Intervalli - Insiemi limitati e illimitati - Galdi Biondina

Scheda elaborata dalla Prof.ssa Galdi Biondina – Docente di Matematica
Gli intervalli
Gli intervalli sono sottoinsiemi di ℜ formati da tutti i numeri reali compresi tra due estremi.
Esempi:
] 3 ; 5[ = {x ∈ ℜ : 3 < x < 5} Intervallo aperto inferiormente e superiormente
[ 3 ; 5] = {x ∈ ℜ : 3 ≤ x ≤ 5} Intervallo chiuso inferiormente e superiormente
] 3 ; 5] = {x ∈ ℜ : 3 < x ≤ 5} Intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente
[ 3 ; 5[ = {x ∈ ℜ : 3 ≤ x < 5} Intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente
In particolare: ]a ; a[ = ∅ [ a ; a ] = { a }
I punti interni di un intervallo sono quei punti dell’intervallo che non coincidono con gli
estremi.
Si possono anche considerare intervalli definiti da una solo diseguaglianza.
Esempi:
] 3 ; +∞ [ = {x ∈ ℜ : x > 3 }
[ 3 ; +∞ [ = {x ∈ ℜ : x ≥ 3 }
] -∞ ; 3 [ = {x ∈ ℜ : x < 3 }
] -∞ ; 3 ] = {x ∈ ℜ : x ≤ 3 }
Si pone ] - ∞; +∞ [ = ℜ
Insiemi limitati, minoranti, maggioranti
Sia A un sottoinsieme di ℜ.
Si dice che A è limitato superiormente se esiste un numero b ∈ ℜ tale che x ≤ b, ∀ x ∈ A;
se non esiste il numero b che soddisfa questa relazione A si dice illimitato superiormente.
Ogni numero b, se esiste, si chiama maggiorante di A.
Si dice che A è limitato inferiormente se esiste un numero a ∈ ℜ tale che a ≤ x, ∀ x ∈ A;
se non esiste il numero a che soddisfa questa relazione A si dice illimitato inferiormente.
Ogni numero a, se esiste, si chiama minorante di A.
L’insieme A si dice limitato se è contemporaneamente limitato inferiormente e superiormente,
cioè se esistono dei numeri a e b tali che a ≤ x ≤ b ,∀ x ∈ A.
In altre parole A è limitato se A ⊆ [ a , b ]
Esempi:
1. L’insieme A = ] 1, 5 [ è limitato perché ] 1, 5 [⊆ [ 1 , 5 ]. 1 è un minorante di A; 5 è un
maggiorante di A. Ma anche 0, -1, -2 … sono minoranti e anche 6, 7, …sono
maggioranti di A.
2. L’insieme A = ] 3 ; +∞ [ è limitato inferiormente ma è illimitato superiormente; 3 è un
minorante ma anche 2,1 …
3. L’insieme A = ] -∞ ; 3 [ è limitato superiormente ma è illimitato inferiormente; 3 è un
maggiorante, ma lo sono anche 4,5 ….
4. L’insieme A = ] 2, 4 [ U ] 5, 6[ ⊆ [ 2, 6 ] quindi A è limitato sia inferiormente che
superiormente; 2 è uno dei minoranti e 6 è uno dei maggioranti. ( Osserviamo che A
non è un intervallo ).
5. L’insieme A = ⎧1 ⎫ ⎧ 1 1 1 1 ⎫
⎨ ,n ∈ ,n ≠ 0⎬ = ⎨1, , , , ... ⎬
è limitato, infatti 0 < 1/n ≤ 1, ∀ n ∈Ν e
⎩n ⎭ ⎩ 2 3 4 5 ⎭
n ≠ 0; 0 è un minorante, 1 è un maggiorante.
6. L’insieme A = ⎧ n ⎫ ⎧ 1 2 3 ⎫
⎨ ,n ∈ ⎬ = ⎨0, , , ,... ⎬
è limitato, infatti n
0 ≤ < 1,
∀ n ∈Ν.
⎩n + 1 ⎭ ⎩ 2 3 4 ⎭
n + 1
0 è un minorante, 1 è un maggiorante.
Nota: Ogni insieme limitato ha infiniti minoranti e infiniti maggioranti!
Estremo inferiore ed Estremo superiore di un insieme
Sia A un sottoinsieme di ℜ superiormente limitato. Esso sarà allora dotato di infiniti
maggioranti; il più piccolo dei maggioranti di A si chiama Estremo superiore di A, e si
scrive sup A = ….

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Sia A un sottoinsieme di ℜ inferiormente limitato. Esso sarà allora dotato di infiniti
minoranti; il più grande dei minoranti di A si chiama Estremo inferiore di A, e si scrive inf
A = ….
Esempi:
1. L’insieme A = ] 1, 5 [ è limitato. 1 è il più grande dei minoranti, 5 il più piccolo dei
maggioranti; allora inf A = 1 e sup A = 5
2. L’insieme A = ⎧1 ⎫ ⎧ 1 1 1 1 ⎫
⎨ ,n ∈ ,n ≠ 0⎬ = ⎨1, , , , ... ⎬
è limitato. 1 è il più piccolo dei
⎩n ⎭ ⎩ 2 3 4 5 ⎭
maggioranti e quindi sup A = 1; 0 è il più piccolo dei minoranti e quindi inf A = 0.
Un estremo superiore può anche essere +∞ ( se l’insieme è illimitato superiormente) o -∞ ( se
l’insieme è illimitato inferiormente ).
Massimo e minimo di un insieme
Se un insieme ha un estremo inferiore e/o un estremo inferiore questi possono appartenere
all’insieme o no. Se L’estremo inferiore appartiene all’insieme esso si dice massimo M di A
= max A; se l’estremo superiore appartiene all’insieme esso si dice minimo m di A = min
A.
Teorema: Il massimo e il minimo, se esistono, sono unici.
Esempi:
1. L’insieme A = ] 1, 5 [ è limitato. 1 è il più grande dei minoranti, 5 il più piccolo dei
maggioranti; allora inf A = 1 e sup A = 5. Poiché inf A = 1 ∉ A , 1 non è il minimo
di A; analogamente poiché sup A = 5 ∉ A, 5 non è il massimo di A.
2. L’insieme A = ⎧1 ⎫ ⎧ 1 1 1 1 ⎫
⎨ ,n ∈ ,n ≠ 0⎬ = ⎨1, , , , ... ⎬
è limitato. 1 è il più piccolo dei
⎩n ⎭ ⎩ 2 3 4 5 ⎭
maggioranti e quindi sup A = 1; 0 è il più piccolo dei minoranti e quindi inf A = 0.
Poiché sup A = 1 ∈ A allora 1 è il massimo di A; invece poiché inf A = 0 ∉ A allora
0 non è il minimo di A.
x ∈ ℜ : − 2 < x < 2 ∪ 13
3. L’insieme A = { } { }
Poiché A ⊆ [-2; 13] allora A è limitato. -2 è il più grande dei minoranti quindi inf A
= -1, ma poiché -1 ∉ A non è il minimo di A. 13 è il più piccolo dei maggioranti di
A, quindi sup A = 13, poiché 13 ∈ A, 13 = max A
4. L’insieme A =
⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 1 1 ⎫ ⎧ 1 1 1
⎫
⎨x ∈ ℜ : x = n v x = ,n ∈ 1,2, ,3, , 4, ,... ..., , , ,1,2,3, 4,...
2 ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎩ n ⎭ ⎩ 4 9 16 ⎭ ⎩ 16 9 4
⎭
Si ha che inf A = 0, 0 non è minimo perché 0 ∉ A.
sup A = +∞
Funzioni limitate. Massimi e minimi assoluti di una funzione
Consideriamo la funzione di equazione y = f(x) e sia Df il suo dominio e Cf il suo codominio.
Si dice che la funzione f è limitata in Df se il suo codominio Cf è un insieme limitato.
Ovviamente si parla di funzione limitata superiormente o di funzione limitata inferiormente
in Df se il suo codominio Cf è rispettivamente un insieme limitato superiormente o
inferiormente. La funzione si dice illimitata se il suo codominio è illimitato.
Se una funzione è limitata ( o limitata inferiormente o limitata superiormente) si dice
Estremo inferiore e Estremo superiore della funzione, l’Estremo inferiore e l’Estremo
superiore del suo codominio.
Se inf Cf ∈ Cf, inf Cf = minimo assoluto della funzione in Df.
Se sup Cf ∈ Cf, sup Cf = massimo assoluto della funzione in Df.
Esempi:
1. La funzione f : x ∈ℜ y = sen x è una funzione limitata nel suo Dominio ℜ infatti
Cf = [ -1, 1 ]. inf Cf = -1 ∈ Cf quindi -1 è il minimo assoluto della funzione; sup Cf
= 1 ∈ Cf quindi 1 è il massimo assoluto della funzione. Osserviamo che il minimo
assoluto -1 è assunto dalla funzione per tutti gli x = 3π/2 + 2kπ ∈ Df e che il
massimo assoluto 1 è assunto dalla funzione per tutti gli x =

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π/2 + 2kπ ∈ Df
2. Il dominio della funzione in figura è Df :[ a, +∞ [, il codominio è Cf : ]0; M]; la
funzione è limitata:
l’estremo inferiore è 0
che non è minimo ( 0
∉ Cf ); l’estremo
superiore è M che
coincide anche con il
massimo assoluto
della funzione in x =
x° ( M ∈ Cf)
Intorni – Punti isolati – Punti di accumulazione
Si chiama intorno completo di un numero reale c, I(c), un qualsiasi intervallo di
numeri reali contenente c. se non si dice niente su I(c), l’intorno deve essere
considerato aperto. In generale quindi I(c) = ] c - δ1 , c + δ2 [ con δ1, δ2 numeri
positivi.
Si chiama ampiezza dell’intervallo (c + δ2) – (c - δ1).
Si parla di Intorno circolare di c se δ1 = δ2; in questo caso l’intorno è simmetrico
rispetto a c, ossia c è il centro dell’intorno e il raggio dell’intorno è δ = δ1= δ2.
Si parla anche di intorno destro di c = ] c , c + δ[
o di intorno sinistro di c = ] c - δ, c[; ma anche di
I (- ∞) = ] - ∞, a[
I (+ ∞ ) = ] b , + ∞ [
I ( ∞ ) = ] - ∞, a[ U ] b , + ∞ [
Un punto c di un insieme si dice punto isolato quando esiste un intorno di c che non
contiene altri punti dell’insieme.
Un punto c di un insieme si dice punto limite o punto di accumulazione se in ogni
intorno di c cadono infiniti punti dell’insieme.
Se un insieme A è limitato ed ha estremo inferiore ( superiore ) che non appartiene
all’insieme allora inf A ( sup A) è un punto di accumulazione.
Esempi:
1. Consideriamo l’insieme Ν dei numeri naturali. Ogni numero naturale è un punto
isolato infatti comunque prendiamo un intorno di un numero naturale, in esso non
cadranno mai infiniti numeri naturali.
2. Consideriamo l’insieme ℜ dei numeri reali. Qualsiasi numero reale è un punto di
accumulazione infatti in qualsiasi intorno di un numero reale cadono infiniti numeri
reali.
3. L’insieme A =
⎧ 1 1 1 ⎫
⎨1, , ,..., ,... ⎬
⎩ 2 3 n ⎭
è limitato. Inf A = 0 ∉ A, quindi 0 è un punto
di accumulazione. Prendendo n sufficientemente grande, in ogni intorno destro di 0
cadono infiniti punti del tipo 1/n. Tutti gli altri numeri dell’insieme sono punti
isolati.
4. L’insieme A =
⎧1 2 3 n ⎫
⎨ , , ,..., ,... ⎬
⎩2 3 4 n + 1 ⎭
è limitato. Inf A = ½ ∈ A = minimo
assoluto. sup A = 1 ∉ A = punto di accumulazione per n sufficientemente grande.