CALCULUS-WWW.CLIPVIDVA.COM_

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1
แคลคูลัส
ในบทเรื่องแคลคูลัสนี้
เป็นบทที่ส
าคัญมากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ที่สามารถน
าไปใช้ต่อได้ ในวิชา
คณิตศาสตร์ขั้นสูง
และในเนื้อหาบทนี้ค่อนข้างไม่ยากมากเมื่อเทียบกับอื่นๆ
วิชาฟิสิกส์ในระดับมหาลัยวิทยาลัย,
ดังนั้นขอให้น้องๆตั้งใจ
ที่จะท
าความเข้าใจกับเนื้อหาบทนี้ด้วยเพราะจะเป็นประโยชน์อันดีในการท
าคะแนน
สอบในวิชา Pat1
แคลคูลัส
1. ลิมิตและความต่อเนื่อง
2. อัตราการเปลี่ยนแปลง
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
4. การอินทิเกรต
1.1) หาลิมิตในรูปของ 0
0
1.2) หาลิมิตค่าสัมบูรณ์
1.3) หาลิมิตเป็นกรณี
1.4) ความต่อเนื่อง
3.1) อนุพันธ์อันดับสูง
3.2) การประยุกต์
4.1) ไม่จ ากัดเขต
4.2) จ ากัดเขต
4.3) พื้นที่ปิดล้อม
ด้วยเส้นโค้ง

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1. ลิมิต และความต่อเนื่อง
ทฤษฎีบทของลิมิต
กล่าวไว้ว่า ถ้า lim f(x)
x a
L และ limg(x)
x a
Mแล้ว
1. limc c เมื่อ
c เป็นค่าคงตัวใดๆ
x a
lim x a
2.
x a
n
3. lim x
x a
n
a เมื
4.
x a
่อ n N
limcf(x) c L เมื่อ
c เป็นค่าคงตัวใดๆ
5. lim(f(x)
x a
g(x)) limf(x)
x a
limg(x)
x a
L M
6. lim(f(x) g(x))
x a
limf(x) limg(x)
x a x a
L M
f(x)
lim
g(x)
lim f(x)
limg(x)
L
เมื่อ
limg(x) 0
M xa 7. x a
x a
x a
8. lim f(x) lim f(x) L
x a x a
9.
n
n
lim f(x) n lim f(x) L และ
x a x a
n L R
2 5
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(x x9) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x1 x 2x1 ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(2 4 ) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x2 2

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
3 2
x x
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้าลิมิตมีค่า)
x1 x1 1.1 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ
0
0
f(x)
เมื่อโจทย์ก
าหนดให้หา lim ในขั้นแรกเลย
สิ่งที่เราต้องท
าคือ แทน x = a เข้าไปในฟังก์ชันแต่
x ag(x)
ถ้าแทนค่าเข้าไปแล้วได้ว่า f(a) 0
=
g(a) 0 เราจะมีวิธีแก้ปัญหาอยู่
2 วิธีคือ
1.ต้องแยกตัวประกอบ เมื่อเจอพหุนามก
าลัง 3 หรือมากกว่า 2,3
2.คูณคอนจูเกต เมื่อเจอรากที่
3 หรือรากที่
2
2
x x2 ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim )
ถ้าลิมิตมีค่า(
x1 x1 3

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
2x 1 3
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้าลิมิตมีค่า)
x1 2
x 2x3 3 x 62 ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้าลิมิตมีค่า)
x2 x2 ตัวอย่าง จงหาค่าของ
x 2x 9
lim
(ถ้าลิมิตมีค่า)
x3 2
x 3 x x 6
Pat1 มี.ค.54 จงหาค่าของ
lim
x0 3 2
x x x
x
2
4

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์
วิธีแก้ปัญหาเมื่อเจอฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์คือ
ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกให้ได้ และอีกสิ่งที่เราต้องท
าคือ
การหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา แล้วดูว่าลิมิต 2 ข้างมันเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากัน แสดงว่า ลิมิตมีค่า แต่
ถ้าลิมิต 2 ข้างไม่เท่ากัน แสดงว่า ไม่มีลิมิต
ข้อควรรู้
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim
x2 2
x x2 x2 ) ถ้าลิมิตมีค่า(
5

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่แบ่งเป็นกรณี
ถ้าฟังก์ชันที่โจทย์ก
าหนดมาให้ มีการแบ่งเป็นหลายๆกรณี โดยที่ฟังก์ชันถูกแบ่งที่ต
าแหน่ง x=a และ
โจทย์ก็สั่งให้เราหาค่าของ
lim f(x) เราจะต้องแยกหาลิมิต 2 ทางนั่นคือ
เราจะต้องหา lim f(x) และ
xa xa lim f(x) แล้วดูว่าค่า 2 ค่านี้
เป็นอย่างไร
xa
1.ถ้า lim f(x) = lim f(x) = L เราจะได้ว่า lim f(x) = L และเราจะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า
xa xa xa ฟังก์ชัน f มีลิมิตที่
x=a
2. lim f(x) ≠ lim f(x) เราจะได้ว่า lim f(x) ไม่มีค่า และเรา ) หรือจะบอกว่าหาค่าไม่ได้ ก็ได้(
xa xa xa จะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าฟังก์ชัน
f ไม่มีลิมิตที่
x=a
ตัวอย่าง ก าหนดให้
ตัวอย่าง ก าหนดให้
1
{
;x1 3x1 f(x) จงหาค่าของ lim f(x)
2 5x ;x1 x1 x1 f(x) {
2
3x 1;x1 2 จงหา
x 2x3 ;x1 x1 x1 6
lim f(x)

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1.4 หาความต่อเนื่อง
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่
x=a ก็ต่อเมื่อ
1.f(a) หาค่าได้
2. lim f(x) หาค่าได้ นั่นคือ(
lim f(x) = lim f(x) )
xa xa xa 3. f(a)= lim f(x)
xa ตัวอย่าง ฟังก์ชันต่อไปนี้
มีความต่อเนื่องที่
x = 2 หรือไม่
3
x 8
ก. f(x)
x 2
2
x 4 {
;x2 x2 ข. f(x)
4;x2 7

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
x3 {
;x3 2x10 x13 PAT1 มี.ค. 54 ก าหนดให้ f(x) โดยที่
a เป็นจ านวนจริง ถ้า f เป็นฟังก์ชัน
a;x3 ต่อเนื่องที่จุด
x=3 แล้ว a เท่ากับเท่าใด
2. อัตราการเปลี่ยนแปลง
้
ในฟังก์ชัน y=f(x) ใดๆเราพิจารณาหา “อัตราการเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชัน”
ได้ดังนี
ที่จุด
x=x1 จะได้ y=f(x1)
ที่จุด
x=x2=x1+h จะได้ y=f(x1+h)
ดังนั้น
อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ
y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x1+h ก็คือ
y f(x 1 h) f(x 1) f(x 1 h) f(x 1)
x (x h) (x ) h
1 1
หรือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ
y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คือ
f(x h) f(x)
หรือ
h
y
x
และเมื่อเราบีบช่วง
h ให้แคบลงจนใกล้ 0 ก็จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง
ณ จุด x ที่ก
าหนด ฉะนั้น
“อัตราการเปลี่ยนแปลงของ
y (ที่จุดใดๆ)”คือ
f(x h) f(x)
y
lim หรือ lim
h0 h
h0x (ไม่สามารถแทนค่า h=0 ลงไปตรงๆได้ เพราะจะเป็น 00จึงต้องใช้ลิมิตช่วยในการค านวณ)
8

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง
2
y f(x) 2x 3x 4 ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ
y เทียบกับ x
ก.โดยเฉลี่ยในช่วง
x=1 ถึง 4
ข.ที่จุดซึ่ง
x=2
อัตราการเปลี่ยนแปลงของ
y=f(x) ที่จุด
x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทน
อนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ dy
dx , d f(x) , f '(x) หรือ y'
dx
ส่วนสัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงต
าแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง
x=3 จะใช้ f '(3) หรือ
f(x h) f(x)
ฉะนั้น
อนุพันธ์ f(x) ก็คือ lim
h0 h
กราฟ y=f(x) ณ จุดนั้นๆด้วย
2
ตัวอย่าง ถ้า y x 2x เป็นสมการเส้นโค้ง ให้หา
ก.ความชันของเส้นโค้งนี่ที่จุด
(2,-6)
9
dy
dx x3 = dy
dx นั่นเอง
และ ยังเรียกว่าเป็นค่า ความชัน ของ

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ข.หาสมการความชันของเส้นโค้งนี้
ณ จุด x ใดๆ ( ตอบติดในรูป x )
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
นิยาม ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดนเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ
านวนจริง และ
f(x h) f(x)
d
lim หาค่าได้ เรียกค่าลิมิตที่ได้นี้ว่า
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่
x แทนด้วย f '(x), f(x) และ
h0 h
dx
dy
dx
สูตรของอนุพันธ์
ให้ f, g เป็นฟังก์ชันของ x และ c เป็นค่าคงที่ใดๆ
dy
1. ถ้า y=c โดยที่
c เป็นค่าคงที่ใดๆ
จะได้ว่า 0
dx
dy
2. ถ้า y=x แล้ว 1
dx
dy
3. ถ้า y cf(x) โดยที่
c เป็นค่าคงที่ใดๆจะได้ว่า
cf'(x) dx
dy
4. ถ้า y f(x) g(x)
แล้ว f'(x) g'(x)
dx
5. ถ้า n
dy n1 y x โดยที่เป็นจ
านวนจริงใดๆ จะได้ว่า nx
dx
dy
6. ถ้า y=f(x)g(x) แล้ว f(x)g'(x) g(x)f'(x)
dx
7. ถ้า f(x)
y
g(x) โดยที่g(x)
0แล้วจะได้ว่า
2
dy g(x)f '(x) f(x)g'(x)
dx g(x)
dy
8. ถ้า y=(fog)(x)=f(g(x)) แล้วจะได้ว่า f'(g(x)) g'(x)
dx
10

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
3 2
ตัวอย่าง y x x 1
จงหา dy
dx
3
2 x
ตัวอย่าง ถ้า y (x 1)( 9)
3
จงหา dy
dx
2
x 3x1 ตัวอย่าง ถ้า f(x) จงหา f '(x) และ หา f '(1)
3
x 2
5
2 3
ตัวอย่าง ถ้า y (x2x) จงหา dy
dx
ตัวอย่าง ถ้า
2 3
(x 1)(x5x) f(x)
จงหา f '(x)
(x 1)
11

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
1
2.5 3
9 4 3
ตัวอย่าง ถ้า y (x 3x 2 x ) (x 5) จงหา dy
dx
PAT1 ก.ค.52 ถ้า f,g และ h สอดคล้องกับ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f '(1) g'(1) h'(1) 2แล้วค่าของ
(fg h)'(1) เท่ากับเท่าไหร่
3.1 อนุพันธ์อันดับสูง
สมมติ
3 2
f(x) y x 2x x 5 ดังนั้นจะหาอนุพันธ์ได้เป็น
และหากเราหาอนุพันธ์ของ f '(x) ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์ อันดับสูง
2
dy
เช่น อนุพันธ์อันดับสอง คือ f ''(x) = 2
dx =6x-4
3
dy
อนุพันธ์อันดับสาม คือ f '''(x) = 3
dx =6
อนุพันธ์อันดับสี่
คือ (4)
f (x) =
4
dy
4
dx =0
การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่
n จะเป็น
นิยมใช้เครื่องหมายขีด
เป็น f '(x) , f ''(x) , f '''(x)
12
n
dy
dx
n
dy
dx
2
f '(x) 3x 4x 1
(n)
หรือ f (x) แต่อันดับที่หนึ่ง
สอง และสาม

ตัวอย่าง ถ้า
คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
3
2
f(x) (2x 1) ให้หาค่า
(4)
f ''(4)และf )1(
Pat1 มี.ค.54 ก าหนดให้ g(x) = 2
x 2x5และ f(x) = 3
x x ค่าของ (f 'og')(1) (g'of ')(0) เท่ากับ
เท่าใด
2
PAT1 ต.ค.53 ก าหนดให้ f(x) x 5x 6ค่าของ
f(f '(f ''(2553))) เท่ากับเท่าใด
3.2 ฟังก์ชันเพิ่ม
ฟังก์ชันลดและค่าสุดขีด
ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ
เมื่อ
x เพิ่มขึ้นแล้ว
f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วยหรือกล่าวว่า
ความชันเป็น
บวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น
เมื่อ
x เพิ่มขึ้น
f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง
ดังนั้นเมื่อ
พิจารณาถึงอนุพันธ์ f '(x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ
จะได้กฎว่า
ช่วงที่
f '(x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
และ ช่วงที่
f '(x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด
และเนื่องจากต
าแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด
หรือจากลดไปเพิ่มจะต้องมีการวกกลับของ
กราฟ ซึ่งท
าให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด) ขึ้นสามารถหาโดย
f '(x) = 0
เราเรียกค่า x ณ ต าแหน่งที่
f '(x) = 0 ว่า ค่าวิกฤต
13

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
จุดสุดขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสุดและจุดต่าสุด
ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม
จะเกิดจุดต่าสุด
และถ้า
ความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด
ก็จะเกิดจุดสูงสุด
หมายเหตุ
1. f '(x) =0 ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่าสุดเสมอไป
อาจเป็นเพียงจุดเปลี่ยนเว้าเท่านั้น
ซึ่งเราสามารถ
พิจารณาโดยละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน
หรือ f ''(x) ณ จุดนั้นๆ
หาก f ''(x) > 0 แสดงว่าความชันก าลังมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ
(เปลี่ยนจากลบเป็นศูนย์และเป็นบวก)
จึง
เกิดจุดต่าสุดและหาก
f ''(x) < 0 แสดงว่าความชันก าลังน้อยลงเรื่อยๆ
(เปลี่ยนจากบวกเป็นศูนย์และเป็นลบ)
จึงเกิดจุดสูงสุด
แต่หาก ณ จุดนั้น
f ''(x) =0 อาจะเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดก็ได้
2.เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
ในการค านวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง
เช่น มีฟังก์ชัน
ก าไร P(x) แล้วหาค่า x ที่ท
าให้ได้ก าไรมากที่สุด
ดังจะได้ศึกษาจากตัวอย่างถัดไป
พิจารณากราฟต่อไปนี้
เพื่อท
าความเข้าใจเรื่อง
สัมพัทธ์ และ สัมบูรณ์
ฟังก์ชันหนึ่งๆ
หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์
(แปลว่าเทียบ
กับจุดข้างเคียง จึงมีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว
จะเรียกจุด
นั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วย
(สูงสุดกับต่าสุด
มีได้อย่างละ 1 จุด)
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ ได้แก่ จุดA, C, E
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือ จุด C เท่านั้น
จุดต่าสุดสัมพัทธ์
ได้แก่ จุดB, D
จุดต่าสุดสัมบูรณ์
ไม่มี
ข้อควรรู้
14

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามก าลังสาม ซึ่งหารด้วย
x+1 แล้วเหลือเศษ 6 สัมผัสกับเส้นตรง
12x+y+7=0 ณ จุดตัดแกน y และค่าวิกฤตค่าหนึ่งเป็น
1
ก.ให้หาฟังก์ชัน f(x) นี้
ข.ฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่าสุดสัมพัทธ์เป็นเท่าใด
ค.ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดได้บ้าง
PAT1ต.ค.52 ก าหนดให้ y f(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่
x=1 ถ้า f ''(x) 4ทุก x และ
f(-1)+f(3)=0 แล้ว f มีค่าสูงสุดเท่าใด
15

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง ต้องการสร้างถังรูปทรงกระบอกเพื่อเก็บน้ามัน
ปริมาตร 16π ลูกบาศก์เมตร โดยสิ้นเปลือง
วัสดุก่อสร้าง (รวมฝาบนและล่าง) ให้น้อยที่สุด
ถังใบนี้จะต้องมีรัศมีหน้าตัดเท่าใด
PAT1ก.ค.53 โรงงานผลิตตุ๊กตาแห่งหนึ่ง
มีต้นทุนในการผลิตตุ๊กตา
x ตัว โรงงานจะต้องเสียค่าใช้จ่าย
3 2
x 450x 60,200x 10,000 บาท ถ้าขายตุ๊กตาราคาตัวละ
200 บาท โรงงานจะต้องผลิตตุ๊กตากี่ตัว
จึงจะได้ก าไรมากที่สุด
4. การอินทิเกรต
4.1 การอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต
การกระท าที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์
เราเรียกว่า การอินทิเกรต (Integration)
นั่นคือ
ถ้า d F(x) f(x) แล้ว (การหาอนุพันธ์)
dx
จะได้ว่า f(x)dx F(x) (การอินทิเกรต)
สัญลักษณ์ เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล
และเรียก f(x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต(Integrand)
ทุกสิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ
จะเรียกได้ว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) เช่น
2
2
F 1(x)
x , F 2 (x) x 1 ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)=2x เนื่องจากล้วนท
าให้ d F(x)
f(x)
dx
16

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
เห็นได้ว่า รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ
f(x) = 2x คือ x 2 +c เมื่อ
c เป็นค่าคงที่ใดๆ
ซึ่งเราจะเรียก
“รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์”
นี้ว่า
อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x) และเขียนสัญลักษณ์
เป็น f(x)dx
สูตรการหาอินทิกรัล
n1 n x
. 1x
dx c ,n 1
n 1
2. cfxdxc f xdx , cR 3. u vdx udx vdx
้
ตัวอย่าง ให้หาค่าอินทิกรัลต่อไปนี
3
ก. (x
2
2x3)dx 3 2
ข. (4t 3t 2t 1)dt
ค. 6(x 2)(x 1)dx
17

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง ถ้าF'(x)= 3
dy
ตัวอย่าง ถ้า
dx
2 x
และ F(-1)=1 จะได้ฟังก์ชัน F(x) เป็นอย่างไร
x
4 2
5x3x4xและ –y(1) = y(-1) แล้ว ให้หาค่าของ y(0)
ตัวอย่าง ถ้าเส้นโค้ง y=f(x) ผ่านจุด (0,1) และ (4,c) เมื่อ
c เป็นจ านวนจริงและความชันเส้นโค้งนี้ที่จุด
(x,y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x 1 แล้ว c มีค่าเท่าใด
ตัวอย่าง ก าหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง
f(2) 1,f '(1) 3,และf'')x( 3ทุกๆค่า
x แล้ว f(0) มี
ค่าเท่าใด
18

ข้อควรรู้
คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง
a ฟุตต่อวินาที 2 2
โดย a 12t 6t 10 หากเมื่อ
เวลาเริ่มต้นพบว่าระยะทางเป็น
10 ฟุต และความเร็วเป็นศูนย์ ให้หาระยะทางเมื่อเวลาผ่านไป
5 วินาที
ตัวอย่าง ถ้าก าลังคนของบริษัทแห่งหนึ่งที่มีในปัจจุบันท
าให้ได้ผลผลิต 3,000 ชิ้นต่อวัน
และเมื่อมีคน
เพิ่ม
x คน จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต
80-6 x ชิ้นต่อวัน
ถามว่าเมื่อเพิ่มคน
25 คน บริษัทแห่งนี้จะ
ได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน
4.2 การอินทิกรัลจ ากัดเขต
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง
[a,b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บนช่วง
[a,b] โดยที่
F'(x) f(x) แล้ว
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
เรียก b
f(x)dx ว่า อินทิกรัลจ ากัดเขตของฟังก์ชัน f บน [a,b] ใช้สัญลักษณ์
a
19
b
F(x) a แทน F(b)-F(a)

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง จงหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
ก. 3
3
(x 2)dx
1
ข. 0
2
(t t)(t1)dt 3
ตัวอย่าง ถ้าก าหนดฟังก์ชัน
2
f(x) x 4x ให้หาค่า a ที่ท
าให้ a
20
f(x)dx
a
2
PAT1 ก.ค.52 ถ้า f '(x) 3x x 5 และ f(0)=1 แล้ว 1
f(x)dx มีค่าเท่ากับเท่าใด
1
= 2
3

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
2
PAT1 ต.ค.52 ถ้า f '(x) x1และ 1
4.3 พื้นที่ใต้โค้ง
0
f(x)dx 0
21
แล้ว f(1) มีค่าเท่ากับเท่าใด
ก าหนดให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบน
[a,b] พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ
f(x) จาก x=a ถึง x=b
หมายถึง พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ
f แกน X เส้นตรง x=a และเส้นตรง x=b
ทฤษฎีบท ก าหนดให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบน
[a,b] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ
f จาก
x=a ถึง x=b จะหาได้จากสูตรต่อไปนี้
1.ถ้า f(x) 0ส
าหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ A f(x)dx
2.ถ้า f(x) 0ส
าหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ
b
a
b
A f(x)dx
a
ตัวอย่าง พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง
y=3-x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ANet 50 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
ตัวอย่าง ให้หาพื้นที่ที่ล้อมด้วยโค้ง
ก.ในช่วง x=1 ถึง 2
ข.ในช่วง x=-1 ถึง 1
ค.ในช่วง x=-2 ถึง 0
3 2
y x 2x 2x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4
2
f(x) x 1 กับแกน x ในช่วงที่ก
าหนดให้ต่อไปนี้
22

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง
เท่ากับเท่าใด
2
2
y x 3x 2 จาก x=0 ถึง 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือแกน
x
ตัวอย่าง ให้ f(x) x c โดย c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง
c 4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
y=f(x)
จาก x=-2 ถึง x=1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด
ตัวอย่าง ก าหนดฟังก์ชัน y=f(x) มีกราฟเป็นเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด
(-1,0) และผ่านจุด (3,6) แล้ว ค่า
ของ 3
f(x)dx เท่ากับเท่าใด
1
23

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
ตัวอย่าง เมื่อ
f(x) เป็นกราฟเส้นตรงที่ผ่านจุด
(3,5) และ (2,2) ให้หาค่า 3
f(x)dx
2
ANET 49 ก าหนดให้ กราฟของ y=f(x) มีความชันที่จุด
(x,y) ใดๆ เป็น 2x+2 และ f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์
เท่ากับ -3 พื้นที่ปิดของอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ
y=f(x) แกน X เส้นตรง x=-1 และเส้นตรง x=0
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
24

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com
เอกสารอ้างอิง
คณิต มงคลพิทักษ์สุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านักพิมพ์ Science Center, 2554.
ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร, “เอกสารประกอบค าสอนโครงการ Band Summer Camp 2010”
สมัย เหล่าวานิชย์, รศ., “ตะลุยคลังข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ สาระการเรียนรู้พื้นฐานและ
เพิ่มเติม”,
ส านักพิมพ์ไฮเอ็ด พับบลิชชิ่ง.
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/
http://th.wikipedia.org/wiki/แคลคูลัส
25