . (III.2.8)
L’Eq. (III.2.8), detta prima legge di Cauchy, rappresenta il bilancio della quantità
di moto in forma locale, nel senso che essa è una relazione fra campi tensoriali,
valida punto per punto. Inoltre la (III.2.8) è un’equazione alle derivate
parziali, come risulta dalla scrittura (II.2.5) dell’accelerazione.
Seconda legge di Cauchy. Vediamo adesso l’espressione locale dell’equazione
di bilancio del momento angolare (III.1.16). Usando il teorema di Cauchy,
questa si scrive
ρ(x − xO) ∧ b + (x − xO) ∧ T (n) da = ρ (x − xO) ∧ a .
∆t
∂∆t
Introducendo la prima legge di Cauchy (III.2.8), si ottiene
(x − xO) ∧ T (n) da = (x − xO) ∧ Div T .
∂∆t
∂∆t
Conviene adesso passare alla notazione in componenti, e in particolare usare
coordinate cartesiane ortogonali. La precedente equazione diviene
εijk (x j − x j
O )T kh
nh da = εijk (x j − x j
O )T kh ;h ; (III.2.9)
Ricordando che in coordinate cartesiane ortogonali le componenti del tensore
di Ricci coincidono con il simbolo di Levi-Civita, e sono quindi costanti, si ha
avendo usato il fatto che
εijk (x j − x j
O )T kh ;h = εijk (x j − x j
O )T
kh
;h − εijk T kj ,
(x j − x j
O )
∂xh = δ j
h .
Usando il teorema di Gauss il membro di destra della (III.2.9) diventa
εijk (x j − x j
O )T kh
nh da − εijk T kj ,
∂∆t
∆t
∆t
O );h = ∂(xj − x j
il contributo del primo termine di questa equazione al membro di destra della
(III.2.9) si elide con il membro di sinistra. La (III.2.9) si riduce quindi a
εijk T kj = 0 ;
∆t
∆t
∆t

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 9
essendo la regione di integrazione arbitraria, si ottiene
Moltiplicando per ε ihm , la (III.2.10) fornisce
εijk T kj = 0 . (III.2.10)
T hm − T mh = 0 ovvero T hm = T mh . (III.2.11)
D’altra parte la (III.2.11) implica banalmente la (III.2.10). Troviamo quindi
che, supposte valide l’equazione di continuità e il bilancio della quantità di
moto, il bilancio del momento angolare equivale matematicamente alla simmetria
del tensore degli sforzi. Ciò non significa che un generico sistema continuo
abbia il tensore degli sforzi simmetrico; piuttosto, il significato della (III.2.10)
è che fra le leggi che regolano l’evoluzione del sistema va inclusa la condizione
che la parte antisimmetrica del tensore degli sforzi si annulli. In altri termini,
l’Eq. (III.2.11) (detta seconda legge di Cauchy) non è una restrizione a priori
sul continuo, ma una equazione del moto; infatti esistono sistemi il cui tensore
degli sforzi ha una parte antisimmetrica (esempi sono le miscele o i continui micropolari,
cioé i continui che su scala sufficientemente piccola hanno momenti
di dipolo elettrico o magnetico non nulli).
Teorema dell’energia cinetica. Iniziamo ora a discutere gli aspetti energetici
della meccanica dei sistemi continui. In particolare, vedremo che la
scrittura del teorema dell’energia cinetica (cioé il calcolo esplicito della derivata
temporale dell’energia cinetica) ci porterà a concludere che, in generale, non
è possibile dedurre o imporre la conservazione dell’energia meccanica, e che,
conformemente ai risultati della termodinamica, per avere una legge di conservazione
di tipo energetico è necessario prevedere l’esistenza di forme di energia
non meccaniche. Ciò condurrà infine alla formulazione del primo principio
della termodinamica, inteso come un’equazione di bilancio energetico che ogni
possibile evoluzione del continuo deve necessariamente verificare.
Definiamo l’energia cinetica relativa a una porzione ∆t del continuo come
K(∆t) = 1
2
Dalla Proposizione III.1.1 si ottiene
˙K(∆t) = 1
2
∆t
∆t
ρ v 2 .
ρ d
dt v2
=
∆t
ρv · a .
Inserendo ora la prima legge di Cauchy (III.2.8), e passando alla notazione in
coordinate, si ha
˙K(∆t) =
∆t
vi(ρ b i + T ik ;k) . (III.2.12)

10 UGO BRUZZO
Usando l’identità vi T ik ;k = (vi T ik );k−vi;k T ik e il teorema di Gauss, la (III.2.12)
si scrive
˙K(∆t) =
∆t
ρb · v +
∂∆t
t · v −
∆t
vi;k T ik . (III.2.13)
Introduciamo ora le quantità
Πb(∆t) = ρb · v = potenza delle forze di volume
∆t
Πc(∆t) = t · v = potenza delle forze di contatto
∂∆t
Π(∆t) = Πb(∆t) + Πc(∆t) = potenza totale
e sostituiamo nella (III.2.13) la seconda legge di Cauchy (III.2.11). Il tensore
degli sforzi si può allora ritenere simmetrico, per cui in luogo delle componenti
vi;k del tensore gradiente di velocità possiamo inserire le componenti della
parte simmetrica di quest’ultimo, cioé le componenti del tensore velocità di
deformazione D (si veda il Par. II.4). La (III.2.13) si trascrive allora
˙K(∆t) = Π(∆t) − Dik T ik . (III.2.14)
L’Eq. (III.2.14) esprime il teorema dell’energia cinetica per i sistemi continui.
In tale relazione si noti la presenza del termine −
∆t Dik T ik , detto potenza
degli sforzi, che non compare nel teorema dell’energia cinetica per i sistemi di
punti materiali. In generale la presenza di tale termine preclude la validità di
un teorema di conservazione dell’energia meccanica. In effetti, anche nel caso
in cui esista una funzione “energia potenziale” U tale che ˙ U = −Π (cosa che
in generale non avviene), si ottiene
d
(K + U) = − Dik T
dt ik
(III.2.15)
per cui “l’energia meccanica totale” K +U non si conserva. Quindi la mancata
conservazione dell’energia meccanica è dovuta al lavoro compiuto dagli sforzi.
Ciò appare evidente dai due esempi seguenti.
Esempio III.2.1. Nel caso in cui il continuo Bt sia un corpo rigido, si ponga
∆t = Bt, e si assuma che le forze di volume (forze esterne) siano conservative.
Le forze di contatto in questo caso sono le reazioni vincolari che assicurano
la rigidità, le quali come noto hanno potenza nulla, Πc = 0. Si ha allora
˙U = −Π, essendo U il potenziale delle forze esterne. Per un corpo rigido si ha
inoltre D = 0 (criterio di rigidità di Eulero), per cui la (III.2.15) fornisce la
conservazione dell’energia meccanica.
∆t
∆t

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 11
Esercizio III.2.1. Si dimostri l’identità
tr D = ρ d 1
dt ρ .
Esempio III.2.2. Si consideri come continuo un fluido perfetto, per cui
−T ik Dik = pgik Dik = ptr D; si ha allora
− Dik T ik
= pρ d 1
dt ρ =
ρp ˙υ
∆t
∆t
avendo introdotto il volume specifico υ = 1/ρ. Quindi la potenza degli sforzi è
il lavoro svolto dalle forze di pressione nell’unità di tempo. Se inoltre si assume
p costante nello spazio si ha
−
∆t
Dik T ik
= p
∆t
∆t
ρ ˙υ = p d
dt vol(∆t)
(si confronti con il termine “p dV ” delle trattazioni elementari dell’idrodinamica).
Primo principio della termodinamica. La mancata conservazione dell’energia
meccanica suggerisce il fatto che per ristabilire una conservazione dell’energia
sia necessario considerare l’esistenza di forme di energia non meccanica
(calore). Già in termodinamica elementare si considera una legge di conservazione
(il primo principio) dove sono incluse energie non meccaniche; usualmente
il primo principio si scrive nella forma
∆Q = L + ∆U (III.2.16)
ed è enunciato dicendo che la quantità di calore che entra in un sistema termodinamico
durante una trasformazione uguaglia la variazione dell’energia interna
del sistema sommata al lavoro che il sistema compie sull’esterno. L’energia
interna è una funzione che dipende solo dallo stato del sistema (“funzione
di stato”), per cui una sua variazione rende conto del fatto che il sistema
ha cambiato stato “internamente”. Infine, per una corretta interpretazione
della (III.2.16) nell’ambito della termodinamica elementare, notiamo i seguenti
punti:
• non si assume l’esistenza di una “funzione calore”, ma si dà solo senso
alla “quantità di calore scambiato”.
• L’Eq. (III.2.16) si riferisce a trasformazioni fra stati in cui il sistema
sta in equilibrio termodinamico. L’equilibrio termodinamico implica
l’equilibrio meccanico, per cui l’energia cinetica è nulla prima e dopo
la trasformazione. Per questo motivo, la (III.2.16) non contiene un
termine cinetico.

12 UGO BRUZZO
Vogliamo ora generalizzare il primo principio della termodinamica al caso dei
sistemi continui. A questo scopo assumiamo l’esistenza di una funzione scalare
U, detta energia interna, la quale ammette una densità specifica ε:
U(∆t) = ρε , (III.2.17)
e di una funzione scalare Q, che rappresenta fisicamente la quantità di energia
non meccanica (calore) che entra nella porzione ∆t nell’unità di tempo, e che
ammette una rappresentazione del tipo
Q(∆t) = ρ r + h da . (III.2.18)
∆t
Nella (III.2.18) il campo scalare h rappresenta il flusso di calore che entra nella
porzione di continuo attraverso la sua superficie, e rende quindi conto dei processi
di conduzione. L’integrale di volume descrive invece processi per cui ogni
porzione microscopica del continuo assorbe calore direttamente, senza interazione
con i suoi vicini, e rende conto per esempio dei processi di trasporto
di calore per irraggiamento. Infatti in tali processi, la materia assorbe (totalmente
o parzialmente) delle onde elettromagnetiche, ed è tale energia assorbita
per unità di massa del continuo che viene rappresentata nella (III.2.18) dal termine
r. Quest’ultimo è usualmente detto rifornimento di energia.
Imponiamo infine il primo principio nella forma
∆t
∂∆t
Q(∆t) = −Π(∆t) + ˙ U(∆t) + ˙ K(∆t) . (III.2.19)
Il primo principio è stato imposto a livello di potenze, e non di energie; questo
permette di evitare il problema della non-esistenza della “quantità di calore”.
Inoltre la potenza ha il segno opposto del lavoro nella (III.2.16) a causa delle
diverse convenzioni. Infine, nella (III.2.19) compare un termine cinetico, in
quanto il primo principio della termodinamica si assume valido istante per
istante per ogni evoluzione del sistema, e non solamente in condizioni di equilibrio.
Vogliamo ora scrivere il primo principio in forma locale. Usando le definizioni
(III.2.17) e (III.2.18), la Proposizione (III.1.1), e il teorema dell’energia cinetica,
si ottiene
ρ r + h da = ρ ˙ε − T ik Dik . (III.2.20)
∆t
∂∆t
∆t
Per scrivere quest’ultima equazione in forma locale è necessario scrivere l’integrale
di superficie sotto forma di integrale di volume. A questo scopo riscriviamo la
∆t

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 13
(III.2.20) nella forma
ik
ρ ˙ε − ρ r − T Dik = h da . (III.2.21)
∆t
∂∆t
Ragionando come si è fatto per l’introduzione del tensore degli sforzi, e in
particolare assumendo che l’integrando del membro di sinistra della (III.2.21)
sia limitato su Bt a ogni istante, e che il flusso di calore h dipenda dalla
superficie su cui è valutato solo tramite la normale n a questa, appare naturale
assumere l’esistenza di un campo vettoriale q tale che
h = −q · n .
Il segno meno è stato inserito per far sì che il flusso di q sia positivo quando
il calore entra nella superficie; cioé, q punta nella direzione in cui si muove il
flusso di energia.
Usando il teorema di Gauss, si ottiene ora
h da = − q · nda = − Div q
∂∆t
∂∆t
per cui la (III.2.21), essendo valida per ogni regione ∆t, fornisce la forma locale
del primo principio:
ρ ˙ε = − Div q + ρ r + T ik Dik . (III.2.22)
3. Temperatura ed equazioni costitutive; la seconda legge della termodinamica.
È noto dalla termodinamica elementare che, nel momento in cui si preveda
l’esistenza di forme di energia che a livello macroscopico non si possono interpretare
meccanicamente, è anche necessario introdurre una nuova variabile per
descrivere lo stato del sistema: la temperatura. Dal nostro punto di vista, ci
limitiamo ad assumere l’esistenza di un campo scalare, dipendente dal tempo
e strettamente positivo, denotato con θ(x, t) e detto campo di temperatura.
In seguito all’introduzione di questa nuova variabile, l’evoluzione del sistema
non è più descritta completamente dalla deformazione Ψt: è necessario specificare
anche la temperatura. Diciamo processo termocinetico una specificazione
dei campi dipendenti dal tempo v(x, t) e θ(x, t) (la specificazione ad ogni istante
del campo di velocità è sostanzialmente equivalente alla specificazione
della deformazione). Il processo termocinetico è l’equivalente in termomeccanica
dei continui della legge oraria del moto nella meccanica del punto materiale.
La soluzione del problema del moto in termomeccanica dei continui
consiste nella determinazione del processo termocinetico, una volta opportunamente
fissate le condizioni iniziali e al contorno.
∆t

14 UGO BRUZZO
Equazioni costitutive. Abbiamo sinora imposto che l’evoluzione di un
generico sistema continuo verifichi le seguenti condizioni, che esprimiamo in
forma locale:
˙ρ + ρ Div v = 0 equazione di continuità (1 eq. scalare)
ρa = ρb + Div T bilancio della quantità di moto (3 eq. “scalari”)
T ik = T ki
bilancio del momento angolare (3 eq. “scalari”)
ρ ˙ε = − Div q + ρ r + T ik Dik bilancio dell’energia (1 eq. scalare).
Abbiamo quindi in totale 8 equazioni. Queste vanno considerate come equazioni
del moto, nel senso che le evoluzioni reali del sistema sono tutte e solo quelle che
verificano il sistema di equazioni alle derivate parziali formato dalle equazioni
di bilancio. D’altra parte tale sistema contiene le seguenti incognite:
ρ (densità di massa; 1 incognita)
θ (temperatura; 1 incognita)
v (campo di velocità; 3 incognite)
b (densità delle forze di volume; 3 incognite)
T (tensore degli sforzi; 9 incognite)
r (rifornimento di energia; 1 incognita)
q (vettore flusso di calore; 3 incognite)
ε (energia interna specifica; 1 incognita)
per un totale di 22 incognite. Vedremo più avanti che la formulazione del
secondo principio della termodinamica richiede l’introduzione di un’ulteriore
quantità scalare (entropia). Quindi il numero di incognite supera largamente
il numero di equazioni. Sarebbe d’altra parte impensabile che lo schema sinora
costruito fosse in grado di prevedere l’evoluzione di tutti i possibili continui,
senza che il formalismo sia informato di quale continuo stiamo studiando!
Le relazioni che specificano la natura del continuo sotto esame sono dette
equazioni costitutive. Esse determinano il valore delle quantità sopra elencate
in funzione del processo termocinetico. In generale tali relazioni sono date come
funzionali del processo termocinetico, nel senso che i valori delle quantità in
questione in un dato punto a un certo istante non dipendono solo dallo stato
termocinetico del continuo in quel punto e a quell’istante, ma piuttosto dallo
stato termocinetico in tutti i punti e a tutti gli istanti, con l’ovvia restrizione
che lo stato futuro del continuo non possa influenzarne lo stato presente. Per
esempio, potremmo assumere che in un fluido il tensore degli sforzi sia del tipo

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 15
Tik = −pgik, con la pressione p determinata dalla relazione
t
p(x, t) = dt ′
−∞
Bt ′
d 3 x ′ G(v(x ′ , t ′ ), θ(x ′ , t ′ ), x, t) ,
dove G è una funzione opportunamente regolare. Da questo punto di vista,
l’ipotesi più semplice è che il valore di una quantità in un certo punto e a
un certo istante dipenda dalla velocità e dalla temperatura in quel punto e a
quell’istante. Per esempio, nei continui fluidi si assume usualmente p = p(ρ, θ),
la quale equazione va letta nel senso
p(x, t) = p(ρ(x, t), θ(x, t)) .
Si noti che una dipendenza dalla densità è in ultima analisi una dipendenza
dalla velocità, visto che le due grandezze sono legate dall’equazione di continuità.
Esempio III.3.1. Come esempio realistico di equazione costitutiva consideriamo
la legge di Fourier, che è la più semplice caratterizzazione possibile del
processo di conduzione termica nei continui. L’esperienza mostra che, se si
pone una porzione di un continuo solido o fluido fra due pareti piane parallele
a distanza L, aventi superficie A e poste rispettivamente a temperature θ1 e
θ2, con θ1 < θ2, la quantità di calore che viene trasferita per unità di tempo
dalla parete calda alla parete fredda è con buona approssimazione data da
Q = κA θ2 − θ1
. (III.3.1)
L
Poiché il campo vettoriale q rappresenta proprio la quantità di calore per unità
di tempo e per unità di superficie, la più naturale generalizzazione della legge
sperimentale (III.3.1) nell’ambito della termomeccanica dei sistemi continui è
q = −κ Grad θ (III.3.2)
(legge di Fourier). Se nella (III.3.2) la quantità κ è uno scalare (coefficiente di
conduttività termica), il processo di conduzione termica è isotropo, nel senso
che il continuo non possiede direzioni privilegiate e quindi il flusso di calore
avviene nella direzione del gradiente di temperatura. In generale, κ è invece un
tensore: per esempio, in un cristallo il flusso di calore non ha necessariamente
la direzione del gradiente di temperatura.
La seconda legge della termodinamica. Dal punto di vista logico,
il secondo principio della termodinamica svolge un ruolo diverso dai principi
fisici sinora introdotti, espressi localmente dalle equazioni (III.1.5), (III.2.8),
(III.2.11) e (III.2.22). Infatti questi ultimi sono intesi come restrizioni sulle
possibili evoluzioni del sistema, per cui essi determinano, fra tutti le evoluzioni
a priori concepibili, l’evoluzione effettiva del sistema a partire da fissate condizioni
iniziali; essi sono quindi delle equazioni del moto. Viceversa, il secondo

16 UGO BRUZZO
principio della termodinamica verrà inteso come un vincolo a priori sulla caratterizzazione
costitutiva del continuo; ovvero, verrano considerati realistici, e
quindi accettabili, solamente i modelli di continuo che soddisfino il secondo
principio identicamente, per ogni possibile evoluzione del sistema che verifichi
le equazioni di bilancio (conservazione di massa, quantità di moto, momento
angolare ed energia).
Un esempio in termodinamica elementare. Consideriamo un semplice
esempio di calcolo di una variazione di entropia nell’ambito della termodinamica
elementare. Il sistema sotto esame è costituito da una mole di gas ideale
posto in contatto termico con un termostato a temperatura θ0. Il gas, partendo
da uno stato iniziale di equilibrio termodinamico, subisce una compressione
violenta (irreversibile), ottenuta applicando una pressione esterna pari
al doppio della pressione iniziale P0 del gas, dopodiché si aspetta che si ristabilisca
l’equilibrio termico. Poiché l’entriopia del gas è una funzione di stato,
possiamo calcolarne la variazione lungo una qualsiasi trasformazione (fittizia)
reversibile che porti dallo stato iniziale a quello finale. Per esempio, possiamo
scegliere una compressione reversibile isoterma. In una tale trasformazione, la
variazione di entropia del gas è
Vi
∆Hgas =
dQ
θ
dove l’integrale si intende effettuato lungo la trasformazione considerata nello
spazio dei parametri termodinamici, e dQ è il calore scambiato. Ricordando
che in un gas ideale l’energia interna è funzione solo della temperatura, che nel
nostro caso è costante, e usando l’equazione di stato pV = Rθ, con R costante
dei gas perfetti, si ha dQ = pdV = Rθ0 dV , per cui
V
Vf dV Vf
∆Hgas = R = R log = R log
V Vi
P0
= −R log 2 < 0 .
2P0
Si noti che il calcolo della quantità ∆Hgas coinvolge l’equazione di stato; ovvero,
nel linguaggio della meccanica dei continui, la sua valutazione richiede la
conoscenza delle equazioni costitutive.
Il calore che esce dal gas entra nel termostato. La variazione di entropia del
termostato è
∆Htermostato = ∆Qtermostato
θ0
= − ∆Qgas
θ0
= − L
θ0
= − 2P (Vf − Vi)
θ0
= R.
Per il calcolo della variazione totale di entropia del sistema gas + termostato
si ha
∆Htotale = ∆Hgas + ∆Htermostato = R(1 − log 2) > 0

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 17
in accordo con la seconda legge della termodinamica, la cui formulazione
nell’ambito della termodinamica elementare consiste nell’affermare che in ogni
possibile trasformazione termodinamica di un sistema, l’entropia dell’universo
cresce o al più rimane costante. In particolare, per una trasformazione reversibile
l’entropia dell’universo rimane costante.
Disuguaglianza di Clausius–Duhem. Ritornando ora nell’ambito della
termomeccanica dei sistemi continui, vediamo come si possa esprimere la seconda
legge della termodinamica in tale ambito. Sulla falsariga di quanto visto
nel precedente esempio, appare naturale supporre l’esistenza di una grandezza
fisica, detta entropia, la quale ammette una densità specifica η:
H(∆t) = ρη .
La quantità che non può decrescere nel tempo non è H, ma piuttosto la somma
di H con l’entropia del resto dell’universo (cioé di tutto l’universo salvo la
porzione di continuo ∆t). Poiché q · n rappresenta la quantità di calore per
unità di tempo e per unità di superficie che esce da una superficie di normale
n, mentre il calore per unità di tempo che esce dalla porzione per effetti di
tipo volumico è −ρr, si suppone che valga la disuguaglianza
˙H(∆t) +
∂∆t
∆t
q · n
da −
θ
∆t
ρr
θ
≥ 0 . (III.3.3)
La precedente discussione ha comunque una valore puramente euristico; la
disequazione (III.3.3), detta disuguaglianza di Clausius–Duhem, è un assioma.
Prima di discutere in che modo essa è ritenuta un assioma, vediamo come
la (III.3.3) si porta dalla formulazione integrale a quella locale: è sufficiente
usare il teorema di Gauss sull’integrale di superficie e invocare l’arbitrarietà
della regione ∆t per ottenere
ρ ˙η + Div
q
−
θ
ρr
θ
≥ 0 . (III.3.4)
I processi termocinetici che verificano la (III.3.4) con il segno di uguale sono
detti reversibili.
La seconda legge della termodinamica consiste nell’assumere che ogni processo
termocinetico che verifica le equazioni di bilancio soddisfi automaticamente
la disuguaglianza (III.3.4). Un continuo che ammetta dei processi termocinetici
che, pur verificando le equazioni di bilancio, non soddisfino la (III.3.4),
è da considerarsi inammissibile. In altri termini, la seconda legge della termodinamica
non è da considerarsi come una restrizione sui possibili processi
termocinetici che un dato continuo può compiere, ma piuttosto come una restrizione
sulla caratterizzazione costitutiva del continuo; possiamo accettare

18 UGO BRUZZO
solo modelli di continuo che verifichino identicamentela seconda legge della
termodinamica per tutte le evoluzioni ammesse dalle equazioni di bilancio.
Imposizione della disuguaglianza di Clausius–Duhem. A stretto rigore,
prima di imporre la disuguaglianza di Clausius–Duhem sarebbe necessario
caratterizzare l’insieme dei processi termocinetici effettivamente ammissibili
per il continuo sotto esame, ovvero l’insieme dei processi termocinetici che
verificano le equazioni di bilancio; è infatti su questi ultimi che va imposta
la disuguaglianza di Clausius–Duhem. Ciò equivarrebbe alla determinazione
dell’integrale generale del sistema di equazioni alle derivate parziali costituito
dal complesso delle equazioni di bilancio, la qual cosa è impossibile anche nei
casi più elementari. Si può comunque aggirare questo ostacolo, perlomeno per
una vasta classe di sistemi continui, mediante la seguente procedura.
(i) Consideriamo innanzi tutto solamente sistemi il cui tensore degli sforzi
sia simmetrico, in modo che l’equazione di bilancio del momento angolare sia
verificata identicamente.
(ii) Specifichiamo il processo termocinetico arbitrariamente e consideriamo
l’equazione di continuità come un’equazione alle derivate parziali per la funzione
densità; a questo punto l’equazione di continuità non deve più essere
imposta.
(iii) Usiamo la prima legge di Cauchy e il primo principio della termodinamica
per determinare b e r, che ovviamente rinunciamo a caratterizzare costitutivamente.
A questo punto i bilanci della quantità di moto e dell’energia non
devono più essere imposti.
In questo modo abbiamo ottenuto (per sistemi il cui tensore degli sforzi sia
simmetrico) una classe di processi termocinetici che – pur non rappresentando
l’integrale generale delle equazioni di bilancio – sicuramente soddisfano queste
ultime. Usualmente l’applicazione della disuguaglianza di Clausius–Duhem a
tale classe di processi termocinetici fornisce sufficienti informazioni.
Esempio III.3.1. Sistema idrostatico omogeneo.
È un sistema in cui il tensore
degli sforzi è del tipo Tik = −pgik, e pressione, densità e temperatura non
dipendono dal posto. Lo stato del sistema è quindi descritto da funzioni solo
del tempo p, θ, V (usiamo il volume invece della densità per uniformità con
le convenzioni correnti). L’energia interna e l’entropia di questo sistema sono
date da funzioni U = U(V, θ) e H = H(V, θ). Per un sistema di questo tipo la
disuguaglianza (III.3.4) si riduce a
˙H − Q
θ
≥ 0 con Q =
Bt
ρr . (III.3.5)

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 19
Valutando esplicitamente la potenza degli sforzi, il primo principio si scrive
Q = ˙ U + p ˙
∂U
V = + p ˙V +
∂V ∂U
∂θ ˙ θ .
La disuguaglianza (III.3.5) si scrive allora
θ ∂H
∂U
− − p ˙V + θ
∂V ∂V ∂H
∂θ
∂U
− ˙θ ≥ 0 . (III.3.6)
∂θ
In base alla precedente discussione, il processo termocinetico è arbitrario; consideriamo
allora la (III.3.6) prima per un certo processo termocinetico, poi per
il processo che si ottiene invertendo l’ordine del tempo. In questo secondo processo
le quantità ˙ V e ˙ θ cambiano segno, per cui la (III.3.6) deve valere anche
nel verso opposto, ovvero vale come uguaglianza. Quindi un sistema omogeneo
idrostatico può compiere solo trasformazioni reversibili.
Nella (III.3.6) le quantità ˙ V e ˙ θ sono arbitrarie, per cui si ottiene infine la
coppia di equazioni
θ ∂H ∂U
− − p = 0 (III.3.7a)
∂V ∂V
θ ∂H ∂U
− = 0 . (III.3.7b)
∂θ ∂θ
Le equazioni (III.3.7) vincolano la caratterizzazione costitutiva del sistema; se
l’energia interna si suppone assegnata, le (III.3.7) determinano l’entropia. Per
esempio nel caso di gas ideale omogeneo, in cui si ha
U = CV θ, p = Rθ
V ,
dove CV è detto calore specifico a volume costante ed R è la costante di stato
dei gas perfetti, le (III.3.7) si scrivono
∂H R
=
∂V V ;
∂H CV
= . (III.3.8)
∂θ θ
Le Eq. (III.3.8) costituiscono un sistema di equazioni differenziali per H che
verifica le necessarie condizioni di integrabilità; infatti si ha
∂ R
=
∂θ V
∂
CV
= 0 .
∂V θ
La soluzione del sistema (III.3.8) è
H(V, θ) = CV log θ
θ0
+ R log V
dove V0 è θ sono costanti arbitrarie. Quest’ultima equazione esprime la forma
generale dell’entropia di un gas ideale. *
* Si veda ad esempio M. W. Zemansky, Calore e termodinamica,Zanichelli 1970.
V0

20 UGO BRUZZO
Esempio III.3.2. Fluido conduttore. Consideriamo un fluido conduttore di
calore, caratterizzato dalle equazioni
⎧
⎪⎨ Tik = −pgik p = p(ρ, θ)
ε = ε(ρ, θ) η = η(ρ, θ)
⎪⎩
q = −κ Grad θ .
(III.3.9)
Assumiamo che κ sia uno scalare, e studiamo le restrizioni che il secondo
principio impone sulle quantità contenute nelle (III.3.9). Poiché
q
Div =
θ
1 1
Div q − q · Grad θ ,
θ θ2 la (III.3.4) si scrive
ρθ ˙η + Div q + ρr − 1
q · Grad θ ≥ 0 .
θ
Inserendo la legge di Fourier, ricavando il termine Div q − ρr dal primo principio,
e sostituendo, si ottiene
ρθ ˙η − ρ ˙ε − ptr D + κ
θ Grad θ2 ≥ 0 . (III.3.10)
Calcolando le derivate totali rispetto al tempo, e ricordando che tr D = Div v =
− ˙ρ/ρ, la (III.3.10) si può mettere nella forma
ρθ ∂η
− ρ∂ε ˙θ + ρθ
∂θ ∂θ
∂η
p
− ρ∂ε + ˙ρ +
∂ρ ∂ρ ρ
κ
θ Grad θ2 ≥ 0 . (III.3.11)
Imponiamo ora che la (III.3.11) valga per alcuni processi termocinetici particolari.
Consideriamo dapprima un processo in cui la temperatura non dipenda dal
posto, per cui Grad θ = 0. Lo stesso ragionamento che nell’esempio precedente
ha portato alle equazioni (III.3.7) fornisce le equazioni
θ ∂η ∂ε
−
∂θ ∂θ
= 0 (III.3.12a)
θ ∂η ∂ε p
− + = 0 (III.3.12b)
∂ρ ∂ρ ρ2 che generalizzano le (III.3.7).
Inserendo le (III.3.12) nella (III.3.11) si ottiene
κ
θ Grad θ2 ≥ 0
la quale implica
κ ≥ 0 . (III.3.13)
Quest’ultima condizione asserisce che il calore fluisce dalle regioni del continuo
a temperatura più elevata verso le zone a temperatura più bassa. Ciò non è

(TERMO)DINAMICA DEI SISTEMI CONTINUI 21
necessariamente verificato in modelli più complessi di quello sotto esame, in
quanto la presenza di “pompe di calore” può invertire la direzione del flusso di
calore; in altri termini, il calore fluisce dal freddo verso il caldo purché si compia
lavoro sul sistema (come accade in un frigorifero). Comunque nel continuo che
stiamo esaminando ciò non è possibile, in quanto non previsto dalle equazioni
costitutive, per cui effettivamente il calore fluisce dal caldo verso il freddo. In
questo senso la (III.3.13) è coerente con l’enunciato detto “di Clausius” del
secondo principio, così come è formulato nella termodinamica elementare. *
* Si veda per esempio M. W. Zemansky, op. cit.