Mercati completi e possibilità di arbitraggio - Economia

Capitolo Nono
Mercati completi e possibilità di
arbitraggio
9.1 Un modello di mercato
In questo capitolo intendiamo mostrare alcuni risultati che
ci saranno utili nella trattazione successiva. Per una esaustiva
esposizione delle condizioni sotto le quali si può assumere che i
prezzi dei titoli sul mercato finanziario seguano dei processi di
Itô, si rimanda il lettore ad Øksendal (2000) dal quale sono tratti
anche i risultati qui di seguito esposti (dei quali, dunque, si omette
la dimostrazione).
Già nella prima parte si è evidenziato il ruolo fondamentale
delle ipotesi di completezza e di assenza di arbitraggio. Le stesse
vengono qui definite in un contesto in tempo continuo.
Supponiamo che sul mercato esistano un titolo privo di rischio
ed n titoli rischiosi per i quali valgano, rispettivamente, le seguenti
equazioni differenziali stocastiche:
dG (t) = r (t, ω) Gdt,
G (t0) = G0,
dS (t)
n×1
= µ (t, ω) dt + Σ (t, ω)
n×1
0
dW ,
n×k k×1
S (t0) = S0,
dove dW èildifferenziale di un processo di Wiener di dimensione
k ed r (t, ω) è il tasso di interesse istantaneamente privo di rischio.
Durante tutta la trattazione un apice ( 0 ) indicherà la trasposizione
di un vettore o di una matrice. Il termine ω è elemento dell’insieme
degli eventi Θ da cui si costruisce la sigma algebra (F) concui
85

86 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
si misurano i processi di Wiener considerati sullo spazio di probabilità
completo (Θ, F, P). Per una esposizione più dettagliata
di tutti i concetti appena esposti si rinvia il lettore all’Appendice
9.A.
Nel prosieguo ci si riferirà alla misura di probabilità P come
“probabilità storica”. Un mercato che abbia la struttura appena
esposta verrà indicato con {S (t)} t∈[t0,H] . Si suppone che i prezzi
di tutti i titoli al tempo t0 siano conosciuti con certezza; il che
equivale ad affermare che tutte le variabili aleatorie presenti nel
modello sono Ft0-misurabili (per un’esposizione del concetto di
“misurabilità” si veda l’Appendice 9.A.2). Il mercato viene definito
“normalizzato” se vale G (t) ≡ 1. Tale ipotesi corrisponde
ad affermare che il titolo privo di rischio è il numerario della nostra
economia, la quale può sempre essere normalizzata ponendo
S (t) =G (t) −1 S (t).
Riportiamo il risultato principale riguardante l’arbitraggio.
Teorema 6 Un mercato {S (t)} t∈[t0,H] non presenta possibilità di
arbitraggio se e solo se esiste un processo k−dimensionale ξ (t, ω)
tale che
e tale che(1)
Σ (t, ω) 0 ξ (t, ω) =µ (t, ω) − r (t, ω) S (t, ω) ,
Et0
h
e 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt i
< ∞.
(1) Nei teoremi che seguono si richiederà che il vettore ξ (t, ω) rispetti la condizione
di Novikov:
Et0
·
e 1 R Tt0
kξ(t,ω)k
2
2 ¸
dt
< ∞,
ma si ricorda che, per molti risultati, si può utilizzare la più debole condizione di
Kazamaki:
·
e 1 R Tt0
ξ(t,ω)
2
0 ¸
dW
< ∞.
Et0

9.1. UN MODELLO DI MERCATO 87
Dal punto di vista economico l’ipotesi di non arbitraggio equivale
ad escludere la possibilità di creare un portafoglio tale che,
iniziando con un ammontare di ricchezza nullo, abbia, in un periodo
futuro, un valore non negativo con probabilità pari ad 1
ed un valore positivo con probabilità positiva. Definendo dunque
auto-finanziato un portafoglio che si evolve reinvestendo sempre
i flussi finanziari a cui i titoli hanno dato origine, senza né versare
né prelevare somme dal portafoglio stesso, si ha la seguente
definizione.
Definizione 6 Un arbitraggio è un portafoglio auto-finanziato
V (t) tale che
V (t0) = 0,
P {V (H) ≥ 0} = 1,
P {V (H) > 0} > 0.
Escludere la possibilità di arbitraggi, dunque, esclude la possibilità,
per gli investitori, di guadagnare denaro senza rischio.
Considerando tale definizione insieme a quella di titolo privo di
rischio, si ottiene piuttosto facilmente il seguente risultato:
Proposizione 8 Supponendo che esista un portafoglio auto finanziato
V (t) tale che la sua dinamica segua
dV (t) =h (t, ω) V (t) dt,
allora, affinché non vi sia possibilità di arbitraggio, deve valere
h (t, ω) =r (t, ω) per qualsiasi t.
Tale proposizione equivale ad affermare che, se si riesce, attraverso
un’opportuna combinazione deititolipresentisulmercato,
ad ottenere un portafoglio che si evolve in modo deterministico,
allora tale portafoglio deve renderetantoquantoiltitoloprivodi

88 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
rischio. Se, infatti, h (t, ω) fosse maggiore di r (t, ω) allora tutti
gli investitori venderebbero allo scoperto il titolo privo di rischio
(ovvero richiederebbero prestiti al tasso r) per acquistare il portafoglio
V (t). La vendita del titolo senza rischio ne determinerebbe
una riduzione di valore tale da alzarne il rendimento e ricondurre
il mercato all’equilibrio con h (t, ω) =r (t, ω).
Di seguito, invece, riportiamo il principale risultato riguardante
la completezza del mercato in tempo continuo.
Teorema 7 Un mercato {S (t)} t∈[t0,H] è completo se e solo se
esiste, ed è unico, un processo k−dimensionale ξ (t, ω) tale che
Σ (t, ω) 0 ξ (t, ω) =µ (t, ω) − r (t, ω) S (t, ω) ,
e tale che
Et0
h
e 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt i
< ∞.
Possiamo dunque riassumere i due teoremi precedenti nella
tabella che segue (dove sono state eliminate, per semplicità, le
dipendenze funzionali).
∃ξ : Σ 0 ξ = µ − rS ⇐⇒ non arbitraggio
∃!ξ : Σ 0 ξ = µ − rS ⇐⇒ completezza
Si nota facilmente, allora, che l’insieme dei mercati completi è
un sottoinsieme dei mercati nei quali non troviamo possibilità di
arbitraggio. In altri termini, un mercato che presenta arbitraggio
non può essere completo mentre un mercato completo non presenta
mai arbitraggio. Tali considerazioni sono rappresentate nella
Figura 9.1.
Possiamo ancora esporre il seguente risultato.

9.1. UN MODELLO DI MERCATO 89
Figura 9.1: Completezza ed arbitraggio
Completezza
Mancanza di
arbitraggio
Teorema 8 Se un mercato {S (t)} t∈[t0,H] è privo di arbitraggio,
allora è completo se e solo se esiste una matrice Λ (t, ω) ∈ Rk×n tale che ΛΣ0 = Ik.
Con Ik si è indicata una matrice identità di dimensioni k × k.
Ancora possiamo affermare.
Corollario 1 Se un mercato {S (t)} t∈[t0,H] è privo di arbitraggio,
allora è completo se e solo se il rango della matrice Σ èmassimo
(cioèugualeak).
Il caso che analizzeremo nel nostro lavoro riguarda un generico
mercato nella forma {S (t)} t∈[t0,H] il quale sarà considerato privo
di arbitraggio. Verranno studiati entrambi i casi di un mercato
completo ed incompleto. La situazione tipica che si studia nel
prosieguoèquellaincuiilnumerodititolipresentisulmercato
non è maggiore del numero di fonti di rischio (n ≤ k).

90 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
9.A Strumenti di calcolo stocastico
9.A.1 Processi di Wiener ed equazioni differenziali stocastiche
Presentiamo qui una breve trattazione dei principali strumenti
utilizzati nel calcolo stocastico.
Definizione 7 Un processo stocastico W (t) èdefinito “di Wiener”
se vale:
1. W (0) = 0;
2. il processo W (t) è ad incrementi indipendenti; ovvero, dati
r < s ≤ t < u le variabili stocastiche W (u) − W (t) e
W (s) − W (r) sono indipendenti;
3. per qualsiasi s

9.A. STRUMENTI DI CALCOLO STOCASTICO 91
il valore del titolo considerato, all’istante t0, deve essere quello
osservato sul mercato; possiamo, dunque, scrivere: X (t0) =X0.
Il vettore µ (t, X) accoglie i termini di deriva (drift) del processo
che rappresentano la parte deterministica del comportamento
delle variabili del vettore X mentre la matrice Σ (t, X) accoglie i
termini detti di diffusione i quali rappresentano la variabilità stocastica
del fenomeno X intorno al suo trend rappresentato dalla
deriva.
Dalla definizione di processo di Wiener si ricavano facilmente
le seguenti proprietà:
E [dX] = µ (t, X) dt,
Var[dX] = Σ (t, X) 0 Σ (t, X) dt.
Si fa notare che l’equazione differenziale di dX non può essere
rappresentata come derivata di X rispetto al tempo poiché la
derivata dW/dt non esiste. Il processo W ,infatti,ècontinuoma
non derivabile; il differenziale non può, quindi, essere tramutato
in derivata come accade, invece, quando esistono tutte le derivate
parziali.
Appare qui di fondamentale importanza riportare il teorema
cheesponeleproprietàchedevonopossederelematriciµ e Σ per
garantire che la soluzione dell’equazione differenziale stocastica
(9.1) esista e sia unica. Nel teorema che segue abbiamo indicato
con kAk la norma (di Frobenius) della matrice A; essa è data
dalla radice quadrata della traccia del prodotto tra la matrice A
e la sua trasposta, ovvero: kAk = p tr (AA 0 ).
Teorema 9 Se le funzioni µ (t, X) :R+ × R n → R n e Σ (t, X) :
R+ × R n → R k×n sono misurabili e soddisfano:
1. kµ (t, X)k + kΣ (t, X)k ≤ c (1 + kXk);
2. kµ (t, X) − µ (t, Y )k + kΣ (t, X) − Σ (t, Y )k ≤ d kX − Y k;
per ∀X, Y ∈ R n , ∀t ∈ R+ e per alcune costanti c e d, allora
esiste un’unica soluzione all’equazione (9.1). Tale soluzione (X)
gode delle seguenti proprietà:

92 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
1. X è F W t −misurabile;
2. X ha una traiettoria continua;
3. X è un processo di Markov;
4. esiste una costante k tale che: E0
h
kXk 2i
≤ kekt ³
1+kX0k 2´
.
Durante tutta la trattazione supporremo che le funzioni µ e
Σ abbiamo le proprietà Lipschitziane indicate nel teorema.
9.A.2 La misurabilità
Per poter definire il concetto di misurabilità occorre iniziare
dal concetto di spazio di probabilità (Θ, F, P) composto da tre
elementi fondamentali:
1. un insieme di eventi elementari Θ;
2. una sigma-algebra di Θ che chiameremo F;
3. una misura di probabilità P.
Definendo un insieme di eventi Θ, se ne può derivare una
sigma-algebra F. Ricordiamo che un insieme F si definisce una
sigma-algebra se gode delle seugenti proprietà:
1. l’insieme vuoto è un suo sottoinsieme: ∅∈F;
2. il complemento di un suo qualsiasi sottoinsieme è anch’esso
un suo sottoinsieme: A ∈ F =⇒ A ∈ F;
3. l’unione di un numero qualsiasi di suoi sottoinsieme è anch’essa
un suo sottoinsieme: Ai ∈ F, ∀i ∈ {1,...,n} =⇒
S n
i=1 Ai ∈ F.
Infine, la misura di probabilità P si definisce come una funzione
da F in [0, 1] tale che:

1. P (Θ) =1, P (∅) =0,
9.A. STRUMENTI DI CALCOLO STOCASTICO 93
2. per qualsiasi numero di sottoinsiemi disgiunti Ai di F valga
Ã
n[
!
nX
P = P (Ai) .
i=1
Ai
In finanza l’insieme F viene definito come “insieme informativo”
e si suppone che contenga tutte le informazioni necessarie alla
valutazione di un’attività finanziaria. In particolare, si suppone
che ad ogni istante di tempo esista un diverso insieme F che goda
della proprietà seguente:
i=1
Ft ⊆ FT , ∀t

94 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
9.A.3 Il lemma di Itô
Il lemma di Itô è uno strumento molto potente sul quale si
basa tutto il calcolo stocastico.(3) Esso rappresenta la regola fondamentale
dell’integrazione e della derivazione stocastiche e consente,
dunque, di risolvere le equazioni differenziali stocastiche.
Ancora, tale lemma consente di ottenere, data l’equazione differenziale
stocastica che descrive il comportamento di una variabile
aleatoria, il comportamento di una qualsiasi funzione di tale variabile
che sia differenziabile almeno una volta nel tempo ed almeno
due volte nella variabile considerata.
Riconsideriamo, dunque, l’equazione differenziale (9.1):
dX (t)
n×1
= µ (t, X) dt + Σ (t, X)
n×1
0
n×k
dW ,
k×1
la quale viene anche definita processo di Itô. Si voglia, adesso,
ricavare, da questa, l’equazione differenziale di una qualsiasi
funzione Y (t, X) che sia derivabile almeno una volta in t ed almeno
due volte in X; inaggiuntasirichiedechelederivatesiano
continue ovvero: Y (t, X) ∈ C 1,2 .
Il lemma di Itô si basa su un’espansione di Y (t, X) in serie di
Taylor considerando che tutti i termini infinitesimi di ordine superiore
od uguale a (dt) 2 siano trascurabili. In particolare, poiché
il differenziale di un processo di Wiener appare indipendente dal
tempo,valgonoiseguentirisultati:
E [dW dt] = E [dW ] dt =0,
h
E (dW ) 2i
= dt.
Sviluppando in serie di Taylor (al secondo ordine) la funzione
(3) Esiste, invero, un diverso approccio alla soluzione delle EDS. Tale approccio è
stato studiato dal matematico Stratonovich e, per una prima esposizione, facciamo
riferimento ad Øksendal (2000) e, in particolare, al Paragrafo 3.3. Si sottolinea,
qui, che il metodo di soluzione di Itô e quello di Stratonovich hanno proprietà
fondamentalmente diverse!

Y (t, X) si ottiene:
dY = ∂Y ∂Y
dt + dX0
∂t ∂X
+ 1
ovvero
2
9.A. STRUMENTI DI CALCOLO STOCASTICO 95
£ dt dX 0 ¤ · ∂ 2 Y
∂t 2
∂ 2 Y
∂t∂X
∂2Y ∂X 0∂t ∂2Y ∂X 0∂X ¸· dt
dX
dY = ∂Y ∂Y
dt + dX0
∂t ∂X
+ 1
µ
∂2Y 2 ∂t2 (dt)2 +2dX 0 ∂2Y ∂t∂X dt + dX0 ∂2Y ∂X 0∂X dX
.
Sostituendo il differenziale dX dato dalla (9.1) e tralasciando
iterminiin(dt) 2 si ottiene:
dY = ∂Y
∂t dt + ¡ µ 0 dt + dW 0 Σ ¢ ∂Y
∂X
+µ 0 Σ 0 dW dt + 1
2 dW 0 Σ ∂2Y ∂X 0∂X Σ0dW. Si può adesso, per ragioni che vengono lasciate alla letteratura
più tecnica,(4) sostituire i termini dW dt e dW 0dW con i loro
valori attesi i quali valgono, rispettivamente, 0 e dt. Si può allora
scrivere:
dY =
· ∂Y
∂t
¸
,
∂Y 1
+ µ0 +
∂X 2 tr
µ
Σ 0 Σ ∂2Y ∂X 0 ¸ µ 0
∂Y
dt + Σ
∂X ∂X
0 dW,
dove si è indicate con “tr” l’operatore traccia. Questo è, appunto,
il risultato del lemma di Itô. Si nota, così, che una qualsiasi
funzione Y (t, X) ∈ C 1,2 segue un processo stocastico che è simile
a quello seguito dalla variabile X. Concludiamo, in particolare,
che il differenziale di una funzione di una variabile che segue un
processo di Itô segue anch’essa un processo di Itô.
(4) Si vedano a questo proposito, per esempio, Øksendal (2000) e Björk (1998).

96 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
9.A.4 L’ottimizzazione dinamica stocastica
In questa appendice mostriamo, in una forma euristica,(5)
come risolvere un problema di ottimizzazione stocastica che assuma
la forma seguente:
⎧ hR i
H
maxu Et0 F (t, X, u) dt + G (X (H))
t0
⎪⎨ dX (t) = µ (t, X, u) dt + Σ (t, X, u)
n×1 n×1
⎪⎩
0
dW ,
n×k k×1
X (t0) =X0,
u ∈ U,
h×1
dove abbiamo n variabili di stato contenute nel vettore X ed h
variabili di controllo contenute nel vettore u. L’obiettivo è quello
di massimizzare(6) il valore atteso di una funzione intertemporale
F la quale, al tempo finale H, assumelaformaG (X (H)); ovviamente
nulla vieta che la funzione G abbia la stessa forma della
funzione F .
Poiché i processi di Wiener godono della proprietà di Markov
si può applicare il principio di ottimizzazione di Bellman. Si
può cioè supporre che esista una funzione J (t, X) detta funzione
valore la quale risolve la seguente equazione:
J (t, X) =max
u {F (t, X, u) dt + Et [J (t + dt, Xt+dt)]} .
Siccome la funzione J (t, X), risolvendo il problema di massimo,
non dipende dalle variabili di controllo u, la precedente
equazione si può anche scrivere nella forma seguente, dove si è introdotto
il termine J (t, X) all’interno dell’operatore max edove
(5) Ancora una volta per i dettagli tecnici si rinvia alla letteratura specifica. Si
confrontino, per esempio, Øksendal (2000) o Björk (1998).
(6) Si ricorda che il corrispondente problema di minimo è derivabile banalmente da
quello di massimo moltiplicando per −1 la funzione obiettivo. Vale infatti
max
x
F (x) ≡ min −F (x) ,
x
min F (x) ≡ max −F (x) .
x x

9.A. STRUMENTI DI CALCOLO STOCASTICO 97
si è sfruttata la misurabilità rispetto a Ft della variabile X:
max
u {F (t, X, u) dt + Et [J (t + dt, Xt+dt) − J (t, X)]} =0,
dalla quale si nota che, dividendo per dt si ricava, all’interno dell’operatore
valore atteso, il differenziale della funzione J (t, X) il
quale viene calcolato tramite il lemma di Itô ottenendo:
½
max F (t, X, u)+
u
∂J ∂J 1
+ µ0 +
∂t ∂X 2 tr
µ
Σ 0 Σ ∂2J ∂X 0 ¾
=0.
∂X
Una volta sostituito il valore ottimo di u, questa diviene un’equazione
differenziale stocastica alle derivate parziali, definita
equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), che assume
la forma seguente:
( n
∂J
∂t +maxu F (t, X, u)+µ 0 ∂J 1
∂X + 2 tr
³
Σ0Σ ∂2J ∂X 0 ´o
∂X =0,
J (H, X) =G (X (H)) .
La funzione da massimizzare (all’interno delle parentesi graffe)
è l’hamiltoniano del nostro problema di massimo. Per risolvere il
problema di ottimo, allora, viene prima massimizzato l’hamiltoniano
rispetto alle variabili di controllo u e, una volta sostituiti i
valori ottimi di u nell’equazione di HJB si cerca di risolvere (spesso
con strumenti numerici) l’equazione differenziale stocastica che
ne deriva.
9.A.5 Il teorema di Feynman e Kač
Per la dimostrazione del teorema si rinvia a Duffie (1996),
Björk (1998) e Øksendal (2000) mentre qui vengono semplicemente
enunciati il teorema e le condizioni sufficienti sotto cui esso è
valido.
Teorema 10 L’equazione stocastica alle derivate parziali:
⎧
⎪⎨
∂f(x,t)
∂f(x,t) 1
∂t + µ (x, t)0 ∂x + 2
⎪⎩
tr
³
Σ (x, t) 0 Σ (x, t) ∂2f(x,t) ∂x0 ´
∂x
+g (x, t) =r (x, t) f (x, t)
f (x, H) =Φ (x, H) ,

98 MERCATICOMPLETIEPOSSIBILITÀDIARBITRAGGIO
ha la seguente soluzione probabilistica:
f (x, t) =Et
dove
·Z H
se e soltanto se:
t
g (Xs,s) e − R s
t r(Xτ,τ)dτ
ds + Φ (XH) e − R H
t r(Xτ,τ)dτ
¸
,
dXs
n×1
= µ (Xs,s) dt + Σ (Xs,s)
n×1
0
dW ,
n×k k×1
Xt = x,
1. le funzioni r, Φ, f, g, µ, Σ sono continue;
2. la soluzione f soddisfa:
|f (x, t)| ≤ m (1 + kxk v ) , (9.2)
per alcune costanti positive m e v;
3. le funzioni Φ e g sono non negative, oppure soddisfano la
(9.2);
4. la funzione r è non negativa;
5. le funzioni µ e Σ sono lipschitziane.
L’importanza di questo teorema risiede nella sua applicabilità
a qualsiasi problema di valutazione di un’attività finanziaria. In
un simile contesto, infatti, le funzioni che compaiono nel teorema
possono essere interpretate nel modo seguente:
f (x, t) =prezzo dell’attività finanziaria da valutare;
r (x, t) =tasso di interesse privo di rischio, al quale vengono
scontati i flussi di cassa a cui dà diritto un titolo finanziario;
g (x, t) =flussi finanziari che vengono percepiti durante la vita
di un titolo (cedole e dividendi);

9.A. STRUMENTI DI CALCOLO STOCASTICO 99
Φ (x, t) =flusso finanziario che viene percepito alla scadenza del
titolo (rimborso);
dove si è supposto che le variabili che influenzano tali funzioni
(contenute nel vettore x) seguano dei processi generalizzato di Itô
conderivadatadaµ (x, t) e variabilità data da Σ (x, t).
Facciamo notare che, ricordando quanto esposto in precedenza
per il lemma di Itô, l’equazione differenziale stocastica da risolvere
si può anche scrivere nel modo seguente:
1
dt Et [df (x, t)] + g (x, t) =r (x, t) f (x, t) ,
la quale ha una interessante interpretazione: essa eguaglia il rendimento
certo r (x, t), calcolato sul valore dell’attività da valutare,
al rendimento dell’attività stessa (comprensivo del guadano in
conto capitale e di dividendi e cedole).

Capitolo Decimo
La valutazione delle attività
finanziarie
Le analisi teoriche che hanno più riscontro nell’interesse degli
operatori finanziari riguardano la valutazione delle attività finanziarie
e la creazione di portafogli ottimi. Nonostante in questo
volume ci si interessi essenzialmente del secondo punto, ci sembra
opportuno fornire gli strumenti essenziali sui quali ci si basa per
determinare il valore di una attività finanziaria.
Quando i mercati sono completi e senza imperfezioni esistono
tre metodi equivalenti per detta valutazione:
1. l’approccio dell’arbitraggio basato sull’esistenza di una probabilità
cosiddetta di “martingala equivalente”;
2. l’approccio della massimizzazione dell’utilità;
3. l’approccio dell’equilibrio del mercato basato sulle condizioni
di compensazione.
Tutti e tre i metodi suesposti sono analizzati in Jouini (2001)
a cui rimandiamo per i dettagli più tecnici. Nell’analisi condotta
in questo capitolo tralasciamo, peraltro, il terzo approccio poiché
non risulta rilevante ai fini dell’analisi che segue. Il secondo verrà
ampiamente dibattuto nella trattazione effettuata nei capitoli
successivi. Nei paragrafi seguenti, dunque, mostriamo come si
possa effettuare la valutazione di una attività finanziaria tramite
il metodo della “probabilità di martingala equivalente”.
101

102 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
10.1 La probabilità di martingala equivalente
In un contesto deterministico la regola fondamentale per valutare
un’attività finanziaria afferma che il suo prezzo deve essere
uguale al valore scontato di tutti i flussi di cassa a cui tale attività
finanziaria darà diritto.
In ambito stocastico detta regola deve essere un poco modificata
per continuare ad essere valida. Poiché, infatti, i flussi di
cassa futuri non sono certi o, anche se questi lo sono, non è certo
il tasso a cui essi vanno scontati, la formula di valutazione di un
titolo è valida solo in termini di valore atteso. Ancora, non possiamo
essere sicuri che il valore atteso dei flussi di cassa scontati
sia uguale al prezzo del titolo e ciò, sostanzialmente, a causa delle
diverse probabilità con cui i diversi agenti economici stimano i
flussi finanziari futuri (o i tassi di interesse).
Ecco, dunque, che diviene necessario valutare i titoli sotto
una particolare e ben determinata probabilità. Si consideri, in
particolare, un mercato come quello studiato all’inizio di questa
seconda parte del volume:
dG (t) = r (t, ω) Gdt,
dS (t) = µ (t, ω) dt + Σ (t, ω) 0 dW.
Diviene possibile procedere alla valutazione di un nuovo titolo
il cui prezzo V (t, S) dipenda dal prezzo degli altri titoli sul mercato
solo se esiste una probabilità sotto la quale tutti i titoli del
mercato hanno lo stesso rendimento. Se tale probabilità esiste,
allora, sotto di essa, anche il nuovo titolo V (t, S) deve garantire
un uguale rendimento per semplici ragionamenti di arbitraggio.
Poiché il valore del titolo privo di rischio non segue un’equazione
stocastica, allora il suo rendimento non è influenzato dalla
probabilità sotto la quale ne viene calcolato il valore atteso. Ciò
significa che dobbiamo cercare una misura di probabilità sotto la
quale tutti i titoli rischiosi del mercato abbiano lo stesso rendimento
e tale rendimento sia uguale a quello del titolo privo di
rischio.
Definiamo questa “nuova” probabilità come Q e il nuovo differenziale
di Wiener ad essa associato come dW Q . Deve, dunque,

10.1. LA PROBABILITÀ DI MARTINGALA EQUIVALENTE 103
valere
dS = r (t, ω) S (t, ω) dt + Σ (t, ω) 0 dW Q ,
la quale implica
µ (t, ω) dt + Σ (t, ω) 0 dW = r (t, ω) S (t, ω) dt + Σ (t, ω) 0 dW Q ,
che può essere semplificata come segue:
³
0
Σ (t, ω) dW Q ´
− dW =(µ (t, ω) − r (t, ω) S (t, ω)) dt.
È immediato notare la stretta relazione che lega questa equazione
con l’equazione che deve valere nei Teoremi 6 e 7. Si intuisce,
dunque, il legame tra l’esistenza della probabilità Q e l’assenza di
opportunità di arbitraggio.
Per dimostrare l’esistenza della probabilità Q ci viene in soccorso
il Teorema di Girsanov(1) che può essere esposto nel
modo seguente.
Teorema 11 (Teorema di Girsanov) Dato un mercato nella
forma {S (t)} t∈[t0,H] , se si assume che esistano un vettore ξ (t, ω)
di dimensione k ed un vettore α (t, ω) di dimensione n tali che
Σ (t, ω) 0 ξ (t, ω) =µ (t, ω) − α (t, ω) ,
dove ξ (t, ω) soddisfa la condizione
allora, posto
Et0
h
e 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt i
< ∞,
dQ (ω)
dP (ω) = e− R H
ξ(t,ω) t0 0 dW − 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt
, (10.1)
(1) Il teorema di Girsanov viene qui introdotto nella forma che ci è sembrata più
vicina a quanto già esposto in precedenza. Osserviamo, comunque, che esistono
numerose versioni del teorema, tre delle quali sono esposte in Øksendal (2000).

104 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
il moto
W Q (t) =
Z t
t0
ξ (s, ω) ds + W (t) , (10.2)
è un processo di Wiener rispetto a Q ed in termini di W Q il
mercato {S (t)} t∈[t0,H] si può rappresentare nel modo seguente:
dS (t)
n×1
= α (t, ω) dt + Σ (t, ω)
n×1
0
dW
n×k
Q
k×1 .
Da tale teorema e da quanto esposto in precedenza possiamo
ricavare come, sotto la misura di probabilità Q, il mercato si trasformi
in un processo stocastico che ha come deriva un qualsiasi
vettore desiderato (α) che soddisfaccia la relazione Σ 0 ξ = µ − α.
Possiamo, dunque, anche avere il caso in cui α =0ed ottenere
così il processo dei prezzi del mercato che è rappresentato da un
integrale stocastico il quale è una martingala. Per tale motivo la
nuova probabilità Q viene anche definita come probabilità di
martingala equivalente.
In genere, comunque, il Teorema di Girsanov viene utilizzato
ponendo α = rS e facendo assumere al vettore ξ il ruolo di prezzo
di mercato del rischio. In questo caso, allora, i prezzi dei
titoli non sono più una martingala ma sono tale i prezzi scontati.
Ecco, così, che si spiega l’altra locuzione con cui è conosciuta
Q: probabilità neutrale al rischio (sotto di essa, infatti, tutti
i titoli hanno lo stesso rendimento r). Quando la matrice Σ è
quadrata ed invertibile tale vettore (che in questo caso è unico)
assume la forma seguente:
ξ = Σ 0−1 (µ − rS) .
Facciamo notare che si tratta dell’indice di Sharpe dato dal
rapporto tra il rendimento eccedente il tasso privo di rischio e la
volatilità di un titolo. Il termine che consente di passare dalla
probabilità storica P alla probabilità di martingala equivalente Q
è, dunque, dato dall’indice di Sharpe. Per tale passaggio risulta

10.1. LA PROBABILITÀ DI MARTINGALA EQUIVALENTE 105
fondamentale la cosiddetta derivata di Radon-Nikodym (già
esposta nel Teorema di Girsanov) che assume la forma seguente:
dQ (ω)
dP (ω) = e− R H
ξ(t,ω) t0 0 dW − 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt
.
Ricordiamo, a questo proposito, che il valore atteso di una
variabile casuale è l’integrale della stessa valutato rispetto al differenziale
della funzione di ripartizione. Ecco, allora, che deve
valere:
E P Z
t [S (τ)] = S (τ) dP,
dove l’integrale va calcolato sul dominio Θ che è l’insieme degli
eventi dello spazio di probabilità (Θ, F) su cui sono definite entrambe
le probabilità P e Q. Per passare all’altra probabilità,
così, è sufficiente il seguente passaggio:
E Q t [S (τ)] = EP ·
t S (τ) dQ
¸
,
dP
quando, infatti, si prova a scrivere il valore atteso come integrale,
si ottiene:
E P ·
t S (τ) dQ
¸ Z
= S (τ)
dP Θ
dQ
Z
dP = S (τ) dQ = E
dP Θ
Q t [S (τ)] ,
dalla quale appare evidente il ruolo fondamentale della derivata
di Radon-Nikodym.
Facciamo qui notare che l’operazione inversa, cioè il passaggio
dalla probabilità Q alla probabilità P, può essere effettuata
considerando l’inverso del rapporto (10.1) dove, tuttavia, si deve
sostituire il processo stocastico W con quello W Q in base alla
relazione (10.2). Ecco, dunque, che si può scrivere
e, poiché dalla (10.2) vale
R dP (ω)
H
ξ(t,ω) t = e 0
dQ (ω) 0 dW + 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt
,
dW (t) =dW Q (t) − ξ (s, ω) dt,
Θ

106 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
si ha, infine
dP (ω)
dQ (ω)
R H
ξ(t,ω) t = e 0 0 dW Q (t)− R H
ξ(t,ω) t0 0 ξ(s,ω)dt+ 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt
R H
ξ(t,ω) t = e 0 0 dW Q (t)− 1 R H
kξ(t,ω)k 2 t0 2 dt
.
Sfruttando questo nuovo differenziale si può scrivere, analogamente
a quanto derivato in precedenza, anche la seguente
relazione:
E Q t
·
S (τ) dP
¸
dQ
Z
=
Θ
S (τ) dP
Z
dQ = S (τ) dP = E
dQ Θ
P t [S (τ)] .
La trasformazione della derivata di Radon-Nikodym è stata
necessaria poiché il calcolo del valore atteso sotto la probabilità
Q può essere effettuato solo se tutti i suoi argomenti sono espressi
in termini di tale probabilità.
Sottolineiamo che le due probabilità P e Q, per come sono state
costruite, sono equivalenti e, dunque, il dominio di integrazione è
lo stesso per entrambe. Qui di seguito ricordiamo la definizione
di probabilità equivalenti.
Definizione 8 Due misure di probabilità P e Q, definite sullo
stesso spazio di probabilità (Θ, F), si dicono equivalenti se per
qualsiasi A ∈ F , P (A) =0⇔ Q (A) =0.
Ora, per ritornare all’iniziale problema di valutazione di un
nuovo titolo V (t, S), appare chiaro che, per ragioni di arbitraggio,
sotto la nuova probabilità di martingala equivalente, il suo
rendimento atteso deve essere uguale al tasso privo di rischio,
cioè deve valere:
E Q t
[dV (τ,S)] = V (t, S) r (t) dt.
Nel paragrafo seguente sviluppiano i conti per la determinazione
del valore di un simile titolo mentre nell’ultimo paragrafo
presentiamo il caso della valutazione di un titolo zero-coupon.

10.2. LA VALUTAZIONE DI TITOLI DERIVATI 107
10.2 La valutazione di titoli derivati
Si supponga che sul mercato finanziario vi siano n titoli rischiosi
i cui prezzi nel tempo si evolvono secondo l’equazione
differenziale stocastica
dS
n×1
= µ (S, t)
n×1
dt + Σ (S, t) 0
dW ,
k×n
n×k
ed un titolo privo di rischio il cui valore G risolva
dG = r (t) Gdt.
Un simile mercato, con la notazione introdotta nel capitolo
precedente, può essere scritto come {S (t)} t∈[t0,H] . Si vuole, adesso,
determinare il valore di un titolo derivato il cui valore (V )
dipenda dal tempo e dai prezzi dei suddetti titoli. Supponiamo,
per dovere di generalità, che il titolo derivato paghi delle somme
aleatorie nel tempo e rappresentate dalla variabile b (t, S). La
funzione b (·) è deterministica rispetto al tempo ed ai prezzi dei titoli
S mentre l’aleatorietà dei flussi è determinata esclusivamente
dall’aleatorietà del vettore S. La regola secondo la quale vengono
pagati i dividendi e le cedole, dunque, è conosciuta al tempo della
sottoscrizione del contratto. Si pensi, per esempio, al caso delle
obbligazioni che pagano un rendimento fisso (piuttosto elevato) a
cui si sottrae un multiplo (in genere il doppio) dell’indice Euribor.
La regola con cui si calcola tale rendimento è determinata mentre
la sua aleatorietà dipende dall’aleatorietà dell’indice Euribor
stesso.
Sappiamo che, sotto la probabilità di martingala equivalente
(Q) tutti i titoli devono avere un rendimento pari al tasso privo di
rischio. Ci spostiamo, dunque, sotto la probabilità di martingala
equivalente supponendo che il mercato sia privo di arbitraggio e
completo. In termini algebrici ciò significa che la matrice Σ delle
volatilità dei prezzi dei titoli è quadrata (n = k) e di rango pieno.
Sotto tali ipotesi, dunque, sappiamo che il prezzo del rischio esiste
unico ed è dato da
ξ = Σ 0−1 (µ − rS) .

108 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
Possiamo allora ricavare, dal Teorema 11 di Girsanov, la relazione
dW Q = Σ 0−1 (µ − rS) dt + dW,
la quale, sostituita nell’equazione che determina i prezzi dei titoli,
porge
dS = rSdt + Σ 0 dW Q .
Sotto tale probabilità anche il nuovo titolo derivato, per un
banale ragionamento di arbitraggio, deve avere rendimento uguale
a quello del titolo privo di rischio.
Applichiamo ora il lemma di Itô a V (t, S) sotto la probabilità
Q, ottenendo:
µ
∂V
dV =
∂t +
µ 0
∂V
Sr +
∂S
1
2 tr
µ
Σ 0 Σ ∂2V ∂S0
dt
∂S
µ 0
∂V
+ Σ
∂S
0 dW Q .
La deriva di V ne rappresenta il rendimento atteso in conto
capitale, cioè la modifica del suo valore dovuta al semplice trascorrere
del tempo ed al modificarsi dei prezzi dei titoli S. Ilrendimento
totale di V , tuttavia, deve comprendere anche le cedole
ed i dividendi pagati durante la vita del titolo. Poiché abbiamo
definito con b (t, S) tali flussi finanziari, allora la condizione di
non arbitraggio che impone che, sotto Q, il rendimento di V sia
uguale al tasso privo di rischio, si può scrivere come segue:
∂V
∂t +
µ ∂V
∂S
0
Sr + 1
2 tr
µ
Σ 0 Σ ∂2 V
∂S 0 ∂S
+ b (t, S) =rV.
Applicando il Teorema 10 di Feynman-Kač si può, conosciuto
il valore a scadenza del titolo V (T,S) con T ≤ H, rappresentare
la soluzione di questa equazione stocastica alle derivate parziali
nel modo che segue:
V (t, S) =E Q t
·Z T
t
b (s, S) e − R s
t r(τ)dτ ds + V (T,S) e − R T
t r(τ)dτ
¸
.
(10.3)

10.2. LA VALUTAZIONE DI TITOLI DERIVATI 109
Un simile risultato viene spesso definito come Teorema Fondamentale
della Finanza e può essere enunciato nel modo che
segue.
Teorema 12 (Teorema Fondamentale della Finanza) Il valore
di un’attività finanziaria è uguale al valore atteso, sotto la
probabilità di martingala equivalente, di tutti i flussi di cassa
scontati a cui il titolo dà diritto.
Il teorema appena enunciato estende al campo stocastico il ben
noto risultato deterministico secondo cui il valore di un’attività
finanziaria è dato dal valore attuale di tutti i flussi di cassa a
cui l’attività dà diritto. Detto risultato si può estendere, dunque,
anche al caso stocastico, inserendo, tuttavia, l’operatore valore
atteso e la probabilità di martingala equivalente.
Osserviamo che dalla formula generale (10.3) è immediato ricavare
la formula di Black e Scholes per il prezzo di un’opzione
call C (t, S), la quale si ottiene sotto le seguenti ipotesi:
dove
1. l’opzione non paga dividendi (dunque b (t, S) =0)edilsuo
pay-off alla scadenza H èdatodamax (ST − K, 0) dove K
è il prezzo di esercizio;
2. il tasso di interesse privo di rischio è costante nel tempo
r (t) =r;
3. vi è un solo titolo rischioso il cui prezzo S segue un processo
browniano geometrico (ovvero µ (S, t) =µS e Σ (t, S) =σS
con µ e σ costanti).
L’Equazione (10.3), quindi, si semplifica nel modo seguente:
C (t, S) =e −r(T −t) E Q t [max (ST − K, 0)] ,
dS = rS + σSdW Q .

110 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
I calcoli per esplicitare il valore atteso vengono riportati nell’Appendice
10.A. Il lettore, comunque, per ulteriori approfondimenti
è rinviato all’ampia letteratura in materia.(2) Si vuole qui
ricordare, soltanto, il seguente risultato. Nel modello di Black e
Scholes il mercato è completo poiché esiste ed è unico il prezzo di
mercato del rischio il cui valore ξ risolve
σSξ = µS − rS,
da cui, come già argomentato in precedenza, si ottiene l’indice di
Sharpe: ξ =(µ − r) /σ.
Quando sul mercato si introduce anche il titolo derivato C (t, S),
la condizione di non arbitraggio impone che esista un nuovo vet-
tore ˆξ tale da soddisfare
¸ ·
ˆξ =
· σS
σ ∂C
∂S
∂C
∂t
+ ∂C
∂S
µS
µS + 1
2 σ2 ∂2 C
∂S 2
¸ ·
rS
−
rC
Ricordiamo che l’equazione dinamica del titolo derivato è stata
determinata in modo da verificare
∂C
∂t
∂C 1
+ rS +
∂S
2 σ2 ∂2C ∂S
2 = Cr,
che, sostituita nella condizione di non arbitraggio, porge:
¸ ·
ˆξ =
(µ − r) S
(µ − r) S
¸
,
· σS
σ ∂C
∂S
∂C
∂S
da cui ci rendiamo conto immediatamente che il mercato è rimasto
completo e privo di arbitraggio poiché esiste uno ed un solo
valore di ˆ ξ che risolve tale sistema. Detto valore, inoltre, è uguale
al precedente: ˆ ξ = ξ. Infatti, la nuova equazione che si è introdotta
è identica a quella originaria. L’introduzione di un titolo
derivato, così, non altera la completezza del mercato. In effetti, in
termini algebrici, al sistema che porge la condizione di non arbitraggio
viene aggiunta un’equazione linearmente dipendente dalle
(2) Si consigliano in particolare, per la loro chiarezza in merito, Björk (1998) e Dana
e Jeanblanc-Picqué (1998).
¸
.

10.3. IL VALORE DI UNO ZERO-COUPON 111
altre. Ricordiamo, a questo proposito, che un altro approccio
molto utilizzato per la valutazione di un titolo derivato è quello
di determinare un portafoglio che lo possa replicare. Se tale
portafoglio esiste, il titolo derivato è, appunto, una combinazione
lineare di titoli esistenti sul mercato(3) e, dunque, non ne altera
la completezza poiché introduciamo in un sistema di equazioni,
un’altra equazione linearmente derivata dalle altre.
10.3 Il valore di uno zero-coupon
Anche un titolo zero-coupon può essere visto come un titolo
derivato. Il sottostante, in questo caso, è dato non dal valore di
un altro titolo, bensì dal tasso di interesse. La nostra analisi,
allora, inizia definendo il tasso di interesse privo di rischio come
un generico processo stocastico nella forma seguente:
dr (t) = µ r (t, r) dt + σr (t, r) dWr,
r (0) = r0.
Per un’analisi dettagliata dei principali modelli dei tassi di
interesse e, dunque, dell’esplicitazione delle forme funzionali di µ r
ediσr, il lettore può fare riferimento a Björk (1998) e a Martinelli
e Priaulet (2000). Qui ci limitiamo a ricordare i modelli di Vasiček
(1977):
dr (t) =α (β − r (t)) dt + σdWr,
e di Cox, Ingersoll e Ross (1985):
dr (t) =α (β − r (t)) dt + σ p r (t)dWr,
che sono i più usati in letteratura (α, β e σ sono parametri reali)
mantenendo, comunque, nell’analisi, la nostra formulazione
generale.
(3) Un portafoglio, infatti, è sempre una combinazione lineare di titoli ed il suo
valore è dato dalla somma dei prezzi dei titoli moltiplicati per il numero dei titoli
stessi presenti nel portafoglio.

112 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
Sappiamo che il valore di un titolo obbligazionario (B), che
non paghi cedole, dipende esclusivamente dal tasso di interesse e
dalla vita residua del titolo(4) (che si suppone scadere in T ≤ H)
e si può dunque calcolare l’andamento di tale valore nel tempo
attraverso il lemma di Itô:
dB (t, T, r) =
µ ∂B
∂t
∂B
+
∂r µ r + 1
2
dove, per semplicità, possiamo definire:
µ B ≡ ∂B ∂B
+
∂t
σB ≡ ∂B
∂r σr.
∂r µ r + 1
2
∂2B ∂r2 σ2
r dt + ∂B
∂r σrdWr,
∂ 2 B
∂r 2 σ2 r,
Adesso possiamo sfruttare il fatto che, se esiste una probabilità
di martingala equivalente Q, esiste anche un prezzo per il rischio
ξ (t, r) che si può scrivere nella forma seguente:
ξ (t, r) = µ B − rB
.
Sostituendo in questa relazione i valori della deriva (µ B)edella
volatilità (σB) dell’obbligazione si ottiene la seguente equazione
differenziale stocastica:
∂B ∂B
+
∂t ∂r (µ r − ξσr)+ 1 ∂
2
2B ∂r2 σ2r − rB =0,
alla quale si può associare la “naturale” condizione al contorno
per cui, alla data di scadenza, il valore dello zero-coupon deve
essere uguale al suo valore nominale supposto, per convenzione,
pari ad una unità monetaria:
σB
B (T,T,r)=1.
(4) Nel presente lavoro si fa sempre astrazione dal rischio di fallimento dell’emittente
i titoli. Detta ipotesi non è particolarmente forte nel contesto, qui analizzato, di un
portafoglio sufficientemente diversificato in cui l’annullamento del valore di uno solo
deititolidetenuticomportaeffetti trascurabili sul valore dell’intero portafoglio.

10.3. IL VALORE DI UNO ZERO-COUPON 113
Per risolvere l’equazione stocastica alle derivate parziali che
abbiamo ottenuto ci viene in soccorso il Teorema 10 di Feynman-
Kač il quale ci consente di scrivere la soluzione nella forma se-
guente:
B (t, T, r) =E Q t
h
e − R T
t r(s)dsi
,
dove è stata utilizzata la probabilità Q poiché l’equazione è stata
derivata sotto di essa. Il processo del tasso di interesse, allora,
deve essere scritto come segue:
ovvero
dr =(µ r − ξσr) dt + σrdW Q r ,
dr = µ rdt + σr
³
dW Q ´
r − ξdt ,
e poiché, dal Teorema 11 di Girsanov, sappiamo che deve valere
otteniamo
dW Q r = ξdt + dWr,
dr = µ rdt + σrdWr,
che mostra come i due processi del tasso di interesse, sotto la
probabilità storica P e sotto la probabilità neutrale al rischio Q,
siano equivalenti.
Per riportare la formula del valore atteso all’originale probabilità
storica P ci è sufficiente utilizzare la derivata di Radon-
Nicodym (già definita nei paragrafi precedenti) la quale, dato il
prezzo del rischio ξ (t, r), si può scrivere nella forma seguente:
dQ (ω) =dP (ω) e − R T
t
R 1 T
ξ(s,r)dWr− 2 t ξ2 (s,r)ds
,
conducendo al valore del titolo zero-coupon:
h
e − R T
t r(s)ds e − R T
R 1 T
ξ(s,r)dWr− t 2 t ξ2 (s,r)ds i
.
B (t, T, r) =E P t
Facciamo notare che un’analisi empirica deve stimare le forme
funzionali di µ r ediσr oltre che il valore del prezzo per il rischio
ξ. È prassi comune considerare il prezzo per il rischio come una

114 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
costante. Tale ipotesi sembra difficile da giustificare con argomenti
diversi dalla mera comodità di calcolo. Per una rassegna
dei metodi di stima della curva dei tassi di interesse rimandiamo
il lettore a Martellini e Priaulet (2000).
10.A La formula di Balck e Scholes
In questa appendice si vogliono esplicitare i calcoli necessari
per determinare la formula chiusa con cui si può esprimere, nel
modello di Balck e Scholes, il valore di un’opzine call C (t, S).
Il valore atteso che occore calcolare è
C (t, S) =e −r(T −t) E Q t [max (ST − K, 0)] ,
dove, data l’equazione che descrive l’evoluzione del valore del
titolo St, deve valere
1
ST = Ste (r− 2 σ2 )(T −t)+σ(W (T )−W (t))
.
Ricordiamo che l’operatore max può essere sostituito da una
funzione indicatore che definiamo nel modo seguente
Ix>x0 =
½ 1, x > x0,
0, x ≤ x0.
In termini meno formali, tale funzione indicatore permette
di “eliminare” dall’analisi i casi che non interessano. Infatti,
possiamo scrivere
E Q t [max (ST − K, 0)] = E Q t [(ST − K) IST >K] .
Ecco, quindi, che il valore atteso si può separare nella somma
di due distinti valori attesi (ricordiamo che K non è una variabile
aleatoria):
C (t, S) =e −r(T −t) E Q t [ST IST >K] − e −r(T −t) KE Q t [IST >K] .

10.A. LA FORMULA DI BALCK E SCHOLES 115
Ricorriamo, adesso, alla proprietà per cui il valore atteso della
funzione indicatore coincide con la probabilità. In termini formali,
cioè, vale
E Q t [IST >K] =Q (ST >K) .
La condizione ST >K si può scrivere come
1
Ste (r− 2 σ2 )(T −t)+σ(W (T )−W (t))
> K,
´
ln −
W (T ) − W (t) >
¡ r − 1 2σ2¢ (T − t)
.
σ
Ora, poiché la variabile casuale W (T ) − W (t) è distribuita
normalmente con media zero e varianza T − t, si può sfruttare
la distribuzione di una variabile normale standard dividendo
entrambi i membri per lo scarto quadratico medio
³ ´
K
1
ln − St
√ (W (T ) − W (t)) >
T − t ¡ r − 1 2σ2¢ (T − t)
σ √ ≡ d1.
T − t
Si può, infine, scrivere
Q (ST >K)= 1
Z +∞
x2
− √ e 2 dx,
2π d1
che risolve il secondo addendo della fromula di Balck e Scholes.
Rivolgiamo, ora, la nostra attenzione al primo addendo che è il
valore atteso del prezzo dell’azione in T , sotto l’ipotesi che esso
sia maggiore di K. Possiamo semplificare i calcoli ponendo
y =lnST
³ KSt
e notando che la variabile aleatoria y ha distribuzione
µ µ
N ln St + r − 1
2 σ2
(T − t) , σ 2
(T − t) ,
per cui il valore atteso che ci interessa si può scrivere come
= E Q t
=
e −r(T −t) E Q t [ST IST >K]
h
e −r(T −t) e y Iy>ln K
Z +∞
1
p 2πσ 2 (T − t)
ln K
i
e −r(T −t) e y e − (y−ln S t −(r− 1 2 σ2 )(T −t)) 2
2σ 2 (T −t) dy.

116 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
Standardizziamo questa variabile normale ponendo
y ∗ = y − ln St − ¡ r − 1 2σ2¢ (T − t)
σ √ ,
T − t
dy ∗ =
1
σ √ T − t dy,
e risolviamo così l’integrale per sostituzione:
=
=
e −r(T −t) E Q t [ST IST >K]
Z +∞
1
√
2π
1
√ St
2π
d1
Z +∞
d1
e −r(T −t) e y∗ σ √ T −t+ln St+(r− 1
2 σ2 )(T −t) e − y∗2
2 dy ∗
1
−
e 2(y ∗−σ √ T −t) 2
dy ∗ .
L’ultimo passaggio consiste nell’effettuare un ulteriore cambiamento
di variabile
y ∗∗ = y ∗ − σ √ T − t,
dy ∗∗ = dy ∗ ,
da cui
e −r(T −t) E Q Z
£ ¤ +∞ 1
t ST χST >K = √2π St
d1−σ √ 1
−
e 2
T −t
y∗∗2
dy ∗∗ .
Adesso, notando con Φ (x) la probabilità che una variabile
casuale normale standardizzata assuma valori inferiori ad x, si può
infine scrivere il risultato di Black e Scholes nei termini seguenti(5)
³
C (t, S) =StΦ −d1 + σ √ ´
T − t − e −r(T −t) KΦ (−d1) .
(5) Abbiamo sfruttato la simmetria della funzione di densità normale per cui si può
scrivere Z +∞
d1
Z −d1
∂Φ (x)
∂Φ (x)
dx =
∂x −∞ ∂x dx.

10.B. PORTAFOGLIO DI TITOLI DERIVATI: LA STRATEGIA ‘‘VINCENTE’’ 117
10.B Portafoglio di titoli derivati: la strategia
‘‘vincente’’
La presente appendice è stata qui introdotta allo scopo di
offrire al lettore un risultato piuttosto noto in letteratura(6) che
può essere utile per apprendere bene come utilizzare le tecniche
di passaggio da una misura di probabilità all’altra. In particolare
ci interessa mostrare che, considerando un portafoglio composto
solo da opzioni put e call, si può determinare una composizione
“ottima” rispetto alla quale il guadagno medio del poratfoglio è
sempre positivo.
Definiamo da principio il concetto di “guadagno medio”: esso
èladifferenza tra il valore atteso della ricchezza a termine ed
il valore della ricchezza attuale capitalizzato al tasso di interesse
privo di rischio. Si supponga di iniziare dal periodo t0 =0(senza
perdita di generalità) e di definire con R (t) la ricchezza ad ogni
istante di tempo, allora il guadano medio al tempo T èdatoda
E0 [R (T )] − R (0) e rT .
Adesso supponiamo di voler comporre un portafoglio di opzioni
call (il cui prezzo oggi sia C (S0,KC)) e di opzioni put (il
cui prezzo oggi sia P (S0,KP )) taliche
e che valga anche
R (0) = wP P (S0,KP )+wCC (S0,KC) ,
E0 [wP max (KP − S (T ) , 0)
+wC max (S (T ) − KC, 0)] >R(0) e rT ,
(10.4)
dove si è indicato con wP e wC il numero di opzioni put ed opzioni
call rispettivamente detenute nel portafoglio. Come si è mostrato
nel precedente paragrafo di questa appendice, vale
E Q £ −rT
0 e max (KP − S (T ) , 0) ¤ £ −rT
e max (S (T ) − KC, 0)
= P (S0,KP ) ,
¤ = C (S0,KC) .
E Q
0
(6) Il modello presentato è analizzato, in maggiore dettaglio, in Dokuchaev (2002).

118 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
Da notare, dunque, che la ricchezza finale R (T ), valutata sotto
la probabilità di martingala equivalente Q, vale esattamente
R (0) e rT . Questo risultato non ci deve stupire poiché abbiamo già
argomentato come la probabilità Q sia una probabilità che determina
“indifferenza al rischio” e sotto la quale, dunque, qualsiasi
attività finanziaria abbia rendimento atteso pari al tasso privo
di rischio r. Tuttavia ricordiamo anche che Q è una probabilità
fittizia. Il valore atteso della ricchezza va calcolato infatti, più
propriamente, sotto la probabilità storica P. IlTeoremadiGirsanov,
comunque, ci fornisce una stretta relazione tra le due misure
di probabilità.
Osserviamo, ora, come poter riscrivere la Disequazione (10.4)
in modo che si possano usare le identità riguardo i prezzi P e C.
Il primo passaggio è quello di scontare entrambi i membri in modo
da ottenere
£ −rT
wP E0 e max (KP − S (T ) , 0) ¤
£ −rT
+wCE0 e max (S (T ) − KC, 0) ¤ >R(0) .
Ciononostante il valore atteso è ancora calcolato rispetto alla
probabilità storica P mentre ci interessa esprimerlo in termini di
probabilità Q. Sfruttiamo, allora, la derivata di Radon-Nikodym
per riscriver il primo membro della Disequazione (10.4) come
wP E Q
·
0 e −rT max (KP − S (T ) , 0) dP
¸
dQ
+wCE Q
·
0 e −rT max (S (T ) − KC, 0) dP
¸
.
dQ
Adesso, anziché esplicitare i conti (come si è fatto nel precedente
paragrafo di questa appendice) ricorriamo alla seguente
“astuzia”: poiché valgono le relazioni
E0 [S (T )] = S0e µT ,
E Q
0 [S (T )] = S0e rT ,
possiamo riscrivere la somma precedente come
wP P ¡ e µT ¢
S0,KP + wCC ¡ e µT ¢
S0,KC ,

10.B. PORTAFOGLIO DI TITOLI DERIVATI: LA STRATEGIA ‘‘VINCENTE’’ 119
dove si sottolinea che i prezzi delle opzioni put e call sono stati
calcolati non più rispetto al semplicevaloreinizialedell’attività
finanziaria sottostante bensì rispetto a tale valore capitalizzato
ad un tasso pari a µ (che è la deriva dell’equazione differenziale
stocastica di S (t)).
Ricordando, ora, la relazione che lega il prezzo P al prezzo C
detta parità put-call(7)
P (S0,K)=C (S0,K) − S0 + Ke −rT ,
si può scrivere
¡ ¡ ¢ µT
wP C e S0,KP − S0e µT + KP e −rT ¢ + wCC ¡ e µT ¢
S0,KC .
Dobbiamo garantire che tale somma sia sempre maggiore di
R (0) per qualsiasi valore iniziale S0. Derivando tale somma
rispetto a S0e µT si ottiene
wP
³
Φ
³
−d1 (KP )+σ √ T
´ ´ ³
− 1 + wCΦ −d1 (KC)+σ √ ´
T ,
dove i simboli sono gli stessi utilizzati nel paragrafo precedente e
dove si è sfruttato il ben noto risultato
∂C (S0,K)
³
= Φ −d1 + σ
∂S0
√ ´
T .
Valendo anche
∂ 2 C (S0,K)
∂S 2 0
> 0,
(7) Tale relazione è derivata dal seguente regionamento. Valendo, evidentemente
max (ST − K, 0) − max (K − ST , 0) = ST − K,
se ne calcola il valore atteso, scontato, sotto la probabilità Q esiottiene
h
Q
E e −rT i h
Q
max (ST − K, 0) − E e −rT i
max (K − ST , 0) = S0 − Ke −rT .
ricordando che sotto Q la variabile ST e −rT è una martingala. Ecco, dunque, che si
può concludere
C − P = S0 − Ke −rT .

120 LA VALUTAZIONE DELLE ATTIVITÀ FINANZIARIE
la derivata seconda della somma che ci interessa è sempre positiva
e, dunque, si può determinare un minimo annullandone la derivata
prima. Tale posizione porge
³
wC
1 − Φ −d1 (KP )+σ
=
wP
√ ´
T
³
Φ −d1 (KC)+σ √ ´ ,
T
la quale, messa a sistema con la condizione
R (0) = wCC (S0,KC)+wP P (S0,KP ) ,
determina un’unica composizione per il portafoglio che abbia, per
qualsiasi prezzo S0 e per qualsiasi misura di probabilità diversa
da Q, un valore atteso più elevato di quello della ricchezza iniziale
capitalizzata.