dispense 2010 2011 - Scienze della terra - Università degli Studi di ...
dispense 2010 2011 - Scienze della terra - Università degli Studi di ...
dispense 2010 2011 - Scienze della terra - Università degli Studi di ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Università</strong> <strong>degli</strong> <strong>Stu<strong>di</strong></strong> <strong>di</strong> Modena e Reggio Emilia -<br />
Facoltà <strong>di</strong> <strong>Scienze</strong> Matematiche, Fisiche, Naturali<br />
Corso <strong>di</strong> Laurea Magistrale in <strong>Scienze</strong><br />
per l’Ambiente ed il Territorio<br />
STATISTICA ED<br />
ELABORAZIONE DEI DATI<br />
Franco Torelli<br />
Anno Accademico <strong>2010</strong>/<strong>2011</strong>
PRESENTAZIONE DEL<br />
CORSO
GLI OBIETTIVI FORMATIVI<br />
• Fornire gli strumenti essenziali per l'utilizzo dei meto<strong>di</strong><br />
statistici <strong>di</strong> base nell’ambito <strong>della</strong> gestione <strong>di</strong> realtà e<br />
situazioni ambientali complesse.<br />
• Favorire l’adozione <strong>di</strong> atteggiamenti e approcci corretti<br />
nei confronti delle indagini <strong>di</strong> tipo quantitativo e<br />
nell’interpretazione dei risultati <strong>di</strong> ricerche scientifiche,<br />
applicate ai meccanismi che governano il sistema<br />
ambiente.<br />
• Favorire la comprensione delle metodologie statistiche<br />
per mezzo <strong>di</strong> un profilo <strong>di</strong> concretezza del corso, che si<br />
caratterizzerà per frequenti applicazioni con strumenti<br />
informatici (excel).
I CONTENUTI<br />
1. Introduzione al ruolo e al linguaggio <strong>della</strong><br />
statistica<br />
2. Classificazioni e rappresentazioni grafiche<br />
3. Rapporti statistici e numeri in<strong>di</strong>ci<br />
4. Misure <strong>di</strong> posizione e misure <strong>di</strong> variabilità<br />
5. Analisi bivariata: correlazione e regressione<br />
6. Nozioni elementari <strong>di</strong> probabilità<br />
7. Distribuzioni <strong>di</strong> probabilità<br />
8. Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> campionamento<br />
9. Distribuzioni campionarie e intervalli <strong>di</strong><br />
confidenza<br />
10. Verifica delle ipotesi: i test statistici
I TESTI<br />
• Dispense e prove d’esame <strong>di</strong> anni precedenti, a<br />
cura del docente, saranno <strong>di</strong>sponibili on-line<br />
• Il testo è:<br />
• Marilyn K. Pelosi, Theresa M. San<strong>di</strong>fer, Paola<br />
Cerchiello, Paolo Giu<strong>di</strong>ci, Introduzione alla<br />
statistica, McGrow-Hill, Milano 2009<br />
• Per esercizi, può essere utile il volume:<br />
• Carla Io<strong>di</strong>ce (a cura <strong>di</strong>), Prepararsi per<br />
l’esame <strong>di</strong> statistica, Gruppo E<strong>di</strong>toriale<br />
Esselibri Simone, Napoli 2002
L’ESAME PER GLI STUDENTI<br />
FREQUENTANTI<br />
• Per gli studenti che avranno frequentato almeno il<br />
60% delle lezioni, l’esame consisterà in una prova<br />
scritta, nel corso <strong>della</strong> quale sarà possibile consultare<br />
ogni tipo <strong>di</strong> materiale: l’abilità richiesta risiederà nella<br />
capacità <strong>di</strong> utilizzare correttamente gli strumenti per<br />
affrontare casi e problemi.<br />
• Per la prova scritta, lo studente potrà utilizzare<br />
normali calcolatrici, ma non il computer.<br />
• La capacità <strong>di</strong> utilizzare excel per applicare le<br />
principali metodologie statistiche sarà monitorata nel<br />
corso <strong>di</strong> una parte delle lezioni, che si svolgeranno<br />
nel laboratorio <strong>di</strong> informatica.
L’ESAME PER GLI STUDENTI NON<br />
FREQUENTANTI<br />
• Per gli studenti che avranno frequentato meno del 60% delle<br />
lezioni, l’esame consisterà in una prova scritta, con le stesse<br />
regole esposte per gli studenti frequentanti, integrata da una<br />
prova applicativa sul computer.<br />
• La prova applicativa sarà finalizzata a valutare la capacità <strong>di</strong><br />
utilizzare excel per applicare le principali metodologie<br />
statistiche. La prova applicativa avrà la possibilità <strong>di</strong> variare<br />
in positivo o in negativo il punteggio <strong>della</strong> prova scritta, al<br />
massimo <strong>di</strong> 3 punti.<br />
• La prova applicativa potrà essere affrontata solo se la prova<br />
scritta avrà ottenuto almeno 15 trentesimi.<br />
• Se la prova scritta otterrà un punteggio sufficiente (almeno<br />
18), ma la prova applicativa otterrà un punteggio complessivo<br />
inferiore a 18, lo studente potrà ripetere solo la prova<br />
applicativa.<br />
• Nel caso in cui lo studente rifiuti un punteggio complessivo<br />
sufficiente, occorrerà ripetere entrambe le prove.
PER LA PROVA APPLICATIVA<br />
• Per gli studenti che dovranno sostenere la<br />
prova applicativa sul computer, si consigliano<br />
per la preparazione:<br />
– Gli specifici paragrafi del libro <strong>di</strong> testo, prima<br />
in<strong>di</strong>cato, de<strong>di</strong>cati proprio alle applicazioni su<br />
computer<br />
– Un normale manuale <strong>di</strong> utilizzo <strong>di</strong> excel, <strong>di</strong>sponibile<br />
anche on line nell’ambito del programma stesso
IL RICEVIMENTO<br />
• Nel periodo <strong>di</strong> lezione, il ricevimento studenti si<br />
svolgerà il lunedì pomeriggio, dalle 17,00 alle<br />
18,00 (avvisando preventivamente il docente<br />
all’in<strong>di</strong>rizzo <strong>di</strong> posta elettronica).<br />
• Si potranno comunque prevedere ricevimenti in<br />
giorni e orari <strong>di</strong>versi, anche in base alle<br />
esigenze <strong>degli</strong> studenti.<br />
• Negli altri perio<strong>di</strong>, il ricevimento studenti<br />
avverrà su appuntamento, scrivendo<br />
all’in<strong>di</strong>rizzo <strong>di</strong> posta elettronica del docente, e<br />
verrà fissato anche in base alle esigenze dello<br />
studente.<br />
• Il docente è contattabile al seguente in<strong>di</strong>rizzo:<br />
franco.torelli@unimore.it
1 – INTRODUZIONE ALLA<br />
STATISTICA E TECNICHE DI<br />
INDAGINE
Il significato <strong>di</strong> statistica<br />
• Si tratta <strong>di</strong> un insieme <strong>di</strong><br />
metodologie che hanno come<br />
scopo la conoscenza quantitativa<br />
dei fenomeni collettivi<br />
• La statistica è definibile anche<br />
come la tecnica che migliora le<br />
scelte operate in con<strong>di</strong>zioni<br />
d’incertezza
Tipologie <strong>di</strong> fenomeni collettivi<br />
• i fenomeni collettivi che sono tali perché<br />
riguardano una collettività <strong>di</strong> casi singoli. Per<br />
esempio, le caratteristiche delle piante igrofile<br />
in una determinata estensione <strong>di</strong> laguna<br />
• I fenomeni relativi a un solo caso, alla cui<br />
conoscenza si può pervenire solo con la<br />
ripetizione delle misurazioni (collettività <strong>di</strong><br />
osservazioni): per esempio, tutte le misurazioni<br />
che un erpetologo (stu<strong>di</strong>oso <strong>degli</strong> anfibi)<br />
effettua per misurare la circonferenza <strong>di</strong> un<br />
esemplare.
Collettività <strong>di</strong> osservazioni<br />
• Ripetendo lo stesso esperimento o la<br />
stessa misurazione, non si ottiene lo<br />
stesso risultato ….<br />
… per la presenza <strong>di</strong> errori casuali <strong>di</strong><br />
misurazione<br />
• Si tratta <strong>di</strong> errori non eliminabili<br />
completamente, che non assumono<br />
<strong>di</strong>mensioni macroscopiche<br />
• Derivano dall’impossibilità <strong>di</strong> considerare le<br />
numerose caratteristiche che influenzano il<br />
fenomeno
Errori casuali e <strong>di</strong>storsioni<br />
• Mentre gli errori casuali a volte<br />
aumentano, a volte <strong>di</strong>minuiscono il<br />
valore reale, le <strong>di</strong>storsioni operano<br />
sempre nella stessa <strong>di</strong>rezione e<br />
influenzano quin<strong>di</strong> la me<strong>di</strong>a<br />
• La singola misurazione è quin<strong>di</strong><br />
uguale al valore reale + l’errore<br />
casuale + l’eventuale <strong>di</strong>storsione
Statistica descrittiva e<br />
statistica inferenziale<br />
• Lo stu<strong>di</strong>o dei fenomeni collettivi può essere<br />
svolto sull'intera collettività, oppure solo una<br />
sua parte<br />
• Se si utilizzano informazioni su una parte per<br />
trarre conclusioni o deduzioni sull’intera<br />
collettività, il campo <strong>della</strong> statistica è chiamato<br />
statistica inferenziale o inferenza statistica<br />
• Al contrario, la statistica descrittiva ha come<br />
oggetto la semplice descrizione quantitativa<br />
delle caratteristiche <strong>di</strong> una collettività, sia essa<br />
intera o parziale
Alcune definizioni – Popolazione e<br />
unità<br />
• popolazione statistica: è l’oggetto <strong>di</strong> una<br />
indagine, l’insieme <strong>degli</strong> elementi che ci<br />
interessano ai fini dell'indagine; viene<br />
utilizzato come sinonimo il termine universo<br />
statistico (per esempio, tutti gli esemplari <strong>di</strong><br />
zigolo nero viventi in una determinata<br />
regione, stu<strong>di</strong>ati per valutare gli effetti<br />
dell’inquinamento sugli insetti <strong>di</strong> cui si<br />
nutrono)<br />
• unità statistiche: sono i singoli elementi che<br />
compongono la popolazione statistica, sui<br />
quali si effettua la misurazione delle variabili<br />
(i singoli esemplari)
Alcune definizioni – fenomeni e<br />
modalità<br />
• fenomeni statistici (o variabili statistiche o<br />
caratteri statistici): sono le caratteristiche<br />
rilevate per ogni unità statistica (per esempio,<br />
la crescita <strong>di</strong> peso nell’arco del primo mese <strong>di</strong><br />
vita, l’ammontare <strong>della</strong> covata a 3 anni <strong>di</strong> vita<br />
<strong>della</strong> madre, la propensione alla migrazione da<br />
parte <strong>di</strong> alcune specie <strong>di</strong> uccelli); si <strong>di</strong>stinguono<br />
in fenomeni qualitativi e fenomeni quantitativi<br />
• modalità: sono i <strong>di</strong>versi valori che può<br />
presentare un fenomeno (per esempio, riguardo<br />
alle covate, 7 piccoli, 8 piccoli, 9 piccoli, ecc.;<br />
riguardo alla propensione migratoria, uccelli<br />
migratori, parzialmente migratori, non<br />
migratori)
I fenomeni qualitativi<br />
• presentano modalità espresse con parole (es.:<br />
stato civile)<br />
– fenomeni or<strong>di</strong>nali: fra le modalità si può<br />
stabilire un or<strong>di</strong>ne logico (crescente o<br />
decrescente); per esempio, contenuto <strong>di</strong><br />
grasso nella trota comune: molto ridotto,<br />
ridotto, me<strong>di</strong>o, accentuato, molto<br />
accentuato)<br />
– fenomeni nominali: fra le modalità si<br />
possono instaurare solo relazioni <strong>di</strong> uguale o<br />
<strong>di</strong>verso, senza che si possa adottare un<br />
or<strong>di</strong>ne logico (per esempio, la base sabbiosa<br />
dei sentieri soggetti a sgretolamento: silicea,<br />
calcarea, micacea, ...)
Ancora sui fenomeni nominali<br />
• Spesso, per praticità <strong>di</strong> elaborazione, si<br />
attribuiscono co<strong>di</strong>fiche numeriche alle <strong>di</strong>verse<br />
modalità dei fenomeni nominali.<br />
Per esempio, se si stu<strong>di</strong>ano le cause <strong>di</strong><br />
abbassamento <strong>di</strong> terreni:<br />
• 1 – cause naturali<br />
• 2 - cause indotte da estrazione <strong>di</strong> petrolio<br />
• 3 – cause indotte da estrazione <strong>di</strong> acqua<br />
• 4 – ecc.<br />
• In questo caso, i dati che si ricavano sono<br />
chiamati dati nominali; si tratta <strong>di</strong> dati che non<br />
provengono da operazioni <strong>di</strong> misurazione o <strong>di</strong><br />
conteggio, ma da una co<strong>di</strong>fica.
Ancora sui fenomeni or<strong>di</strong>nali<br />
• Sempre per praticità <strong>di</strong> elaborazione o <strong>di</strong> formulazione<br />
<strong>della</strong> risposta, si attribuiscono co<strong>di</strong>fiche numeriche<br />
anche alle <strong>di</strong>verse modalità dei fenomeni or<strong>di</strong>nali.<br />
• I dati che si ricavano sono chiamati dati or<strong>di</strong>nali;<br />
anche in questo caso, sono dati che non provengono<br />
da operazioni <strong>di</strong> misurazione o <strong>di</strong> conteggio.<br />
• Spesso, la base <strong>di</strong> partenza è una scala <strong>di</strong> Likert sugli<br />
atteggiamenti.<br />
Per esempio, relativamente all’opportunità <strong>di</strong> impiegare<br />
microfoni sott’acqua per stu<strong>di</strong>are i suoni emessi dalle<br />
rane, secondo l’opinione dei vari stu<strong>di</strong>osi:<br />
• 1 – completamente in <strong>di</strong>saccordo<br />
• 2 – piuttosto in <strong>di</strong>saccordo<br />
• 3 – né d’accordo, né in <strong>di</strong>saccordo<br />
• 4 – abbastanza d’accordo<br />
• 5 – completamente d’accordo
I fenomeni quantitativi<br />
• presentano modalità espresse con numeri, che<br />
derivano da un'operazione <strong>di</strong> misura o <strong>di</strong> conteggio<br />
– fenomeni <strong>di</strong>screti: le modalità sono costituite da un<br />
numero finito <strong>di</strong> valori, che possono variare tra loro<br />
solo per un ammontare fisso (per esempio, petali <strong>di</strong><br />
un fiore, il numero <strong>di</strong> esemplari che superano un<br />
determinato ostacolo in un giorno); solitamente,<br />
derivano da un conteggio.<br />
– fenomeni continui: la scala delle possibili modalità<br />
è continua: all’interno del campo <strong>di</strong> variazione, il<br />
numero delle modalità è teoricamente infinito (le<br />
modalità possono quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>fferire tra loro per entità<br />
variabili). Per esempio, la portata <strong>di</strong> un fiume, la<br />
velocità del vento in base alla densità <strong>della</strong><br />
vegetazione; principalmente, derivano da<br />
misurazioni.
Ancora sui fenomeni continui<br />
• Il loro numero <strong>di</strong> modalità è teoricamente<br />
infinito.<br />
• Nella realtà, può esistere una <strong>di</strong>scontinuità<br />
sperimentale, dovuta alla più o meno<br />
accentuata sensibilità dello strumento <strong>di</strong><br />
misurazione (per esempio, l’anemometro<br />
nel caso del vento)<br />
• Uno strumento dotato <strong>di</strong> sensibilità infinita<br />
potrebbe fornire valori con un numero<br />
infinito <strong>di</strong> cifre.
Scale <strong>di</strong> intervallo<br />
• Una scala <strong>di</strong> intervallo ha il punto <strong>di</strong><br />
origine fissato convenzionalmente, come<br />
punto <strong>di</strong> riferimento (per esempio, scala<br />
dei gra<strong>di</strong> centigra<strong>di</strong> per la temperatura: il<br />
punto zero non significa assenza <strong>di</strong><br />
temperatura).<br />
• In queste scale, hanno significato le<br />
<strong>di</strong>fferenze, ma non i rapporti: tra due<br />
temperature, possiamo affermare che una<br />
è inferiore all’altra, ma non conosciamo il<br />
loro rapporto.
Scale <strong>di</strong> rapporto<br />
• Una scala <strong>di</strong> rapporto ha il punto <strong>di</strong> origine<br />
legato in modo naturale all’assenza <strong>di</strong> valore,<br />
come punto <strong>di</strong> riferimento (per esempio,<br />
l’avanzamento <strong>della</strong> linea <strong>di</strong> <strong>terra</strong> alla foce <strong>di</strong> un<br />
fiume, per effetto dei se<strong>di</strong>menti: il punto zero ha<br />
il significato <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> avanzamento).<br />
• In queste scale, hanno significato sia le<br />
<strong>di</strong>fferenze, sia i rapporti: tra due fiumi,<br />
possiamo affermare che uno presenta un<br />
avanzamento <strong>della</strong> linea <strong>di</strong> <strong>terra</strong> corrispondente<br />
a due terzi dell’altro.
I descrittori<br />
• Un parametro è un valore numerico che<br />
descrive una caratteristica <strong>della</strong> popolazione<br />
(tempo me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> attesa al passaggio a livello;<br />
percentuale <strong>di</strong> guidatori che spengono il motore<br />
al passaggio a livello). Si rappresenta<br />
solitamente con una lettera greca.<br />
• Una statistica è un valore numerico che<br />
descrive una caratteristica del campione. Si<br />
rappresenta solitamente con una lettera<br />
romana.
Gli accorgimenti per lo<br />
svolgimento <strong>di</strong> una indagine<br />
statistica
L’importanza <strong>di</strong> impostare<br />
correttamente una indagine statistica<br />
• Per ottenere risultati affidabili occorre<br />
seguire procedure rigorose e controllare<br />
(limitare) i fattori <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo dell’indagine<br />
• Occorre soprattutto partire da un’ottica<br />
corretta e non <strong>di</strong>storta<br />
• Per esempio, se si effettua uno stu<strong>di</strong>o su<br />
due gruppi <strong>di</strong> soggetti, per ottenere<br />
risultati comparabili è necessario le<br />
caratteristiche dei due gruppi siano<br />
corrispondenti
Alcuni casi - 1<br />
• gli stu<strong>di</strong> sull’effetto del fumo sono stu<strong>di</strong><br />
sul campo (i soggetti stessi si assegnano<br />
all’uno o all’altro gruppo)<br />
• si osserva una forte associazione tra<br />
fumo e malattie car<strong>di</strong>o-circolatorie<br />
• attenzione, però: gli uomini, più forti<br />
fumatori rispetto alle donne, sono più<br />
esposti a <strong>di</strong>sturbi <strong>di</strong> tipo car<strong>di</strong>ocircolatorio
Alcuni casi - 2<br />
• Per verificare l’effetto <strong>di</strong> un farmaco, non<br />
dovrebbero essere i pazienti a scegliere il gruppo<br />
in cui entrare (<strong>di</strong> trattamento o <strong>di</strong> controllo)<br />
• Si avrebbe il rischio <strong>di</strong> una sproporzione <strong>di</strong><br />
pazienti più attivi, meno rassegnati, più attenti,<br />
più consapevoli nel gruppo <strong>di</strong> trattamento<br />
• Occorre un esperimento controllato, dove è la<br />
casualità statistica a stabilire chi farà parte dei<br />
due gruppi<br />
• Conviene utilizzare anche dei placebo, e sia i<br />
pazienti, sia i me<strong>di</strong>ci dovrebbero essere<br />
all’oscuro del gruppo <strong>di</strong> appartenenza<br />
(esperimento double blind)
2 – CLASSIFICAZIONI E<br />
RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE
La classificazione delle unità<br />
statistiche<br />
• classificazioni uni<strong>di</strong>mensionali, basate su<br />
un singolo fenomeno (<strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong><br />
frequenze)<br />
• classificazioni bi<strong>di</strong>mensionali, basate su<br />
coppie <strong>di</strong> fenomeni (tabelle a doppia<br />
entrata o incroci)<br />
• classificazioni multi<strong>di</strong>mensionali, basate<br />
su più <strong>di</strong> due fenomeni (tabelle a entrata<br />
multipla)
Le <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> frequenza<br />
• Una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> frequenza registra ogni modalità<br />
con cui il fenomeno si presenta, e il corrispondente<br />
numero <strong>di</strong> volte in cui la singola modalità si presenta<br />
• La frequenza è il numero <strong>di</strong> volte con cui una modalità<br />
si presenta. La frequenza <strong>della</strong> modalità i-ma è<br />
in<strong>di</strong>cata con f i<br />
• La frequenza relativa <strong>di</strong> una modalità è la frequenza <strong>di</strong><br />
questa modalità, rapportata al totale delle frequenze.<br />
Si in<strong>di</strong>ca con rf i
Distribuzioni <strong>di</strong> frequenza: alcune<br />
modalità operative<br />
• Nel caso <strong>di</strong> un fenomeno quantitativo continuo,<br />
occorre scegliere classi <strong>di</strong> opportuna ampiezza<br />
• Ampiezza <strong>di</strong> una classe: <strong>di</strong>fferenza tra l'estremo<br />
superiore e l'estremo inferiore<br />
• Per convenzione: l’intervallo comprende l'estremo<br />
inferiore, ma non quello superiore<br />
• Aumentando il numero delle classi (e riducendone<br />
quin<strong>di</strong> l'ampiezza) si raggiunge una maggior<br />
precisione, ma si attenua la sintesi del fenomeno<br />
• Quando possibile, le classi devono essere <strong>di</strong> uguale<br />
ampiezza
Le tabelle a doppia entrata: i<br />
contenuti<br />
• I numeri all'interno <strong>della</strong> tabella sono le<br />
frequenze <strong>di</strong> casella<br />
• Al margine <strong>di</strong> ogni riga si trovano i totali<br />
marginali <strong>di</strong> riga<br />
• Al margine <strong>di</strong> ogni colonna si trovano i<br />
totali marginali <strong>di</strong> colonna<br />
• Nell'ultima riga dell'ultima colonna si trova<br />
il totale generale
Le tabelle a doppia entrata:<br />
categorie<br />
• Una tabella a doppia entrata con<br />
almeno un fenomeno qualitativo si<br />
chiama tabella <strong>di</strong> contingenza<br />
• Se entrambi i fenomeni sono<br />
quantitativi, si parla tabella <strong>di</strong><br />
correlazione
Le tabelle a entrata multipla<br />
• Il numero <strong>di</strong> caselle <strong>di</strong> una tabella a più <strong>di</strong><br />
due entrate è uguale al prodotto del<br />
numero delle modalità (o classi) <strong>di</strong><br />
ciascuno dei fenomeni considerati<br />
• Cresce quin<strong>di</strong> molto rapidamente con<br />
l'aumentare del numero <strong>di</strong> fenomeni che si<br />
vuole considerare<br />
• Il rischio è quello <strong>di</strong> ottenere tabelle <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>fficile lettura …<br />
• … inoltre, è probabile che in molte caselle<br />
la frequenza sia uguale o prossima allo<br />
zero
L’impostazione del database<br />
• Per elaborare correttamente una base <strong>di</strong><br />
dati, è fondamentale impostarla<br />
correttamente ...<br />
• ... cercando già a priori <strong>di</strong> capire quali<br />
elaborazioni saranno opportune.<br />
• Un database in excel normalmente viene<br />
impostato con ogni unità statistica in riga<br />
e ogni fenomeno statistico in colonna. Il<br />
contenuto delle caselle corrisponde alle<br />
singole modalità
Un esempio <strong>di</strong> impostazione<br />
Stazione Classificazione<br />
trofica<br />
Lido <strong>di</strong><br />
Volano<br />
Porto<br />
Garibal<strong>di</strong><br />
Scadente 17,<br />
6<br />
Scadente 16,<br />
4<br />
Casalborsetti Me<strong>di</strong>ocre 16,<br />
4<br />
°C Salinit<br />
à<br />
pH<br />
27,4 8,24<br />
28,9 8,29<br />
30,2 8,30<br />
Marina <strong>di</strong> Me<strong>di</strong>ocre 16, 31,9 8,27
Le rappresentazioni grafiche<br />
• Un grafico è un modo imme<strong>di</strong>ato per<br />
presentare le informazioni<br />
• Un grafico può essere costruito<br />
anche per analizzare i dati: può<br />
suggerire ipotesi sulla <strong>di</strong>stribuzione<br />
dei dati, porre in luce relazioni tra<br />
più fenomeni, come nel caso<br />
riportato <strong>di</strong> seguito
trasparenza (m)<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
Relazione tra clorofilla e in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> trasparenza<br />
0 2 4 6 8 10 12 14<br />
clorofilla (mg/000l)
Due categorie <strong>di</strong> grafici<br />
• Grafici universali, applicabili a una<br />
infinità <strong>di</strong> casi; per esempio:<br />
– Spezzate<br />
– Grafici a settori circolari<br />
– Istogrammi<br />
• Ideogrammi, contenenti figure e<br />
immagini relative all'argomento trattato
Grafico a settori circolari: ripartizione del<br />
territorio del Trentino Alto A<strong>di</strong>ge<br />
Arbusteti<br />
7%<br />
Improduttivo<br />
11%<br />
Prati pascoli<br />
26%<br />
Seminativi<br />
1%<br />
Urbano e<br />
sussid.<br />
6%<br />
Bosco<br />
46%<br />
Colt. Legnose<br />
3%
Istogramma: emissioni <strong>di</strong> carbonio<br />
da parte <strong>di</strong> alcuni paesi (milioni<br />
tonnellate)<br />
1200<br />
1000<br />
800<br />
600<br />
400<br />
200<br />
0<br />
Usa<br />
Cina<br />
Giappone<br />
Germania<br />
Gran Bretagna<br />
Francia<br />
Italia
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Fosforo totale in superficie e sul fondo alla<br />
stazione <strong>di</strong> rilevazione <strong>di</strong> Cesenatico (mg/mc)<br />
gen feb mar apr mag giu lug ago set ott nov <strong>di</strong>c<br />
fosforo in superficie fosforo sul fondo
Istogramma<br />
• È una tra le rappresentazioni grafiche<br />
universali più utilizzate<br />
• Nel caso dei fenomeni continui, i rettangoli<br />
devono essere affiancati (e non separati)<br />
• È fondamentale impostare correttamente<br />
gli assi
Fenomeni quantitativi con classi <strong>di</strong><br />
uguale ampiezza<br />
• Rettangoli con altezza<br />
corrispondente alla frequenza, base<br />
corrispondente all’ampiezza <strong>della</strong><br />
classe<br />
• L’area è proporzionale alla frequenza
Esempio<br />
Altezze (centimetri) p %k<br />
155-160 5<br />
160-165 10<br />
165-170 15<br />
170-175 25<br />
175-180 20<br />
180-185 15<br />
185-190 10<br />
TOTALE 100
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
Distribuzione campione per altezza<br />
155-160<br />
160-165<br />
165-170<br />
170-175<br />
175-180<br />
180-185<br />
185-190
Fenomeni quantitativi con classi <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>fferente ampiezza<br />
• Rettangoli con altezza corrispondente alla<br />
densità <strong>di</strong> frequenza (rapporto tra la<br />
frequenza e l'ampiezza <strong>della</strong> classe), base<br />
corrispondente all’ampiezza <strong>della</strong> classe<br />
• L’area è proporzionale alla frequenza<br />
• Questo consente le giuste proporzioni tra le<br />
frequenze delle classi e le aree dei rettangoli
Esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> frequenza <strong>di</strong> un<br />
fenomeno continuo: pressione sanguigna<br />
sistolica in un campione <strong>di</strong> soggetti<br />
Pressione (mmHg) %<br />
90-95 4<br />
95-100 7<br />
100-110 19<br />
110-120 21<br />
120-130 27<br />
130-150 17<br />
150-180 5<br />
TOTALE 100
%<br />
Rappresentazione non corretta: altezza del<br />
rettangolo proporzionale alla numerosità<br />
35<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
90-95 95-100 100-110 110-120 120-130 130-150 150-180<br />
mmHg
Rappresentazione corretta: area del rettangolo<br />
proporzionale alla numerosità (altezza<br />
proporzionale alla densità)<br />
% per mmHg<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
90-95<br />
95-100<br />
100-105<br />
105-110<br />
110-115<br />
115-120<br />
120-125<br />
120-130<br />
130-135<br />
135-140<br />
mmHg<br />
140-145<br />
145-150<br />
150-155<br />
155-160<br />
160-165<br />
165-170<br />
170-175<br />
175-180
3 – RAPPORTI STATISTICI E<br />
NUMERI INDICI
Rapporti statistici
La possibilità <strong>di</strong> comparare i dati<br />
• Un’operazione che spesso si compie sui<br />
dati statistici è il confronto tra i valori <strong>di</strong><br />
un fenomeno quantitativo, con riferimento<br />
a <strong>di</strong>verse unità statistiche.<br />
• Il raffronto <strong>di</strong>retto ha però significato solo<br />
a parità <strong>di</strong> circostanze.<br />
• Ad esempio, il confronto tra la produzione<br />
mensile <strong>di</strong> rifiuti urbani da parte <strong>di</strong> due<br />
famiglie non ha molto significato se non si<br />
considera il numero <strong>di</strong> componenti.
Le principali categorie<br />
• In questi casi, meglio non utilizzare i<br />
valori originari, bensì i quozienti tra essi e<br />
una opportuna grandezza, considerata<br />
come in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione.<br />
• Tali quozienti vengono denominati<br />
rapporti statistici.<br />
• Le principali categorie <strong>di</strong> rapporti statistici<br />
sono:<br />
- i rapporti <strong>di</strong> composizione;<br />
- i rapporti <strong>di</strong> densità;<br />
- i rapporti <strong>di</strong> derivazione;<br />
- i rapporti <strong>di</strong> coesistenza.
I rapporti <strong>di</strong> composizione<br />
• Rappresentano una quota dell'ammontare<br />
complessivo <strong>di</strong> un fenomeno.<br />
• Il rapporto <strong>di</strong> composizione è infatti il<br />
quoziente tra l'ammontare riferito a una<br />
modalità del fenomeno e il totale del<br />
fenomeno stesso …<br />
• … oppure tra l’ammontare riferito a una<br />
singola unità del collettivo e il totale del<br />
fenomeno.<br />
• Esempio: quoziente tra carboidrati nei semi <strong>di</strong><br />
sesamo e tutte le sostanze che servono come<br />
risorse alimentari per altri organismi, sempre<br />
nei semi <strong>di</strong> sesamo
I rapporti <strong>di</strong> densità - 1<br />
• Sono il quoziente tra il valore <strong>di</strong> un<br />
fenomeno quantitativo e un in<strong>di</strong>ce che può<br />
essere considerato come il suo campo <strong>di</strong><br />
riferimento.<br />
• Per confrontare le popolazioni <strong>di</strong> due<br />
paesi, si può porre a confronto il numero<br />
<strong>degli</strong> abitanti.<br />
• In questo modo, però, l’informazione che<br />
si ottiene in<strong>di</strong>ca solo quale è il paese più<br />
abitato (popolazione più numerosa)<br />
• Può essere più utile conoscere quale è il<br />
paese più popolato, ossia con la<br />
popolazione più fitta.
I rapporti <strong>di</strong> densità - 2<br />
• A questo fine, occorre rapportare il numero<br />
<strong>degli</strong> abitanti all'estensione del territorio. Si<br />
calcola cioè la densità <strong>della</strong> popolazione, che<br />
è il quoziente tra numero <strong>di</strong> abitanti e la<br />
superficie (espressa, <strong>di</strong> norma, in km<br />
quadrati).<br />
• Si potrebbe rapportare la popolazione alla<br />
parte abitabile del territorio (escludendo, per<br />
esempio, le superfici occupate dai laghi).<br />
• Altri esempi <strong>di</strong> rapporti <strong>di</strong> densità sono la<br />
superficie forestale per 100 abitanti, la<br />
quantità <strong>di</strong> nitrati per 1000 litri <strong>di</strong> acqua, la<br />
<strong>di</strong>sponibilità <strong>di</strong> verde urbano per abitante,<br />
ecc.
I rapporti <strong>di</strong> derivazione<br />
• Sono il quoziente tra le entità <strong>di</strong> due<br />
fenomeni, <strong>di</strong> cui uno costituisce il<br />
presupposto dell’altro.<br />
• Per esempio:<br />
– il quoziente <strong>di</strong> natalità (rapporto tra il<br />
numero dei nati vivi in un certo anno e il<br />
numero me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> esemplari viventi <strong>di</strong><br />
quella specie)<br />
– il quoziente <strong>di</strong> fecon<strong>di</strong>tà (rapporto tra il<br />
numero <strong>di</strong> nati vivi in un anno e il<br />
numero me<strong>di</strong>o delle femmine in età<br />
feconda nello stesso anno)
I rapporti <strong>di</strong> coesistenza<br />
• Sono il quoziente tra le entità <strong>di</strong> due<br />
fenomeni, posti a raffronto al fine <strong>di</strong><br />
valutare l'eventuale squilibrio.<br />
• L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> vecchiaia è un esempio tipico:<br />
è il quoziente tra la popolazione <strong>di</strong> 65 anni<br />
e oltre e la popolazione sino a 14 anni<br />
• Un ulteriore esempio, relativo alle foreste<br />
tropicali, è il quoziente tra ettari <strong>di</strong>sboscati<br />
ed ettari rimboscati (pari a circa 12 in<br />
Africa, a 25 in Asia, ecc.)
Numeri in<strong>di</strong>ci
Definizione<br />
• i numeri in<strong>di</strong>ci sono rapporti finalizzati a<br />
confrontare le intensità <strong>di</strong> un fenomeno o<br />
più fenomeni in tempi <strong>di</strong>versi oppure in<br />
situazioni <strong>di</strong>verse (ad esempio, in<br />
<strong>di</strong>fferenti regioni)<br />
• si hanno infatti numeri in<strong>di</strong>ci temporali e<br />
numeri in<strong>di</strong>ci territoriali<br />
• i n. i. servono quin<strong>di</strong> a misurare variazioni<br />
relative
Variazioni assolute e<br />
relative<br />
• Se analizziamo una serie storica, le<br />
variazioni da un periodo all'altro possono<br />
essere misurate in termini assoluti<br />
(<strong>di</strong>fferenze) o relativi (rapporti)<br />
• Le <strong>di</strong>fferenze assolute <strong>di</strong>pendono<br />
dall'or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza e dall’unità <strong>di</strong><br />
misura<br />
• Le variazioni relative, nella maggior parte<br />
dei casi, sono più efficaci
Il calcolo dei numeri in<strong>di</strong>ci<br />
• Per trasformare una serie storica in<br />
una serie <strong>di</strong> numeri in<strong>di</strong>ci, si devono<br />
<strong>di</strong>videre i termini x t (t = 1, 2, ... , n) per<br />
un denominatore, appartenente alla<br />
stessa serie, e moltiplicare i<br />
quozienti per 100<br />
• Si chiama base il termine assunto<br />
come denominatore dei rapporti
Numeri in<strong>di</strong>ci a base fissa<br />
• Si ottengono quando tutti i termini <strong>della</strong><br />
serie vengono rapportati alla stessa base<br />
(spesso, il primo termine <strong>della</strong> serie)<br />
1 I t<br />
x t<br />
= ——<br />
x 1<br />
• Il simbolo a sinistra <strong>di</strong> I in<strong>di</strong>ca il periodo<br />
base, quello a destra in<strong>di</strong>ca il periodo <strong>di</strong><br />
riferimento del calcolo
L’interpretazione<br />
Sottraendo 100 da un numero in<strong>di</strong>ce a<br />
base fissa si ottiene la variazione<br />
percentuale del fenomeno rispetto al<br />
tempo base
Cambio base<br />
• I numeri in<strong>di</strong>ci con una base fissa, ad<br />
esempio con base x 1 , possono essere<br />
trasformati in numeri in<strong>di</strong>ci con <strong>di</strong>versa<br />
base fissa, ad esempio con base x 2 ,<br />
<strong>di</strong>videndoli per 1 I 2<br />
1 I t<br />
——— = 2 I t
Numeri in<strong>di</strong>ci a base mobile<br />
• Si ottengono quando ogni termine <strong>della</strong><br />
serie viene rapportato al termine precedente<br />
t-1 I t<br />
x t<br />
= ——<br />
x t-1<br />
• Il numero in<strong>di</strong>ce a base mobile relativo al<br />
primo anno <strong>della</strong> serie storica non può<br />
essere determinato‚ non essendo noto il<br />
valore del fenomeno nell'anno precedente<br />
• Sottraendo 100 da un numero in<strong>di</strong>ce a base<br />
mobile, si ottiene la variazione percentuale<br />
del fenomeno rispetto al tempo precedente
Da base fissa a base mobile<br />
• Per passare da una serie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci a base<br />
fissa alla corrispondente serie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci a<br />
base mobile, è sufficiente <strong>di</strong>videre ciascun<br />
in<strong>di</strong>ce a base fissa per l’in<strong>di</strong>ce<br />
imme<strong>di</strong>atamente precedente<br />
1 I t<br />
——— = t-1 I t<br />
1 I t-1
Da base mobile a base fissa<br />
• Per passare da una serie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci a base<br />
mobile alla corrispondente serie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>ci a<br />
base fissa, ad esempio a base x 1 , occorre<br />
moltiplicare fra loro gli in<strong>di</strong>ci a base<br />
mobile dal tempo 2 fino al tempo<br />
considerato<br />
1 I t = 1 I 2 • 2 I 3 • ... • t-1 I t
Una avvertenza<br />
• Tutte le operazioni sui numeri in<strong>di</strong>ci<br />
devono essere effettuate dopo avere<br />
<strong>di</strong>viso per 100 i numeri in<strong>di</strong>ci stessi<br />
• In altri termini, le operazioni devono<br />
avvenire sugli in<strong>di</strong>ci rapportati a 1, non a<br />
100
I numeri in<strong>di</strong>ci composti<br />
• Si utilizzano per sintetizzare, me<strong>di</strong>ante<br />
un'unica serie <strong>di</strong> numeri in<strong>di</strong>ci, le<br />
variazioni relative <strong>di</strong> <strong>di</strong>verse serie storiche<br />
• Nella maggior parte dei casi, è opportuno<br />
assegnare un peso (g) a ciascuna serie,<br />
calcolando quin<strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a ponderata (si<br />
veda il capitolo sulle misure <strong>di</strong> posizione)
Due tecniche per calcolare numeri<br />
in<strong>di</strong>ci composti ponderati me<strong>di</strong>ante i<br />
valori<br />
• Laspeyres: il sistema <strong>di</strong> pesi (il paniere)<br />
viene mantenuto fisso (solitamente, è<br />
quello del tempo base) per tutti i perio<strong>di</strong><br />
<strong>della</strong> serie storica: se stiamo calcolando<br />
l'in<strong>di</strong>ce composto dei prezzi del <strong>2010</strong> con<br />
base 1995, utilizziamo il paniere del 1995<br />
• Paasche: il paniere è variabile <strong>di</strong> anno in<br />
anno: se stiamo calcolando l'in<strong>di</strong>ce<br />
composto dei prezzi del <strong>2010</strong> con base<br />
1995, utilizziamo il paniere del <strong>2010</strong>
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Laspeyres<br />
1 I t<br />
In<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> Paasche<br />
1 I t<br />
Σ [( 1 I t ) • g 1 ]<br />
composto = ——————<br />
Σ g 1<br />
Σ [( 1 I t ) • g t ]<br />
composto = ——————<br />
Σ g t<br />
Le due formule
In<strong>di</strong>ci composti: un esempio - dati <strong>di</strong> base<br />
Numeri in<strong>di</strong>ci <strong>della</strong> salinità del mare in<br />
corrispondenza dell’immissione del Po<br />
Anni Goro Adria<br />
2007 100,0 100,0<br />
2008 99,4 100,4<br />
2009 103,5 101,2<br />
Portata del fiume (mc/sec)<br />
Anni Goro Adria<br />
2007 240 185<br />
2008 248 187<br />
2009 261 191
In<strong>di</strong>ci composti: un esempio – il calcolo<br />
con il metodo <strong>di</strong> Laspeyres<br />
07 I 08<br />
07 I 09<br />
0,994 • 240 + 1,004 • 185<br />
= ———————————— • 100<br />
240 + 185<br />
1,035 • 240 + 1,012 • 185<br />
= ———————————— • 100<br />
240 + 185
In<strong>di</strong>ci composti: un esempio – il calcolo<br />
con il metodo <strong>di</strong> Paasche<br />
07 I 08<br />
07 I 09<br />
0,994 • 248 + 1,004 • 187<br />
= ———————————— • 100<br />
248 + 187<br />
1,035 • 261 + 1,012 • 191<br />
= ———————————— • 100<br />
261 + 191
Il calcolo dell’inflazione<br />
• Uno dei casi più significativi <strong>di</strong> applicazione<br />
dei numeri in<strong>di</strong>ci composti è il calcolo<br />
dell'inflazione<br />
• Si utilizza un campione rappresentativo <strong>di</strong><br />
prodotti (paniere), ma non si attribuisce la<br />
stessa importanza alla variazione <strong>di</strong> prezzo<br />
<strong>di</strong> prodotti le cui ven<strong>di</strong>te hanno <strong>di</strong>fferente<br />
rilevanza<br />
• È in<strong>di</strong>spensabile un sistema <strong>di</strong><br />
ponderazione relativo alla <strong>di</strong>mensione delle<br />
ven<strong>di</strong>te dei <strong>di</strong>versi beni
Deflazionamento<br />
• Gli in<strong>di</strong>ci dell'inflazione sono uno strumento<br />
per deflazionare i prezzi e per calcolare<br />
l'in<strong>di</strong>ce del potere <strong>di</strong> acquisto <strong>della</strong> moneta<br />
• Deflazionare significa depurare l'andamento<br />
<strong>di</strong> un prezzo dalle variazioni dovute<br />
all’inflazione ..<br />
• .. e valutare quin<strong>di</strong> l'evoluzione <strong>di</strong> quel<br />
prezzo in termini reali, passando dai valori in<br />
moneta corrente ai valori in moneta costante<br />
• il deflazionamento consiste nel <strong>di</strong>videre i<br />
prezzi del prodotto considerato per gli in<strong>di</strong>ci<br />
dell'inflazione
4 – MISURE DI POSIZIONE E<br />
MISURE DI VARIABILITA’
Misure <strong>di</strong> posizione
Il calcolo <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a<br />
• ha lo scopo <strong>di</strong> rappresentare con un solo<br />
in<strong>di</strong>catore un insieme dei dati,<br />
evidenziando quin<strong>di</strong> l'or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza<br />
Le me<strong>di</strong>e possono essere <strong>di</strong>stinte in:<br />
• me<strong>di</strong>e ottenute in base a un vincolo<br />
analitico<br />
• me<strong>di</strong>e che fanno riferimento alla posizione<br />
dei valori
ANALITICHE<br />
(su fenomeni quantitativi)<br />
• aritmetica<br />
• geometrica<br />
• quadratica<br />
• ecc.<br />
MEDIE<br />
DI POSIZIONE<br />
• me<strong>di</strong>ana<br />
(su fenomeni<br />
quantitativi e qualitativi<br />
or<strong>di</strong>nali)<br />
• moda<br />
(su tutti i fenomeni)
Le me<strong>di</strong>e analitiche<br />
• il calcolo <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a analitica consiste nel<br />
determinare un'opportuna operazione che<br />
viene applicata all'insieme dei valori<br />
• è importante in<strong>di</strong>viduare l'operazione più<br />
opportuna per la specifica situazione
Le principali me<strong>di</strong>e analitiche<br />
la me<strong>di</strong>a aritmetica (l'operazione è la<br />
somma dei valori)<br />
• me<strong>di</strong>a aritmetica semplice<br />
• me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata<br />
la me<strong>di</strong>a geometrica (l'operazione è il<br />
prodotto dei valori)<br />
la me<strong>di</strong>a quadratica (l'operazione è il<br />
quadrato dei valori)
La me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
_<br />
La me<strong>di</strong>a campionaria si in<strong>di</strong>ca con X<br />
La me<strong>di</strong>a <strong>della</strong> popolazione si in<strong>di</strong>ca<br />
con μ
La me<strong>di</strong>a aritmetica semplice<br />
somma dei valori <strong>di</strong>visa per il numero<br />
dei valori<br />
x 1 + x 2 + ... x i + ... x n Σ x i<br />
—————————— = ———<br />
n n
La me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata<br />
quando viene utilizzata<br />
• quando i dati sono presentati in una<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> frequenze, dove a ogni<br />
modalità corrisponde una certa<br />
numerosità <strong>di</strong> unità statistiche (pesi)<br />
• in generale, quando si ritiene utile (o<br />
necessario) ponderare i valori con un<br />
opportuno sistema <strong>di</strong> pesi, in quanto è<br />
ragionevole dare a ogni valore un proprio<br />
livello <strong>di</strong> importanza
me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata<br />
Somma dei prodotti <strong>di</strong> ogni valore con il<br />
relativo peso (p), <strong>di</strong>visa per la somma dei<br />
pesi<br />
x 1 • p 1 + x 2 • p 2 + ….. + x i • p i + ... x n • p n<br />
——————————————————<br />
Σ (x i • p i )<br />
———————<br />
Σ p i<br />
p 1 + p 2 + …. + p i + … + p n
Distribuzione <strong>di</strong> frequenza: livello <strong>di</strong><br />
sod<strong>di</strong>sfazione <strong>di</strong> un campione <strong>di</strong> citta<strong>di</strong>ni<br />
relativamente alla <strong>di</strong>sponibilità <strong>di</strong> parchi<br />
Livello <strong>di</strong><br />
sod<strong>di</strong>sfazione<br />
n. citta<strong>di</strong>ni<br />
1 4<br />
2 15<br />
3 26<br />
4 21<br />
5 8<br />
6 3<br />
7 1
Calcolo <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata<br />
1 • 4 + 2 • 15 + ….......... + 6 •3 + 7 • 1<br />
—————————————————— =<br />
4 + 15 + …......... + 3 + + 1<br />
261<br />
———— = 3,346<br />
78
Esempio <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata - dati<br />
<strong>di</strong> partenza: livello <strong>di</strong> sod<strong>di</strong>sfazione <strong>di</strong> un<br />
soggetto relativamente ad alcuni aspetti<br />
<strong>della</strong> zona <strong>di</strong> residenza<br />
Fattori considerati<br />
Livello <strong>di</strong><br />
sod<strong>di</strong>sfazione<br />
Livello <strong>di</strong><br />
importanza<br />
Qualità aria 6 7<br />
Viabilità<br />
ferroviaria<br />
5 3<br />
Viabilità stradale 3 5<br />
Controlli tutela<br />
amb.<br />
6 1<br />
Disponibilità 2 5
Calcolo <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata<br />
6 • 7 + 5 • 3 + ….......... + 2 • 5 + 4 • 3<br />
—————————————————— =<br />
7 + 3 + …......... + 5 + 3<br />
112<br />
———— = 4,148<br />
27
Calcolo <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
ponderata per un fenomeno continuo<br />
• Se il fenomeno è in classi ed è continuo,<br />
non si hanno i valori precisi <strong>degli</strong> x i<br />
• Si considerano come x i i valori centrali<br />
delle classi<br />
• Per eventuali classi aperte, si fissano nel<br />
modo più ragionevole possibile gli estremi
Proprietà <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
• La me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un gruppo <strong>di</strong> valori è sempre<br />
compresa tra il valore minimo e quello<br />
massimo<br />
• La somma <strong>degli</strong> scarti dalla me<strong>di</strong>a è<br />
sempre pari a zero
MEDIA QUADRATICA (rms)<br />
(root mean square)<br />
utile quando ci sono valori negativi e valori<br />
positivi, che darebbero una me<strong>di</strong>a<br />
aritmetica molto prossima allo zero<br />
• È maggiore o uguale alla me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
• si alzano al quadrato i valori<br />
• si calcola la me<strong>di</strong>a dei quadrati<br />
• si estrae la ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> questa me<strong>di</strong>a<br />
rms = radq [Σ (x i ) 2 / n]
Esempio <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a quadratica - dati <strong>di</strong><br />
partenza: precipitazioni piovose a<br />
Bombay<br />
Anni Scostamento dalla<br />
me<strong>di</strong>a (mm)<br />
1971 173<br />
1972 83<br />
1973 -16<br />
1974 13<br />
1975 -137<br />
1976 -116
Esempio <strong>di</strong> me<strong>di</strong>a quadratica -<br />
calcolo<br />
(173) 2 + (83) 2 + (-16) 2 + (13) 2 + (-137) 2 + (-116) 2<br />
rms = ——————————————————————<br />
6<br />
69468<br />
rms = radq ———— = radq (11578) = 107,601<br />
6
La me<strong>di</strong>a geometrica (M g )<br />
ra<strong>di</strong>ce n-esima del prodotto <strong>degli</strong> n valori<br />
n<br />
x ⋅ x ⋅...<br />
⋅<br />
1<br />
2<br />
xn<br />
• si utilizza per il calcolo <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a del<br />
tasso <strong>di</strong> interesse, oppure del tasso <strong>di</strong><br />
incremento o <strong>di</strong> decremento<br />
• In questi casi, somma non è idonea a<br />
fornire il reale or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza del<br />
fenomeno
Esempio <strong>di</strong> calcolo <strong>di</strong> una<br />
me<strong>di</strong>a geometrica<br />
• La salinità dell’acqua lagunare, in seguito alle<br />
<strong>di</strong>verse entità <strong>della</strong> piena <strong>di</strong> un fiume, mostra da<br />
un anno all’altro le seguenti variazioni %<br />
(misurate il 31 gennaio <strong>di</strong> ogni anno):<br />
2007: -0,6%; 2008: -3,2%; 2009: +1,7%; <strong>2010</strong>: +0,3%<br />
M g = (0,994 * 0,968 * 1,017 * 1,003) 1/4<br />
= 0, 9953 (decremento me<strong>di</strong>o annuo dello 0,47%)
Le principali me<strong>di</strong>e <strong>di</strong><br />
posizione<br />
me<strong>di</strong>ana (M e) (la modalità che si colloca<br />
al centro <strong>della</strong> successione dei termini,<br />
or<strong>di</strong>nati in senso non decrescente)<br />
moda (M o) (la modalità più frequente)
La me<strong>di</strong>ana<br />
• La me<strong>di</strong>ana <strong>di</strong> n osservazioni <strong>di</strong> un<br />
fenomeno quantitativo oppure qualitativo<br />
or<strong>di</strong>nale, è la modalità che nella<br />
successione dei valori, or<strong>di</strong>nati in senso<br />
crescente, occupa il posto centrale<br />
• È preceduta dal 50% dei valori, è seguita<br />
dal 50% dei valori
• Con n <strong>di</strong>spari: una<br />
sola me<strong>di</strong>ana<br />
• Il valore<br />
corrispondente<br />
all’unità (n+1)2<br />
LA MEDIANA<br />
• Con n pari: due<br />
me<strong>di</strong>ane<br />
• I valori<br />
corrispondenti alle<br />
unità:<br />
n / 2 (n / 2) + 1
Un esempio <strong>di</strong> impostazione<br />
Stazione Classificazione<br />
trofica<br />
Lido <strong>di</strong><br />
Volano<br />
Porto<br />
Garibal<strong>di</strong><br />
Scadente 17,<br />
6<br />
Scadente 16,<br />
4<br />
Casalborsetti Me<strong>di</strong>ocre 16,<br />
4<br />
°C Salinit<br />
à<br />
pH<br />
27,4 8,24<br />
28,9 8,29<br />
30,2 8,30<br />
Marina <strong>di</strong> Me<strong>di</strong>ocre 16, 31,9 8,27
La me<strong>di</strong>ana – primo esempio<br />
Stazione Classificazione trofica °C Salinità pH<br />
Lido <strong>di</strong> Volano Scadente 17,6 27,4 8,24<br />
Porto Garibal<strong>di</strong> Scadente 16,4 28,9 8,29<br />
Casalborsetti Me<strong>di</strong>ocre 16,4 30,2 8,30<br />
Marina <strong>di</strong> Rav. Me<strong>di</strong>ocre 16,5 31,9 8,27<br />
Lido Adriano Me<strong>di</strong>ocre 16,4 31,6 8,28<br />
Cesenatico Me<strong>di</strong>ocre 16,2 32,8 8,19<br />
Rimini Buona 16,6 33,4 8,27<br />
Cattolica Buona 16,5 34,0 8,24<br />
Relativamente alla classificazione trofica, la me<strong>di</strong>ana è la<br />
modalità me<strong>di</strong>ocre;<br />
Per quanto riguarda la temperatura, le me<strong>di</strong>ane sono 16,4 e 16,5<br />
Per il pH, la me<strong>di</strong>ana è 8,27
La me<strong>di</strong>ana – secondo esempio (dati in <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
frequenza: numero <strong>di</strong> comuni <strong>della</strong> Lombar<strong>di</strong>a nordoccidentale<br />
per numerosità <strong>di</strong> incen<strong>di</strong> nel decennio<br />
1998-2007)<br />
N. incen<strong>di</strong> (xi) unità<br />
(frequenze)<br />
fx<br />
frequenze<br />
cumulate f’x<br />
La me<strong>di</strong>ana è il valore assunto dal fenomeno in<br />
corrispondenza <strong>di</strong> p'x = 0,5;<br />
nell'esempio, = 4, in quanto p’ x = 0,5 cade nella quarta<br />
classe (considerando le prime tre insieme, infatti, non<br />
si arriva a 0,5, ma solo a 0,482)<br />
p’x<br />
1 71 71 0,139<br />
2 77 148 0,290<br />
3 98 246 0,482<br />
4 102 348 0,682<br />
5 95 443 0,869<br />
6 55 498 0,976<br />
7 12 510 1,000<br />
TOTALE 510
Me<strong>di</strong>a e me<strong>di</strong>ana nelle<br />
<strong>di</strong>stribuzioni asimmetriche<br />
• Nella <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> una popolazione o <strong>di</strong> un<br />
campione, la me<strong>di</strong>a non separa in due parti uguali<br />
le unità statistiche (tranne quando la me<strong>di</strong>a<br />
coincide con la me<strong>di</strong>ana).<br />
• La me<strong>di</strong>a risente del fatto che alcuni valori siano<br />
molto <strong>di</strong>stanti dalla me<strong>di</strong>a stessa, mentre la<br />
me<strong>di</strong>ana non ne risente<br />
• Se una coda <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione dei valori è molto<br />
allungata, la me<strong>di</strong>a è spostata verso questa coda, in<br />
confronto alla me<strong>di</strong>ana, la quale non dà così<br />
importanza ai valori estremi <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>stribuzione asimmetrica: età<br />
dei decessi per cause naturali<br />
20-25<br />
25-30<br />
30-35<br />
35-40<br />
40-45<br />
45-50<br />
50-55<br />
55-60<br />
60-65<br />
65-70<br />
70-75<br />
75-80<br />
80-85<br />
85-90
I percentili<br />
• Cosa sono?<br />
– Il percentile <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne p (100p ) è il valore xp che<br />
<strong>di</strong>vide in due parti la <strong>di</strong>stribuzione (or<strong>di</strong>nata), in<br />
modo che il p% dei valori sia prima <strong>di</strong> xp • Esempio<br />
– il primo percentile è il valore in corrispondenza<br />
del quale si raggiunge l’1% delle unità<br />
– Il decimo percentile è il valore in<br />
corrispondenza del quale si raggiunge il 10%<br />
delle unità
I percentili: casi particolari<br />
• Il cinquantesimo percentile corrisponde alla<br />
me<strong>di</strong>ana<br />
• Il venticinquesimo percentile corrisponde al<br />
primo quartile (Q 1 )<br />
• Il settantacinquesimo percentile corrisponde<br />
al terzo quartile (Q 3 )
Una applicazione: rilevazione del fosforo reattivo<br />
alla stazione <strong>di</strong> Cattolica su 365 giorni (mg/mc)<br />
100 p mg (x p )<br />
3 1,89<br />
10 1,97<br />
25 2,43<br />
50 2,81 (me<strong>di</strong>ana)<br />
75 3,51<br />
95 4,62<br />
99 7,16<br />
• Come si interpretano?<br />
– Il 3% delle rilevazioni ha un valore ≤ 1,89<br />
– il 10% delle rilevazioni ha un valore ≤ 1,97<br />
– il 5% delle rilevazioni ha un valore ≥ 4,22
100 p mg (x p )<br />
3 1,89<br />
10 1,97<br />
25 2,43<br />
50 2,81<br />
75 3,51<br />
95 4,62<br />
99 7,16<br />
% delle rilevazioni che hanno un valore<br />
≤3,51?<br />
75%<br />
valore corrispondente al primo 25% <strong>di</strong><br />
stazioni?<br />
≤2,43<br />
% delle rilevazioni che hanno un valore<br />
≥ 1,97, ma ≤ 4,62<br />
85%<br />
una rilevazioni che ha fatto rilevare un<br />
valore = 1,91 è in corrispondenza del<br />
_______ percentile?<br />
≅ quinto
La moda (M o )<br />
• è la modalità alla quale corrisponde la massima<br />
frequenza<br />
• La moda è interessante quando n è piuttosto<br />
elevato e quando una modalità ha frequenza<br />
molto più elevata delle altre<br />
Distribuzione delle rilevazioni <strong>della</strong> trasparenza<br />
delle acque alla stazione <strong>di</strong> Cervia<br />
Trasparenza (m) n. rilevazioni<br />
0-2 79<br />
2-4 178<br />
4-6 95<br />
6-8 13<br />
Classe modale: 2-4
Misure <strong>di</strong> variabilità
Il significato <strong>di</strong> variabilità<br />
• Una me<strong>di</strong>a sintetizza un gruppo <strong>di</strong> dati in un<br />
unico valore; questa operazione comporta<br />
tuttavia una per<strong>di</strong>ta <strong>di</strong> informazioni<br />
• Due campioni possono fare riscontrare la stessa<br />
me<strong>di</strong>a, pur a fronte <strong>di</strong> situazioni molto <strong>di</strong>verse<br />
• Le misure <strong>di</strong> variabilità sono in<strong>di</strong>catori in grado<br />
<strong>di</strong> valutare in modo sintetico le <strong>di</strong>fferenze tra i<br />
valori <strong>di</strong> un gruppo <strong>di</strong> dati<br />
• Non assumono mai valori negativi<br />
• Sono pari a zero se il fenomeno non presenta<br />
variabilità<br />
• Presentano valori crescenti all'aumentare <strong>della</strong><br />
variabilità
il campo <strong>di</strong> variazione<br />
(range)<br />
• È la <strong>di</strong>fferenza tra il valore massimo x max e<br />
il valore minimo x min tra quelli osservati:<br />
x max - x min<br />
• Ha il <strong>di</strong>fetto <strong>di</strong> tenere conto soltanto dei<br />
valori estremi, non essendo sensibile alle<br />
mo<strong>di</strong>ficazioni nei valori interme<strong>di</strong> (che<br />
alterano comunque la variabilità globale)
La deviazione standard o<br />
scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
• Si basa sugli scarti tra i singoli valori e la<br />
loro me<strong>di</strong>a aritmetica:<br />
x i - M<br />
• Non sarebbe possibile utilizzare la me<strong>di</strong>a<br />
aritmetica <strong>degli</strong> scarti, poiché la loro<br />
somma algebrica è sempre nulla<br />
• Si può invece impiegare la me<strong>di</strong>a dei<br />
quadrati <strong>degli</strong> scarti (rms)
Simbologia<br />
• La deviazione standard campionaria<br />
si in<strong>di</strong>ca con s<br />
• La deviazione standard <strong>della</strong><br />
popolazione si in<strong>di</strong>ca con σ
σ : il calcolo<br />
• Si <strong>di</strong>ce deviazione standard <strong>della</strong> popolazione<br />
la me<strong>di</strong>a quadratica <strong>degli</strong> scarti <strong>di</strong> ogni valore<br />
<strong>della</strong> popolazione dalla me<strong>di</strong>a aritmetica <strong>della</strong><br />
popolazione<br />
σ = radq [Σ (x i - μ) 2 / n]<br />
• La deviazione standard è espressa nella<br />
stessa unità <strong>di</strong> misura dei valori del<br />
fenomeno
s : il calcolo<br />
• Si <strong>di</strong>ce deviazione standard del campione la<br />
me<strong>di</strong>a quadratica <strong>degli</strong> scarti <strong>di</strong> ogni valore<br />
del campione dalla me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
campionaria<br />
_<br />
s = radq [Σ (x i - X) 2 / (n – 1)]<br />
• Ovviamente, anche in questo caso la<br />
deviazione standard è espressa nella stessa<br />
unità <strong>di</strong> misura dei valori del fenomeno
s : un calcolo alternativo<br />
s = radq [n * Σ x 2 - (Σ x) 2 / n * (n – 1)]
Bolzano,<br />
via<br />
σ : un esempio<br />
Bolzano,<br />
piazza<br />
• Polveri sottili: σ 3,91<br />
Merano,<br />
via<br />
Merano, BressaVipite-<br />
Inquinante<br />
Augusta Adriano Laives Trogmann Grünau none Brunico no Cortina<br />
Polveri sottili<br />
Biossido <strong>di</strong><br />
µg/m³ 20 15 21 24 18 11 18 24 18<br />
azoto µg/m³ 67 69 50 59 40 48 42 76 52<br />
• Biossido <strong>di</strong> azoto: σ 11,86
Alcune proprietà <strong>della</strong><br />
me<strong>di</strong>a aritmetica e <strong>della</strong> σ<br />
• Se a tutti i valori <strong>di</strong> una serie viene<br />
sommato un numero, la me<strong>di</strong>a aumenta <strong>di</strong><br />
questo valore, σ non cambia<br />
• Se tutti i valori <strong>di</strong> una serie vengono<br />
moltiplicati per una costante, la me<strong>di</strong>a e σ<br />
risultano moltiplicate per questa costante
Caso 1<br />
1, 3, 4, 5, 7 6, 8, 9, 10, 12<br />
(y = x + 5)<br />
me<strong>di</strong>a 4 9<br />
σ 2 2
Caso 2<br />
1, 3, 4, 5, 7 3, 9, 12, 15, 21<br />
(y = x . 3)<br />
me<strong>di</strong>a 4 12<br />
σ 2 6
Caso 3<br />
5, - 4, 3, - 1, 7 - 5, 4, - 3, 1, - 7<br />
(y = -x)<br />
me<strong>di</strong>a 2 - 2<br />
σ 4 4
La varianza<br />
• La varianza è il quadrato <strong>della</strong><br />
deviazione standard<br />
• Non è espressa nella stessa unità <strong>di</strong><br />
misura del fenomeno, ma nel<br />
quadrato <strong>di</strong> questa unità <strong>di</strong> misura
Altre misure <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione<br />
• Differenza interquartile (utile<br />
soprattutto quando la <strong>di</strong>stribuzione<br />
dei valori non è approssimabile con la<br />
<strong>di</strong>stribuzione normale)<br />
– è la <strong>di</strong>fferenza tra il 75esimo percentile e<br />
il 25esimo percentile
Gli in<strong>di</strong>ci relativi <strong>di</strong> variabilità<br />
• Quando due fenomeni hanno unità <strong>di</strong><br />
misura <strong>di</strong>verse, il confronto <strong>di</strong>retto in<br />
termini <strong>di</strong> variabilità non è proponibile<br />
• In altri casi, il confronto tra la variabilità <strong>di</strong><br />
due fenomeni può essere poco utile per il<br />
<strong>di</strong>verso valore me<strong>di</strong>o dei fenomeni (per<br />
esempio, red<strong>di</strong>ti e spesa per generi<br />
farmaceutici)<br />
• Altre volte, si vorrebbe sapere se la<br />
variabilità è forte oppure debole<br />
Per affrontare questi problemi, si utilizzano<br />
gli in<strong>di</strong>ci relativi <strong>di</strong> variabilità, da cui viene<br />
eliminata l'influenza dell'unità <strong>di</strong> misura e<br />
<strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione me<strong>di</strong>a dei fenomeni<br />
considerati
Gli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> variabilità rapportati a<br />
un valore me<strong>di</strong>o<br />
• Il più utilizzato è il rapporto tra la deviazione<br />
standard e la me<strong>di</strong>a aritmetica<br />
• Si ricava in questo modo il coefficiente <strong>di</strong><br />
variazione (CV):<br />
σ<br />
CV = ——<br />
M<br />
• Solitamente, CV viene moltiplicato per 100, per<br />
agevolarne la lettura; si interpreta quin<strong>di</strong> come la<br />
% <strong>della</strong> σ sulla me<strong>di</strong>a
Obiettivi del calcolo del CV<br />
• confronto tra variabilità calcolate su fenomeni<br />
con unità <strong>di</strong> misura <strong>di</strong>verse o con or<strong>di</strong>ni <strong>di</strong><br />
grandezza molto <strong>di</strong>fferenti<br />
• il CV può presentare valori superiori all'unità<br />
(o a 100, se è stato moltiplicato per 100),<br />
quando la deviazione standard è maggiore<br />
<strong>della</strong> me<strong>di</strong>a<br />
• il CV perde <strong>di</strong> significato se il fenomeno può<br />
presentare valori negativi e positivi; in questo<br />
caso, la me<strong>di</strong>a può risultare molto prossima a<br />
zero
Gli in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> variabilità rapportati al<br />
loro massimo<br />
• sono idonei a rispondere a una domanda<br />
<strong>di</strong> questo tipo:<br />
la variabilità espressa da una deviazione<br />
standard, o da una varianza, è forte o è<br />
debole?<br />
• si calcolano in<strong>di</strong>catori il cui campo <strong>di</strong><br />
variazione è standard (solitamente,<br />
l'intervallo 0 – 1)
Il proce<strong>di</strong>mento<br />
• si identifica la situazione <strong>di</strong> massima<br />
variabilità (presente quando il fenomeno<br />
assume soltanto i due valori più <strong>di</strong>stanti<br />
tra loro)<br />
• come in<strong>di</strong>viduare il massimo valore che la<br />
deviazione standard può assumere? Si<br />
calcola il campo <strong>di</strong> variazione teorico<br />
(<strong>di</strong>fferenza tra il valore massimo possibile e il<br />
valore minimo possibile) e si <strong>di</strong>vide per due<br />
• si rapporta la deviazione standard<br />
effettivamente ottenuta al valore<br />
massimo che esso può assumere
Un problema<br />
• La <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare in maniera<br />
oggettiva il valore minimo teorico e<br />
soprattutto il valore massimo teorico che<br />
il fenomeno può assumere<br />
• A volte, come valore massimo teorico si<br />
adotta semplicemente il valore più alto tra<br />
quelli osservati
5 – CORRELAZIONE E<br />
REGRESSIONE LINEARE
La correlazione
Correlazione: qualche<br />
definizione preliminare<br />
• Correlazione: stu<strong>di</strong>o <strong>della</strong> relazione tra<br />
due fenomeni quantitativi<br />
• Alcuni valori <strong>di</strong> X si associano<br />
frequentemente a specifici valori <strong>di</strong> Y?<br />
• Conoscendo il valore <strong>di</strong> X per una unità<br />
statistica, si può pre<strong>di</strong>re il valore <strong>di</strong> Y?
Dipendenza e inter<strong>di</strong>pendenza<br />
• relazioni <strong>di</strong> <strong>di</strong>pendenza: quando un<br />
fenomeno è un antecedente (temporale,<br />
logico o <strong>di</strong> altro genere) rispetto a un altro<br />
• relazioni <strong>di</strong> inter<strong>di</strong>pendenza: i fenomeni si<br />
collocano sullo stesso piano, non<br />
esistendo tra loro un fenomeno<br />
antecedente e un fenomeno conseguente
L’analisi <strong>di</strong> correlazione<br />
• È finalizzata allo stu<strong>di</strong>o<br />
dell’associazione esistente tra due<br />
fenomeni quantitativi, in termini <strong>di</strong><br />
inter<strong>di</strong>pendenza
I primi passi<br />
• Rappresentazione grafica dei dati con un<br />
<strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione<br />
• Calcolo <strong>degli</strong> scostamenti <strong>di</strong> ogni valore<br />
dalla me<strong>di</strong>a:<br />
– se a scostamenti positivi <strong>di</strong> un fenomeno<br />
corrispondono scostamenti positivi dell'altro,<br />
allora esiste una relazione <strong>di</strong>retta<br />
– altrimenti, la relazione è inversa (a scostamenti<br />
positivi dell’uno corrispondono scostamenti<br />
negativi dell’altro)
Numero <strong>di</strong> piccoli nella<br />
tasca incubatrice<br />
Esempio <strong>di</strong> <strong>di</strong>agramma <strong>di</strong> <strong>di</strong>spersione<br />
relativo all'arma<strong>di</strong>lli<strong>di</strong>um vulgare<br />
100<br />
90<br />
80<br />
70<br />
60<br />
50<br />
40<br />
30<br />
20<br />
5 7 9 11<br />
Dimensioni <strong>della</strong> femmina (mm)
La covarianza<br />
• è un primo in<strong>di</strong>catore in grado <strong>di</strong> fornire<br />
informazioni sull'intensità e sulle<br />
caratteristiche delle relazione esistente tra<br />
due fenomeni quantitativi<br />
COV (X,Y)<br />
• è la me<strong>di</strong>a dei prodotti dei rispettivi<br />
scostamenti dalla me<strong>di</strong>a (x' i e y' i )<br />
Σ (x' i • y' i )<br />
COV (X,Y) = ——————<br />
n
Il problema <strong>della</strong> covarianza<br />
• quando la covarianza assume valori<br />
positivi, si è in presenza <strong>di</strong> una relazione<br />
<strong>di</strong>retta<br />
• valori negativi segnalano una relazione<br />
inversa<br />
• valori <strong>della</strong> covarianza pari a 0<br />
corrispondono all'assenza <strong>di</strong> una relazione<br />
lineare tra i due fenomeni<br />
• Il problema <strong>della</strong> covarianza è legato al fatto<br />
che questo in<strong>di</strong>catore è espresso in termini<br />
del prodotto delle unità <strong>di</strong> misura <strong>di</strong> X e <strong>di</strong> Y
Il coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
lineare<br />
• è la covarianza calcolata sugli scostamenti<br />
standar<strong>di</strong>zzati:<br />
Σ [z (x i ) • z (y i )]<br />
r = —————————<br />
n<br />
• cosa sono gli scostamenti standar<strong>di</strong>zzati?<br />
sono gli scostamenti dalla me<strong>di</strong>a rapportati<br />
alla deviazione standard; ad es., per X:<br />
x i - M(X)<br />
z (x i ) = —————<br />
SD (X)
Una formule alternative per il<br />
calcolo <strong>di</strong> r<br />
COV (X,Y)<br />
r = —————————<br />
SD (X) • SD (Y)
L’interpretazione del<br />
coefficiente <strong>di</strong> correlazione - 1<br />
• Esprime l’addensamento dei punti<br />
attorno alla retta<br />
• Misura l’intensità del legame delle due<br />
variabili<br />
• È sempre compreso tra – 1 e + 1
L’interpretazione del<br />
coefficiente <strong>di</strong> correlazione - 2<br />
• è pari a 1 quando si è in una situazione<br />
<strong>di</strong> perfetta correlazione positiva<br />
• è pari a –1 quando si è in una situazione<br />
<strong>di</strong> perfetta correlazione negativa<br />
• tende invece ad avvicinarsi a zero<br />
quando la relazione è piuttosto debole
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Esempio <strong>di</strong> relazione lineare precisa<br />
0 20 40 60 80 100
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Esempio <strong>di</strong> relazione lineare approssimativa<br />
0 20 40 60 80 100
100<br />
80<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
Esempio <strong>di</strong> assenza <strong>di</strong> relazione<br />
0 20 40 60 80 100
è invariante per<br />
cambiamenti <strong>di</strong> scala<br />
• Non cambia se si aggiunge lo stesso<br />
numero a tutti i valori <strong>di</strong> una variabile<br />
• Non cambia nemmeno se si moltiplicano<br />
tutti i valori <strong>di</strong> una variabile per lo stesso<br />
numero positivo
PM10: rilevazioni <strong>di</strong> tre centraline -<br />
coefficienti <strong>di</strong> correlazione<br />
Agrate 0,89<br />
Vimercate Agrate<br />
Juvara 0,72 0,69
Associazione e causalità non<br />
sempre coincidono<br />
L'esistenza <strong>di</strong> un elevato valore <strong>di</strong> r può<br />
essere attribuita:<br />
• a una relazione <strong>di</strong> inter<strong>di</strong>pendenza<br />
• a una relazione <strong>di</strong> <strong>di</strong>pendenza<br />
• alla <strong>di</strong>pendenza <strong>di</strong> entrambi i<br />
fenomeni da un terzo fenomeno<br />
(correlazione spuria)
Un esempio: <strong>di</strong>ffusione e<br />
durata <strong>di</strong> una specie<br />
La <strong>di</strong>ffusione geografica <strong>di</strong> una specie e la<br />
sua durata nel tempo risultano tra loro<br />
associate piuttosto precisamente.<br />
• Una specie <strong>di</strong>ffusa sopravvive a calamità<br />
naturali locali?<br />
• Una lunga durata tende a favorire una più<br />
ampia <strong>di</strong>ffusione geografica?<br />
• È maggiore la reperibilità <strong>di</strong> fossili <strong>di</strong><br />
specie <strong>di</strong>ffuse, e ciò lascia erroneamente<br />
ipotizzare una durata prolungata?
La regressione lineare
In molti casi si considerano:<br />
• Una variabile <strong>di</strong>pendente (Y):<br />
regredendo<br />
• Una variabile in<strong>di</strong>pendente (X):<br />
variabile esplicativa o regressore<br />
Solitamente, X è un antecedente<br />
logico o temporale
Scopi dell’analisi <strong>di</strong><br />
regressione<br />
• <strong>Stu<strong>di</strong></strong>are come un fenomeno <strong>di</strong>pende<br />
dall'altro<br />
• Comprendere se si può pre<strong>di</strong>re la variabile<br />
<strong>di</strong>pendente (Y) partendo dalla variabile<br />
esplicativa (X)<br />
Ad esempio, l'interesse <strong>di</strong> un ricercatore può<br />
riguardare l’in<strong>di</strong>viduazione dell’intensità delle<br />
polveri totali sospese in corrispondenza <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>versi gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> usura del manto stradale (e<br />
quin<strong>di</strong> dei relativi residui)
Con la regressione, quin<strong>di</strong>, …<br />
… si cerca <strong>di</strong> capire quanto aumenta o<br />
<strong>di</strong>minuisce la variabile <strong>di</strong>pendente …<br />
… in corrispondenza <strong>di</strong> un aumento unitario<br />
<strong>della</strong> variabile in<strong>di</strong>pendente<br />
Per esempio, l’entità delle mo<strong>di</strong>ficazioni<br />
nello strato <strong>di</strong> ozono rispetto a un<br />
incremento unitario <strong>di</strong> clorofluorocarburi<br />
<strong>di</strong>ffusi nell'alta atmosfera
L’interpolazione lineare<br />
• occorre una funzione interpolante, una<br />
funzione analitica che sia il più possibile<br />
vicina ai punti (x i ,y i )<br />
interpolazione <strong>di</strong> una successione <strong>di</strong> punti:<br />
adattamento ai valori osservati <strong>di</strong> una<br />
opportuna funzione<br />
• limitando l’analisi all'interpolazione<br />
lineare, si hanno funzioni del tipo:<br />
y = a + b • x<br />
A volte, i simboli utilizzati sono:<br />
y = ß 0 + ß 1 • x
I parametri <strong>della</strong> funzione<br />
• L'intercetta a (ß 0 ) è il valore teorico <strong>della</strong><br />
variabile <strong>di</strong>pendente in corrispondenza <strong>di</strong><br />
un valore nullo <strong>della</strong> variabile esplicativa<br />
(in sintesi, è il valore <strong>di</strong> Y quando X = 0);<br />
ha la stessa unità <strong>di</strong> misura <strong>di</strong> y<br />
• La pendenza b (ß 1 ) (o coefficiente<br />
angolare) è l'entità <strong>della</strong> variazione teorica<br />
<strong>della</strong> variabile <strong>di</strong>pendente in<br />
corrispondenza <strong>di</strong> un incremento <strong>di</strong> una<br />
unità <strong>della</strong> variabile esplicativa<br />
è quin<strong>di</strong> espressa in termini <strong>di</strong> unità <strong>di</strong> Y /<br />
unità <strong>di</strong> X: infatti, è la variazione verticale /<br />
variazione orizzontale
Interpolazione ed<br />
estrapolazione<br />
L’utilizzo <strong>della</strong> funzione per pre<strong>di</strong>re valori <strong>di</strong><br />
Y nell’intervallo osservato dei valori <strong>di</strong> X è<br />
chiamato interpolazione<br />
L’utilizzo <strong>della</strong> funzione per pre<strong>di</strong>re valori <strong>di</strong><br />
Y all’esterno dell’intervallo osservato dei<br />
valori <strong>di</strong> X è chiamato estrapolazione
Il calcolo dei parametri<br />
r • SD (Y)<br />
b = ————————<br />
SD (X)<br />
a = M Y – (b • M X )<br />
• Per determinare i parametri <strong>della</strong> funzione<br />
interpolante, si ricorre alla con<strong>di</strong>zione dei minimi<br />
quadrati<br />
• La funzione interpolante è infatti quella che rende<br />
minima la somma dei quadrati delle <strong>di</strong>stanze tra i<br />
valori effettivamente rilevati <strong>di</strong> Y e i valori <strong>di</strong> Y) che<br />
possono essere dedotti dalla funzione
Il coefficiente <strong>di</strong> determinazione (r 2 )<br />
• in<strong>di</strong>ca la vali<strong>di</strong>tà (o bontà) <strong>della</strong> funzione<br />
adottata<br />
• È il quadrato del coefficiente <strong>di</strong> correlazione<br />
(r 2 )<br />
• r 2 esprime la quota <strong>di</strong> variabilità del fenomeno<br />
Y che è spiegata dalla retta <strong>di</strong> regressione<br />
• in<strong>di</strong>ca quanto la retta riassume l'effettivo<br />
legame tra i due fenomeni<br />
• assume valori compresi tra 0 e 1<br />
• più si avvicina all'unità, migliore è<br />
l'adattamento <strong>della</strong> retta ai valori osservati
RMSE (root mean square error)<br />
o errore standard <strong>della</strong> stima<br />
È la me<strong>di</strong>a quadratica dei residui (e)<br />
si calcola agevolmente con:<br />
RMSE = SD (Y) • radq (1-r 2 )<br />
Si in<strong>di</strong>ca anche con s y|x<br />
Si tratta <strong>di</strong> una misura <strong>di</strong> quanto i valori osservati<br />
variano intorno alla retta <strong>di</strong> regressione<br />
(è un concetto analogo allo scarto quadratico me<strong>di</strong>o<br />
in riferimento alla me<strong>di</strong>a)
RMSE rappresenta l’errore che si<br />
commette nel pre<strong>di</strong>re Y con l’aiuto <strong>di</strong><br />
X<br />
È espresso nella stessa unità <strong>di</strong> misura<br />
<strong>di</strong> Y<br />
Il valore <strong>di</strong> Y previsto per un<br />
determinato soggetto con l’aiuto<br />
<strong>della</strong> retta <strong>di</strong> regressione si<br />
<strong>di</strong>scosterà in me<strong>di</strong>a da quello<br />
effettivo per un’entità pari al RMSE
<strong>Stu<strong>di</strong></strong>o sulla produzione <strong>di</strong> anidride<br />
carbonica al buio da parte <strong>di</strong> foglie <strong>di</strong> mais<br />
X: minuti <strong>di</strong> inizio dell’oscurità Y: anidride carbonica<br />
(unità relative)<br />
Inizio oscurità : me<strong>di</strong>a 6,000, SD 2,828<br />
Anidride carbonica : me<strong>di</strong>a 7,160, SD 1,001<br />
r: + 0,918<br />
pendenza 0,918 • 1,001 / 2,828 = 0,325<br />
intercetta 7,160 – 0,325 • 6 = 5,21<br />
RMSE = 0,3967 significa che la produzione <strong>di</strong><br />
anidride carbonica prevista per una determinata<br />
situazione <strong>di</strong> oscurità tenderà a scostarsi da quella<br />
effettiva in me<strong>di</strong>a per 0,3967 unità relative
Esempio riferito alla portata (mc/sec)<br />
<strong>di</strong> un fiume e all’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> salinità (ppm:<br />
parti per milione) del mare nei pressi<br />
<strong>della</strong> foce<br />
y = 37250 - 35,3 x<br />
r = -0,874<br />
37250 ppm è il valore <strong>della</strong> salinità nell’ipotetica<br />
situazione <strong>di</strong> una portata del fiume pari a zero<br />
35,3 ppm è la <strong>di</strong>minuzione dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> salinità<br />
corrispondente a un incremento <strong>della</strong> portata<br />
del fiume <strong>di</strong> 1 mc/sec
L’applicazione alle<br />
serie storiche
Definizione <strong>di</strong> serie storica<br />
Per serie storica <strong>di</strong> un fenomeno<br />
quantitativo D si intende una<br />
successione dei valori d t (t = 1, 2,<br />
..., n), assunti dal fenomeno in<br />
tempi (o intervalli temporali)<br />
successivi
Le finalità dell’analisi<br />
• descrizione in termini sintetici<br />
dell'evoluzione temporale <strong>di</strong> un fenomeno<br />
• formulazione <strong>di</strong> proiezioni sul futuro del<br />
fenomeno considerato…<br />
…soggette a una importante con<strong>di</strong>zione: la<br />
permanenza delle con<strong>di</strong>zioni che hanno<br />
concorso a determinare l'evoluzione<br />
precedente
La stima del trend con il metodo<br />
<strong>della</strong> regressione<br />
• Il trend: è la tendenza <strong>di</strong> fondo <strong>di</strong> una serie<br />
storica<br />
• Per mezzo <strong>della</strong> regressione si vuole<br />
stimare la funzione più in grado <strong>di</strong><br />
esprimere la relazione tra il fattore tempo e<br />
il fenomeno oggetto <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>o…<br />
… per poi pre<strong>di</strong>re il fenomeno in esame a<br />
partire dalla scansione dei tempi
Il fattore tempo come<br />
variabile in<strong>di</strong>pendente<br />
• Consideriamo il fattore tempo come la<br />
variabile in<strong>di</strong>pendente (x) e il fenomeno in<br />
esame (D) come la variabile <strong>di</strong>pendente (y)<br />
• Possiamo effettuare una normale analisi <strong>di</strong><br />
regressione lineare, identificando sia la<br />
retta <strong>di</strong> regressione, sia il relativo<br />
coefficiente <strong>di</strong> determinazione (r 2 )
La semplificazione <strong>della</strong><br />
scala temporale<br />
Per semplificare i calcoli, gli anni possono<br />
essere trasformati in una unità <strong>di</strong> misura<br />
più semplice ….<br />
…. non tanto 2000, 2001, 2002, 2003, ecc. ….<br />
…. quanto 1, 2, 3, 4, ecc.
La funzione y = a + b • x<br />
• esprime l'ipotesi <strong>di</strong> variazioni <strong>di</strong><br />
ammontare costante fra due tempi<br />
consecutivi (espresse nella stessa unità<br />
<strong>di</strong> misura del fenomeno analizzato), uguali<br />
alla pendenza<br />
• l’intercetta in<strong>di</strong>ca il valore assunto<br />
teoricamente dal fenomeno (stimato<br />
secondo la retta interpolante) quando x =<br />
0, ossia nel tempo imme<strong>di</strong>atamente<br />
precedente al primo dei tempi presi in<br />
considerazione
Un esempio: PM10 rilevati alla<br />
stazione <strong>di</strong> Rovigo centro (microg/mc)<br />
Età in anni (x) microg/mc (y)<br />
2004 1 48,2<br />
2005 2 47,4<br />
2006 3 48,1<br />
2007 4 41,8<br />
2008 5 37,6<br />
2009 6 37,3<br />
<strong>2010</strong> 7 34,4
= -0,954<br />
pendenza pari a -2,575<br />
intercetta pari a 52,414<br />
y = 52,414 - 2,575 x<br />
r 2 = (0,954) 2 = 0,910<br />
RMSE = 5,40 • radq (1 – 0,91) = 1,617
• Secondo la funzione lineare ricavata, si<br />
hanno quin<strong>di</strong> variazioni <strong>di</strong> ammontare<br />
costante (in microg/mc), pari a -2,575 fra<br />
due anni consecutivi<br />
• Il valore teorico <strong>di</strong> PM10 quando x è pari a<br />
zero (ossia, nell’anno 2003) è <strong>di</strong> 52,414<br />
(microg/mc)
• r 2 = - 0,910<br />
• Una elevata quota <strong>di</strong> variabilità del<br />
fenomeno Y è spiegata dalla retta <strong>di</strong><br />
regressione<br />
• Quin<strong>di</strong>, la retta <strong>di</strong> regressione è idonea a<br />
riassumere l'effettivo legame tra il<br />
fenomeno considerato e il fattore tempo,<br />
anche<br />
• In altri termini, tenere conto<br />
dell’evoluzione <strong>della</strong> serie storica aiuta<br />
notevolmente nella pre<strong>di</strong>zione dei valori<br />
futuri
RMSE = 1,617 (microg/mc) significa che il<br />
valore <strong>di</strong> PM10 previsto per un<br />
determinato anno si <strong>di</strong>scosterà da quello<br />
effettivo in me<strong>di</strong>a per 1,617 microg/mc<br />
il confronto con la SD (Y), molto più elevata,<br />
consente <strong>di</strong> affermare che con l’utilizzo<br />
del fattore tempo nel ruolo <strong>di</strong> variabile<br />
in<strong>di</strong>pendente, la capacità <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>zione <strong>di</strong><br />
Y migliora sensibilmente<br />
In altri termini, l’errore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> pre<strong>di</strong>zione<br />
con l’impiego <strong>di</strong> X si riduce In misura<br />
consistente
La proiezione<br />
• Utilizzando la funzione interpolante, è<br />
possibile effettuare proiezioni sul<br />
futuro del fenomeno considerato<br />
• per esempio, per il 2012 (x = 9):<br />
y = 52,414 – 2,575 • 9 = 29,24
Trend non lineari<br />
• Anche nello stu<strong>di</strong>o delle serie storiche, r prossimo a zero<br />
non necessariamente significa assenza <strong>di</strong> relazione<br />
(possiamo essere in presenza <strong>di</strong> una associazione non<br />
lineare)<br />
• Per esempio, la % <strong>di</strong> tannino nella felce aquilina ha questo<br />
trend nei mesi da maggio a ottobre:<br />
12<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
maggio giugno luglio agosto settembre ottobre
6 – NOZIONI ELEMENTARI DI<br />
PROBABILITA’
Definizione <strong>di</strong> probabilità<br />
• Secondo la teoria frequentista, adatta<br />
per esempio ai processi che si<br />
possono ripetere tante volte:<br />
la probabilità <strong>di</strong> un evento è la<br />
percentuale dei casi in cui tale<br />
evento può verificarsi, sul totale dei<br />
casi possibili
Simboli<br />
• La probabilità che si verifichi l’evento E si<br />
in<strong>di</strong>ca con P(E)<br />
• La probabilità che si verifichi l’evento<br />
contrario (non E) si in<strong>di</strong>ca con P(non E)<br />
P(E) = [1 - P(non E)]<br />
• l’evento impossibile ha probabilità pari a zero
Spazio <strong>degli</strong> eventi<br />
• È importante, per ogni esperimento, definire lo spazio <strong>degli</strong><br />
eventi (S), che comprende tutti i possibili eventi. Si utilizzano<br />
solitamente le parentesi graffe per in<strong>di</strong>care tutti gli eventi<br />
possibili. Per esempio:<br />
S = { x: 15 < x < 30}<br />
• Ogni elemento dello spazio <strong>degli</strong> eventi è detto evento<br />
semplice (un evento semplice è definito da una sola<br />
caratteristica)<br />
• Un qualsiasi insieme <strong>di</strong> eventi semplici è detto evento<br />
congiunto o composto (un evento congiunto è definito da due<br />
o più caratteristiche)
Eventi compatibili e<br />
incompatibili<br />
• Due eventi sono incompatibili<br />
quando il verificarsi dell’uno<br />
esclude il verificarsi dell’altro<br />
• Due eventi sono compatibili quando<br />
il verificarsi dell’uno non esclude il<br />
verificarsi dell’altro
EVENTI INCOMPATIBILI<br />
E<br />
F
EVENTI COMPATIBILI<br />
E<br />
F
Eventi <strong>di</strong>pendenti e in<strong>di</strong>pendenti<br />
• Due eventi sono in<strong>di</strong>pendenti quando la<br />
probabilità che il secondo si verifichi è la<br />
stessa, in<strong>di</strong>pendentemente dal verificarsi o<br />
meno del primo<br />
es.: estrazione con reimmissione<br />
• Due eventi sono <strong>di</strong>pendenti quando la<br />
probabilità che il secondo si verifichi è<br />
<strong>di</strong>versa, a seconda che si sia verificato o<br />
meno il primo<br />
es.: estrazione senza reimmissione
Probabilità con<strong>di</strong>zionata<br />
• Ha significato solo nell’ambito <strong>degli</strong> eventi<br />
<strong>di</strong>pendenti<br />
• È la probabilità che si verifichi un secondo<br />
evento (F), quando si impone una con<strong>di</strong>zione<br />
sul primo evento (E)<br />
P (F | E) (si legge: probabilità <strong>di</strong> F dato E)
Esempio <strong>di</strong> probabilità<br />
con<strong>di</strong>zionata<br />
• Si stima che un complesso idrovoro sia in grado <strong>di</strong><br />
fronteggiare una determinata piena del fiume con una<br />
probabilità del 94%.<br />
• Nel caso che si verifichi l’evento sopra esposto (C,<br />
ossia capacità <strong>di</strong> fronteggiare la piena), si stima che<br />
l’intera area golenale sarà preservata dalla piena nel<br />
62% dei casi.<br />
• La probabilità con<strong>di</strong>zionata, in questo caso, è la<br />
probabilità che l’intera area golenale sia preservata.<br />
La in<strong>di</strong>chiamo con P(G).<br />
P (G | C) = 0,62
La proprietà moltiplicativa<br />
• La probabilità che si verifichino due eventi<br />
(entrambi) si in<strong>di</strong>ca con<br />
P (E e F) oppure con P (E ∩ F)<br />
(probabilità dell’intersezione <strong>degli</strong> eventi E e F<br />
• ha significato solo se gli eventi sono<br />
compatibili<br />
• Questa probabilità si in<strong>di</strong>vidua per mezzo <strong>di</strong> un<br />
prodotto
Applicazioni <strong>della</strong> proprietà<br />
moltiplicativa - 1<br />
Se gli eventi sono tra loro in<strong>di</strong>pendenti<br />
P (E e F) = P(E) • P(F)<br />
• A1 e A2 sono due appezzamenti <strong>di</strong> terreno da<br />
cui il mare si è ritirato, quin<strong>di</strong> ad elevata<br />
salinità. I terreni presentano caratteristiche<br />
<strong>di</strong>verse per cui, con alcuni anni <strong>di</strong> coltivazione<br />
<strong>di</strong> riso, si stima che la probabilità <strong>di</strong> <strong>di</strong>mezzare<br />
la salinità sia del 75% per A1 e dell’85% per A2.<br />
• Quale è la probabilità che in entrambi gli<br />
appezzamenti si <strong>di</strong>mezzi la salinità?<br />
0,75 • 0,85 = 0,6375 (63,75%)
Applicazioni <strong>della</strong> proprietà<br />
moltiplicativa - 2<br />
Se gli eventi sono tra loro <strong>di</strong>pendenti<br />
P (E e F) = P(E) • P(F|E)<br />
• Lungo molte coste del Me<strong>di</strong><strong>terra</strong>neo, l’urbanizzazione <strong>di</strong><br />
zone caratterizzate da piante pioniere genera nel 77% dei<br />
casi rilevanti conseguenze sulla macchia me<strong>di</strong><strong>terra</strong>nea<br />
dell’entro<strong>terra</strong>, perché si riduce la barriera <strong>di</strong> protezione<br />
dal vento<br />
• Se il suddetto evento si verifica, in 92 casi su 100 la<br />
macchia me<strong>di</strong><strong>terra</strong>nea risente pesantemente anche<br />
dell’effetto <strong>della</strong> salse<strong>di</strong>ne.<br />
• Quale è la probabilità che, urbanizzando una zona, si<br />
verifichino entrambi gli eventi (V, ossia conseguenze del<br />
vento; S, ossia conseguenze <strong>della</strong> salse<strong>di</strong>ne)?<br />
P (V e S) = P(V) • P(S|V) = 0,77 • 0,92 = 0,7084 (70,84%)
L’espressione <strong>della</strong> probabilità<br />
con<strong>di</strong>zionata<br />
• Conoscendo ora il metodo <strong>di</strong> calcolo <strong>della</strong> probabilità<br />
dell’intersezione, la formula per calcolare la probabilità<br />
con<strong>di</strong>zionata è la seguente:<br />
P (F | E) = P (F ∩ E) / P (E)<br />
Questa espressione è utile quando si conosce la<br />
probabilità che si verifichino due eventi E e F (entrambi)<br />
e si conosce anche la probabilità che si verifichi<br />
l’evento E (da cui F è <strong>di</strong>pendente), ma non si conosce la<br />
probabilità che si verifichi F dato E.<br />
Ovviamente, se i due eventi E e F fossero in<strong>di</strong>pendenti,<br />
allora<br />
P (F | E) = P (F)<br />
Infatti, la probabilità dell’evento F non cambia<br />
considerando oppure non considerando E, essendo i<br />
due eventi in<strong>di</strong>pendenti
Un esempio <strong>di</strong> calcolo <strong>della</strong><br />
probabilità con<strong>di</strong>zionata<br />
• I semi dell’abete <strong>di</strong> Douglas, in zone protette, hanno<br />
un 35% <strong>di</strong> probabilità <strong>di</strong> sopravvivere sia nel periodo<br />
<strong>di</strong> pregerminazione (PG), sia nel periodo <strong>di</strong><br />
germinazione (G).<br />
• La probabilità che un seme sopravviva nel periodo <strong>di</strong><br />
pregerminazione è pari al 63 %.<br />
• La probabilità che un seme superi il periodo <strong>di</strong><br />
germinazione, nel caso che abbia superato quello <strong>di</strong><br />
pregerminazione, è pari a:<br />
P (G | PG) = P (G ∩ PG) / P (G) = 0,35/0,63 = 0,556
La proprietà ad<strong>di</strong>tiva<br />
• La probabilità che si verifichi almeno uno <strong>di</strong><br />
due eventi (probabilità dell’unione) si in<strong>di</strong>ca<br />
con<br />
P (E o F) oppure P (E ∪ F)<br />
Questa probabilità si in<strong>di</strong>vidua per mezzo <strong>di</strong> una<br />
somma
Applicazioni <strong>della</strong> proprietà ad<strong>di</strong>tiva - 1<br />
• Se gli eventi sono tra loro incompatibili:<br />
P (E o F) = P(E) + P(F)<br />
• Continenti <strong>di</strong> provenienza <strong>della</strong> flora esotica<br />
italiana:<br />
America 321<br />
Asia 225<br />
Europa 86<br />
Africa 75<br />
Oceania 43<br />
• La probabilità che una specie estratta a caso<br />
sia asiatica o africana è:<br />
225/750 + 75/750 = 300/750
Applicazioni <strong>della</strong> proprietà ad<strong>di</strong>tiva - 2<br />
• Se invece gli eventi sono tra loro compatibili:<br />
P (E o F) = P(E) + P(F) - P (E e F)<br />
(occorre cioè sottrarre la probabilità dell’intersezione, che<br />
altrimenti verrebbe conteggiata due volte)<br />
• È noto che, estraendo metano, il terreno si abbassa e a<br />
volte potrebbe essere conquistato dal mare. Si progetta <strong>di</strong><br />
estrarre un determinato quantitativo <strong>di</strong> metano da due aree,<br />
del tutto in<strong>di</strong>pendenti tra loro. Si stima, considerando le<br />
preve<strong>di</strong>bili con<strong>di</strong>zioni del mare e <strong>degli</strong> affluenti, che l’area A<br />
abbia una probabilità del 12% <strong>di</strong> essere conquistata dal<br />
mare, mentre per l’area B questa probabilità è del 18%.<br />
• Quale è la probabilità che almeno una delle due aree sia<br />
conquistata dal mare?<br />
0,12 + 0,18 – 0,12 • 0,18 = 0,2784 (27,84%)
L’azione del Libeccio e l’apporto <strong>di</strong> acque dolci fluviali<br />
consentono <strong>di</strong> stimare le seguenti probabilità <strong>di</strong> intense<br />
fioriture microalgali in due zone dell’Alto Adriatico:<br />
la zona A ha una probabilità pari al 32%<br />
la zona B ha una probabilità pari al 46%<br />
• Calcolare le seguenti<br />
probabilità, relative a<br />
intense fioriture<br />
microalgali:<br />
Entrambe coinvolte<br />
Solo A coinvolta<br />
Solo B coinvolta<br />
Almeno una coinvolta<br />
• Si tratta <strong>di</strong> eventi<br />
in<strong>di</strong>pendenti compatibili<br />
0,32 • 0,46 = 0,1472<br />
0,32 • 0,54 = 0,1728<br />
0,68 • 0,46 = 0,3120<br />
0,32 + 0,46 – 0,1472 = 0,6328
Qualità igienico-sanitaria <strong>di</strong> alcune<br />
acque lacustri nel nord Italia: i dati <strong>di</strong><br />
base<br />
Favore<br />
-voli<br />
(F)<br />
Sfavorevoli<br />
(S)<br />
Maggi<br />
o-re<br />
(M)<br />
Garda<br />
(G)<br />
Como<br />
(C)<br />
Totale<br />
60 120 60 240<br />
120 20 20 160<br />
Totale 180 140 80 400
Calcolare le<br />
seguenti<br />
probabilità<br />
P(G)<br />
P(non F)<br />
P(M e F)<br />
P(G e C)<br />
P(G o C)<br />
P(S o C)<br />
P[non(F o S)]<br />
P(F|G)<br />
P(M|S)<br />
P(2S|1S)<br />
P(1S e 2S)<br />
M G C TOT.<br />
F 60 120 60 240<br />
S 120 20 20 160<br />
TOT. 180 140 80 400<br />
140/400<br />
1 – (240/400)<br />
P(F) • P(M|F) = (240/400) • (60/240) (ev. <strong>di</strong>p)<br />
0<br />
P(G) + P(C) = (140/400) + (80/400) (ev. incomp)<br />
P(S)+P(C)-[P(C)•P(S|C)=160/400+80/400-<br />
(80/400•20/80) (ev. compatibili e <strong>di</strong>pendenti)<br />
1 – [P(F) + P(S)] = 1 – (240/400 + 160/400)<br />
120/140<br />
120/160<br />
159/399<br />
P(1S) • P(2S|1S) = 160/400 • 159/399 (ev <strong>di</strong>p)
Il teorema <strong>di</strong> Bayes - 1<br />
• Per calcolare la probabilità che un certo<br />
evento sia frutto <strong>di</strong> una determinata causa,<br />
ci si basa sulla teoria <strong>della</strong> probabilità<br />
con<strong>di</strong>zionata e si utilizza un metodo che<br />
va sotto il nome <strong>di</strong> teorema <strong>di</strong> Bayes.<br />
• Conviene partire da un esempio concreto:<br />
• Un istituto <strong>di</strong> ricerca identifica i minerali<br />
attraverso due fasi:<br />
– 1. osservazione a occhio nudo (per esaminare<br />
colore, trasparenza, brillantezza, tipo <strong>di</strong><br />
fratture, ecc.)<br />
– 2. analisi <strong>di</strong> laboratorio con microscopio ottico
Il teorema <strong>di</strong> Bayes - 2<br />
• Prelevando campioni da determinate rocce, i<br />
geologi intendono verificare se questi<br />
campioni contengano o meno scheelite.<br />
• Da stu<strong>di</strong> precedenti sullo stesso tipo <strong>di</strong><br />
roccia, si era dedotto che il 40% dei campioni<br />
conteneva scheelite; <strong>di</strong> questi, l’80% aveva<br />
avuto un parere favorevole già<br />
all’osservazione a occhio nudo.<br />
• Il restante 60% dei campioni non conteneva<br />
questo minerale; in questo caso, il 30% delle<br />
osservazioni a occhio nudo aveva fornito<br />
(erroneamente) un giu<strong>di</strong>zio favorevole<br />
(presenza <strong>di</strong> scheelite). Il rimanente 70%<br />
aveva fornito un giu<strong>di</strong>zio contrario (assenza<br />
del minerale)
Il teorema <strong>di</strong> Bayes - 3<br />
• Quale è la probabilità che un campione<br />
contenga scheelite, dall’analisi al<br />
microscopio, dopo un parere favorevole<br />
tratto dall’osservazione?<br />
• In<strong>di</strong>chiamo con P la presenza effettiva <strong>di</strong><br />
scheelite, con A la sua assenza effettiva,<br />
con F il parere favorevole (presunta<br />
presenza) all'osservazione, con C il parere<br />
contrario, sempre dall'osservazione.
Il teorema <strong>di</strong> Bayes - 4<br />
P(F|P) * P(P)<br />
P(P|F) = ________________________<br />
P(F|P) * P(P) + P(F|A) * P(A)<br />
0,8 * 0,4<br />
P(P|F) = __________________ = 0,64<br />
0,8 * 0,4 + 0,3 * 0,6
8 – DISTRIBUZIONI DI<br />
PROBABILITA’
La definizione<br />
• La <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>di</strong> una variabile<br />
casuale (o aleatoria) è l’elenco dei possibili valori<br />
che la variabile assume, a ciascuno dei quali è<br />
associata la relativa probabilità (una variabile<br />
casuale è una variabile quantitativa i cui valori<br />
variano seguendo le regole <strong>della</strong> probabilità)<br />
• La maggior parte dei fenomeni statistici può essere<br />
descritta con un numero limitato <strong>di</strong> leggi o<br />
<strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità
In simboli<br />
• p(x) è la probabilità che la variabile<br />
casuale X assuma un determinato<br />
valore x<br />
• Per ogni <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità, si<br />
ha:<br />
0 ≤ p(x) ≤ 1<br />
Σ p(x) = 1
Le principali <strong>di</strong>stribuzioni<br />
Tra le principali <strong>di</strong>stribuzioni <strong>di</strong> probabilità, rientrano:<br />
• Distribuzione normale (Gaussiana), la più importante<br />
per l’analisi dell’inferenza statistica<br />
• Distribuzione t (<strong>di</strong> Student), per i campioni piccoli<br />
provenienti da una popolazione <strong>di</strong> cui si ignorano i<br />
parametri<br />
• Distribuzione <strong>di</strong> Bernoulli, associata a una variabile<br />
casuale bernoulliana<br />
• Distribuzione binomiale, utili per stu<strong>di</strong>are le<br />
probabilità relative a un campione estratto da una<br />
popolazione <strong>di</strong> Bernoulli<br />
• Distribuzione <strong>di</strong> Poisson, o legge <strong>degli</strong> eventi rari<br />
• Distribuzione Chi Quadrato (χ²), associata per<br />
esempio all’analisi <strong>della</strong> varianza campionaria o<br />
all’analisi dei dati qualitativi
Speranza matematica o valore<br />
atteso<br />
• Si tratta <strong>di</strong> una delle nozioni più importanti<br />
<strong>della</strong> teoria <strong>della</strong> probabilità<br />
• È la me<strong>di</strong>a aritmetica ponderata dei valori<br />
<strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità …<br />
• … dove i coefficienti <strong>di</strong> ponderazione<br />
sono le probabilità associate ai <strong>di</strong>versi<br />
valori
Esempio <strong>di</strong> speranza<br />
matematica<br />
• Nel caso del lancio <strong>di</strong> un dado (non truccato), la<br />
speranza matematica relativa alla me<strong>di</strong>a deriva<br />
da questa operazione:<br />
1 • 1/6 + 2 • 1/6, + 3 • 1/6 + 4 • 1/6 + 5 • 1/6 + 6 • 1/6<br />
= 3,5
La <strong>di</strong>stribuzione normale<br />
(Gaussiana)
Peculiarità<br />
• è la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità più<br />
importante per l’inferenza statistica<br />
Caratteristiche:<br />
• perfettamente simmetrica<br />
• sempre sopra l’asse orizzontale<br />
• il totale dell’area sottesa è pari a 1
Come verificare la normalità<br />
<strong>di</strong> una <strong>di</strong>stribuzione?<br />
• Verificare l’esistenza <strong>di</strong> una <strong>di</strong>screta<br />
coincidenza tra me<strong>di</strong>a, me<strong>di</strong>ana e moda<br />
• Verificare l’esistenza <strong>di</strong> una <strong>di</strong>screta<br />
coincidenza tra la <strong>di</strong>fferenza interquartile<br />
(<strong>di</strong>fferenza tra il 75esimo percentile e il<br />
25esimo percentile) e 1,33 σ<br />
• Verificare che il 67% circa delle<br />
osservazioni sia compreso tra μ-σ e μ+σ
L’utilizzo <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
normale<br />
• si utilizza per stimare la % <strong>di</strong> casi che<br />
cadono in un determinato intervallo…<br />
• …<strong>di</strong> conseguenza, per determinare la<br />
probabilità che un certo valore, estratto<br />
da un gruppo <strong>di</strong> valori <strong>di</strong>stribuiti<br />
normalmente, sia compreso in un<br />
determinato intervallo
La <strong>di</strong>stribuzione normale<br />
standar<strong>di</strong>zzata (d.n.s.)<br />
• Per agevolare il confronto con situazioni<br />
concrete, si utilizza la <strong>di</strong>stribuzione<br />
normale standar<strong>di</strong>zzata, basata su unità<br />
standard calcolate per ogni valore del<br />
fenomeno (x i )<br />
• L’unità standard deriva da:<br />
z i = (x i – me<strong>di</strong>a) / deviazione standard
La standar<strong>di</strong>zzazione
Le tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
normale standar<strong>di</strong>zzata<br />
• Ci sono <strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> tavole; il<br />
risultato è identico, ma cambia il<br />
modo <strong>di</strong> lettura dei dati
il valore riportato<br />
in riferimento<br />
all’area, in<br />
corrispondenza<br />
<strong>di</strong> ogni z, è la<br />
quota dell’area al<br />
<strong>di</strong> sotto <strong>della</strong><br />
curva<br />
corrispondente al<br />
tratto compreso<br />
tra z e - z
Nella tavola successiva, invece, il riferimento non è il<br />
tratto compreso tra z e – z, bensì tra 0 e z, come<br />
appare nel <strong>di</strong>segno sottostante
Tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale standar<strong>di</strong>zzata<br />
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09<br />
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359<br />
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753<br />
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141<br />
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517<br />
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879<br />
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224<br />
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549<br />
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852<br />
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133<br />
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389<br />
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621<br />
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830<br />
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015<br />
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177<br />
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319<br />
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441<br />
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545<br />
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633<br />
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706<br />
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767<br />
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817<br />
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857<br />
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890<br />
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916<br />
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936<br />
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4950 0,4952<br />
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964<br />
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974<br />
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981<br />
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986<br />
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990<br />
il valore<br />
riportato in<br />
ogni casella<br />
è la quota<br />
dell’area al <strong>di</strong><br />
sotto <strong>della</strong><br />
curva<br />
corrispondente<br />
al<br />
tratto<br />
compreso tra<br />
z = o e il<br />
valore <strong>di</strong> z<br />
dato dalla<br />
somma <strong>della</strong><br />
prima<br />
colonna e<br />
<strong>della</strong> prima<br />
riga
Tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale standar<strong>di</strong>zzata<br />
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09<br />
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359<br />
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753<br />
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141<br />
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517<br />
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879<br />
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224<br />
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549<br />
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852<br />
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133<br />
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389<br />
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621<br />
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830<br />
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015<br />
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177<br />
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319<br />
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441<br />
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545<br />
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633<br />
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706<br />
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767<br />
2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817<br />
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857<br />
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890<br />
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916<br />
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936<br />
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4950 0,4952<br />
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964<br />
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974<br />
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981<br />
2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986<br />
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990<br />
Per<br />
esempio, a<br />
un’area<br />
simmetrica<br />
del 95%<br />
corrisponde<br />
un’area<br />
compresa<br />
tra 0 e z<br />
del 47,5%.<br />
Il<br />
corrispondente<br />
valore <strong>di</strong> z<br />
è quin<strong>di</strong><br />
1,96
L’utilizzo <strong>della</strong> tavola <strong>della</strong> d. n. s.:<br />
<strong>di</strong>versi tipi <strong>di</strong> intervallo z 1 – z 2<br />
• z 1 = - z 2<br />
• z 1 = 0 z 2 > 0<br />
• z 1 < 0 z 2 > 0<br />
• z 1 < 0 z 2 < 0<br />
• z 1 < 0 z 2 = + ∞<br />
• z 1 > 0 z 2 = + ∞
L’osservazione dei crepuscoli<br />
• Nell’un<strong>di</strong>cesimo secolo, gli Arabi impiegavano il<br />
metodo dell’osservazione dei crepuscoli per<br />
valutare la riflessione dei raggi solari negli strati<br />
alti dell’atmosfera.<br />
• Lo scopo era quello <strong>di</strong> determinare l’altezza <strong>degli</strong><br />
strati più alti dell’atmosfera.<br />
• In un certo periodo, l’insieme delle osservazioni<br />
forniva un’altezza stimata in me<strong>di</strong>a a 80 km. La<br />
<strong>di</strong>stribuzione delle valutazioni era <strong>di</strong> tipo normale,<br />
con una deviazione standard pari a 10.<br />
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisse<br />
un valore x < 87,5 ?<br />
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisse<br />
un valore x < me<strong>di</strong>a + (0,5 σ) ?
Soluzioni<br />
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisca<br />
un valore x < 87,5?<br />
Z 1 = (87,5 – 80) / 10 = + 0,75<br />
Quin<strong>di</strong>, la probabilità è pari al 77,34%<br />
• Quale è la probabilità che un’osservazione fornisca<br />
un valore x < me<strong>di</strong>a + (0,5 σ) ?<br />
• Z 2 = (85 –80) / 10 = + 0,5<br />
Quin<strong>di</strong>, la probabilità è pari al 69,15 %
L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> ari<strong>di</strong>tà<br />
• L’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> ari<strong>di</strong>tà è la sintesi <strong>di</strong> fenomeni fisici<br />
(precipitazioni, evaporazioni) e biologici<br />
(traspirazione vegetale). È il rapporto tra<br />
precipitazioni ed evapotraspirazione.<br />
• In estate, un valore inferiore a 0,5 significa aree<br />
semi-aride oppure aride. Un valore superiore a<br />
0,65 significa aree umide o iper-umide.<br />
• La <strong>di</strong>stribuzione delle rilevazioni estive in una<br />
determinata zona, compiute da <strong>di</strong>verse stazioni, è<br />
<strong>di</strong> tipo normale, con me<strong>di</strong>a (per gli ultimi 30 anni)<br />
pari a 0,45 e deviazione standard pari a 0,04.<br />
• Quale è la percentuale <strong>di</strong> rilevazioni che hanno<br />
fornito un valore compreso fra 0,40 e 0,50?<br />
• È pari al 78,88%.<br />
In unità standard, infatti:<br />
• (0,40 – 0,45) / 0,04 = - 1,25<br />
• (0,50 – 0,45) / 0,04 = + 1,25
Il proce<strong>di</strong>mento inverso<br />
• È possibile applicare il<br />
proce<strong>di</strong>mento inverso, quin<strong>di</strong><br />
dall’area …..<br />
• … risalire a z e successivamente ..<br />
• … risalire a x
Ancora sull’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> ari<strong>di</strong>tà<br />
• Mantenendo le stesse con<strong>di</strong>zioni esposte<br />
nell’esempio precedente, nell’analisi <strong>di</strong><br />
valutazione del deficit pluviometrico (peraltro<br />
crescente nel corso dei decenni) ci si può porre la<br />
domanda:<br />
• Quale è il valore dell’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> ari<strong>di</strong>tà che separa il<br />
90% <strong>di</strong> tutte le rilevazioni, costituito dai valori più<br />
piccoli, e il restante 10% costituito invece dai<br />
valori più gran<strong>di</strong>?<br />
• Nella tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale<br />
standar<strong>di</strong>zzata, si legge, in corrispondenza <strong>di</strong><br />
un’area pari a 0,40 (complemento a 0,50 del nostro<br />
10% oggetto <strong>di</strong> interesse) un valore <strong>di</strong> z pari a<br />
1,28.<br />
• Quin<strong>di</strong>:<br />
1,28 = (x – 0,45) / 0,04<br />
x = 0,5012
L’applicazione <strong>della</strong> Gaussiana<br />
alla stima <strong>di</strong> una somma o <strong>di</strong> una<br />
me<strong>di</strong>a
L’obiettivo<br />
• L’approssimazione normale può essere<br />
utilizzata per stimare la somma (e<br />
quin<strong>di</strong> la me<strong>di</strong>a) dei valori <strong>di</strong> una<br />
popolazione per mezzo <strong>di</strong> un certo<br />
numero <strong>di</strong> valori estratti casualmente<br />
(con reimmissione)
Il teorema centrale del limite (TCL)<br />
• Secondo il teorema centrale del limite, se il<br />
numero <strong>di</strong> estrazioni è abbastanza elevato, la<br />
<strong>di</strong>stribuzione delle probabilità <strong>della</strong> somma (o<br />
<strong>della</strong> me<strong>di</strong>a) si avvicina alla curva normale,<br />
anche se l’istogramma dei valori <strong>della</strong><br />
popolazione è <strong>di</strong>stante dalla curva normale<br />
• In altri termini, al crescere dell’ampiezza del<br />
campione, la <strong>di</strong>stribuzione campionaria <strong>di</strong><br />
una me<strong>di</strong>a o <strong>di</strong> una somma si avvicina a una<br />
<strong>di</strong>stribuzione normale, anche se la<br />
popolazione originaria non è normalmente<br />
<strong>di</strong>stribuita
Un campione abbastanza grande<br />
• Si è parlato <strong>di</strong> campione abbastanza grande.<br />
Il termine abbastanza è legato a quanto la<br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>della</strong> popolazione ricalca una<br />
<strong>di</strong>stribuzione normale<br />
• Se il campione è > 30, esso viene ritenuto<br />
abbastanza grande, in<strong>di</strong>pendentemente dalla<br />
<strong>di</strong>stribuzione dei valori <strong>della</strong> popolazione<br />
• Se invece il campione è < 30, il TCL è da<br />
ritenere valido solo se la <strong>di</strong>stribuzione dei<br />
valori <strong>della</strong> popolazione è <strong>di</strong> tipo normale
Il modello d’urna<br />
• Come si determina la probabilità che la<br />
somma (o la me<strong>di</strong>a) delle estrazioni sia<br />
compresa in un certo intervallo?<br />
• È fondamentale costruire un modello<br />
d’urna, corrispondente ai valori <strong>della</strong><br />
popolazione:<br />
Quali sono i valori contenuti nell’urna?<br />
Quante volte si ripetono, nell’urna, i singoli<br />
valori?<br />
Quante estrazioni si fanno?
La somma attesa<br />
La somma effettiva delle estrazioni sarà pari a:<br />
somma attesa ± errore standard <strong>della</strong> somma (SE somma)<br />
•Somma attesa: prodotto del numero <strong>di</strong> estrazioni per<br />
la me<strong>di</strong>a dei valori contenuti nell’urna<br />
•SE somma: (ra<strong>di</strong>ce quadrata del numero estrazioni) • (σ<br />
dei valori dell’urna)<br />
Ciò significa che all’aumentare del numero <strong>di</strong><br />
estrazioni, l’errore aumenta in termini assoluti, ma<br />
<strong>di</strong>minuisce in termini relativi
La me<strong>di</strong>a attesa<br />
La me<strong>di</strong>a effettiva delle estrazioni sarà pari a:<br />
me<strong>di</strong>a attesa ± errore standard <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a<br />
(SE me<strong>di</strong>a)<br />
• Me<strong>di</strong>a attesa: me<strong>di</strong>a dei valori contenuti<br />
nell’urna<br />
• SEme<strong>di</strong>a : (σ dei valori dell’urna) / (ra<strong>di</strong>ce<br />
quadrata del numero estrazioni)<br />
SEme<strong>di</strong>a è quin<strong>di</strong> minore <strong>di</strong> σ, ossia dello<br />
scarto quadratico me<strong>di</strong>o che caratterizza i<br />
valori dell’urna
Acque sot<strong>terra</strong>nee (definizione dello<br />
stato chimico)<br />
Punti <strong>di</strong> impatto dovuto alla n.<br />
impatto presenza <strong>di</strong> elementi rilevaattribuiti<br />
inquinanti zioni<br />
0 impatto nullo 100<br />
1 impatto ridotto 250<br />
1 impatto significativo 150<br />
Si effettuano 36 estrazioni. Determinare la<br />
somma attesa e l’errore standard
Le soluzioni<br />
modello d’urna:<br />
valori contenuti: 0 1 2<br />
ci sono 100 valori 0, 250 valori 1 e<br />
150 valori 2<br />
estrazioni: 36<br />
• somma attesa: 1,1 • 36 = 39,6<br />
• SE: 6 • 0,7 = 4,2
Liberazione incontrollata <strong>di</strong> metano - 1<br />
• Nelle fasi <strong>di</strong> ripristino <strong>di</strong> un’area <strong>di</strong> cava, si deve<br />
fronteggiare il rischio <strong>di</strong> liberazione incontrollata <strong>di</strong><br />
biogas, tra cui soprattutto metano (CH4).<br />
• Si vogliono in<strong>di</strong>viduare otto sub-aree su cui realizzare<br />
il progetto <strong>di</strong> recupero.<br />
• Da precedenti progetti <strong>di</strong> questo genere, si è dedotto<br />
che nel 10% dei casi, l’entità del metano sviluppato in<br />
una sub area è inferiore a 23 ppm, nel 60% dei casi è<br />
<strong>di</strong> 23, nel 20% dei casi è <strong>di</strong> 24, nel restante 10% dei<br />
casi è superiore a 24.<br />
• Per le due classi aperte, si può ragionevolmente<br />
stimare un valore me<strong>di</strong>o <strong>di</strong> 20 (prima classe) e <strong>di</strong> 26<br />
(ultima classe).<br />
• Quale è la probabilità che la me<strong>di</strong>a delle 8 sub-aree<br />
in<strong>di</strong>viduate casualmente sia compresa tra 23 ppm e<br />
24 ppm?
Liberazione incontrollata <strong>di</strong> metano - 2<br />
8 estrazioni<br />
me<strong>di</strong>a attesa: 23,2<br />
SE me<strong>di</strong>a: 0,495 (σ : 1,40)<br />
trasformazione dei due limiti in unità standard<br />
z = (limite – me<strong>di</strong>a attesa) / errore standard<br />
per L 1: z 1 = –0,404<br />
per L 2 : z 2 = +1,616<br />
area sottesa tra z 1 e z=0 15,54%<br />
area sottesa tra z=0 e z 2 44,74%<br />
La probabilità che la somma delle estrazioni sia<br />
compresa tra 23 e 24:<br />
60,28%
In una provincia <strong>della</strong> Spagna meri<strong>di</strong>onale, il numero <strong>di</strong><br />
giorni caratterizzati da un valore <strong>di</strong> SPI (Standar<strong>di</strong>zed<br />
Precipitation Index) inferiore a -0,99 (quin<strong>di</strong> da con<strong>di</strong>zioni<br />
<strong>di</strong> siccità) è stato pari nell’ultimo lustro a 57 giorni<br />
all’anno.<br />
Quale è la probabilità che, nell’anno successivo, il<br />
numero <strong>di</strong> giornate con un valore <strong>di</strong> SPI inferiore a -0,99<br />
sia superiore a 60?<br />
• Attribuiamo valore 1 ai giorni che presentano la<br />
suddetta caratteristica, valore 0 ai giorni che non la<br />
presentano.<br />
• Se si vogliono infatti conteggiare i giorni all’anno che<br />
presentano quella caratteristica, ogni giornata con<br />
quelle con<strong>di</strong>zioni fa salire il conteggio <strong>di</strong> 1, mentre le<br />
altre giornate lasciano inalterato il conteggio.
Le soluzioni<br />
Il modello d’urna che possiamo costruire, secondo i<br />
dati storici, è<br />
57 [+1] e 308 [0]<br />
numero <strong>di</strong> estrazioni: 365<br />
somma attesa = 57 σ = 0,363<br />
SE = 0,363 • radq (365) = 6,935<br />
60, in unità standard, <strong>di</strong>venta 0,43<br />
quin<strong>di</strong> la probabilità cercata è del 33,4%
Formula abbreviata per calcolare σ<br />
(valida quando in un’urna ci sono solo due tipi <strong>di</strong> valori)<br />
σ = (Ma – Mi) • ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> [n(Ma) / n • n(Mi) / n)]<br />
• Ma: valore maggiore tra i due presenti nell’urna<br />
• Mi: valore minore tra i due presenti nell’urna<br />
• n(Ma): numero <strong>di</strong> volte in cui il valore maggiore è<br />
presente nell’urna<br />
• n(Mi): numero <strong>di</strong> volte in cui il valore minore è<br />
presente nell’urna<br />
• n: totale numeri presenti nell’urna<br />
Nel caso precedente:<br />
σ = [1 – 0] • radq (0,1562 • 0,8438)
La <strong>di</strong>stribuzione<br />
binomiale
Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> utilizzo<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione esprime la probabilità che si<br />
verifichino k successi (in<strong>di</strong>pendentemente dall'or<strong>di</strong>ne)<br />
che si alternano a n - k insuccessi, nell’ambito <strong>di</strong> n<br />
osservazioni tra loro in<strong>di</strong>pendenti, estratte nell’ambito<br />
<strong>di</strong> variabili bernoulliane.<br />
• Una variabile bernoulliana è una variabile<br />
<strong>di</strong>cotomica, ossia con due soli possibili valori, come<br />
0 e 1.<br />
• Ci si trova in questa situazione, per esempio, quando<br />
si compiono esperimenti che possono avere<br />
solamente due risultati possibili (come conforme –<br />
non conforme).
Il calcolo<br />
• Con questa <strong>di</strong>stribuzione è quin<strong>di</strong> possibile calcolare<br />
la probabilità che un evento si verifichi un numero<br />
preciso (k) <strong>di</strong> volte, in un certo numero (n) <strong>di</strong><br />
ripetizioni tra loro in<strong>di</strong>pendenti:<br />
n!<br />
——————— • p k • (1-p) n-k<br />
k! • (n-k)!<br />
k è un numero intero non negativo (k=0,1,2,3,...,n)<br />
p è compreso tra 0 e 1 esclusi (0
n fattoriale<br />
n! si legge n fattoriale ed è il prodotto <strong>di</strong><br />
n • n-1 • ….. • 2 • 1<br />
(tenere presente che 0! = 1)
La formula precedente può anche<br />
essere scritta nel seguente modo:
Il coefficiente binomiale<br />
La prima parte <strong>della</strong> formula è il coefficiente<br />
binomiale:<br />
che esprime le <strong>di</strong>verse maniere in cui<br />
possono essere ripartiti i k successi negli<br />
n tentativi …<br />
… ossia, identifica il numero <strong>di</strong> mo<strong>di</strong> in cui<br />
si possono or<strong>di</strong>nare n soggetti in una<br />
sequenza, con k soggetti <strong>di</strong> un tipo e n-k<br />
soggetti dell’altro tipo.
Raccolta <strong>di</strong>fferenziata batterie esauste<br />
• In alcuni paesi europei, la raccolta <strong>di</strong>fferenziata<br />
delle batterie esauste coinvolge il 90% delle unità<br />
immesse sul mercato (ossia, 3,2 kg annui per<br />
abitante).<br />
• Su un lotto <strong>di</strong> 30 batterie innovative in termini <strong>di</strong><br />
acido solforico recuperabile, quale è la probabilità<br />
che esattamente 27 siano immesse nel canale <strong>della</strong><br />
raccolta <strong>di</strong>fferenziata, ossia la stessa percentuale<br />
che caratterizza le batterie esauste nel loro<br />
complesso?<br />
30!<br />
————— • (0,9) 27 • (0,1) 3 = 0,2361<br />
27! • 3!<br />
La probabilità cercata è quin<strong>di</strong> pari al 23,61%
Eco-contributo<br />
I produttori <strong>di</strong> apparecchiature elettriche ed<br />
elettroniche iscritti al repertorio RAEE hanno la<br />
possibilità <strong>di</strong> applicare in modo visibile al<br />
consumatore il sovrapprezzo corrispondente all’ecocontributo<br />
per il finanziamento dei rifiuti storici.<br />
Il 20% dei produttori sfrutta questa possibilità.<br />
Quale è la probabilità che, su 8 apparecchi acquistati,<br />
meno <strong>di</strong> tre abbiano l’applicazione del sovrapprezzo<br />
in modo visibile?
Soluzioni<br />
8!<br />
———— • (0,20) 2 • (0,80) 6 = 0,2936<br />
2! • 6!<br />
8!<br />
———— • (0,20) 1 • (0,80) 7 = 0,3355<br />
1! • 7!<br />
8!<br />
———— • (0,20) 0 • (0,80) 8 = 0,1677<br />
0! • 8!<br />
La probabilità cercata è quin<strong>di</strong> pari al 79,68%
La <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
Poisson
Le con<strong>di</strong>zioni per l’applicazione<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione rappresenta il limite a cui<br />
tende una <strong>di</strong>stribuzione binomiale, quando la<br />
probabilità p <strong>di</strong> un evento è molto bassa e<br />
contemporaneamente la grandezza del campione<br />
n è piuttosto alta<br />
• Alcuni stu<strong>di</strong>osi fissano le con<strong>di</strong>zioni per passare<br />
dalla <strong>di</strong>stribuzione binomiale a quella <strong>di</strong> Poisson<br />
in n > 50 , p • (1-p) quasi uguale a p e n • p<br />
< 10<br />
• Si applica quin<strong>di</strong> al posto <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
binomiale per la descrizione <strong>di</strong> eventi <strong>di</strong>screti che<br />
hanno una probabilità molto ridotta <strong>di</strong> realizzarsi.<br />
La <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Poisson è infatti detta legge<br />
<strong>degli</strong> eventi rari.
Un altro caso <strong>di</strong> applicazione<br />
• Un altro caso <strong>di</strong> applicazione <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Poisson corrisponde<br />
all’obiettivo <strong>di</strong> identificare il numero <strong>di</strong><br />
successi (si parla sempre <strong>di</strong> fenomeni<br />
<strong>di</strong>screti) in un determinato intervallo<br />
continuo, come il tempo, la superficie o il<br />
volume.<br />
• Per esempio, il numero <strong>di</strong> lupi che si<br />
presentano a una determinata barriera<br />
naturale, il numero <strong>di</strong> esemplari <strong>di</strong> pesce luna<br />
presenti in un determinato volume <strong>di</strong> acqua,<br />
ecc.
λ (lambda)<br />
• Il valore atteso e la varianza <strong>di</strong> questa<br />
<strong>di</strong>stribuzione coincidono, e sono in<strong>di</strong>cati<br />
con λ<br />
• λ è un qualsiasi valore positivo<br />
equivalente al numero <strong>di</strong> successi che ci<br />
si aspetta in un dato intervallo. Per<br />
esempio, se un evento si verifica con una<br />
cadenza me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 4 minuti e vogliamo<br />
sapere quante volte questo evento si potrà<br />
verificare in 10 minuti, il valore <strong>di</strong> λ sarà<br />
10/4 = 2,5<br />
• Al crescere <strong>di</strong> λ, la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
Poisson si approssima con una<br />
<strong>di</strong>stribuzione normale
L’approssimazione alla<br />
normale
λ = 0.1, 0.2, ... 1.0<br />
Tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
Poisson - 1<br />
+=======+===============================================================+<br />
| k \ λ| 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 |<br />
+=======+===============================================================+<br />
| 0 | .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679 |<br />
| 1 | .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679 |<br />
| 2 | .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839 |<br />
| 3 | .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613 |<br />
| 4 | .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153 |<br />
| 5 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031 |<br />
| 6 | .0001 .0002 .0003 .0005 |<br />
| 7 | .0001 |<br />
+=======+===============================================================+
λ = 1.2, 1.4, ... 3.0<br />
Tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
Poisson - 2<br />
+=======+===============================================================+<br />
| k \ λ| 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 |<br />
+=======+===============================================================+<br />
| 0 | .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498 |<br />
| 1 | .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494 |<br />
| 2 | .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240 |<br />
| 3 | .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240 |<br />
| 4 | .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680 |<br />
| 5 | .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008 |<br />
| 6 | .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504 |<br />
| 7 | .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216 |<br />
| 8 | .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081 |<br />
| 9 | .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027 |<br />
| 10 | .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 |<br />
| 11 | .0001 .0001 .0002 |<br />
| 12 | .0002 |<br />
+=======+===============================================================+
Tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Poisson - 3<br />
λ = 3.5, 4.0, ... 8.0<br />
+=======+===============================================================+<br />
| k \ λ| 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 |<br />
+=======+===============================================================+<br />
| 0 | .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003 |<br />
| 1 | .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027 |<br />
| 2 | .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107 |<br />
| 3 | .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286 |<br />
| 4 | .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573 |<br />
| 5 | .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916 |<br />
| 6 | .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221 |<br />
| 7 | .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396 |<br />
| 8 | .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396 |<br />
| 9 | .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241 |<br />
| 10 | .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993 |<br />
| 11 | .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722 |<br />
| 12 | .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481 |<br />
| 13 | .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296 |<br />
| 14 | .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169 |<br />
| 15 | .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090 |<br />
| 16 | .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045 |<br />
| 17 | .0001 .0003 .0006 .0012 .0021 |<br />
| 18 | .0001 .0002 .0005 .0009 |<br />
| 19 | .0001 .0002 .0004 |<br />
| 20 | .0001 .0002 |<br />
| 21 | .0001 |<br />
+=======+===============================================================+
Acquisti ver<strong>di</strong><br />
• In Lituania, l’incidenza <strong>degli</strong> acquisti ver<strong>di</strong><br />
(basati su oltre tre criteri ambientali) <strong>della</strong><br />
pubblica amministrazione, sul totale<br />
acquisti, è pari allo 0,25%. Quale è la<br />
probabilità che si verifichi 1 acquisto verde<br />
sui prossimi 200?<br />
n = 200; p = 0,0025; λ = 0,5; k = 1<br />
• Probabilità: 30,33%
Giorni favorevoli all’accumulo <strong>di</strong> PM10<br />
• I giorni critici favorevoli all’accumulo <strong>di</strong> PM10,<br />
sono quelli caratterizzati da precipitazioni<br />
inferiori a 0,3 mm e in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> ventilazione<br />
(prodotto dell’altezza <strong>di</strong> rimescolamento me<strong>di</strong>a<br />
per velocità me<strong>di</strong>a del vento) inferiore a 800 m 2 /s.<br />
• Negli anni precedenti, si sono rilevati in una<br />
determinata area in me<strong>di</strong>a 4 giorni critici<br />
nell’intero corso dell’anno.<br />
• Quale è la probabilità che nei prossimi due anni<br />
si verifichino 11 giorni critici?<br />
λ = 8; k = 11<br />
La probabilità cercata è pari al 7,22%
Il recupero delle cave<br />
• Nelle ex-cave in fase <strong>di</strong> recupero territoriale, lo<br />
sviluppo <strong>di</strong> biossido <strong>di</strong> carbonio superiore a una<br />
soglia <strong>di</strong> pericolosità avviene, secondo<br />
esperienze pregresse, in 2 rilevazioni su 100 mq<br />
<strong>di</strong> territorio.<br />
• Quale è la probabilità che su 300 mq <strong>di</strong><br />
intervento, si verifichino 5 rilevazioni<br />
caratterizzate da pericolosità? R.: 0,1606 (k = 5;<br />
λ = 6)<br />
• Quale è la probabilità che su 300 mq <strong>di</strong><br />
intervento, si verifichino più <strong>di</strong> 2 rilevazioni<br />
caratterizzate da pericolosità? Conviene<br />
calcolare prima la probabilità dell’evento<br />
contrario, ossia la probabilità che 0, 1 oppure 2<br />
rilevazioni abbiano questa caratteristica.<br />
Successivamente , si calcola la probabilità<br />
oggetto <strong>della</strong> richiesta. R.: 0,062
La <strong>di</strong>stribuzione t <strong>di</strong><br />
Student
Le situazioni <strong>di</strong> utilizzo<br />
• Un’altra importante legge o <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
probabilità è quella <strong>di</strong> Student (pseudonimo <strong>di</strong><br />
William Gosset)<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione riguarda il parametro t, ed è<br />
utilizzata in molti test statistici<br />
• In modo particolare, si deve ricorrere a questa<br />
<strong>di</strong>stribuzione quando il campione è <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione<br />
limitata (n inferiore o uguale a 30), e proviene da una<br />
popolazione <strong>di</strong>stribuita normalmente, <strong>di</strong> cui però si<br />
ignorano i parametri<br />
• In questo caso, la <strong>di</strong>stribuzione delle me<strong>di</strong>e (o delle<br />
proporzioni) campionarie non segue la legge <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione normale, ma quella <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione t<br />
<strong>di</strong> Student
La forma<br />
La <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Student ha una forma a<br />
campana, come la normale, ma è più appiattita,<br />
quin<strong>di</strong> la sua <strong>di</strong>spersione è maggiore.<br />
La forma <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> t cambia al mutare<br />
dei gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (GL)<br />
All’aumentare dei GL, la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> t tende a<br />
coincidere con quella normale.<br />
In altri termini, la deviazione standard in questo<br />
caso non è pari a 1, come per la <strong>di</strong>stribuzione<br />
normale standar<strong>di</strong>zzata, ma varia in funzione dei<br />
gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.<br />
Quando i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà sono pari a 30, la forma<br />
<strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Student arriva praticamente<br />
a coincidere con la forma <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione<br />
normale.
Il concetto <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà<br />
Il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà (si in<strong>di</strong>ca con GL<br />
oppure con la lettera greca ν - pronuncia ni o nu) <strong>di</strong><br />
un parametro statistico corrisponde al numero <strong>di</strong><br />
valori, in<strong>di</strong>pendenti tra loro, che devono essere<br />
utilizzati per calcolare quel parametro.<br />
Il numero <strong>di</strong> G.L. è dato dal numero <strong>di</strong> osservazioni<br />
(n), detratto dal numero delle stime dei parametri<br />
<strong>della</strong> popolazione (k) che entrano nel calcolo del<br />
parametro considerato.<br />
Nel caso <strong>della</strong> deviazione standard, per stimarla<br />
occorre calcolare la me<strong>di</strong>a del campione, quin<strong>di</strong> k è<br />
pari a 1.<br />
In altri termini, i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà rappresentano il<br />
numero <strong>di</strong> possibilità che i dati che compongono un<br />
campione hanno <strong>di</strong> variare liberamente. Si<br />
calcolano togliendo dal numero delle osservazioni il<br />
numero delle con<strong>di</strong>zioni cui essi sono vincolati.
Il parametro t<br />
• Il parametro t corrisponde al rapporto:<br />
me<strong>di</strong>a campionaria - me<strong>di</strong>a popolazione<br />
——————————————————————<br />
stima corretta <strong>di</strong> σ / radq (n)<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione viene quin<strong>di</strong> impiegata per calcolare i<br />
limiti <strong>di</strong> confidenza <strong>della</strong> me<strong>di</strong>a <strong>della</strong> popolazione, con la<br />
seguente formula:<br />
me<strong>di</strong>a popolazione =<br />
me<strong>di</strong>a campione ± (t • stima corretta <strong>di</strong> σ) / radq (n)
La stima corretta <strong>di</strong> σ<br />
• Quando non si conosce σ, e il numero <strong>di</strong> osservazioni è<br />
piccolo, è possibile stimare σ partendo da s, con questa<br />
formula:<br />
σ = σ • radq (n/n-1)<br />
• Si ottiene una deviazione standard leggermente<br />
maggiore<br />
• (n-1) rappresenta i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà del campione<br />
• Del resto, se si conoscesse la me<strong>di</strong>a <strong>della</strong> popolazione,<br />
per calcolare s si utilizzerebbe questa. In realtà, si<br />
conosce la me<strong>di</strong>a del campione. Gli scarti tra i valori<br />
osservati e la me<strong>di</strong>a del campione saranno<br />
tendenzialmente inferiori agli scarti tra i valori osservati<br />
e la me<strong>di</strong>a <strong>della</strong> popolazione; si impiega allora stima<br />
corretta <strong>di</strong> σ per controbilanciare questo errore
0<br />
t<br />
P<br />
1 – P (α)<br />
Nella tavola <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> t,<br />
sono riportati i valori<br />
<strong>di</strong> t che hanno<br />
probabilità pari a P <strong>di</strong><br />
non essere superati,<br />
in funzione del<br />
numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong><br />
libertà [ossia,<br />
probabilità 1-P ( si<br />
in<strong>di</strong>ca con α ) <strong>di</strong><br />
essere superati].<br />
La probabilità P è<br />
uguale all’area a<br />
sinistra <strong>di</strong> t
Tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Student - 1<br />
νν 75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%<br />
1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6<br />
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60<br />
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92<br />
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610<br />
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869<br />
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959<br />
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408<br />
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041<br />
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781<br />
10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587<br />
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437<br />
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318<br />
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221<br />
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140<br />
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073<br />
16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015<br />
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965<br />
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922<br />
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883<br />
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850
Tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> Student - 2<br />
ν 75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%<br />
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819<br />
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792<br />
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767<br />
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745<br />
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725<br />
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707<br />
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690<br />
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674<br />
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659<br />
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646<br />
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551<br />
50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496<br />
60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460
Un esempio (tratto da Castino-Roletto, Statistica applicata)<br />
• Si sono estratte 10 porzioni <strong>di</strong> cortecce <strong>di</strong> pioppo<br />
sottoposte a umi<strong>di</strong>ficazione, e per ognuna si è<br />
determinato il contenuto in ceneri.<br />
• Questi i valori (in %) rilevati:<br />
15,7 16,2 16,8 16,2 15,7 17,6 17,1 16,4 15,5 17,0<br />
• In quale intervallo potrebbe cadere il valore vero del<br />
contenuto in ceneri, con una probabilità del 99%?<br />
me<strong>di</strong>a: 16,42, stima corretta <strong>di</strong> σ: 0,692<br />
• Dalla tavola <strong>di</strong> Student, si ricava, con 9 GL:<br />
t = 3,25<br />
• Il rischio α, infatti, è ripartito in due rischi uguali, ognuno<br />
pari a α/2, simmetrici rispetto al valore centrale.<br />
• Quin<strong>di</strong>:<br />
16,42 ± (3,25 * 0,692) / radq (10) = 16,4 ± 0,71<br />
• Abbiamo cioè il 99% <strong>di</strong> probabilità che il valore <strong>della</strong><br />
popolazione sia compreso tra 15,71 e 17,13
Il riferimento per la<br />
lettura delle tavole<br />
Per quale motivo si è<br />
in<strong>di</strong>viduato t = 3,25, che<br />
corrisponde (nella tavola) a<br />
P = 0,995?<br />
Perché nella tavola <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> t, sono<br />
riportati i valori <strong>di</strong> t che<br />
hanno probabilità pari a P <strong>di</strong><br />
non essere superati, cioè<br />
probabilità 1-P ( = α ) <strong>di</strong><br />
essere superati.<br />
Nell’esempio, α è uguale a<br />
0,01, ripartito in due rischi<br />
uguali, ognuno pari a α/2,<br />
nelle due code. Per<br />
utilizzare correttamente la<br />
tavola, dobbiamo<br />
comprendere una delle due<br />
code (quella a sinistra) ed<br />
escludere l’altra.
I gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà, in questo esempio<br />
• Le porzioni <strong>di</strong> corteccia sono state estratte in<br />
modo aleatorio, per cui sono in<strong>di</strong>pendenti tra<br />
loro. Ossia, conoscendo il primo valore, non si<br />
può pre<strong>di</strong>re il secondo, ecc.<br />
• La conoscenza dei primi dati non consente <strong>di</strong><br />
avanzare ipotesi sui successivi.<br />
• Se però consideriamo gli scarti dalla me<strong>di</strong>a, su<br />
cui si basa il calcolo <strong>della</strong> deviazione standard,<br />
dato che la loro somma è sempre zero,<br />
conoscendo i primi n-1 valori, si può ricavare<br />
l’ultimo.<br />
• I dati in<strong>di</strong>pendenti tra loro sono quin<strong>di</strong> n-1, e<br />
questo è il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà.
8 – I METODI DI<br />
CAMPIONAMENTO
Sulla popolazione o sul campione?<br />
Quando si affronta una indagine statistica,<br />
una delle alternative da porsi riguarda la<br />
scelta tra:<br />
• l’indagine completa (sull'intera<br />
popolazione)<br />
• l’indagine su un campione (su una parte<br />
<strong>della</strong> popolazione)<br />
Naturalmente, quando si lavora su un<br />
campione, il fine è quello <strong>di</strong> proiettare<br />
sulla popolazione le informazioni che si<br />
ottengono dal campione
A volte, è inevitabile campionare<br />
Nel caso <strong>di</strong> animali <strong>di</strong> piccole <strong>di</strong>mensioni,<br />
con forte velocità riproduttiva, ad elevata<br />
mortalità e mobilità accentuata, è<br />
impossibile il conteggio censuario <strong>di</strong> tutti<br />
gli in<strong>di</strong>vidui.<br />
Si lavora allora su un campione <strong>di</strong> porzioni<br />
<strong>di</strong> aree: possono essere quadrati <strong>di</strong><br />
terreno, volumi <strong>di</strong> acqua, piante nel caso<br />
<strong>degli</strong> insetti erbivori
L’errore <strong>di</strong> campionamento<br />
• Il campione è caratterizzato da un<br />
particolare rischio <strong>di</strong> errore: l’errore <strong>di</strong><br />
campionamento<br />
Si tratta del margine <strong>di</strong> approssimazione<br />
dovuto al fatto <strong>di</strong> considerare una parte<br />
rispetto al tutto. E’ “fisiologico” in ogni<br />
indagine su campione<br />
• Nonostante ciò, non sempre la rilevazione<br />
sulla popolazione fornisce risultati più<br />
precisi: in un'indagine ci sono tanti rischi<br />
<strong>di</strong> errore (imprecisioni, omissioni, sbagli <strong>di</strong><br />
ogni genere)
Gli errori nelle indagini su campione e<br />
nelle indagini sulla popolazione<br />
Indagine sulla popolazione<br />
• Nessun errore <strong>di</strong> campionamento<br />
• Errori non statistici elevati<br />
Indagine su campione<br />
• Presenza errori <strong>di</strong> campionamento<br />
• Errori non statistici ridotti
La popolazione e il campione<br />
La popolazione Il Campione<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •<br />
• • • • • • • •<br />
• • • • • • • •<br />
• • • • • • • •<br />
• • • • • • • •<br />
N elementi n elementi
Meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> campionamento<br />
• Nel campionamento probabilistico (o<br />
casuali) ogni componente <strong>della</strong><br />
popolazione ha la stessa probabilità <strong>di</strong><br />
entrare nel campione<br />
• Nel campionamento non probabilistico (o<br />
non casuale) ciò non si verifica
La casualità statistica<br />
• In un campionamento probabilistico, è il<br />
caso (in senso statistico) che determina<br />
gli elementi che faranno parte del<br />
campione<br />
• In questo modo, è possibile eliminare<br />
<strong>di</strong>storsioni provocate da inevitabili fattori<br />
umani <strong>di</strong> scelta<br />
• È facile lasciarsi trarre in inganno da una<br />
casualità solo apparente del<br />
campionamento
Il campione casuale semplice<br />
• È il tipo più elementare <strong>di</strong> campione<br />
probabilistico<br />
• Consiste nella estrazione <strong>di</strong> un certo<br />
numero <strong>di</strong> elementi dall’elenco <strong>di</strong> tutte le<br />
unità che compongono la popolazione (si<br />
parla in questo caso <strong>di</strong> scelta random)
Il campione casuale stratificato<br />
• Il criterio <strong>della</strong> stratificazione è finalizzato a<br />
migliorare la rappresentatività del campione<br />
• È realizzabile quando si può sud<strong>di</strong>videre la<br />
popolazione in categorie omogenee <strong>di</strong> unità<br />
(strati), che saranno rappresentate nel<br />
campione nella giusta proporzione<br />
• Gli strati vengono in<strong>di</strong>viduati facendo<br />
riferimento alle caratteristiche più importanti<br />
per l'indagine, in modo da ottenere una<br />
buona omogeneità all'interno del singolo<br />
strato
Confronto tra campione casuale semplice<br />
e campione casuale stratificato<br />
CAMPIONE CASUALE<br />
SEMPLICE<br />
POPOLAZIONE<br />
C<br />
A<br />
M<br />
P<br />
I<br />
O<br />
N<br />
E<br />
CAMPIONE CASUALE<br />
STRATIFICATO<br />
POPOLAZIONE CAMPIONE<br />
STRATO A<br />
STRATO B<br />
STRATO C<br />
STRATO D<br />
A<br />
B<br />
C<br />
D
Il campionamento sistematico<br />
• È un altro criterio <strong>di</strong> campionamento<br />
(sempre probabilistico)<br />
• Consiste nell'estrazione <strong>della</strong> prima unità;<br />
le successive vengono determinate a<br />
partire da questa, applicando un passo<br />
fisso (per esempio, una ogni 10)<br />
• È utile soprattutto quando la lista dei<br />
componenti <strong>della</strong> popolazione non è<br />
<strong>di</strong>sponibile
Il campionamento a sta<strong>di</strong> - 1<br />
• In molti casi, la scelta casuale delle unità<br />
da un unico elenco può essere complessa<br />
e comportare costi elevati<br />
• A livello nazionale, per esempio,<br />
l’estrazione da una sola lista porterebbe<br />
alla costruzione <strong>di</strong> un campione molto<br />
<strong>di</strong>sperso territorialmente, con costi elevati<br />
in termini <strong>di</strong> tempi e <strong>di</strong> spese<br />
• Per risolvere questi problemi, si può<br />
ricorrere a un campionamento a sta<strong>di</strong><br />
(anch'esso probabilistico)
Il campionamento a sta<strong>di</strong> - 2<br />
• Per esempio, si può estrarre un campione<br />
<strong>di</strong> province; all'interno <strong>di</strong> ogni provincia, si<br />
può estrarre un campione <strong>di</strong> comuni; ecc.<br />
• Più il fenomeno che stiamo stu<strong>di</strong>ando si<br />
presenta <strong>di</strong>ffuso in modo omogeneo,<br />
maggiori sono le garanzie che il campione<br />
a sta<strong>di</strong> rappresenti in modo sod<strong>di</strong>sfacente<br />
la popolazione
POPOLA-<br />
ZIONE<br />
DELLE<br />
PROVINCE<br />
ITALIANE<br />
Il campionamento a sta<strong>di</strong><br />
Estrazione<br />
<strong>di</strong> un<br />
campione<br />
<strong>di</strong> province<br />
Provincia<br />
A<br />
Provincia<br />
B<br />
Provincia<br />
C<br />
Provincia<br />
D<br />
Provincia<br />
E<br />
Estrazion<br />
e <strong>di</strong> un<br />
campione<br />
<strong>di</strong> comuni<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Estrazione <strong>di</strong><br />
un campione<br />
<strong>di</strong> unità<br />
statistiche
I campioni non probabilistici<br />
• Tra i meto<strong>di</strong> non probabilistici più<br />
utilizzati, rientra il campione per quote<br />
• È adatto a ridurre la mole <strong>di</strong> lavoro non<br />
solo in fase <strong>di</strong> campionamento, ma<br />
nell’intera esecuzione <strong>della</strong> ricerca<br />
• La scelta avviene con l'in<strong>di</strong>cazione delle<br />
proporzioni che dovranno caratterizzare il<br />
campione …<br />
• … lasciando ai rilevatori la libertà <strong>di</strong><br />
scegliere le unità statistiche su cui<br />
effettuare la rilevazione (con tutti i rischi <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>storsione connessi)
9 – DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE<br />
E INTERVALLI DI CONFIDENZA
Lo scopo dell’indagine su campione<br />
• Si utilizzano le statistiche campionarie per<br />
stimare i corrispondenti parametri <strong>della</strong><br />
popolazione<br />
• Per esempio:<br />
_<br />
X per stimare μ<br />
^<br />
p per stimare p<br />
• Si tratta <strong>di</strong> stimatori che forniscono un valore<br />
vicino al parametro sconosciuto <strong>della</strong><br />
popolazione all’aumentare <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione del<br />
campione, e che non presentano forte variabilità<br />
da campione a campione
I principali tipi <strong>di</strong> informazione<br />
Le principali informazioni che si possono<br />
ottenere da un'indagine sono <strong>di</strong> due tipi:<br />
• l'obiettivo dell'indagine può essere la stima <strong>di</strong><br />
una me<strong>di</strong>a: per esempio, il costo me<strong>di</strong>o <strong>di</strong><br />
trattamento delle acque sot<strong>terra</strong>nee nei<br />
progetti <strong>di</strong> recupero <strong>di</strong> siti industriali inquinati<br />
• quando il fenomeno è <strong>di</strong> tipo qualitativo,<br />
l'obiettivo dell'indagine può essere la stima <strong>di</strong><br />
una proporzione, ossia <strong>di</strong> una quota: per<br />
esempio, in un tratto stradale, la quota <strong>di</strong><br />
veicoli <strong>di</strong>esel circolanti dotati <strong>di</strong> filtro<br />
antiparticolato
I quattro fattori da considerare<br />
per calcolare la <strong>di</strong>mensione <strong>di</strong><br />
un campione<br />
• la <strong>di</strong>mensione <strong>della</strong> popolazione<br />
• l'errore <strong>di</strong> campionamento<br />
• il livello fiduciario<br />
• il grado <strong>di</strong> eterogeneità <strong>della</strong><br />
popolazione
Il proce<strong>di</strong>mento da seguire<br />
• in<strong>di</strong>viduazione <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione <strong>della</strong><br />
popolazione<br />
• scelta del livello fiduciario che si intende<br />
accettare<br />
• scelta dell'errore che si intende accettare<br />
• stima del grado <strong>di</strong> eterogeneità<br />
L’intero proce<strong>di</strong>mento presuppone che il<br />
metodo <strong>di</strong> campionamento sia<br />
probabilistico (casuale)
La <strong>di</strong>mensione <strong>della</strong><br />
popolazione<br />
• All'aumentare <strong>di</strong> N tende a crescere<br />
anche n, e viceversa<br />
• L'aumento (o la <strong>di</strong>minuzione) <strong>di</strong> n è<br />
però meno che proporzionale<br />
rispetto all'aumento (o alla<br />
<strong>di</strong>minuzione) <strong>di</strong> N
La regola dei gran<strong>di</strong> numeri<br />
• Del resto, se il campione è formato da pochi<br />
elementi, sono elevati i rischi che questi<br />
elementi siano scarsamente rappresentativi<br />
<strong>della</strong> popolazione<br />
• Al crescere <strong>di</strong> N, n può aumentare in misura<br />
meno che proporzionale, in quanto si riduce il<br />
rischio che gran parte del campione sia<br />
formata da elementi non rappresentativi:<br />
stiamo lavorando su gran<strong>di</strong> numeri
L'errore <strong>di</strong> campionamento<br />
• Il valore rilevato con un'indagine campionaria<br />
non corrisponde perfettamente al valore <strong>della</strong><br />
popolazione, ma è caratterizzato da un errore<br />
(e), per eccesso o per <strong>di</strong>fetto<br />
• Questo intervallo è noto come intervallo <strong>di</strong><br />
confidenza: è l’intervallo che (con una<br />
prefissata probabilità) contiene il valore reale<br />
del parametro<br />
• Gli estremi dell’intervallo <strong>di</strong> confidenza sono<br />
chiamati limiti <strong>di</strong> confidenza<br />
• L'errore che si è <strong>di</strong>sposti ad accettare viene<br />
deciso in fase <strong>di</strong> impostazione <strong>della</strong> ricerca
Errore e ampiezza del campione<br />
• All'aumentare dell'errore accettato, si<br />
riduce l'ampiezza del campione, e<br />
viceversa<br />
• Del resto, per avere risultati più precisi,<br />
è intuitivo che occorra lavorare su un<br />
campione più grande
Livello fiduciario (o livello <strong>di</strong><br />
confidenza)<br />
• Il valore ottenuto da un’indagine campionaria,<br />
oltre che da un intervallo <strong>di</strong> confidenza, è<br />
caratterizzato anche da un grado <strong>di</strong> fiducia sulla<br />
correttezza <strong>della</strong> stima<br />
• È la probabilità che l’intervallo <strong>di</strong> confidenza<br />
contenga il valore reale del parametro<br />
• In molti casi, il livello <strong>di</strong> confidenza viene assunto<br />
pari al 95%; in questa situazione, si considerano<br />
tutti i possibili campioni <strong>di</strong> ampiezza pari a n, e<br />
per ciascuno si calcola la me<strong>di</strong>a campionaria (o la<br />
proporzione campionaria) e l’intervallo centrato<br />
su questa, il 95% <strong>degli</strong> intervalli ottenuti contiene<br />
la me<strong>di</strong>a (o la proporzione) <strong>della</strong> popolazione, il<br />
5% non la comprende
Me<strong>di</strong>e campionarie e TCL<br />
• La <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a<br />
campionaria fa riferimento al Teorema Centrale del<br />
Limite.<br />
• Nel campionamento casuale, da una popolazione con<br />
me<strong>di</strong>a μ e scarto quadratico me<strong>di</strong>o σ, se n è abbastanza<br />
grande la <strong>di</strong>stribuzione delle me<strong>di</strong>e campionarie<br />
approssima la <strong>di</strong>stribuzione normale.<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione delle me<strong>di</strong>e campionarie ha me<strong>di</strong>a<br />
pari a μ e variabilità (errore standard) pari a:<br />
σ / (ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> n)<br />
• La variabilità delle me<strong>di</strong>e campionarie (che in<strong>di</strong>ca<br />
quanto la me<strong>di</strong>a del singolo campione varia da<br />
campione a campione) è quin<strong>di</strong> minore <strong>della</strong> variabilità<br />
dei valori <strong>della</strong> popolazione (il calcolo delle me<strong>di</strong>e<br />
campionarie tende a smussare la variabilità originaria).
Proporzioni campionarie e TCL<br />
• Anche la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong> probabilità <strong>di</strong> una<br />
proporzione campionaria fa riferimento al Teorema<br />
Centrale del Limite.<br />
• Nel campionamento casuale, da una popolazione<br />
con proporzioni p e (1-p), se n è abbastanza<br />
grande la <strong>di</strong>stribuzione delle proporzioni<br />
campionarie approssima la <strong>di</strong>stribuzione normale.<br />
• Questa <strong>di</strong>stribuzione delle proporzioni<br />
campionarie ha me<strong>di</strong>a pari a p e variabilità (errore<br />
standard) pari a:<br />
ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> [p * (1-p) /n]
Livello fiduciario e ampiezza del<br />
campione<br />
• il livello fiduciario si mo<strong>di</strong>fica al variare<br />
dell'ampiezza del campione: più grande è n, più<br />
alto è il grado <strong>di</strong> certezza<br />
• Come già affermato, nella maggior parte delle<br />
indagini, il grado <strong>di</strong> certezza accettato è pari al<br />
95%.<br />
Ciò significa che viene usata una tecnica che, a<br />
lungo andare, è in grado <strong>di</strong> fornire stime<br />
corrette 95 volte su 100<br />
• A parità <strong>degli</strong> altri fattori, si può decidere <strong>di</strong><br />
aumentare il livello fiduciario, ma riducendo la<br />
precisione <strong>della</strong> stima, ossia aumentando<br />
l’errore
L'eterogeneità <strong>della</strong><br />
popolazione<br />
• All'aumentare del grado <strong>di</strong> eterogeneità<br />
<strong>della</strong> popolazione, crescono i rischi<br />
connessi al campionamento<br />
• Più la popolazione è eterogenea, infatti,<br />
maggiori sono le probabilità <strong>di</strong> fornire<br />
(tramite l'indagine su campione) una stima<br />
<strong>di</strong>stante dal corrispondente valore <strong>della</strong><br />
popolazione ….<br />
• …. in quanto sono maggiori anche le<br />
probabilità <strong>di</strong> lavorare su un campione<br />
poco rappresentativo
L'eterogeneità e l’ampiezza del<br />
campione<br />
• Di fronte a una forte eterogeneità <strong>della</strong><br />
popolazione, occorre cautelarsi dai<br />
maggiori rischi <strong>di</strong> <strong>di</strong>storsione, utilizzando<br />
un campione più ampio<br />
• Si ha la situazione <strong>di</strong> massima omogeneità<br />
quando tutti i componenti <strong>della</strong><br />
popolazione si comportano nello stesso<br />
modo, in riferimento al fenomeno che<br />
stiamo stu<strong>di</strong>ando
Come stimare l’eterogeneità?<br />
• Prima <strong>di</strong> fare un'indagine, non si conoscono le<br />
caratteristiche <strong>della</strong> popolazione e la sua<br />
eterogeneità<br />
• Se si <strong>di</strong>sponesse <strong>di</strong> queste informazioni, si potrebbe<br />
evitare <strong>di</strong> effettuare l'indagine<br />
• Soluzioni:<br />
– risultati <strong>di</strong> altri stu<strong>di</strong><br />
– indagine preliminare<br />
– ipotesi maggiormente pessimistica (massima<br />
eterogeneità) (è l’ultima alternativa!)<br />
• Le prime due alternative si basano sul fatto che, se<br />
la popolazione è normale e il campione è > 30, si<br />
utilizza s al posto <strong>di</strong> σ. Allo stesso modo, si usa<br />
^<br />
p al posto <strong>di</strong> p
Come si misura l'eterogeneità?<br />
• Occorre tenere <strong>di</strong>stinti i due casi in cui ci<br />
si trova quando si effettua un'indagine<br />
– L’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una<br />
me<strong>di</strong>a<br />
– L’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una<br />
proporzione
Se l’obiettivo è la stima <strong>di</strong><br />
una me<strong>di</strong>a ….<br />
• L’in<strong>di</strong>catore del grado <strong>di</strong> eterogeneità è la<br />
deviazione standard<br />
• Se non possiamo seguire altre vie, ci<br />
affi<strong>di</strong>amo all'ipotesi <strong>di</strong> massima deviazione<br />
standard possibile ….<br />
• …. ossia il campo <strong>di</strong> variazione del<br />
fenomeno (<strong>di</strong>fferenza tra il valore più grande<br />
e il valore più piccolo possibile), <strong>di</strong>viso 2
Se l’obiettivo è la stima <strong>di</strong><br />
una proporzione ….<br />
• L’in<strong>di</strong>catore del grado <strong>di</strong> eterogeneità è il<br />
prodotto<br />
p * (1 - p)<br />
dove p è la percentuale attesa come<br />
risultato dell’indagine (rapportata non a 100,<br />
bensì all'unità: <strong>di</strong> conseguenza, p varia da 0<br />
a 1)
La massima eterogeneità nel caso <strong>di</strong><br />
stima <strong>di</strong> una proporzione<br />
• Si ha forte omogeneità quando una proporzione<br />
preponderante <strong>di</strong> unità statistiche si concentra su una<br />
modalità<br />
• Si ha invece forte eterogeneità quando il campione è<br />
ripartito in parti pressoché uguali tra le due modalità<br />
• L'ipotesi maggiormente pessimistica in termini <strong>di</strong><br />
eterogeneità corrisponde quin<strong>di</strong> a p = 0,50<br />
(se il fenomeno presenta più <strong>di</strong> due modalità, è sempre possibile fare<br />
riferimento a una <strong>di</strong> esse o a una classe <strong>di</strong> esse, e considerare tutte le<br />
rimanenti come facenti parte <strong>di</strong> un'unica categoria)
Calcolo <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione del campione,<br />
quando l’obiettivo dell’indagine è la stima<br />
<strong>di</strong> una proporzione, per una popolazione<br />
finita<br />
N * z 2 * p * (1 - p)<br />
n = __________________________<br />
(N - 1) * e 2 + z 2 * p * (1 - p)
Calcolo <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione del campione,<br />
quando l’obiettivo dell’indagine è la stima<br />
<strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a, per una popolazione finita<br />
N * z 2 * σ 2<br />
n = ______________________<br />
(N - 1) * e 2 + z 2 * σ 2
Calcolo <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione del campione, quando<br />
l’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una<br />
proporzione, per una popolazione infinita<br />
(reimmissione)<br />
z 2 * p * (1-p)<br />
n = ____________<br />
Calcolo dell’errore campionario, quando<br />
l’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una<br />
proporzione, per una popolazione infinita<br />
(reimmissione)<br />
e 2<br />
z * radq [p * (1-p)]<br />
e = ________________<br />
radq (n)
Calcolo <strong>della</strong> <strong>di</strong>mensione del campione, quando<br />
l’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a,<br />
per una popolazione infinita (reimmissione)<br />
z 2 * σ 2<br />
n = _________<br />
Calcolo dell’errore campionario, quando<br />
l’obiettivo dell’indagine è la stima <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a,<br />
per una popolazione infinita (reimmissione)<br />
e 2<br />
z * σ<br />
e = _________<br />
radq (n)
Il significato dei fattori<br />
N = <strong>di</strong>mensione <strong>della</strong> popolazione<br />
e = errore<br />
z = coefficiente <strong>di</strong> confidenza, il cui valore è<br />
legato al livello fiduciario (ed è desumibile<br />
dalle tavole <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale)<br />
σ = deviazione standard <strong>della</strong> popolazione<br />
p = proporzione attesa
Livello fiduciario e il coefficiente<br />
<strong>di</strong> confidenza<br />
• A ogni livello fiduciario prescelto, corrisponde quin<strong>di</strong><br />
un valore <strong>di</strong> z, come si deduce dalle tavole <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione normale<br />
Alcuni livelli fiduciari tra i più utilizzati e i corrispondenti<br />
valori <strong>di</strong> z sono i seguenti:<br />
livello fiduciario (%) z<br />
99 2,58<br />
98 2,33<br />
95 1,96<br />
90 1,65
Parametri non noti e campione<br />
piccolo<br />
• È importante ricordare che, quando il<br />
campione è <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensione limitata (n<br />
inferiore o uguale a 30), e proviene da una<br />
popolazione <strong>di</strong>stribuita normalmente, <strong>di</strong> cui<br />
però si ignorano i parametri, la <strong>di</strong>stribuzione<br />
delle me<strong>di</strong>e campionarie non segue la legge<br />
<strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale, ma quella <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>stribuzione t <strong>di</strong> Student
10 –VERIFICA DELLE IPOTESI:<br />
I TEST STATISTICI
Lo scopo<br />
Si tratta <strong>di</strong> procedure che consentono <strong>di</strong><br />
prendere decisioni, basate su un certo<br />
grado <strong>di</strong> probabilità<br />
Lo scopo è quello <strong>di</strong> verificare ipotesi<br />
Per esempio: due indagini portano a due<br />
<strong>di</strong>verse percentuali (p 1 e p 2 )<br />
C’è una <strong>di</strong>fferenza statisticamente<br />
significativa tra p 1 e p 2 ?<br />
Oppure si tratta dell’effetto <strong>di</strong> errori <strong>di</strong><br />
campionamento?
Situazioni <strong>di</strong> utilizzo<br />
• Si impiegano test parametrici quando la<br />
variabile è quantitativa ed è normalmente<br />
<strong>di</strong>stribuita<br />
• Negli altri casi, si utilizzano test non<br />
parametrici<br />
• In questo corso, si affronteranno<br />
esclusivamente i test parametrici
Ipotesi nulla e ipotesi alternativa<br />
• La prima fase operativa è costituita dalla<br />
formulazione <strong>di</strong> due ipotesi, tra loro<br />
esclusive, ossia incompatibili, oltre che<br />
esaustive (coprono tutte le possibilità):<br />
H 0 , ipotesi nulla: es. assenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenza<br />
significativa<br />
H 1 , ipotesi alternativa: es. presenza <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>fferenza significativa
Si parte dall’ipotesi nulla<br />
• Normalmente, il punto <strong>di</strong> partenza è l’ipotesi<br />
nulla<br />
• Del resto, in prima istanza può essere<br />
ragionevole attribuire una <strong>di</strong>fferenza alle<br />
fluttuazioni campionarie, ossia agli errori <strong>di</strong><br />
campionamento<br />
• Tutte le procedure dei test sono <strong>di</strong> tipo<br />
conservativo, cioè ci si comporta in modo<br />
prudente: si crede all’ipotesi nulla tranne<br />
quando l’evidenza derivante dai dati<br />
campionari contrad<strong>di</strong>ce questa assunzione
Non abbiamo certezze assolute<br />
• Non possiamo provare con certezza assoluta che<br />
una ipotesi sia corretta o falsa<br />
• Possiamo però accettare o rifiutare una ipotesi con<br />
un certo grado <strong>di</strong> probabilità (livello <strong>di</strong> confidenza),<br />
normalmente deciso a priori<br />
• La procedura consiste nel determinare i limiti <strong>di</strong><br />
confidenza, per mezzo <strong>di</strong>:<br />
– il livello <strong>di</strong> confidenza<br />
– il valore atteso<br />
– l’errore standard (SE)
Il livello <strong>di</strong> significatività<br />
• Il complemento a 1 del livello <strong>di</strong><br />
confidenza viene denominato livello <strong>di</strong><br />
significatività del test (e viene in<strong>di</strong>cato<br />
con α)<br />
• Solitamente, si pone α pari a un valore<br />
compreso tra 0,01 e 0,05
L’area <strong>di</strong> rifiuto<br />
• L’area (o regione) <strong>di</strong> rifiuto è l’intervallo dei<br />
valori campionari (valori <strong>della</strong> statistica-test)<br />
che ci porta a rifiutare l’ipotesi nulla<br />
• L’area <strong>di</strong> rifiuto è delimitata dai valori critici,<br />
corrispondenti ai limiti <strong>di</strong> confidenza<br />
• Se la statsitica-test cade nella regione <strong>di</strong> rifiuto,<br />
allora rifiuteremo l’ipotesi nulla
Bi<strong>di</strong>rezionale o mono<strong>di</strong>rezionale?<br />
• L’area <strong>di</strong> rifiuto può essere ripartita su entrambe<br />
le code (test a due code, bi<strong>di</strong>rezionale) …<br />
• … oppure su una sola coda (test a una coda,<br />
mono<strong>di</strong>rezionale): in questo secondo caso, si<br />
fissa l’attenzione su una sola alternativa (minore<br />
<strong>di</strong>…, oppure maggiore <strong>di</strong> ….)<br />
• H 0 comprende sempre il simbolo =. Se il test è<br />
bi<strong>di</strong>rezionale, H 0 corrisponde a una uguaglianza; se<br />
invece è mono<strong>di</strong>rezionale, , H 0 corrisponde a ><br />
oppure a
Test a una coda per ipotesi mono<strong>di</strong>rezionali<br />
(si intende accettazione o rifiuto <strong>di</strong> H 0 ; il livello <strong>di</strong><br />
significatività qui è pari a 0,025)<br />
Regione <strong>di</strong><br />
accettazione<br />
Regione <strong>di</strong> rifiuto<br />
V.att. + 1,96 SE
Test a due code (per ipotesi bi<strong>di</strong>rezionali)<br />
(si intende accettazione o rifiuto <strong>di</strong> H 0 ; il livello <strong>di</strong><br />
significatività qui è pari a 0,05)<br />
Regione<br />
<strong>di</strong> rifiuto<br />
V.att. - 1,96 * SE<br />
Regione <strong>di</strong><br />
accettazione<br />
Regione<br />
<strong>di</strong> rifiuto<br />
V.att. + 1,96 * SE
Deduzioni dal grafico precedente<br />
• Ogni valore campionario cadrà entro i limiti <strong>di</strong><br />
confidenza con una probabilità del 95%<br />
<strong>di</strong> conseguenza:<br />
• Se un valore campionario cade entro i limiti <strong>di</strong><br />
confidenza, accetteremo l’ipotesi H 0<br />
• In caso contrario, la rifiuteremo<br />
La regione <strong>di</strong> rifiuto corrisponde ai valori che<br />
hanno una piccola probabilità <strong>di</strong> verificarsi,<br />
quando l’ipotesi nulla è vera
Il p-value<br />
• Oltre al metodo accennato, basato sulla regione <strong>di</strong><br />
rifiuto, si può adottare un metodo <strong>di</strong>verso, che<br />
ovviamente conduce agli stessi risultati:<br />
il metodo del p-value<br />
• In base a questa procedura, si rifiuta l’ipotesi nulla<br />
se il p-value è inferiore a α<br />
• In altri termini, si rifiuta H 0 quando la probabilità <strong>di</strong><br />
rifiutare erroneamente questa ipotesi è inferiore al<br />
massimo che siamo <strong>di</strong>sposti a tollerare, ossia α<br />
• Il p-value è infatti l’effettiva probabilità <strong>di</strong> rifiutare<br />
l’ipotesi nulla, quando questa è vera
Tipi <strong>di</strong> errore<br />
Si riba<strong>di</strong>sce l’assenza <strong>di</strong> certezze assolute, per<br />
cui le conclusioni <strong>di</strong> un test statistico sono<br />
soggette ad errori, <strong>di</strong> primo o secondo tipo<br />
Nella realtà:<br />
Si decide <strong>di</strong><br />
accettare H 0<br />
Si decide <strong>di</strong> rifiutare H 0<br />
H 0 vera Decisione corretta Errore <strong>di</strong> primo tipo<br />
H 1 vera Errore <strong>di</strong> secondo<br />
tipo<br />
Decisione corretta<br />
La probabilità <strong>di</strong> commettere un errore <strong>di</strong> primo tipo<br />
corrisponde al livello <strong>di</strong> significatività
Cosa si intende verificare, nella<br />
maggior parte dei casi?<br />
• Su quali tipologie <strong>di</strong> in<strong>di</strong>catori si effettuano le<br />
verifiche?<br />
• Quattro sono i casi più importanti:<br />
Me<strong>di</strong>e<br />
Proporzioni<br />
Differenze tra me<strong>di</strong>e<br />
Differenze tra proporzioni
Valore atteso ed errore standard<br />
In<strong>di</strong>catore Valore atteso Errore standard (SE)<br />
MEDIA μ<br />
PROPORZIONE p<br />
DIFFERENZA<br />
TRA MEDIE<br />
DIFFERENZA<br />
TRA<br />
PROPORZIONI<br />
0<br />
0<br />
σ<br />
—————<br />
radq (n)<br />
p * (1-p)<br />
Radq [——————]<br />
n<br />
σ 2 1 σ 2 2<br />
Radq [——— + ———]<br />
n1 n2<br />
p * (1-p) p * (1-p)<br />
Radq [————— + —————]<br />
n1 n2
In realtà, solitamente non si <strong>di</strong>spone <strong>di</strong> μ o <strong>di</strong> p. Al<br />
loro posto, si utilizza il valore relativamente al quale<br />
stiamo verificando l’evidenza campionaria, ossia<br />
quello che compare in H 0<br />
• Quando poi non si conoscono i parametri <strong>della</strong><br />
popolazione (μ, σ, p), si utilizzano i valori<br />
campionari noti<br />
(questa impostazione è corretta se il campione ha una<br />
ampiezza superiore a 30)
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 1<br />
• Una catena <strong>di</strong> alberghi pubblicizza un luogo<br />
<strong>di</strong> vacanza invernale, sostenendo 7 ore me<strong>di</strong>e<br />
<strong>di</strong> sole al giorno nei 4 mesi invernali<br />
• Una agenzia viaggi, in 36 giorni estratti<br />
casualmente dai 4 mesi invernali, rileva una<br />
me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> 5,9 ore, con s pari a 1,8<br />
• L’agenzia è stata imbrogliata? (si decide un<br />
livello <strong>di</strong> significatività pari a 0,02)<br />
H 0 : M > 7 H 1 : M < 7<br />
(test a una coda)
Regione <strong>di</strong><br />
rifiuto (2%)<br />
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 2<br />
V.atteso - z * SE<br />
Regione <strong>di</strong><br />
accettazione
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 3<br />
• V.atteso: 7<br />
• SE: 1,8 / radq (36) = 0,3<br />
• Dalla tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale,<br />
ricaviamo che:<br />
area 0,48 z = - 2,05<br />
limite <strong>di</strong> confidenza: 7 – 2,05 * 0,3 = 6,385
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 4<br />
• Ci sono solo 2 possibilità su 100 che un<br />
campione <strong>di</strong> ampiezza pari a 36 fornisca un<br />
valore me<strong>di</strong>o inferiore a 6,385<br />
• Di conseguenza, H 0 è da rifiutare<br />
• È molto probabile che l’agenzia sia stata<br />
imbrogliata: la <strong>di</strong>fferenza tra la me<strong>di</strong>a<br />
campionaria e la me<strong>di</strong>a pubblicizzata è<br />
significativa
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 5<br />
• Quando non si conoscono determinati parametri<br />
<strong>della</strong> popolazione (in modo specifico, σ) …<br />
… si utilizzano i valori campionari noti (è quanto si è<br />
fatto in questo esempio); tale impostazione è però<br />
corretta solo se il campione ha una ampiezza<br />
superiore a 30<br />
• Se il campione avesse avuto <strong>di</strong>mensioni più<br />
limitate, si sarebbe impiegata la <strong>di</strong>stribuzione <strong>di</strong><br />
Student (come nell’esempio successivo)
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 6<br />
• Per la rilevazione <strong>della</strong> concentrazione <strong>di</strong><br />
monossido <strong>di</strong> carbonio (Co), lo strumento da<br />
utilizzare (lo spettrofotometro) deve essere<br />
tarato ogni giorno, su un gas a<br />
concentrazione nota (70 ppm, ossia parti <strong>di</strong><br />
volume per milione)<br />
• Ogni giorno si effettuano alcune misurazioni<br />
su questo gas<br />
• La SD <strong>di</strong> queste misurazioni non è nota, in<br />
quanto cambia ogni giorno<br />
• Questi i valori <strong>di</strong> 5 rilevazioni in un<br />
determinato giorno: 78, 83, 68, 72, 88<br />
• La me<strong>di</strong>a è 77,8, la deviazione standard è 7,22
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 7<br />
• Ipotesi nulla: errore sistematico pari a 0<br />
• Ipotesi alternativa: errore sistematico <strong>di</strong>verso da<br />
0<br />
(test a due code)<br />
• Si decide un livello <strong>di</strong> significatività pari a 0,05<br />
• I gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà sono 4<br />
• V.atteso: 70<br />
• SE: 3,61<br />
• Lo SE è stato calcolato utilizzando la stima<br />
corretta <strong>della</strong> deviazione standard <strong>della</strong><br />
popolazione (8,07), data la ridotta numerosità<br />
campionaria
Verifica <strong>di</strong> una me<strong>di</strong>a - 8<br />
• Dalla tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione t <strong>di</strong> Student<br />
(essendo il campione <strong>di</strong> ridotte <strong>di</strong>mensioni),<br />
ricaviamo che un’area pari a 0,975<br />
corrisponde a t = 2,78<br />
• I limiti <strong>di</strong> confidenza sono quin<strong>di</strong>:<br />
70 - 2,78 * 3,61 = 60,0<br />
70 + 2,78 * 3,61 = 80,0<br />
• Di conseguenza, H 0 non è da rifiutare
Verifica <strong>di</strong> una proporzione - 1<br />
• Secondo la letteratura, gli esemplari <strong>di</strong> testudo<br />
marginata che a un determinato stimolo emettono<br />
soffi rumorosi come reazione (per paura) sono<br />
il 25% del totale.<br />
• A uno stimolo leggermente <strong>di</strong>verso, su un<br />
campione <strong>di</strong> 1.200 esemplari osservati, risulta<br />
che il 23% emette soffi rumorosi<br />
• Si può affermare che la % <strong>di</strong> esemplari è <strong>di</strong>versa<br />
rispetto a quella in<strong>di</strong>cata dalla letteratura?<br />
(si decide un livello <strong>di</strong> significatività pari a 0,05)<br />
H 0 : p = 0,25<br />
H 1 : p ≠ 0,25<br />
(test a due code)
Verifica <strong>di</strong> una proporzione - 2<br />
Regione <strong>di</strong><br />
rifiuto (2,5%)<br />
V.att. - z * SE<br />
Regione <strong>di</strong><br />
accettazione<br />
V.att. + z * SE<br />
Regione <strong>di</strong> rifiuto<br />
(2,5%)
Verifica <strong>di</strong> una proporzione - 3<br />
• V.att.: 0,25<br />
• SE: radq (0,25 * 0,75 / 1200) = 0,0125<br />
• Dalla tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale,<br />
ricaviamo che:<br />
area 0,475 z = - 1,96 e z = + 1,96<br />
limite inf. <strong>di</strong> confidenza: 0,25 - 1,96 * 0,0125 =<br />
0,2255<br />
limite sup. <strong>di</strong> confidenza: 0,25 + 1,96 * 0,0125<br />
= 0,2745
Verifica <strong>di</strong> una proporzione - 4<br />
• La % campionaria è compresa nella<br />
regione <strong>di</strong> accettazione<br />
• Di conseguenza, H 0 non è da rifiutare<br />
(<strong>di</strong>fferenza non significativa)
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra me<strong>di</strong>e - 1<br />
• È stata realizzata una indagine su un elevato numero<br />
<strong>di</strong> aree citta<strong>di</strong>ne con <strong>di</strong>fferente <strong>di</strong>mensione<br />
demografica, relativamente al numero <strong>di</strong> borseggi<br />
avvenuti nell’ultimo anno.<br />
• In particolare, si vuole effettuare un test sulla<br />
<strong>di</strong>fferenza tra la me<strong>di</strong>a dei borseggi avvenuti in un<br />
campione <strong>di</strong> aree nell’ambito <strong>di</strong> centri con 25.000-<br />
30.000 residenti (PRIMO CAMPIONE), e la me<strong>di</strong>a dei<br />
borseggi avvenuti in un campione <strong>di</strong> aree nell’ambito<br />
<strong>di</strong> centri con 5.000-10.000 residenti (SECONDO<br />
CAMPIONE).<br />
• Il primo campione ha me<strong>di</strong>a pari a 1,10 borseggi (su<br />
100 residenti) e s pari a 0,60 (n è pari a 400)<br />
• Il secondo campione ha me<strong>di</strong>a pari a 0,90 e s pari a<br />
0,40 (n è pari a 100)
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra me<strong>di</strong>e - 2<br />
• Si vuole verificare se effettivamente la me<strong>di</strong>a<br />
del primo campione è <strong>di</strong>versa dalla me<strong>di</strong>a del<br />
secondo campione<br />
• L’ipotesi nulla afferma quin<strong>di</strong> che le due<br />
me<strong>di</strong>e sono uguali, mentre secondo l’ipotesi<br />
alternativa la me<strong>di</strong>a del primo campione è<br />
<strong>di</strong>fferente dalla me<strong>di</strong>a del secondo campione.<br />
• Il test è a due code.<br />
(si decide un livello <strong>di</strong> significatività pari a 0,05)
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra me<strong>di</strong>e - 3<br />
• Basandoci sull’ipotesi nulla, secondo la quale le<br />
due me<strong>di</strong>a sono uguali, il valore atteso <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>fferenza è pari a zero. Occorre confrontare la<br />
<strong>di</strong>fferenza osservata (ossia: 1,10 – 0,90 = 0,20) con<br />
questo valore atteso.<br />
• Per ottenere lo SE <strong>della</strong> <strong>di</strong>fferenza, non si possono<br />
sommare i due SE (0,03 + 0,04 = 0,07), in quanto si<br />
trascurerebbe l’eventualità che i due SE si elidano a<br />
vicenda.<br />
• Lo SE <strong>della</strong> <strong>di</strong>fferenza è pari a<br />
s 2 1 s 2 2<br />
Radq [——— + ———]<br />
n1 n2<br />
ossia 0,05
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra me<strong>di</strong>e - 4<br />
• Dalla tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale, ricaviamo<br />
che:<br />
area 0,475 z = - 1,96 e z = + 1,96<br />
limiti <strong>di</strong> confidenza:<br />
0 - 1,96 * 0,05 = - 0,098<br />
0 + 1,96 * 0,05 = + 0,098<br />
• Ci sono solo 5 possibilità su 100 che due campioni<br />
con queste caratteristiche forniscano una <strong>di</strong>fferenza<br />
tra i valori me<strong>di</strong> esterni al range compreso tra – 0,098<br />
e + 0,098<br />
• Di conseguenza, H 0 è da rifiutare
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra<br />
proporzioni - 1<br />
• Si vuole confrontare l’opinione <strong>di</strong> due campioni <strong>di</strong> citta<strong>di</strong>ni,<br />
<strong>di</strong> strato sociale <strong>di</strong>fferente, relativamente all’atteggiamento<br />
da assumere nei confronti delle droghe.<br />
• In particolare, si chiede ai citta<strong>di</strong>ni quale delle seguenti tre<br />
posizioni, fra tutte quelle antiproibizioniste, sarebbe più<br />
opportuna:<br />
– Liberalizzazione (completa rimozione delle norme che<br />
vietano la ven<strong>di</strong>ta, l’acquisto, il consumo)<br />
– Legalizzazione (regolazione delle con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> acquisto<br />
e <strong>di</strong> consumo)<br />
– Depenalizzazione (rimozione delle sanzioni legate alla<br />
domanda)<br />
• Entrambi i campioni sono estratti casualmente e sono<br />
composti da 150 citta<strong>di</strong>ni.
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra<br />
proporzioni - 2<br />
• L’ipotesi <strong>della</strong> legalizzazione ottiene la preferenza<br />
<strong>di</strong> una quota del 60% <strong>di</strong> citta<strong>di</strong>ni intervistati nel<br />
campione A, e <strong>di</strong> una quota del 56% <strong>di</strong> citta<strong>di</strong>ni<br />
nel campione B<br />
• La superiorità riscontrata nel campione A è<br />
effettiva, con un livello <strong>di</strong> significatività pari a<br />
0,03, o è attribuibile a errori casuali?
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra<br />
proporzioni - 3<br />
• Come sempre, si parte dall’ipotesi nulla, ossia<br />
che non esistano reali <strong>di</strong>fferenze tra i due<br />
campioni<br />
• In questo caso, l’ipotesi nulla corrisponde a<br />
sostenere che le due proporzioni sono uguali<br />
• All’ipotesi nulla si contrappone l’ipotesi<br />
alternativa: il campione A mostra una<br />
superiorità significativa, come quota <strong>di</strong><br />
favorevoli alla legalizzazione<br />
• Il test è a una coda
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra<br />
proporzioni - 4<br />
• Basandoci sull’ipotesi nulla, secondo la quale le due<br />
percentuali sono uguali, il valore atteso <strong>della</strong><br />
<strong>di</strong>fferenza è pari a zero. Occorre confrontare la<br />
<strong>di</strong>fferenza osservata (ossia: 0,6 – 0,56 = 0,04) con<br />
questo valore atteso.<br />
• Per ottenere lo SE <strong>della</strong> <strong>di</strong>fferenza, utilizziamo la<br />
formula:<br />
p1* (1-p1) p2 * (1-p2)<br />
Radq [————— + —————]<br />
n1 n2<br />
In questo caso: 0,0569
Verifica <strong>di</strong> una <strong>di</strong>fferenza tra<br />
proporzioni - 5<br />
• Dalla tavola <strong>della</strong> <strong>di</strong>stribuzione normale, ricaviamo<br />
che:<br />
area 0,47 z = 1,88<br />
limite <strong>di</strong> confidenza:<br />
0 + 1,88 * 0,0569 = 0,107<br />
• Dal momento che la <strong>di</strong>fferenza osservata tra le due<br />
proporzioni (0,04) è inferiore al suddetto limite <strong>di</strong><br />
confidenza, H 0 non è da rifiutare