ELEMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE - Brixia-Engineering.It
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<strong>ELEMENTI</strong> <strong>DI</strong> <strong>DI</strong>NAMICA <strong>DELLE</strong> <strong>STRUTTURE</strong><br />
Renato Giannini
Indice<br />
1 Elementi di meccanica 1<br />
1.1 Introduzione.................................... 1<br />
1.2 Dinamicadeisistemi............................... 2<br />
1.2.1 IlprincipiodiD’Alembert........................ 2<br />
1.2.2 Massaepeso ............................... 2<br />
1.2.3 Ilprincipiodellepotenzevirtuali .................... 3<br />
1.2.4 EquazionediLagrange.......................... 4<br />
1.2.5 Esempio:equazionedelbipendolo ................... 6<br />
2 L’oscillatore semplice 8<br />
2.1 Oscillazioniliberenonsmorzate......................... 8<br />
2.2 Oscillazioniliberesmorzate ........................... 10<br />
2.3 Oscillazioniforzatearmonicamente....................... 15<br />
2.3.1 Energiadissipata............................. 19<br />
2.3.2 Rappresentazionecomplessa....................... 20<br />
2.3.3 Isolamentoallabase ........................... 22<br />
2.4 Rispostaadun’azioneperiodica......................... 24<br />
2.5 Rispostaadunaforzaimpulsiva......................... 27<br />
2.6 Rispostaadun’azionenonperiodica ...................... 30<br />
2.6.1 IntegralediDuhamel........................... 30<br />
2.6.2 Integrazionedirettadelleequazionidelmoto ............. 31<br />
2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo . . . 33<br />
3 Sistemi discreti con più di un grado di libertà 40<br />
3.1 Introduzione.................................... 40<br />
3.2 Lamatricedellemasse.............................. 41<br />
3.3 Oscillazioniliberenonsmorzate......................... 44<br />
3.3.1 Esempi .................................. 46<br />
3.4 Oscillazionismorzateeforzate ......................... 51<br />
3.4.1 Matricedismorzamento......................... 53<br />
3.5 Analisiinfrequenza ............................... 55<br />
3.5.1 TrasformatadiFourier.......................... 55<br />
3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier . 57<br />
3.6 Motoditrascinamento.............................. 59<br />
3.6.1 Motosincrono .............................. 59<br />
3.6.2 Motononsincrono............................ 61<br />
3.7 Smorzamentononclassico............................ 62<br />
3.7.1 Analisimodalecomplessa ........................ 63<br />
2
IN<strong>DI</strong>CE i<br />
4 Sistemi continui: onde nei mezzi elastici 68<br />
4.1 Introduzione.................................... 68<br />
4.2 Vibrazionilongitudinalidiunabarra...................... 69<br />
4.2.1 Ondestazionarie ............................. 69<br />
4.2.2 Barra di lunghezza finita......................... 70<br />
4.3 Onde nel continuo indefinito........................... 76<br />
4.3.1 Ondepiane ................................ 77<br />
4.4 Onde superficiali(ondediRayleigh) ...................... 78<br />
4.5 Traveataglio................................... 80<br />
4.5.1 Ondesmorzate .............................. 83<br />
4.6 Vibrazione delle travi inflesse .......................... 86<br />
4.6.1 Oscillazionilibere............................. 87<br />
A Elementi di algebra lineare 90<br />
A.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90<br />
A.2 Dipendenzalineare................................ 91<br />
A.3 Dimensionidiunospazio.Basi ......................... 91<br />
A.4 Prodottointerno ................................. 91<br />
A.5 Vettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
A.6 Basi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92<br />
A.7 Componentidiunvettore ............................ 93<br />
A.7.1 Basiortonormali ............................. 94<br />
A.8 Cambiamentodibase .............................. 94<br />
A.9 Operatorilineari ................................. 96<br />
A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . 97<br />
A.9.2 Nucleodiunoperatorelineare ..................... 97<br />
A.9.3 Inversodiunoperatore ......................... 97<br />
A.9.4 Operatoreidentico ............................ 98<br />
A.9.5 Operatorihermitiani........................... 98<br />
A.9.6 Operatoriunitari............................. 98<br />
A.9.7 Autovaloriedautovettoridiunoperatore ............... 99<br />
A.10 Vettori in C n ...................................100<br />
A.11Autovaloreedautovettoridiunamatrice....................100<br />
A.11.1Autovalorimultipli,triangolarizzazione ................101<br />
A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori . . . . . . . . . . 103<br />
A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici . . . . . . . . 104
Capitolo 1<br />
Elementi di meccanica<br />
1.1 Introduzione<br />
Le forze agenti sulle strutture civili, nella maggior parte dei casi, si possono trattare come<br />
se agissero staticamente; con questo si intende che, variando molto lentamente nel tempo,<br />
esse inducono nella struttura velocità ed accelerazioni trascurabili, in modo tale che la<br />
struttura passa da uno stato di equilibrio ad un altro attraverso stati che in pratica possono<br />
essere considerati anch’essi di equilibrio. In quanto precede si intende che il termine stato<br />
di equilibrio èsinonimodistato di equilibrio statico.<br />
Sebbene sia vero che la maggior parte delle azioni che interessano le strutture civili si<br />
possono considerare ai fini pratici come statiche, è pur vero che esistono alcune importanti<br />
eccezioni; p.es. le azioni indotte da macchinari rotanti all’interno di officine ed impianti<br />
industriali, la pressione del vento, le azioni indotte da veicoli (in particolare quelli pesanti)<br />
in movimento sui ponti ed i viadotti, le onde del mare, ecc. Non vi è dubbio però che<br />
l’azione dinamica più importante per le strutture civili è quella sismica, almeno in quei<br />
paesi, come l’<strong>It</strong>alia, dove è presente una rilevante attività sismica.<br />
L’azione sismica si manifesta con un moto del terreno, in direzione orizzontale e verticale,<br />
che trascina con sé le strutture degli edifici. Questo moto di trascinamento, indotto<br />
dal sisma, induce delle forze di inerzia che agiscono sulla struttura nella direzione del<br />
moto di trascinamento; particolarmente pericolosa è la componente orizzontale del moto,<br />
che induce sulle strutture azioni che esse normalmente non sono chiamate a sopportare e<br />
nei confronti delle quali sono spesso vulnerabili.<br />
L’importanza che si attribuisce alle azioni sismiche è ben nota; essa discende dagli<br />
effetti distruttivi che un terremoto violento può avere sulle costruzioni e dalla grande<br />
estensione di territorio interessata dal fenomeno, che può assumere aspetti catastrofici, sia<br />
dal punto di vista economico, sia da quello relativo alla perdita di vite umane.<br />
La formulazione generale dell’analisi dinamica delle strutture, specialmente quando<br />
queste vengono studiate con modelli lineari, prescinde ovviamente dal tipo di azione;<br />
quindi nel seguito normalmente non si farà riferimento all’azione sismica. Tuttavia poiché<br />
per l’analisi sismica sono stati sviluppati alcuni procedimenti specifici (p.es. l’analisi con<br />
lo spettro di risposta), quando necessario, sarà abbandonato il generale per il particolare<br />
specifico.<br />
1
1.2 Dinamica dei sistemi 2<br />
1.2 Dinamica dei sistemi<br />
1.2.1 Il principio di D’Alembert<br />
La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di D’Alembert,<br />
che semplicemente afferma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l’azione<br />
delle forze attive Fi, diquellereattiveΦi e delle forze di inerzia miai:<br />
Fi + Φi − miai =0 (i = 1, 2,... ,N) (1.1)<br />
In questa equazione mi indica la massa ed ai l’accelerazione del punto materiale i del<br />
sistema. La forza d’inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l’accelerazione<br />
(cambiata di segno) del corpo puntiforme.<br />
L’accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio un<br />
corpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superficie della Terra<br />
risulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidale<br />
al centro della Terra ed è orientato verso le stelle fisse; infatti rispetto a quest’ultimo<br />
riferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, ωT , e quindi<br />
ha un’accelerazione (centripeta) di valore ω2 T r, r essendo la distanza del corpo dall’asse<br />
terrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo in<br />
un certo tipo di riferimento privilegiato.<br />
I riferimenti di questo tipo sono detti inerziali. Un modo per definire un riferimento<br />
inerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha l’origine solidale ad una massa isolata<br />
ed è orientato verso le stelle fisse. Per massa isolata si intende un corpo che si trovi<br />
così distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stelle<br />
fisse sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risulta<br />
comunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni,<br />
ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o meno<br />
accurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stelle<br />
fisse è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nel<br />
baricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un’approssimazione un<br />
po’ meno buona. Ai fini pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimento<br />
solidale alla superficie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infatti<br />
l’accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all’equatore) si ha:<br />
a = ω 2 µ 2<br />
2π rad<br />
T rT '<br />
24 · 3600 sec2 × 6 · 106 −2 m<br />
m ' 3.17 · 10<br />
sec2 cioè appena lo 0.3% dell’accelerazione di gravità.<br />
Nell’eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in<br />
tutti quei riferimenti in cui l’accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto,<br />
se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativo<br />
uniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse approssimazioni<br />
accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra con<br />
moto uniforme rispetto ad uno fisso (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerare<br />
inerziale.<br />
1.2.2 Massa e peso<br />
La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno una<br />
massa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo
1.2 Dinamica dei sistemi 3<br />
né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro significato per la massa (gravitazionale):<br />
essa è una costante che misura l’intensità della forza di gravitazione che una particella è<br />
in grado di scambiare con un’altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alle<br />
forze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamente<br />
coincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profonda<br />
spiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione.<br />
Poiché il peso dei corpi non è altro che l’effetto delle forze gravitazionali che essi<br />
scambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: pi = mig, incuig<br />
è l’accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terra<br />
nei punti prossimi alla sua superficie. 1 Il modulo del vettore g cambia poco da un punto<br />
all’altro della superficie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a:<br />
g =9.81 m/sec 2<br />
Nel sistema MKS l’unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un’unità<br />
fondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton<br />
(N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N =kg· m/sec 2 ).<br />
Quindi un corpo che ha massa m = 1 kg ha un peso<br />
p = m · g = 1 · 9.81 N<br />
Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l’unità di forza chilogrammo-forza,<br />
comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è la<br />
forzapesoesercitatadaunamassadiunchilo,cioè:<br />
1 kgf = 1 kg · g =9.81 N<br />
Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressa<br />
in kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : m = 1/g =<br />
1/9.81 kgf/g.<br />
1.2.3 Il principio delle potenze virtuali<br />
Poiché, grazie al principio di D’Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte a<br />
quelle della statica con l’aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1)<br />
possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Limitandoci<br />
al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci 2 , le equazioni di equilibrio<br />
1 Due particelle di massa m1 ed m2 si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masse<br />
ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:<br />
F12 = G m1m2<br />
r 2 12<br />
La costante di gravitazione universale G è piccolissima (G =6.66×10 −8 cm 3 sec −2 g −1 ); per questo motivo<br />
la forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei due<br />
corpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha effetti significativi. Su<br />
piccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segno<br />
opposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia è<br />
generalmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala le<br />
forze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengono<br />
prevalenti e dominano nella meccanica celeste.<br />
2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all’attrito.
1.2 Dinamica dei sistemi 4<br />
dinamico si possono esprimere:<br />
Π =<br />
NX<br />
(Fi − miai) × v 0 i =0 (1.2)<br />
i=1<br />
in cui v 0 i indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli fissi 3 ,<br />
mentre × indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell’eq. (1.2) non compaiono le<br />
forze reattive, il che normalmente costituisce una notevole semplificazione.<br />
1.2.4 Equazione di Lagrange<br />
Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano anche<br />
olonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha n gradi di<br />
libertà, le coordinate di ogni suo punto Pi si possono esprimere in funzione di n parametri<br />
liberi, qk(t) (k = 1, 2,... ,n), detti coordinate lagrangiane del sistema:<br />
Pi(t) =Pi[q1(t),q2(t), ··· ,qn(t); t] (1.3)<br />
L’espressione della velocità di un punto mediante le coordinate lagrangiane si determina<br />
derivando l’eq. (1.3):<br />
vi = X ∂Pi<br />
˙qk +<br />
∂qk<br />
∂Pi<br />
(1.4)<br />
∂t<br />
k<br />
Nel caso di vincoli fissi Pi non dipende esplicitamente da t e quindi l’ultimo termine nella<br />
(1.4) viene a mancare. Se v0 i indica un atto di moto virtuale, essendo questo per definizione<br />
relativo a vincoli fissi, si avrà:<br />
˙q<br />
k=1<br />
0 k<br />
v 0 i = X<br />
i=1<br />
k<br />
∂Pi<br />
∂qk<br />
˙q 0 k<br />
(1.5)<br />
Sostituendo l’eq. (1.5) nella equazione delle potenze virtuali (1.2), dopo aver scambiato<br />
gliordinidisommasiha:<br />
" nf X NX<br />
(Fi − miai) ∂Pi<br />
#<br />
=0<br />
∂qk<br />
Questa, per l’arbitrarietà dell’atto di moto virtuale ˙q 0 k , implica il sistema di equazioni:<br />
che può scriversi:<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
Fi −<br />
∂qk<br />
NX<br />
i=1<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
miai<br />
∂qk<br />
∂Pi<br />
miai<br />
∂qk<br />
= Qk<br />
=0<br />
(1.6)<br />
3 Cioè, v 0 i deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da t, anche se queste<br />
equazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad una<br />
linea, che a sua volta si sposta, v 0 deve essere tangente alla linea considerata fissa nella sua posizione al<br />
tempo t, senza tener conto del moto del vincolo.
1.2 Dinamica dei sistemi 5<br />
Avendo introdotto le forze generalizzate<br />
Qk =<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
Fi<br />
∂qk<br />
Indicando con vi la velocità del punto Pi, l’energia cinetica del sistema è definita dalla<br />
relazione:<br />
T = 1<br />
2<br />
NX<br />
i=1<br />
mivi × vi<br />
Derivando la (1.7) relativamente a ˙qk e tenendo conto della (1.4), risulta:<br />
∂T<br />
∂ ˙qk<br />
=<br />
NX<br />
i=1<br />
∂vi<br />
mivi<br />
∂ ˙qk<br />
=<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
mivi<br />
∂qk<br />
(1.7)<br />
Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell’equazione precedente,<br />
si ottiene:<br />
d ∂T<br />
=<br />
dt ∂ ˙qk<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
miai +<br />
∂qk<br />
Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene:<br />
∂T<br />
∂qk<br />
=<br />
NX<br />
i=1<br />
combinando questa equazione con la (1.8), si ha:<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
miai<br />
∂qk<br />
NX<br />
i=1<br />
∂vi<br />
mivi<br />
∂qk<br />
= d ∂T<br />
dt ∂ ˙qk<br />
∂vi<br />
mivi<br />
∂qk<br />
− ∂T<br />
∂qk<br />
E quindi, sostituendo questo risultato nell’eq. (1.6), si ottiene l’equazione di Lagrange:<br />
(1.8)<br />
d ∂T<br />
−<br />
dt ∂ ˙qk<br />
∂T<br />
= Qk<br />
(1.9)<br />
∂qk<br />
Questa equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quanto<br />
permette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia stata<br />
scritta l’espressione esplicita dell’energia cinetica.<br />
L’eq. (1.9) si semplifica ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conservative,<br />
cioè se esiste una funzione potenziale U(P1,P2, ··· ,PN), delle coordinate del sistema,<br />
tale che:<br />
Fi = ∂U<br />
(1.10)<br />
∂Pi<br />
In questo caso l’espressione della forza generalizzata diviene:<br />
Qk =<br />
NX<br />
i=1<br />
∂Pi<br />
Fi<br />
∂qk<br />
=<br />
NX ∂U ∂Pi<br />
i=1<br />
∂Pi ∂qk<br />
= ∂U<br />
∂qk
1.2 Dinamica dei sistemi 6<br />
in quanto, tramite le (1.3), U è funzione delle sole coordinate lagrangiane qk.<br />
Introdotta la funzione di Lagrange, definita come<br />
L(q, ˙q, t) =T + U (1.11)<br />
somma dell’energia cinetica e della funzione potenziale, l’eq. (1.9) si può scrivere in modo<br />
più sintetico:<br />
d ∂L<br />
−<br />
dt ∂ ˙qk<br />
∂L<br />
=0 (1.12)<br />
∂qk<br />
che è un’altra forma delle equazioni di Lagrange.<br />
L’equazione (1.12) è l’equazione di Eulero del funzionale:<br />
S =<br />
Z t2<br />
t1<br />
L(q, ˙q, t) dt (1.13)<br />
chiamato l’azione del sistema. L’equazione (1.12) implica che il sistema evolve tra due<br />
qualsiasi istanti di tempo t1 e t2 rendendo stazionaria l’azione S (principio di Hamilton).<br />
Se i vincoli sono fissi, per cui L non dipende esplicitamente dal tempo, si può dimostrare<br />
che la quantità:<br />
H = T − U = T + V (1.14)<br />
si conserva, cioè resta costante nel tempo. La quantità H non è altro che l’energia totale<br />
del sistema, in quanto somma dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V = −U.<br />
Quindi si può concludere che: in un sistema con vincoli bilaterali, lisci ed indipendenti dal<br />
tempo e soggetto all’azione di sole forze conservative, l’energia totale H si conserva.<br />
1.2.5 Esempio: equazione del bipendolo<br />
Si consideri un doppio pendolo, composto con due masse m1 ed m2, sospese a due regoli<br />
rigidi e privi di massa di lunghezza l1 ed l2. Indicando con θ1 e θ2 gli angoli formati dai<br />
regoli rispetto ad un asse verticale, le coordinate delle due masse, riferite ad un sistema<br />
cartesiano ortogonale, con l’asse x verticale e rivolta verso l’alto ed origine nella cerniera<br />
del pendolo, sono:<br />
e di conseguenza le componenti delle velocità risultano:<br />
x1 = l1 sin (θ1) (1.15a)<br />
y1 = −l1 cos (θ1) (1.15b)<br />
x2 = l1 sin (θ1)+l2 sin (θ2) (1.15c)<br />
y2 = −l1 cos (θ1) − l2 cos (θ2) (1.15d)<br />
˙x1 = l1 cos (θ1) ˙ θ1<br />
˙y1 = l1 sin (θ1) ˙ θ1<br />
˙x2 = l1 cos (θ1) ˙ θ1 + l2 cos (θ2) ˙ θ2<br />
˙y2 = l1 sin (θ1) ˙ θ1 + l2 sin (θ2) ˙ θ2<br />
(1.16a)<br />
(1.16b)<br />
(1.16c)<br />
(1.16d)
1.2 Dinamica dei sistemi 7<br />
Gli angoli θ1 e θ2 sono le coordinate lagrangiane del sistema; l’espressione dell’energia<br />
cinetica in funzione delle coordinate lagrangiane si ottiene quindi facilmente sostituendo<br />
le (1.16) nell’espressione di T :<br />
T = 1 £ ¡ 2<br />
m1 ˙x 1 + ˙y<br />
2<br />
2¢ ¡ 2<br />
1 + m2 ˙x 2 + ˙y 2¢¤ 2<br />
= 1<br />
h<br />
(m1 + m2) l<br />
2<br />
2 1 ˙ θ 2<br />
1 +2m2l1 ˙ θ1l2 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)+m2l 2 2 ˙ θ 2<br />
i<br />
2 (1.17)<br />
Analogamente dalle (1.15) si ottiene la forma esplicita del potenziale U in funzione delle<br />
coordinate lagrangiane:<br />
U = −m1y1g − m2y2g = g {m1l1 cos (θ1)+m2 [l1 cos (θ1)+l2 cos (θ2)]}<br />
(1.18)<br />
e quindi, sommando le eq. (1.17) e (1.18), si ha la funzione di Lagrange:<br />
L = T + U = 1<br />
h<br />
(m1 + m2) l<br />
2<br />
2 1 ˙ θ 2<br />
1 +2m2l1 ˙ θ1l2 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)+m2l 2 2 ˙ θ 2<br />
i<br />
2 +<br />
g {m1l1 cos (θ1)+m2 [l1 cos (θ1)+l2 cos (θ2)]} (1.19)<br />
Applicando l’equazione di Lagrange (1.12) alla funzione (1.19), si ottengono le due<br />
equazioni seguenti, che descrivono la dinamica del sistema:<br />
d ∂L<br />
dt ∂ ˙ θ1<br />
− ∂L<br />
∂θ1<br />
=(m1 + m2) l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 cos (θ1 − θ2) ¨ θ2 +<br />
m2l1l2 sin (θ1 − θ2) ˙ θ 2<br />
2 + g (m1 + m2) l1 sin θ1 =0 (1.20)<br />
d ∂L<br />
dt ∂ ˙ −<br />
θ2<br />
∂L<br />
= m2l1l2 cos (θ1 − θ2)<br />
∂θ2<br />
¨θ1 + m2l 2 2 ¨θ2 −<br />
m2l1l2 sin (θ1 − θ2) ˙ θ 2<br />
1 + gm2l2 sin θ2 =0 (1.21)<br />
Le equazioni (1.20) e (1.21) sono nonlineari; per valori piccoli degli angoli θ1e θ2 le funzioni<br />
trigonometriche seno e coseno possono essere approssimate dai termini lineari del loro<br />
sviluppo in serie, ottenendo:<br />
(m1 + m2) l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 ¨ θ2 + m2l1l2 (θ1 − θ2) ˙ θ 2<br />
2 + g (m1 + m2) l1θ1 =0<br />
m2l1l2 ¨ θ1 + m2l 2 2 ¨ θ2 − m2l1l2 (θ1 − θ2) ˙ θ 2<br />
1 + gm2l2θ2 =0<br />
(1.22a)<br />
(1.22b)<br />
Queste equazioni tuttavia sono ancora nonlineari a causa dei termini che contengono i<br />
quadrati delle velocità angolari ˙ θ che tengono conto degli effetti delle forze centrifughe; se<br />
le velocità sono sufficientemente piccole i loro quadrati si potranno trascurare con un’approssimazione<br />
confrontabile con quella precedente e si ottiene allora il semplice sistema di<br />
due equazioni lineari accoppiate:<br />
(m1 + m2) l 2 1 ¨θ1 + m2l1l2 ¨θ2 + g (m1 + m2) l1θ1 =0 (1.23a)<br />
m2l1l2 ¨θ1 + m2l 2 2 ¨θ2 + gm2l2θ2 =0 (1.23b)
Capitolo 2<br />
L’oscillatore semplice<br />
Si consideri una struttura molto semplice, composta da una trave sostenuta da due pilastri<br />
uguali (portale), come quella rappresentata nella fig. 2.1. Se si suppone che siano soddisfatte<br />
le seguenti condizioni: i) la trave sia molto più rigida dei pilastri, in modo che le<br />
rotazioni dei nodi siano trascurabili, ii) la rigidezza assiale dei pilastri sia molto maggiore<br />
di quella flessionale, in modo che i pilastri si possano ritenere assialmente indeformabili,<br />
iii)iltelaiosispostisolonelsuopiano;questosistemahaunsologradodilibertà,lo<br />
spostamento x dalla posizione di equilibrio statico.<br />
2.1 Oscillazioni libere non smorzate<br />
Indicando con m la massa complessiva della trave più quella da essa sopportata ed assumendo<br />
trascurabili le masse dei pilastri, l’equazione di equilibrio di questa struttura si<br />
scrive facilmente in modo diretto, utilizzando il principio di D’Alembert; in assenza di<br />
forze esterne applicate le sole forze sono la forza elastica esercitata dai pilastri e la forza<br />
d’inerzia della massa m:<br />
−m¨x(t) − kx(t) =0 (2.1)<br />
in cui k =2· 12EJ/h 3 indica la rigidezza dei pilastri. Dividendo l’eq. (2.1) per m ed<br />
introducendo la quantità:<br />
l’eq. (2.1) diviene:<br />
ω 2 = k<br />
m<br />
(2.2)<br />
¨x(t)+ω 2 x(t) =0 (2.3)<br />
Il parametro ω ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. È conveniente introdurre il<br />
tempo adimensionale:<br />
Infatti, tenendo conto che:<br />
d d dτ<br />
=<br />
dt dτ dt<br />
τ = ωt (2.4)<br />
8<br />
d<br />
= ω (2.5)<br />
dτ
2.1 Oscillazioni libere non smorzate 9<br />
Figura~2.1: Portale ad un grado di libertà<br />
sostituendo τ a t come variabile in x, ed indicando con il punto la derivazione rispetto a τ<br />
e non più rispetto a t, come in precedenza, applicando la (2.5) alla (2.3) e poi dividendo<br />
per ω 2 ,siottiene:<br />
¨x(τ)+x(τ) =0 (2.6)<br />
equazione in cui non compaiono esplicitamente parametri.<br />
La soluzione generale dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (2.6) ha la forma:<br />
x(τ) =A sin(τ)+B cos(τ) (2.7)<br />
in cui A e B sono parametri che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dallo stato della<br />
struttura al tempo τ =0.<br />
Derivando la (2.7) rispetto a τ si ha:<br />
y(τ) = ˙x(τ) =A cos(τ) − B sin(τ) (2.8)<br />
in cui y = dx/dτ èlegatoallavelocitàv = dx/dt dalla semplice proporzionalità: y = v/ω,<br />
come segue dalla (2.5). Indicando con x0, y0 i valori di x ed y al tempo τ =0,dalle<br />
equazioni (2.7) e (2.8) esplicitate al tempo τ =0, si ottengono i valori di A e B in funzione<br />
delle condizioni iniziali x0, y0, per cui la (2.7) diviene:<br />
x(τ) =x0 cos(τ)+y0 sin(τ) (2.9)<br />
Dalle eq. (2.7) o (2.9) si osserva facilmente che x(τ) (ed y(τ)) sono funzioni periodiche<br />
di periodo 2π:<br />
x(τ +2nπ) =x(τ) n intero<br />
Poiché x è periodica di periodo 2π in τ, rispetto al tempo reale t risulta periodica di<br />
periodo<br />
T = 2π<br />
ω =2π<br />
r<br />
m<br />
k<br />
(2.10)
2.2 Oscillazioni libere smorzate 10<br />
f<br />
Figura~2.2: Legge forza—spostamento di un sistema elasto-viscoso soggetto ad un’azione<br />
ciclica<br />
T èilperiodo proprio delle oscillazioni libere della struttura, ω è detta pulsazione propria,<br />
mentre l’inverso di T è detto frequenza propria f = 1/T = ω/2π. Dunque l’eq. (2.9)<br />
descrive un moto oscillatorio, di ampiezza p x2 0 + y2 0 ediperiodoT , dato dall’eq. (2.10). È<br />
importante osservare che il periodo delle oscillazioni libere dipende solo dalle caratteristiche<br />
della struttura, massa e rigidezza, e non dallo specifico moto; in particolare il periodo delle<br />
oscillazioni non è funzione dell’ampiezza del moto: vibrazioni di piccola o grande ampiezza<br />
compiono un ciclo nello stesso tempo, almeno fin quando il modello elastico lineare descrive<br />
con sufficiente esattezza il comportamento strutturale.<br />
2.2 Oscillazioni libere smorzate<br />
La soluzione (2.9) dell’eq. (2.6) è una funzione armonica la cui ampiezza p x 2 0 + y2 0 è<br />
costante nel tempo. Fisicamente ciò corrisponde ad un sistema che, una volta posto in<br />
movimento, continua ad oscillare con la stessa ampiezza, senza più fermarsi. Questo è in<br />
contraddizione con le più elementari esperienze, che ci mostrano come, in assenza di forze<br />
che le sostengano, le oscillazioni libere di qualsiasi sistema si riducano in ampiezza, fino a<br />
che questo torna in quiete dopo un numero più o meno grande di cicli.<br />
Il fatto che il moto del sistema governato dalle eq. (2.3) o (2.6) sia indefinitamente<br />
periodico dipende dal fatto che la sola forza attiva presa in conto, la forza elastica −kx,<br />
è conservativa e quindi l’energia totale del sistema è costante. In realtà tutti i sistemi<br />
sono dissipativi, in quanto una parte dell’energia viene trasformata in calore e quindi resa<br />
indisponibile ai processi meccanici, come previsto dal secondo principio della termodinamica.<br />
Quindi l’energia meccanica del sistema si riduce e con essa l’ampiezza massima delle<br />
oscillazioni.<br />
Applicando ad un oggetto che segue un comportamento elastico lineare una forza che<br />
varia lentamente, questo subisce un processo reversibile; infatti togliendo gradualmente la<br />
forzailcorpotornanellasuaconfigurazione originale, percorrendo, nello spazio degli stati,<br />
lo stesso cammino seguito nella fase di carico. Se la forza viene applicata più rapidamente<br />
questo non si verifica più; nella fase di carico la forza è maggiore di quella (kx) puramente<br />
x
2.2 Oscillazioni libere smorzate 11<br />
Figura~2.3: Modello di una struttura con elemento dissipativo elasto-viscoso<br />
elastica, nella fase di scarico invece la forza risulta minore, come illustrato schematicamente<br />
nella fig. 2.2; l’area racchiusa nel ciclo rappresenta il lavoro fatto sul sistema e non<br />
restituito, per cui la trasformazione risulta ora irreversibile. Questo fenomeno si può spiegare<br />
assumendo che sul sistema agisca, oltre la forza elastica −kx, anche una forza viscosa<br />
o attritivo, la cui ampiezza ed il segno dipendono dalla velocità; il modello più semplice<br />
è quello della viscosità lineare, in cui la forza è data dal prodotto della velocità per<br />
una costante, che dipende dalle proprietà del materiale e dalla configurazione strutturale.<br />
Con riferimento alla semplice struttura della fig. 2.1, questo effetto può essere modellato<br />
aggiungendo al sistema un elemento viscoso, schematicamente illustrato in fig. 2.3, che<br />
esplica sulla massa m una forza viscosa FD = −c ˙x(t), proporzionale alla velocità del sistema<br />
ed al coefficiente di viscosità c. Che la forza FD sia dissipativa si può verificare<br />
calcolando il lavoro fatto da questa forza in un ciclo:<br />
WD =<br />
I<br />
−c dx<br />
Z T<br />
dx = −c<br />
dt 0<br />
µ 2<br />
dx<br />
dt < 0 (2.11)<br />
dt<br />
esso risulta (se c>0) sempre negativo, come segue dal fatto che la funzione integranda<br />
nell’eq. (2.11) è sempre positiva.<br />
Se si tiene conto anche delle forze di tipo viscoso che si sviluppano nella struttura,<br />
l’eq. (2.1) deve essere sostituita dalla:<br />
−m¨x(t) − c ˙x(t) − kx(t) =0 (2.12)<br />
Dividendo tutti i termini dell’eq. (2.12) per m, tenendo conto della (2.2) ed inoltre ponendo:<br />
si ottiene:<br />
c =2mωξ =2 √ kmξ (2.13)<br />
¨x(t)+2ωξ ˙x(t)+ω 2 x(t) =0 (2.14)
2.2 Oscillazioni libere smorzate 12<br />
Quindi eseguendo il cambiamento di variabile (2.4), dal tempo reale t a quello adimensionale<br />
τ, risulta l’equazione:<br />
¨x(τ)+2ξ ˙x(τ)+x(τ) =0 (2.15)<br />
in cui compare il solo parametro ξ; questo viene indicato come il coefficiente di smorzamento<br />
percentuale, per i motivi che saranno chiariti nel seguito; poiché c ha le dimensioni<br />
di una forza divisa per la velocità e perciò di una massa divisa per il tempo, ξ risulta<br />
adimensionale.<br />
L’integrale generale dell’eq. (2.15) è:<br />
x(τ) =Ae α1τ + Be α2τ<br />
in cui α1 ed α2 sono le radici dell’equazione caratteristica:<br />
ossia:<br />
Sostituendo la (2.18), la (2.16) diviene:<br />
(2.16)<br />
α 2 +2ξα + 1 =0 (2.17)<br />
q<br />
α1 = −ξ + ξ 2 q<br />
− 1 α2 = −ξ − ξ 2 − 1 (2.18)<br />
h √ √ i<br />
2 2 −ξτ ξ −1τ − ξ −1τ<br />
x(τ) =e Ae + Be<br />
(2.19)<br />
L’equazione (2.19) ha un punto di biforcazione (cioè cambia comportamento) in corrispondenza<br />
del valore di ξ = 1. Perξ < 1 la quantità p ξ 2 − 1 è immaginaria e quindi le funzioni<br />
esponenziali nell’eq. (2.19) divengono delle funzioni armoniche, per cui l’eq. (2.19) si può<br />
riscrivere:<br />
avendo posto<br />
x(τ) =e −ξτ [C1 sin(δτ)+C2 cos(δτ)] (2.20)<br />
δ =<br />
Derivando l’eq.(2.20) rispetto a τ si ottiene:<br />
q<br />
1 − ξ 2<br />
(2.21)<br />
˙x(τ) =e −ξτ [−(C1ξ + C2δ)sin(δτ)+(C1δ − C2ξ)cos(δτ)] (2.22)<br />
I valori delle costanti C1 e C2 si determinano quindi imponendo le condizioni iniziali ad x<br />
ed ˙x; dalle eq. (2.20) e (2.22) si deduce infatti il sistema:<br />
risolvendo il quale risulta:<br />
x(0) = C2 = x0<br />
˙x(0) = C1δ − C2ξ = y0<br />
C1 = y0 + x0ξ<br />
δ<br />
C2 = x0
2.2 Oscillazioni libere smorzate 13<br />
per cui le eq. (2.20) e (2.22) si possono scrivere esplicitamente in funzione delle condizioni<br />
iniziali:<br />
x(τ) =e −ξτ<br />
·<br />
x0 cos(δτ)+ y0<br />
¸<br />
+ x0ξ<br />
sin(δτ)<br />
(2.23)<br />
δ<br />
˙x(τ) =e −ξτ<br />
·<br />
y0 cos(δτ) − x0<br />
¸<br />
+ y0ξ<br />
sin(δτ)<br />
(2.24)<br />
δ<br />
Ponendo y0 =0(questa condizione può sempre essere verificata, fissando opportunamente<br />
l’origine del tempo) le equazioni (2.23) e (2.24) si semplificano nelle:<br />
x(τ) =x0e −ξτ<br />
·<br />
cos(δτ)+ ξ<br />
δ sin(δτ)<br />
¸<br />
(2.25)<br />
−ξτ 1<br />
˙x(τ) =−x0e sin(δτ) (2.26)<br />
δ<br />
Dalla (2.26) appare evidente che ˙x(τ) =0se δτ = nπ, doven =0, 1, 2,... èunnumero<br />
intero. In corrispondenza degli istanti in cui ˙x si annulla, x(τ) prende valori estremali<br />
(massimi o minimi); in particolare se x0 > 0, x èmassimopernpari, minimo per n<br />
dispari. Due massimi consecutivi si verificano quindi per ∆τ =2π/δ; passando al tempo<br />
naturale, si può definire un “periodo” delle oscillazioni smorzate TD come il tempo che<br />
intercorre tra due massimi della risposta:<br />
TD = ∆τ<br />
ω =<br />
T<br />
p (2.27)<br />
2<br />
1 − ξ<br />
(T è il periodo delle oscillazioni non smorzate); al periodo TD corrisponde una “pulsazione”:<br />
q<br />
ωD = ωδ = ω 1 − ξ 2<br />
(2.28)<br />
Queste relazioni mostrano che il periodo delle oscillazioni libere, smorzate o no, non dipende<br />
dalle condizioni iniziali, ma solo dalle caratteristiche dell’oscillatore, la massa, la<br />
rigidezza e lo smorzamento percentuale ξ. Le eq. (2.20) e (2.23) descrivono un moto oscillatorio<br />
di ampiezza decrescente, come illustrato nella figura 2.4a. Il rapporto tra<br />
due massimi consecutivi della risposta, agli istanti τ n =2nπ/δ e τ n+1 =2(n + 1)π/δ, per<br />
l’eq.(2.25) risulta:<br />
x(τ n+1)<br />
x(τ n) =exp<br />
"<br />
− 2ξπ<br />
#<br />
p<br />
2<br />
1 − ξ<br />
(2.29)<br />
e dipende soltanto dal coefficiente ξ. Il logaritmo dell’inverso di questo rapporto è detto<br />
decremento logaritmico:<br />
µ <br />
x(τ n)<br />
∆l =log<br />
(2.30)<br />
x(τ n+1)<br />
L’eq. (2.29) si può risolvere in ξ, esprimendo lo smorzamento percentuale in funzione del<br />
decremento logaritmico:<br />
ξ =<br />
∆l<br />
q<br />
∆2 l +4π2<br />
(2.31)
2.2 Oscillazioni libere smorzate 14<br />
x Ε ≥ Φ<br />
Smorzamento subcritico ( ↑ΖΜΚΜΡΦ<br />
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0<br />
≥<br />
(a)<br />
smorzamento critico ( ↑ΖΝΦ<br />
smorzamento supercritico ( ↑ΖΝΚΡΦ<br />
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0<br />
≥<br />
(b)<br />
Figura~2.4: Moto smorzato: smorzamento subcritico (a), critico e supercritico (b)<br />
Questa relazione può essere utilizzata per misurare il coefficiente di smorzamento sulla<br />
base di registrazioni del moto di risposta.<br />
Quando ξ = 1 l’equazione (2.17) ha due radici reali coincidenti α = −1. Inquestocaso<br />
la soluzione dell’eq. (2.15) prende la forma<br />
e quindi, imponendo il rispetto delle condizioni iniziali:<br />
x(τ) =e −τ (A + Bτ) (2.32)<br />
x(τ) =e −τ [x0 +(x0 + y0)τ] (2.33)<br />
Le equazioni (2.32) e (2.33) esprimono un moto di direzione uniforme, senza oscillazioni;<br />
il sistema tende a tornare nella posizione di equilibrio statico muovendo dalla posizione<br />
attuale e tendendo ad x =0in un tempo idealmente infinito. 1 Il moto di un sistema che<br />
inizia con velocità nulla, nel caso di smorzamento critico è illustrato nella fig. 2.4b. Lo<br />
smorzamento c corrispondente a ξ = 1 è detto critico; per la (2.13) si ha:<br />
cr =2 √ mk (2.34)<br />
quindi ξ rappresenta la percentuale di smorzamento rispetto al valore critico. Nelle strutture<br />
si manifestano solitamente smorzamenti piccoli, relativamente a quello critico; quindi<br />
si hanno valori di ξ molto minori di uno. Valori tipici sono compresi nell’intervallo tra<br />
0.02 e 0.10.<br />
1 L’esperienza dimostra che l’equilibrio viene invece raggiunto dopo un tempo più o meno breve, ma<br />
finito; questo implica che la legge dello smorzamento viscoso lineare spiega solo approssimativamente la<br />
realtà. Da un punto di vista pratico questo però ha scarsa importanza; dopo un tempo t =10· T =20π/ω,<br />
cioè dopo un tempo pari a 10 volte il periodo delle oscillazioni non smorzate, si ha τ =20π e quindi<br />
e −τ ' 0.51 · 10 −27 , cioè lo spostamento è divenuto circa 10 27 volte più piccolo di quello iniziale: ai fini<br />
pratici questo è equivalente a zero.
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 15<br />
Per valori di ξ superiori ad uno le radici dell’equazione caratteristica (2.17) sono reali e<br />
distinte; il moto che ne risulta è ancora di tipo non oscillatorio, simile a quello relativo allo<br />
smorzamento critico; tuttavia, come è illustrato nell’esempio in fig. 2.4b, il moto avviene<br />
più lentamente ed il sistema impiega più tempo per raggiungere la posizione di equilibrio<br />
(o meglio uno spostamento sufficientemente piccolo, preso convenzionalmente come zero).<br />
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente<br />
Si supponga ora di applicare, alla struttura di fig. 2.3, una forza F (t) variabile nel tempo.<br />
L’equazione di equilibrio dinamico si ottiene aggiungendo questo termine all’eq. (2.12):<br />
F (t) − m¨x(t) − c ˙x(t) − kx(t) =0 (2.35)<br />
Quindi, dividendo i termini per m, utilizzando le posizioni (2.2) e (2.13), ed eseguendo la<br />
sostituzione (2.4) della scala dei tempi, si ottiene l’equazione:<br />
F (τ/ω)<br />
¨x(τ)+2ξ˙x(τ)+x(τ) = (2.36)<br />
k<br />
Se la forza F (t) varia con legge armonica, indicando con ωf la sua pulsazione, si può<br />
porre F (t) =F0 sin(ωft); sostituendo questa espressione nell’eq. (2.36), si ottiene:<br />
Nell’eq. (2.37) si è posto<br />
¨x(τ)+2ξ ˙x(τ)+x(τ) =u0 sin(βτ) (2.37)<br />
u0 = F0<br />
k<br />
(2.38)<br />
ad indicare lo spostamento che la struttura subirebbe per effetto una forza di modulo F0<br />
applicata staticamente, mentre<br />
β = ωf<br />
(2.39)<br />
ω<br />
indica il rapporto tra la pulsazione (o la frequenza) della forzante e quella delle oscillazioni<br />
libere (non smorzate) della struttura.<br />
Seguendo la regola generale per la soluzione delle equazioni lineari non omogenee, la<br />
soluzione dell’eq. (2.37) si ottiene sovrapponendo all’integrale generale della stessa equazione<br />
resa omogenea (cioè eliminando il termine a secondo membro), un integrale particolare<br />
dell’equazione completa (2.37). Nel seguito si supporrà che la struttura abbia uno<br />
smorzamento subcritico (ξ < 1), pertanto l’integrale generale dell’equazione omogenea è<br />
quello espresso dall’eq. (2.20). La soluzione particolare dell’equazione completa si ottiene<br />
assumendo che possa porsi nella forma:<br />
¯x(τ) =A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ) (2.40)<br />
Infatti, sostituendo l’espressione di x(τ) ad x(τ) nell’eq. (2.37), risulta:<br />
− β 2 [A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ)] + 2βξ [A1 cos(βτ) − A2 sin(βτ)] +<br />
A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ) =u0 sin(βτ)
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 16<br />
Ponendo in evidenza le funzioni sin(βτ) e cos(βτ), appare evidente che questa equazione<br />
risulta identicamente soddisfatta per ogni valore di τ se risultano entrambi nulli i coefficienti<br />
delle funzioni seno e coseno. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema di<br />
due equazioni nelle incognire A1, A2:<br />
la cui soluzione è<br />
(1 − β 2 )A1 − 2ξβA2 = u0<br />
2ξβA1 + (1 − β 2 )A2 = 0<br />
1 − β 2<br />
−2ξβ<br />
(2.41)<br />
A1 = u0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
A2 = u0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
Quindi, sostituendo le espressioni dei coefficienti A1 ed A2 nell’eq. (2.40), si determina<br />
l’espressione esplicita della soluzione particolare dell’equazione non omogenea (2.37):<br />
¯x(τ) =<br />
£ ¤<br />
2<br />
(1 − β )sin(βτ) − 2ξβ cos(βτ) (2.42)<br />
in cui:<br />
u0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
L’eq. (2.40) si può anche scrivere in forma più espressiva ponendo:<br />
X =<br />
¯x(τ) = ¯ X sin(βτ − φ) (2.43)<br />
q<br />
A 2 1 + A2 2 =<br />
u0<br />
q<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
indica l’ampiezza del moto di risposta, mentre l’angolo φ, definito dalle relazioni:<br />
sin(φ) =− A2<br />
¯X =<br />
cos(φ) = A1<br />
¯X =<br />
2ξβ<br />
q<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
1 − β 2<br />
q<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
(2.44)<br />
(2.45)<br />
è detto la differenza di fase tralaforzanteedilmotodirisposta.<br />
La soluzione generale del moto forzato si ottiene sommando la soluzione particolare<br />
[eq. (2.42)] dell’equazione non omogenea alla soluzione generale [eq. (2.20)] dell’equazione<br />
omogenea, e risulta:<br />
x(τ) =e −ξτ [C1 sin(δτ)+C2 cos(δτ)] +<br />
u0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
£ (1 − β 2 )sin(βτ) − 2ξβ cos(βτ) ¤<br />
(2.46)<br />
Ottenuta l’espressione esplicita di ˙x(τ) derivando il secondo membro dell’eq. (2.46), la<br />
forma esplicita del moto di risposta si determina imponendo le condizioni iniziali (x(0) =<br />
x0, ˙x(0) = y0), e quindi calcolando le costanti C1 e C2:<br />
x(τ) =e −ξτ<br />
· 1<br />
δ<br />
µ<br />
x0ξ + y0 + u0(2ξ 2 − 1 + β 2 )β<br />
µ<br />
x0 +<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
2ξβu0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
u0<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
<br />
sin(δτ)+<br />
¸<br />
cos(δτ) +<br />
£ (1 − β 2 )sin(βτ) − 2ξβ(βτ) ¤<br />
(2.47)
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 17<br />
In presenza di smorzamento (ξ > 0), la parte dell’eq. (2.47) che dipende dalle condizioni<br />
iniziali, cioè la soluzione dell’equazione omogenea, diminuisce esponenzialmente al crescere<br />
di τ e tende a zero per per τ →∞; in pratica per τ abbastanza grande questo termine<br />
diverrà trascurabile a confronto di quello che dipende dalle caratteristiche della forzante.<br />
Quindi nei sistemi dotati di smorzamento si possono distinguere due fasi della risposta: una<br />
prima, per tempi vicini a quello iniziale, in cui il moto è influenzato dalle condizioni iniziali,<br />
detta fase transitoria; una seconda, espressa dalla sola eq. (2.42), detta fase stazionaria,<br />
in cui il moto di risposta non dipende dalle condizioni iniziali ma solo dalle caratteristiche<br />
della forzante. Ovviamente la separazione tra queste due fasi è convenzionale, in quanto il<br />
passaggio dall’una fase all’altra è continuo e, a rigore, la fase stazionaria si raggiunge solo<br />
quando τ = ∞. In pratica però si può, con qualche arbitrio, scegliere un valore di τ oltre<br />
il quale il contribito del termine (2.20) all’ampiezza totale del moto diviene trascurabile e<br />
considerare stazionario il moto nel tempo successivo.<br />
Poiché, come si riconosce guardando la figura 2.4a, anche per valori piccoli di ξ le<br />
oscillazioni libere si smorzano dopo un numero limitato di cicli, è interessante puntare<br />
l’attenzione sulla parte stazionaria della risposta. Dall’eq. (2.42) appare evidente che ¯x(τ)<br />
è periodica di periodo 2π/β in τ e quindi di periodo 2π/ωf in t;cioèlostessodellaforzante.<br />
L’ampiezza massima della risposta ¯ X è quella data dall’eq. (2.43), da cui si ricava che:<br />
¯X<br />
u0<br />
1<br />
= D = q<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
(2.48)<br />
Il fattore D è detto coefficiente di amplificazione dinamica, in quanto è il raporto tra lo<br />
spostamento massimo della risposta dinamica e lo spostamento u0 = F0/k che sarebbe<br />
prodotto dalla forza F0 qualora agisse staticamente. Per β =0D = 1; alcrescerediβ<br />
generalmente D cresce fino a raggiungere un massimo per β soluzione dell’equazione:<br />
dD<br />
dβ ∼ β(−1 + β2 +2ξ 2 )=0<br />
Se 2ξ 2 < 1 questa equazione ammette una soluzione reale per:<br />
q<br />
βr = 1 − 2ξ 2<br />
cui corrisponde il valore massimo del coefficiente di amplificazione:<br />
(2.49)<br />
1<br />
Dmax =<br />
2ξ p 1 − ξ 2<br />
(2.50)<br />
Facendo crescere β oltre il valore βr, D decresce e per β →∞D → 0. L’andamento del<br />
coefficiente di amplificazione in funzione di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ è<br />
mostrato nella fig. 2.5. Se ξ ¿ 1 l’amplificazione massima si verifica per βr ' 1,<br />
cioè quando ωf ' ω; con la stessa approssimazione l’amplificazione massima e circa 1/2ξ.<br />
La frequenza per cui l’ampiezza della risposta è massima si chiama di risonanza:<br />
q<br />
ωr = ω 1 − 2ξ 2<br />
Nei sistemi debolmente smorzati la frequenza di risonanza praticamente coincide con la<br />
frequenza delle oscillazioni libere (non smorzate) della struttura, indicata anche come<br />
frequenza naturale dell’oscillatore. L’amplificazione massima che si verifica alla risonanza
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 18<br />
D<br />
10.0<br />
8.0<br />
6.0<br />
4.0<br />
2.0<br />
0.0<br />
0.0 1.0 2.0 3.0<br />
ϒΖ∂<br />
f Λ∂<br />
Figura~2.5: Coefficiente di amplificazione dinamica in funzione di β e ν; in linea spessa è<br />
indicata la congiungente i punti di massima amplificazione<br />
cresce inversamente allo smorzamento; nei sistemi debolmente smorzati (ξ ¿ 1) Dmax À 1<br />
e tende all’infinito nel caso di smorzamento nullo. Così, nei sistemi con debole smorzamento,<br />
se la frequenza della forzante si avvicina alla frequenza naturale dell’oscillatore, il<br />
moto di risposta risulta grandemente amplificato; in questo modo anche una piccola forza,<br />
se pulsa alla frequenza di risonanza della struttura, può produrre spostamenti, e quindi<br />
sollecitazioni, molto grandi e pericolosi.<br />
Il ritardo di fase φ, espresso dalle equazioni (2.45), è diagrammato in fig. 2.6 in funzione<br />
di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ. Per sistemi debolmente smorzati (al limite<br />
con smorzamento nullo) quando β < 1 φ ∼ 0, cioè la risposta è praticamente in fase con<br />
l’eccitazione. Quando β siavvicinaad1ladifferenza di fase aumenta rapidamente, in<br />
modo che per β = 1 si ha φ = π/2. Spostandosi ancora verso valori maggiori di β, φ<br />
aumenta rapidamente, approssimando π; inquestocasolarispostaèinopposizione di fase<br />
all’eccitazione, in quanto l’una raggiunge il massimo positivo quando l’altra è al massimo<br />
negativo e viceversa. Il passaggio dalla risposta in fase ed in opposizione di fase è tanto<br />
più brusco quanto più lo smorzamento è piccolo, come mostrato dalla fig. 2.6; al limite per<br />
sistemi non smorzati passa da φ =0per β < 1 a φ = π per β > 0 in modo discontinuo.<br />
Questa caratteristica del cambiamento di fase viene utilizzata per individuare la frequenza<br />
di risonanza di un oscillatore.<br />
In figura 2.7 sono rappresentate le storie degli spostamenti di due oscillatori, con lo<br />
stesso coefficiente di smorzamento ξ =0.05, soggetti all’azione di una forza di periodo<br />
β = ωf/ω =0.9 il primo (a), e β = 1.1 il secondo (b). È evidente che nel primo caso, dopo<br />
la fase transitoria, la risposta è praticamente in fase con la forzante, mentre nel secondo<br />
si ha opposizione di fase.<br />
↑=Ζ=ΜΚΜ<br />
↑=Ζ=ΜΚΜΡ<br />
↑=Ζ=ΜΚΝΜ<br />
↑=Ζ=ΜΚΡΜ
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 19<br />
∞<br />
3.14<br />
1.57<br />
0.00<br />
↑=Ζ=ΜΚΜΝ<br />
↑=Ζ=ΜΚΜΡ<br />
↑=Ζ=ΜΚΝΜ<br />
↑=Ζ=ΜΚΠΜ<br />
0.0 1.0 2.0 3.0<br />
ϒ<br />
Figura~2.6: Differenza di fase tra forzante e risposta in funzione di β e del coefficiente di<br />
smorzamento ν<br />
2.3.1 Energia dissipata<br />
Il lavoro svolto dalla forza esterna F (t) in un ciclo del moto stazionario, si calcola facilmente<br />
avendo determinato la legge del moto di risposta. Infatti si ha:<br />
W =<br />
Z Tf<br />
0<br />
F0 sin(ωft) ˙x(t) dt (2.51)<br />
in cui Tf =2π/ωf indica il periodo della forza F (t). Quindi sostituendo ad x(t) l’espressione<br />
esplicita del moto stazionario (2.43), tenendo conto della (2.44), della (2.48) e delle<br />
definizioni di β, τ e u0, dall’eq.(2.51) si deduce:<br />
W = DF 2 0 ωf<br />
k<br />
Z 2π/ωf<br />
0<br />
sin(ωft)cos(ωft − φ) dt = DF 2 0<br />
k<br />
π sin(φ) (2.52)<br />
Quindi rendendo espliciti i termini D e sin(φ) mediante sostituzione delle equazioni (2.48)<br />
e (2.45), si ha:<br />
W = F 2 0 4πξβ<br />
2k (1 − β2 ) 2 +4ξ2β2 (2.53)<br />
Il primo termine nel secondo membro dell’eq. (2.53), F 2 0 /2k è il lavoro fatto dalla forza<br />
F0 applicata staticamente, nel ciclo di carico; il secondo termine tiene conto della legge<br />
ciclica di applicazione della forza e degli effetti dinamici. È facile verificare che l’espressione<br />
(2.53) del lavoro fatto dalla forza esterna in un ciclo coincide con quello dissipato dall’unico<br />
elemento non conservativo dell’oscillatore ed espresso dall’integrale:<br />
Z Tf<br />
0<br />
c ˙x 2 (t) dt
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 20<br />
x<br />
x<br />
6.0<br />
4.0<br />
2.0<br />
0.0<br />
-2.0<br />
-4.0<br />
-6.0<br />
6.0<br />
4.0<br />
2.0<br />
0.0<br />
-2.0<br />
-4.0<br />
-6.0<br />
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0<br />
≥<br />
(a)<br />
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0<br />
≥<br />
Figura~2.7: Storie degli spostamenti di due oscillatori con lo stesso coefficiente di smorzamento<br />
ν =0.05. Grafico (a): β =0.9; grafico (b): β = 1.1. Con linea tratteggiata è<br />
indicata la storia della forzante u0 sin(βτ)<br />
Il valore di W in funzione di β e per alcuni valori di ξ è rappresentato nel diagramma<br />
della figura 2.8. In tutti i casi il lavoro fatto si annulla per β → 0, come conseguenza<br />
del fatto che il sistema non è dissipativo nei confronti di forze applicate staticamente;<br />
inoltre si osservi come, per valori di β non troppo vicini ad uno, il lavoro fatto dal sistema<br />
cresca con lo smorzamento percentuale ξ: cioè i sistemi con coefficiente di smorzamento<br />
più grande dissipano una maggiore quantità di energia. Questa relazione però si inverte<br />
quando β ' 1, cioè in prossimità della risonanza: in tali condizioni l’energia dissipata dai<br />
sistemi debolmente smorzati aumenta molto rapidamente e raggiunge livelli anche molto<br />
più elevati di quelli relativi agli oscillatori dotati di maggior smorzamento.<br />
2.3.2 Rappresentazione complessa<br />
Se su di un piano cartesiano x, y si riporta un vettore ~u di modulo u0 e che forma un angolo<br />
βτ(mod 2π) con l’asse x, come mostrato nella figura 2.9, la componente di ~u sull’asse y<br />
ha ampiezza u0 sin(βτ), uguale all’ampiezza della forzante nell’equazione (2.37); facendo<br />
ruotare ~u con velocità angolare β la sua proiezione su y uguaglia l’ampiezza della forza<br />
applicata al sistema.<br />
(b)
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 21<br />
W<br />
1E+2<br />
1E+1<br />
1E+0<br />
1E-1<br />
1E-2<br />
1E-3<br />
0.0 1.0 2.0 3.0<br />
ϒ<br />
Figura~2.8: Lavoro fatto dalla forza sinusoidale applicata ad un oscillatore smorzato in<br />
un ciclo del moto stazionario<br />
Combinando i risultati (2.43) e (2.48), l’ampezza della risposta stazionaria si può<br />
scrivere:<br />
¯X(τ) =Du0 sin(βτ − φ) (2.54)<br />
Se sullo stesso piano dove viene riportato ~u si riporta anche il vettore ~x, dimoduloDu0 e<br />
che forma con ~u l’angolo −φ, i due vettori, ruotando solidalmente, descrivono, con le loro<br />
proiezioni su y, l’ampiezza della forzante e del moto di risposta.<br />
Se si interpreta il piano x, y come il piano dei numeri complessi, i vettori ~u e ~x si<br />
possono interpretare come le rappresentazioni dei numeri complessi:<br />
u0[cos(βτ)+i sin(βτ)] = u0e iβτ<br />
Du0[cos(βτ − φ)+i sin(βτ − φ)] = Du0e i(βτ−φ)<br />
↑=Ζ=ΜΚΜΝ<br />
↑=Ζ=ΜΚΜΡ<br />
↑=Ζ=ΜΚΝΜ<br />
↑=Ζ=ΜΚΟΜ<br />
↑=Ζ=ΜΚΡΜ<br />
(2.55)<br />
(2.56)<br />
Più in generale, ponendo Ue iβτ come termine noto nell’eq. (2.37), con U eventualmente<br />
complesso, e cercando la soluzione stazionaria dell’equazione così ottenuta nella forma<br />
Xe iβτ , dopo sostituzione nell’equazione (2.37), si ha:<br />
dacuisiottiene:<br />
La funzione<br />
X[−β 2 +2iβξ + 1]e −βτ = Ue −βτ<br />
X =<br />
H(β, ξ) =<br />
U<br />
1 − β 2 +2iβξ<br />
(2.57)<br />
= H(β, ξ)U (2.58)<br />
1<br />
1 − β2 +2iβξ = 1 − β2 − 2iβξ<br />
(1 − β2 ) 2 +4ξ2β2 (2.59)
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 22<br />
Figura~2.9: Rappresentazione vettoriale (o complessa) della forza e della risposta<br />
è detta funzione di trasferimento; la sua inversa 1 − β 2 +2iβξ è l’impedenza complessa del<br />
sistema. Posta in forma esponenziale la funzione di trasferimento si scrive:<br />
H(β, ξ) =||H||e −iψ<br />
(2.60)<br />
Èfacileverificare che il modulo di H coincide con il coefficiente di amplificazione; infatti:<br />
||H|| = q<br />
1<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
= D (2.61)<br />
mentre l’anomalia ψ coincide con il ritardo di fase φ, come si controlla confrontando le<br />
cos(ψ) =<br />
1 − β 2<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
sin(ψ) =<br />
2βξ<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
con l’eq. (2.45).<br />
Se U è reale ed uguale ad u0, per l’eq. (2.57) e per quanto visto sopra si ha:<br />
x(τ) =H(β, ξ)u0e iβτ = Du0e i(βτ−φ)<br />
(2.62)<br />
coincidente con la (2.56). Si è dunque determinata una soluzione complessa in conseguenza<br />
di una legge complessa della forzante. Poiché realmente sia la forzante che la risposta sono<br />
grandezze reali, la soluzione (2.62) si deve intendere come la combinazione delle risposte<br />
ad un’eccitazione cosinusoidale (parte reale) ed a quella sinusoidale (parte immaginaria).<br />
2.3.3 Isolamento alla base<br />
Si supponga che una macchina rotante eserciti una forza sinusoidale F0 sin(ωft) su di una<br />
struttura di fondazione di massa m, collegata al terreno mediante dei vincoli elastici di<br />
rigidezza k e viscosità c, come schematicamente illustrato nella figura 2.10; si è interessati<br />
alla determinazione della forza che il basamento trasmette al terreno.<br />
Poiché questa struttura è stata modellata come un sistema ad un grado di libertà, la<br />
risposta in spostamento ad una forzante armonica è data dall’eq. (2.47); in particolare la la
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 23<br />
Figura~2.10: Modellazione schematica del basamento di fondazione di una macchina<br />
legge della parte stazionaria è espressa nell’eq.(2.54). La forza che il basamento trasmette<br />
al terreno è evidentemente la somma delle forze assorbite dai vincoli, cioè la forza elastica<br />
kx(t) e la forza viscosa c ˙x(t). Quindi, tenendo conto della (2.54), si ottiene facilmente:<br />
FT (t) =kx(t)+c ˙x(t) =Du0[k sin(βτ − φ)+cβω cos(βτ − φ)]<br />
= DF0[sin(βτ − φ)+2ξβ cos(βτ − φ)] (2.63)<br />
in cui D è la funzione di amplificazione (2.48) e sono state utilizzate le uguaglianze (2.38)<br />
e (2.13).<br />
L’eq. (2.63) mostra che la forza FT , in condizioni stazionarie, segue una legge armonica<br />
con la pulsazione βω = ωf della forzante ed ampiezza:<br />
q<br />
|FT (t)| = F0D 1 +4ξ 2 β 2<br />
Quindi, sostituendo l’espressione di D fornita dall’eq. (2.48), si ottiene in forma esplicita il<br />
rapporto |FT |/F0 tra la forza trasmessa al terreno e quella esercitata dalla macchina sulla<br />
fondazione, chiamato la trasmissibilità del sistema:<br />
TR = |FT (t)|<br />
F0<br />
=<br />
s<br />
1 +4ξ 2 β 2<br />
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2<br />
(2.64)<br />
La trasmissibilità è rappresentata in fig. 2.11 in funzione di β eperdiversivaloridel<br />
coefficiente di smorzamento. Da questa figura appare evidente che TR = 1 per<br />
β → 0, cioè per azioni statiche, e cresce quando β approssima 1, con un’amplificazione che<br />
dipende dallo smorzamento. Superato 1 la trasmissibilità diminuisce e diviene inferiore<br />
ad 1 per β > √ 2. L’attenuazione è maggiore per i sistemi poco smorzati, così come era<br />
maggiore l’amplificazione per β ' 1.<br />
Dal grafico di fig. (2.11) appare evidente che se si vuole ridurre gli effetti trasmessi dal<br />
macchinario al terreno (e quindi attraverso questo alle strutture circostanti) occorre che<br />
TR ¿ 1, il che si ottiene mediante un sistema in cui β = ωf/ω À √ 2, ciò che significa<br />
che la fondazione deve avere una frequenza propria molto minore di quella della forzante.<br />
Dallo stesso grafico sembrerebbe essere conveniente ridurre al minimo lo smorzamento,<br />
perché in questo modo si riduce la trasmissibilità, ma non è prudente eccedere, perché i
2.4 Risposta ad un’azione periodica 24<br />
T R<br />
100.00<br />
10.00<br />
1.00<br />
0.10<br />
0.01<br />
0.0 1.0 _<br />
2.0 3.0 4.0<br />
ϒ=Ζ=∂ ∂<br />
Figura~2.11: Funzione di trasmissibilità di un sistema eccitato armonicamente<br />
sistemi poco smorzati hanno l’inconveniente di attenuare lentamente gli effetti transitori<br />
e,nelcasosidovesseverificare un’azione di frequenza vicina a quella naturale del sistema,<br />
darebbero luogo a pericolose amplificazioni. Valori dello smorzamento prossimi al 10%<br />
rappresentano di solito un buon compromesso tra queste due esigenze.<br />
2.4 Risposta ad un’azione periodica<br />
Spesso le azioni trasmesse da macchinari alle strutture sono periodiche di periodo Tf, cioè<br />
soddisfano la condizione:<br />
F (t + Tf) =F (t) ∀t<br />
ma non sono semplicemente armoniche, cioè non possono essere rappresentate in modo<br />
soddisfacente con una semplice funzione sinusoidale o cosinusoidale. Tuttavia è ben noto<br />
che le funzioni periodiche possono essere espresse mediante uno sviluppo in serie di funzioni<br />
armoniche; questa serie è nota come serie di Fourier.<br />
Da un punto di vista operativo è più comodo utilizzare la rappresentazione sotto forma<br />
di esponenziali complessi delle funzioni armoniche, perché così si ottengono risultati in<br />
forma più compatta; si potrà poi fare uso di quanto visto nel § 2.3.2 per interpretare i<br />
risultati espressi in forma complessa.<br />
Se F (t) è periodica di periodo Tf, si potrà allora porre:<br />
in cui<br />
F (t) =a0 +<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
ωn = 2nπ<br />
Tf<br />
Ane iωnt<br />
↑ΖΜΚΜΝ<br />
↑ΖΜΚΜΡ<br />
↑ΖΜΚΝΜ<br />
↑ΖΜΚΟΜ<br />
↑ΖΜΚΘΜ<br />
↑ΖΜΚΣΜ<br />
(2.65)<br />
(2.66)
2.4 Risposta ad un’azione periodica 25<br />
èlapulsazionedell’n-esima armoninica in cui è decomposta la funzione F (t), mentreAn<br />
indica la corrispondente ampiezza complessa. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione<br />
(2.65) per exp(−iωjt) ed integrando il risultato su di un periodo, si ottiene:<br />
Z Tf<br />
0<br />
F (t)e −iωjt dt = a0<br />
da cui si deduce:<br />
Z Tf<br />
0<br />
e −iωjt dt +<br />
a0 = 1<br />
Tf<br />
Aj = 1<br />
Tf<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
Z Tf<br />
0<br />
Z Tf<br />
0<br />
An<br />
Z Tf<br />
0<br />
F (t) dt<br />
F (t)e −iωjt dt<br />
e i(ωn−ωj)t dt =<br />
½ Tfa0 se j =0<br />
TfAj se j 6= 0<br />
(2.67)<br />
(2.68)<br />
Negli sviluppi dell’eq. (2.67) si è tenuto conto che le funzioni e iωnt ,perωn 6= 0,sono<br />
periodiche e pertanto il loro integrale su di un intervallo multiplo del loro periodo è nullo.<br />
Per l’eq. (2.65) la forza periodica F (t) è stata decomposta nella somma di una forza<br />
costante a0 ediinfinite forze variabili con legge armonica di ampiezza ||An|| eperiodo<br />
ωn =2nπ/Tf. Per la linearità del sistema, la parte stazionaria della risposta sarà la<br />
somma delle risposte dello stesso sistema a queste forzanti armoniche agenti singolarmente.<br />
Si potrà allora porre:<br />
¯x(t) =b0 +<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
Bne iωnt<br />
(2.69)<br />
Sostituendo le equazioni (2.65), (2.69) e le sue derivate nell’equazione di equilibrio dinamico<br />
(2.35) si ha:<br />
−<br />
∞X<br />
ω 2 nBne iωnt +2iωξ<br />
∞X<br />
ωnBne iωnt + ω 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝b0 +<br />
∞X<br />
Bne iωnt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
1<br />
m<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ a0 +<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
Ane iωnt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ (2.70)<br />
da cui, uguagliando i termini costanti ed i coefficienti delle funzioni e iωnt , si ottengono le<br />
espressioni dei coefficienti dello sviluppo della risposta:<br />
b0 = a0<br />
k<br />
Bn =<br />
An<br />
m(ω 2 − ω 2 n +2iξωωn) =<br />
An<br />
k(1 − β 2 n +2iξβn) = H(βn, ξ) An<br />
k<br />
(2.71a)<br />
(2.71b)<br />
in cui β n = ωn/ω ed H indica la funzione di trasferimento complessa, definita dall’eq.<br />
(2.59).
2.4 Risposta ad un’azione periodica 26<br />
Infine, sostituendo le soluzioni (??) nell’eq. (2.69) si ricava l’espressione esplicita della<br />
risposta stazionaria del sistema alla forzante periodica F (t):<br />
¯x(t) = 1<br />
⎡<br />
⎢<br />
k ⎣a0 +<br />
∞X<br />
H(βn, ξ)Ane iωnt<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(2.72)<br />
n=−∞<br />
n6=0<br />
Se F (t) èrealeAn e A−n formano coppie di numeri complessi coniugati; così i termini<br />
dello sviluppo (2.65) sono, per valori opposti di n, complessi coniugati e la somma delle<br />
coppie<br />
Ane iωnt + A−ne −iωnt =2
2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 27<br />
Figura~2.12: Approssimazione della funzione “onda quadra” mediante somma dei primi<br />
termini (n
2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 28<br />
A n , B n<br />
5.0<br />
4.0<br />
3.0<br />
2.0<br />
1.0<br />
0.0<br />
Ampiezza armoniche forzante A n<br />
Ampiezza armoniche di risposta B n<br />
1 3 5 7 9<br />
∂ n<br />
Figura~2.13: Ampiezza del modulo dei coefficienti dello sviluppo della forzante e della<br />
risposta<br />
Figura~2.14: Risposta stazionaria di un oscillatore di frequenza ω = 3.5 sec −1 e<br />
smorzamento 5% ad un’onda quadra di periodo 2π
2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 29<br />
Integrando entrambi i membri di questa equazione nell’intervallo [t, t + ∆t], siha:<br />
m ˙x(t + ∆t) − m ˙x(t) =<br />
Z t+∆t<br />
t<br />
f(θ) dθ (2.74)<br />
Il prodotto della massa per la velocità è la quantità di moto del sistema, l’integrale a<br />
secondo membro è detto l’impulso prodotto dalla forza f(t) nel tempo ∆t. L’eq. (2.74) dimostra<br />
che la variazione della quantità di moto in un intervallo di tempo uguaglia l’impulso<br />
prodotto dalla risultante di tutte le forze agenti nello stesso tempo.<br />
Se ad un sistema in quiete, al tempo t =0, viene applicata una forza di intensità F0<br />
costante per un tempo ∆t, la funzione di risposta del sistema x(t) può essere sviluppata in<br />
serie di Taylor nell’intorno di t =0; tenendo conto che per ipotesi si ha x(0) = ˙x(0) = 0,<br />
lo sviluppo diviene:<br />
x(t) =O(t 2 ) (2.75)<br />
in cui O(tn ) indica un infinitesimo dello stesso ordine di tn .<br />
Applicando l’equazione (2.74) all’oscillatore di massa m, rigidezza k e smorzamento c,<br />
si ha, ponendo t =0e tenendo conto che il sistema è inizialmente in quiete:<br />
Z ∆t<br />
m ˙x(∆t) = (F0 − c ˙x(θ) − kx(θ)) dθ<br />
0<br />
Nel secondo membro di questa equazione, l’integrale di ˙x fornisce lo spostamento x(∆t)<br />
che, per l’eq. (2.75) è infinitesimo di ordine ∆t 2 , mentre l’integrale della funzione x(t)<br />
risulterà di conseguenza infinitesimo di orine ∆t 3 . Qindi si potrà scrivere:<br />
m ˙x(∆t) =F0∆t + O(∆t 2 )<br />
Da questa equazione, per ∆t → 0, si ottiene, a meno di infinitesimi di ordine superiore al<br />
primo, la velocità dell’oscillatore al tempo ∆t prodotta dall’impulso F0∆t:<br />
˙x(∆t) = F0<br />
∆t (2.76)<br />
m<br />
mentre lo spostamento, che si ottiene integrando la velocità, risulterà infinitesimo di ordine<br />
superiore ad uno.<br />
Cessata la forza, per t>∆t, il sistema è soggetto alle oscillazioni libere determinate<br />
dalle condizioni iniziali ˙x0 = ˙x(∆t) x0 = x(∆t) =0; ricordando l’eq. (2.23) con x0 =0ed<br />
il significato di δ ediy0 = ˙x0/ω si ha:<br />
x(τ) =e −ξτ sin(p 1 − ξ 2 τ)<br />
p 1 − ξ 2<br />
che espressa nel tempo effettivo t = τ/ω, diviene:<br />
x(t) = e−ωξt<br />
m<br />
F0<br />
∆τ (2.77)<br />
k<br />
sin(ω p 1 − ξ 2 t)<br />
ω p 1 − ξ2 F0∆t (2.78)
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 30<br />
2.6 Risposta ad un’azione non periodica<br />
2.6.1 Integrale di Duhamel<br />
Se ora si suppone che sul sistema agisca una forza variabile con legge di tipo arbitrario<br />
F (t), questa si può pensare decomposta in infiniti impulsi di intensità F (t) e di durata<br />
infinitesima dt. La risposta del sistema in quiete a ciascuno di questi impulsi si può<br />
determinare applicando l’eq. (2.78), tenendo però conto che ora l’azione è applicata non<br />
nell’origine ma al tempo generico θ, per cui la risposta al tempo t sarà:<br />
dx(t) = e−ξω(t−θ)<br />
m<br />
sin[ωD(t − θ)]<br />
F (θ) dθ (2.79)<br />
in cui si è fatto uso della posizione (2.28). Per la linearità del sistema, la funzione di risposta<br />
all’intera storia della forza F (θ) nel tempo (t0,t) si ottiene sommando i contributi di tutti<br />
gli impulsi infinitesimi in cui è stata idealmente decomposta, al limite la sommatoria tende<br />
ad un integrale e così per la (2.79) si ottiene:<br />
x(t) =<br />
Z t<br />
t0<br />
ωD<br />
e−ξω(t−θ) sin[ωD(t − θ)]<br />
F (θ) dθ (2.80)<br />
m<br />
Quest’ultima equazione può essere anche scritta in forma sintetica:<br />
in cui<br />
x(t) =<br />
Z t<br />
t0<br />
h(t) = e−ξωt<br />
m<br />
ωD<br />
h(t − θ)F (θ) dθ (2.81)<br />
sin(ωDt)<br />
ωD<br />
(2.82)<br />
è la funzione di risposta ad impulso dell’oscillatore di massa m, frequenza angolare ω e<br />
smorzamento ξ.<br />
Se nell’eq. (2.81) si esegue un cambiamento della variabile di integrazione, ponendo<br />
t 0 = t − θ, si ottiene l’espressione alternativa:<br />
Z t−t0<br />
x(t) = h(t<br />
0<br />
0 )F (t − t 0 ) dt 0<br />
(2.83)<br />
La variabile t0 rappresenta il tempo trascorso tra il momento di applicazione della forza e<br />
quello di osservazione; è evidente che per valori negativi di t0 si ha h(t0 ) ≡ 0, altrimenti<br />
l’effetto precederebbe l’azione. Quindi, con questa posizione, il limite inferiore dell’integrale<br />
(2.83) può essere esteso a −∞ senza modificare il risultato. Poi, portando l’origine<br />
dei tempi all’infinito, cioè ponendo t0 = −∞, l’eq. (2.83) diviene2 :<br />
Z ∞<br />
x(t) =<br />
h(t<br />
−∞<br />
0 )F (t − t 0 ) dt 0<br />
(2.84)<br />
per cui la risposta stazionaria si ottiene come prodotto di convoluzione tra la forza F (t) e<br />
la funzione di risposta ad impulso h(t).<br />
2 Questo non modifica il risultato, se per esempio si assume che F (t) ≡ 0 per t
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 31<br />
2.6.2 Integrazione diretta delle equazioni del moto<br />
L’equazione (2.81) [o (2.84)] ha un’importanza più concettuale che pratica, poiché se,<br />
come spesso avviene, l’integrale non può essere svolto analiticamente, il procedimento di<br />
calcolo della risposta basato sulla quadratura numerica dell’integrale (2.80) risulta del<br />
tutto inefficiente. Infatti esso fornisce la risposta ad un fissato istante di tempo t, e<br />
dovrebbe pertanto essere ripetuto tante volte quanti sono i punti dell’asse dei tempi in cui<br />
si vuole conoscere la risposta.<br />
Molto più efficienti sono a questo scopo i procedimenti basati sull’integrazione diretta<br />
(numerica) delle equazioni del moto: questi procedimenti hanno inoltre il vantaggio<br />
di non richiedere che la struttura abbia un comportamento lineare. Infatti, se la legge<br />
forza- spostamento del nostro oscillatore fosse non-lineare, l’equazione del moto si potrebbe<br />
riscrivere:<br />
m¨x(t)+c ˙x(t)+r(x, ˙x) =F (t)<br />
in cui il termine non lineare r(x, ˙x) sostituisce il termine lineare kx. L’integrazione di<br />
questa equazione non richiede in sostanza un impegno di calcolo superiore a quello dell’analoga<br />
equazione lineare, se non per l’eventuale maggior onere necessario per il calcolo<br />
della funzione r(x) che sostituisce il semplice prodotto kx. Inoltre, mentre per la soluzione<br />
del problema lineare sono disponibili diversi metodi alternativi, per quanto riguarda l’analisi<br />
delle strutture non lineari l’integrazione diretta delle equazioni del moto è in pratica<br />
la sola via perseguibile.<br />
Vi sono diverse famiglie di algoritmi per la soluzione numerica delle equazioni differenziali;<br />
quelli utilizzati nell’analisi sismica delle strutture vengono normalmente classificati<br />
in due tipi: algoritmi espliciti ed algoritmi impliciti. I primi, di più semplice applicazione,<br />
consentono di determinare il valore della funzione integranda (x, ˙x) al passo k + 1 direttamente<br />
in funzione delle stesse grandezze al passo precedente e dell’equazione di equilibrio<br />
scritta nel passo k; i secondi invece richiedono che l’equazione di bilancio sia soddisfatta<br />
anche nel passo k + 1, ciò che, nei sistemi non lineari, richiede che si compiano delle iterazioni.<br />
I metodi impliciti sono generalmente più accurati di quelli espliciti ed inoltre, per<br />
opportune scelte dei parametri, sono incondizionatamente stabili.<br />
Un algoritmo si dice stabile se la soluzione che fornisce non diverge; la stabilità non implica<br />
accuratezza, poiché la soluzione numerica potrebbe differire di molto da quella esatta,<br />
pur restando limitata. La stabilità delle soluzioni numeriche dell’equazione dell’oscillatore<br />
può essere studiata in via generale solo nel caso lineare; da questo studio si deduce che la<br />
condizione di stabilità è in genere soddisfatta solo se il passo di integrazione, cioè l’intervallo<br />
di tempo esistente tra due successivi istanti in cui viene calcolata la risposta della<br />
struttura, è minore di una frazione del periodo proprio della struttura; in questo caso la<br />
stabilità è condizionata alla scelta di un passo di integrazione sufficientemente piccolo e<br />
pertanto l’algoritmo si classifica come condizionatamente stabile.<br />
In alcuni casi, per gli algoritmi impliciti, la condizione di stabilità è soddisfatta qualunque<br />
sia il valore del passo di integrazione: questi algoritmi si dicono incondizionatamente<br />
stabili. Naturalmente questo non autorizza ad adottare passi di grandezza arbitraria; se si<br />
desidera che la soluzione sia accurata il passo deve essere sufficientemente piccolo. Tuttavia<br />
vi sono dei casi, nell’analisi di sistemi con molti gradi di libertà, in cui nelle equazioni<br />
compaiono dei termini irrilevanti, per i quali non è richiesta accuratezza, ma solo che<br />
restino limitati, in modo da non alterare apprezzabilmente la soluzione; in questi casi la<br />
stabilità incondizionata dell’integratore diviene un requisito importante al fine di ottenere
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 32<br />
soluzioni accurate. Questi aspetti saranno richiamati più avanti, dopo aver trattato delle<br />
strutture con molti gradi di libertà.<br />
Un esempio di algoritmo esplicito: il metodo delle differenze centrali<br />
Un algoritmo esplicito molto semplice e largamente usato nell’analisi dinamica delle strutture<br />
è il metodo delle differenze centrali. Esso è basato sull’idea che, nelle equazioni<br />
dinamiche, le derivate prime e seconde delle funzioni incognite siano sostituibili con le<br />
differenze finite centrali. Se l’asse dei tempi è diviso in intervalli di uguale ampiezza ∆t,<br />
indicando con il pedice k tutte le grandezze relative all’istante tk = k∆t, ledifferenze finite<br />
al passo k-esimo sono date dalle relazioni:<br />
˙xk = xk+1 − xk−1<br />
2∆t<br />
¨xk = xk+1 − 2xk + xk−1<br />
∆t2 (2.85)<br />
Sostutuendo queste espressioni nell’equazione dinamica dell’oscillatore relativa al tempo<br />
tk, che in modo relativamente generale si potrà scrivere:<br />
¨xk +2ωξ ˙xk + r(xk) =f(tk) (2.86)<br />
si ottiene un’equazione in cui compaiono le grandezze xk ed xx−1, che sono note, e l’unica<br />
incognita xk+1, che può quindi facilmente essere calcolata. In modo analogo, conoscendo<br />
ora il valore di x ai passi k + 1 e k, si può determinarne il valore al passo k +2; il procedimento<br />
viene ripetuto per tutti i passi e consente di ottenere la soluzione, approssimata,<br />
dell’equazione differenziale (2.86).<br />
Ad ogni passo la soluzione dipende dal valore della funzione nei due passi precedenti;<br />
nelle condizioni iniziali (al tempo t0) questo pone qualche problema perché in tal caso non<br />
esiste un passo precente. Tuttavia all’istante iniziale devono essere noti il valore di x0, e<br />
quello della sua derivata prima ˙x0 e quindi, grazie all’equazione dinamica (2.86) scritta<br />
per k =0, anche l’accelerazione ¨xk. Allora dalle equazioni (2.85) scritte per k =0,sipuò<br />
eliminare il termine x1 ed ottenere un’equazione in cui compaiono x0, ˙x0, ¨x0, che sono<br />
noti, e x−1. Risolvendo questa equazione rispetto alla sola incognita si ottiene:<br />
∆t<br />
x−1 = x0 − ˙x0∆t +¨x0<br />
2<br />
2<br />
che, insieme ad x0, viene usato come valore di innesco del processo di integrazione.<br />
Un procedimento implicito: il metodo di Newmark<br />
La famiglia di metodi di integrazione ideata da Newmark, si basa sulla stima del valore<br />
della funzione incognita e della sua derivata prima alla fine del passo, mediante l’integrazione<br />
della funzione accelerazione, che viene approssimata con una legge arbitraria tra i<br />
valori che assume agli estremi del passo; si pone quindi:<br />
˙xk+1 = ˙xk +[¨xk(1 − α)+¨xk+1α]∆t<br />
xk+1 = xk + ˙xk∆t +[¨xk(1 − β)+¨xk+1β] ∆t2<br />
(2.87)<br />
2<br />
Il tipo di legge interpolante usato per l’accelerazione dipende dai valori assegnati ai<br />
coefficienti α e β, che possono variare tra 0 ed 1. Porre α = β = 1/2 è equivalente ad
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 33<br />
un’accelerazione costante, uguale alla media dei valori iniziale e finale (metodo dell’accelerazione<br />
media); per α = 1/2 e β = 1/3 la legge di interpolazione tra i valori estremi<br />
dell’intervallo è lineare.<br />
Come si vede dall’eq. (2.87), i valori finali di x ed ˙x al passo k + 1 dipendono dall’accelerazione<br />
di fine passo, la quale a sua volta dipende, tramite l’equazione (2.86), da xk+1<br />
ed ˙xk+1. Pertanto la soluzione richiede generalmente delle iterazioni: fissato un valore<br />
di prima approssimazione per ¨xk+1 (p.es. uguale al valore del passo precedente) si determinano,<br />
mediante le eq. (2.87), xk+1 e ˙xk+1. Sostituendo questi valori nell’eq. (2.87), si<br />
calcola ¨xk+1 e quindi xk+1 e ˙xk+1; il procedimento viene iterato fin quando il risultato non<br />
èstabile.<br />
I metodi impliciti sono, come si è visto, più onerosi perché richiedono ad ogni passo<br />
alcune iterazioni, e quindi più calcoli; per contro sono in genere più accurati, e questo consente<br />
di impiegare un passo di integrazione più grande, il che significa un minor numero<br />
di passi, riducendo così sensibilmente il loro svantaggio. Inoltre, per opportune scelte dei<br />
parametri α e β, il metodo di Newmark è incondizionatamente stabile, cioè la soluzione<br />
resta limitata anche se il passo di integrazione è grande rispetto al periodo proprio dell’oscillatore:<br />
come si vedrà più avanti, questa proprietà è molto utile per sistemi con molti<br />
gradi di libertà.<br />
2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo<br />
Si esaminano più in dettaglio le proprietà di stabilità e di accuratezza del metodo delle<br />
differenze centrali e del metodo di Newmark, come esempi di procedure esplicite ed implicite,<br />
rispettivamente. L’analisi verrà condotta con riferimento alle oscillazioni libere di<br />
un sistema non smorzato, la cui equazione del moto, utilizzando il tempo adimensionale<br />
τ = ωt, è (2.6):<br />
Stabilità del metodo delle differenze centrali<br />
¨x(τ)+x(τ) =0 (2.88)<br />
Introducendo la velocità come variabile autonoma e tenendo conto della (2.88), le equazioni<br />
(2.85) possono essere riscritte, dopo aver eliminato xk−1, nelseguentemodo:<br />
µ <br />
∆τ 2<br />
xk+1 = 1 + xk + ∆τ ˙xk<br />
2<br />
µ <br />
∆τ 3<br />
µ<br />
˙xk+1 = − ∆τ xk + 1 −<br />
4 ∆τ<br />
<br />
(2.89)<br />
˙xk<br />
2<br />
Queste equazioni si sintetizzano nella forma matriciale:<br />
xk+1 = Axk<br />
in cui xk è il vettore di stato del sistema al tempo τ k:<br />
(2.90)<br />
·<br />
xk<br />
xk =<br />
˙xk<br />
¸<br />
(2.91)<br />
mentre la matrice di trasformazione A è formata con i coefficienti delle equazioni (2.89):<br />
"<br />
∆τ 2<br />
1 −<br />
A = 2<br />
∆τ<br />
∆τ<br />
3<br />
4 − ∆τ<br />
#<br />
∆τ 2<br />
1 − 2<br />
(2.92)
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 34<br />
Indicando con x0 il vettore delle condizioni iniziali ed applicando ripetutamente la<br />
(2.90), si ha:<br />
xk = A | · A {z ···A x0 } = A<br />
k volte<br />
k x0<br />
(2.93)<br />
La matrice A può essere diagonalizzata utilizzando la base dei suoi autovettori; indicando<br />
con Ψ la matrice degli autovettori di A econΛ la matrice diagonale degli autovalori, si<br />
ha: Λ = Ψ −1 AΨ; di conseguenza la matrice A si può decomporre nella forma normale:<br />
A = ΨΛΨ −1<br />
Sostituendo l’eq. (2.94) nella (2.93) si verifica facilmente che si ottiene:<br />
xk = ΨΛ k Ψ −1<br />
(2.94)<br />
(2.95)<br />
Poiché la matrice Λ è digonale, la sua k-esima potenza è la matrice (diagonale) i cui<br />
elementi sono gli stessi della matrice Λ elevati alla potenza k.<br />
Dalla (2.95) appare evidente che il comportamento della soluzione è governato dagli<br />
autovalori della matrice A. Se gli autovalori fossero reali la soluzione crescerebbe o decrescerebbe<br />
esponenzialmente, senza oscillare: quindi se si vuole che la soluzione sia oscillante,<br />
come è effettivamente quella esatta, gli autovalori λ1 e λ2 di A devono essere complessi<br />
coniugati e, affinché l’ampiezza delle oscillazioni non aumenti, cioè che la soluzione sia<br />
stabile, il modulo dei due autovalori non deve risultare maggiore di 1.<br />
Gli autovalori di una matrice si ottengono come radici dell’equazione caratteristica<br />
det(A − λI) =0<br />
in cui I indica la matrice unità. Per una matrice 2 × 2, l’equazione caratteristica è<br />
semplicemente:<br />
λ 2 − tr(A)λ + det(A) =0 (2.96)<br />
in cui tr(A) indica la traccia della matrice A. Poiché l’eq. (2.96) è un’equazione di secondo<br />
grado, la condizione che le sue radici siano complesse implica che il discriminante sia minore<br />
di zero, ossia che:<br />
tr(A) 2 − 4det(A) < 0<br />
Per il metodo delle differenze centrali la matrice A è espressa dall’eq. (2.92); sostituita<br />
nella precedente si ottiene la condizione:<br />
(2 − ∆τ 2 ) 2 − 4 < 0<br />
che, con l’ovvia condizione ∆τ > 0, ha come soluzione:<br />
0 < ∆τ < 2 (2.97)<br />
Se le soluzioni dell’equazione (2.96) sono complesse coniugate allora si ha che |λ| 2 =<br />
det(A); poichèèfacileverificare che risulta<br />
det(A) =1 (2.98)
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 35<br />
ne segue che se è soddisfatta l’eq. (2.97) gli autovalori di A sono complessi, dunque la<br />
soluzione è oscillante, ed inoltre, poiché in tal caso |λ| = 1, èanchestabile.<br />
Se le soluzioni sono reali allora risulta:<br />
|λ| 2 Ã<br />
max = 1 −<br />
∆τ 2<br />
2 +<br />
r<br />
∆τ 2 ∆τ 4<br />
−<br />
4<br />
La condizione |λ| ≤ 1 implica ∆τ ≤ 2: pertanto si può concludere che il metodo delle differenze<br />
centrali è stabile se ∆τ ≤ 2 e fornisce anche una soluzione oscillante se èsoddisfatta<br />
la più restrittiva eq. (2.97), che nel tempo naturale t = τ/ω = τT/2π significa:<br />
∆t<br />
T<br />
< 1<br />
π<br />
! 2<br />
(2.99)<br />
Come si è notato in precedenza la condizione di stabilità non implica l’accuratezza della<br />
soluzione; essa è condizione necessaria, ma non sufficiente, perché la soluzione numerica<br />
dell’equazione differenziale approssimi quella esatta. Per giudicare circa l’accuratezza del<br />
metodo si esaminano altri due aspetti della soluzione: il decadimento dell’ampiezza e lo<br />
scorrimento del periodo.<br />
Gli autovalori di A, supponendo che le condizioni di stabilità siano verificate, sono<br />
complessi coniugati e quindi si possono porre nella forma:<br />
λ1 = |λ|e iφ<br />
λ2 = |λ|e −iφ<br />
in cui |λ| = det(A) 1/2 è il modulo e φ l’argomento degli autovalori. Al k-esimo passo di<br />
integrazione gli autovalori risultano elevati alla k-esima potenza, per cui si ha:<br />
λ k j = |λ| k e ±ikφ<br />
(j = 1, 2) (2.100)<br />
Se |λ| fosse maggiore di uno il modulo degli autovalori di A k crescerebbe indefinitamente<br />
con k, per cui il procedimento sarebbe instabile; viceversa se |λ| < 1 il modulo degli<br />
autovalori decresce e tende a zero per k →∞: la soluzione in questo caso è stabile ma<br />
si manifesta un decadimento dell’ampiezza delle oscillazioni, analogo a quello prodotto da<br />
un termine viscoso, che però nell’equazione (2.88) che stiamo integrando non è presente.<br />
Poiché la soluzione delle equazioni (2.88) è una combinazione di funzioni armoniche di<br />
periodo 2π, prendendo come passo di integrazione una frazione di questo periodo: ∆τ =<br />
2π/n, il decadimento di ampiezza in un periodo risulta:<br />
Dopo k iterazioni, tali che:<br />
|λ| n = |λ| 2π/∆τ<br />
kφ =2π<br />
(2.101)<br />
si ha xk/|λ| k = x0. Se ∆τ è il passo di integrazione, il periodo della soluzione numerica<br />
risulta pertanto<br />
Π ∗ = k∆τ = ∆τ 2π<br />
φ<br />
Lo scarto dal valore esatto Π =2π èdunque:<br />
Π ∗ − Π =2π<br />
µ ∆τ<br />
φ<br />
<br />
− 1
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 36<br />
e lo scarto percentuale è dato da:<br />
Sp = T ∗ − T<br />
T<br />
= Π∗ − Π<br />
Π<br />
= ∆τ<br />
φ<br />
− 1 (2.102)<br />
Nel metodo delle differenze centrali, se è soddisfatta la condizione (2.99), si ha<br />
|λ| = det(A) 1/2 = 1<br />
per cui non si verifica decadimento di ampiezza. Inoltre risulta<br />
cos(φ) =<br />
che sostituita nella (2.102) da luogo a:<br />
tr(A) ∆τ 2<br />
= 1 −<br />
2det(A) 1/2 2<br />
∆τ<br />
Sp =<br />
arccos(1 − ∆τ 2 − 1<br />
/2)<br />
Sviluppando in serie questa funzione si ottiene la relazione approssimata:<br />
che, espressa in termini del tempo effettivo t, diviene:<br />
Sp = − π2<br />
6<br />
∆τ 2 17<br />
Sp = − −<br />
24 5760 ∆τ 4 + O(∆τ 6 ) (2.103)<br />
µ 2<br />
∆t<br />
−<br />
T<br />
π4<br />
360<br />
µ 4<br />
∆t<br />
+ O<br />
T<br />
" µ∆t #<br />
6<br />
T<br />
(2.104)<br />
Si può quindi concludere che al crescere del rapporto ∆t/T il periodo della soluzione<br />
numerica ottenuta con il metodo delle differenze centrali si discosta, risultando più piccolo,<br />
da quello esatto.<br />
Metodo di Newmark<br />
Quando il sistema è elastico lineare, l’equazione (2.88) può essere usata per esprimere ¨xk+1<br />
in funzione di xk+1 e ˙xk+1; questo permette di eliminare l’accelerazione di fine passo dalle<br />
equazioni (2.87), che così divengono esplicite, e si possono porre ancora nella forma (2.90),<br />
in cui la matrice A è:<br />
⎡<br />
⎢<br />
A = ⎢<br />
⎣<br />
2+(β − 1)∆τ 2<br />
2+β∆τ 2<br />
(α − β)∆τ 3 − 2∆τ<br />
2+β∆τ 2<br />
2∆τ<br />
2+β∆τ 2<br />
2+(β − 2α)∆τ 2<br />
2+β∆τ 2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(2.105)<br />
Esplicitamente, la condizione che gli autovalori siano complessi, e quindi la soluzione<br />
oscillante, si esprime ora:<br />
da cui segue:<br />
tr(A) 2 − 4 det(A) =∆τ 2 ∆τ 2 (1 − 8β +4α +4α 2 ) − 16<br />
(2 + β∆τ 2 ) 2<br />
∆τ <<br />
4<br />
p 1 +4(α 2 + α − 2β)<br />
< 0<br />
(2.106)
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 37<br />
ovvero, nel tempo naturale t,<br />
∆t<br />
T <<br />
2<br />
π p 1 +4(α 2 + α − 2β)<br />
Se gli autovalori sono complessi si ha |λ| 2 = λ1λ2 =det(A); quindi la soluzione è stabile<br />
se:<br />
2+(1 + β − 2α)∆τ 2<br />
det(A) =<br />
2+β∆τ 2 ≤ 1<br />
Questa relazione è soddisfatta per qualunque valore di ∆τ che soddisfi la condizione<br />
(2.106), se risulta:<br />
α ≥ 1<br />
(2.107)<br />
2<br />
Se l’eq. (2.106) non è soddisfatta gli autovalori sono reali; in questo caso il modulo<br />
dell’autovalore maggiore è dato dalla relazione:<br />
|λmax| 2 =<br />
⎛<br />
⎝ tr(A)<br />
2 +<br />
s<br />
tr(A) 2<br />
4<br />
⎞<br />
− det(A) ⎠<br />
la condizione di stabilità, cioè che λmax ≤ 1, è soddisfatta se:<br />
√<br />
2<br />
∆τ ≤ √<br />
α − β<br />
(2.108)<br />
Si deve peraltro osservare che la condizione (2.107) deve comunque essere verificata, se<br />
si vuole che la soluzione resti stabile anche quando il passo di integrazione è abbastanza<br />
piccolo da soddisfare l’eq. (2.106).<br />
Se α = β ed α ≥ 0 l’equazione (2.108) è soddisfatta per qualsiasi valore di ∆τ; inquesto<br />
caso l’integratore si indica come incondizionatamente stabile; tuttavia la soluzione risulta<br />
oscillante solo se il passo di integrazione è abbastanza piccolo da soddisfare l’eq. (2.106),<br />
che per α = β ora si scrive:<br />
4<br />
∆τ <<br />
|1 − 2α|<br />
Un altro modo per avere condizioni di stabilità incondizionata, sempre ammesso che si<br />
abbia α ≥ 1/2, consiste nel rendere infinito il secondo membro dell’eq. (2.106): in tal modo<br />
la soluzione risulta sempre oscillante (perché è verificata l’eq. (2.106)) e stabile, perché è<br />
imposta la condizione (2.107). Annullando il denominatore del termine a secondo membro<br />
dell’eq. (2.106) si ottiene:<br />
1 +4(α 2 + α − 2β) =0<br />
cheèverificata se si pone;<br />
(1 +2α)2<br />
β = (2.109)<br />
8<br />
Poiché la condizione di stabilità richiede che si abbia α > 1/2, è conveniente porre<br />
α = 1<br />
+ ² (² ≥ 0)<br />
2
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 38<br />
Sostituendo questa posizione nell’eq. (2.109) si ottiene la condizione per β:<br />
β =<br />
(1 + ²)2<br />
2<br />
Per ogni scelta di ² tale che 0 ≤ ² ≤ √ 2 − 1 si ottiene un procedimento che risulta incondizionatamente<br />
stabile. Si osservi che per ² =0si ha α = β = 1/2: questo dimostra<br />
che il metodo dell’accelerazione media è incondizionatamente stabile. Al contrario il metodo<br />
dell’accelerazione lineare (α = 1/2 β = 1/3) non è incondizionatamente stabile; la<br />
condizione di stabilità dell’equazione (2.108) diviene per questo caso:<br />
∆τ ≤ 2 √ 3<br />
Gli algoritmi di Newmark incondizionatamente stabili sono generalmente dissipativi,<br />
in quanto risulta che |λ| < 1. Infatti, ponendo α = β = 1/2+² il modulo degli autovalori<br />
complessi risulta:<br />
|λ| 2 =det(A) =<br />
4+(1 − 2²)∆τ 2<br />
4+(1 +2²)∆τ 2<br />
Ponendo invece α = 1/2+², β =(1 + ²) 2 /2, altra combinazione che rende il procedimento<br />
incondizionatamente stabile, si ha:<br />
|λ| 2 =det(A) = 4+(1 − ²)2 ∆τ 2<br />
4+(1 + ²) 2 ∆τ 2<br />
Quindi risulta evidente che |λ| < 1, con l’eccezione del caso ² =0. Il metodo dell’accelerazione<br />
media è il solo, tra gli algoritmi di Newmark, che sia incondizionatamente stabile<br />
e non presenti decadimento di ampiezza.<br />
Per ²>0 si manifesta un decadimento di ampiezza; dalle due combinazioni per cui il<br />
metodo risulta incondizionatamente stabile si ottengono risultati molto simili; nel seguito<br />
si fa riferimento alla scelta che rende la soluzione stabile ed oscillante. Sostituendo allora<br />
la precedente espressione di |λ| nell’eq. (2.101) si ottiene che la riduzione di ampiezza in<br />
un periodo è:<br />
·<br />
4+(1− ²) 2∆τ 2 ¸π/∆τ DA =<br />
4+(1 + ²) 2 ∆τ 2<br />
I primi termini dello sviluppo in serie di questa espressione sono:<br />
DA = 1 − π ² ∆τ + 1<br />
2 π2 ² 2 ∆τ 2 + O(∆τ 3 )<br />
Il logaritmo dell’inverso di DA è il decremento logaritmico delle oscillazioni libere; a<br />
questo decremento corrisponde uno smorzamento percentuale che si calcola con l’eq. (2.31).<br />
Sviluppando in serie di Taylor l’espressione che ne risulta si ha:<br />
ξ ∗ = 1 2² +3²3<br />
²∆τ −<br />
2 16 ∆τ 3 + O(∆τ 4 )<br />
Questo smorzamento non compare esplicitamente nelle equazioni del moto ma è equivalente,<br />
nel senso che produce gli stessi effetti dell’algoritmo numerico; per questo motivo è<br />
chiamato smorzamento numerico dell’algoritmo. Se ∆τ è sensibilmente inferiore ad uno,<br />
in modo che siano trascurabili gli infinitesimi superiori, lo smorzamento numerico è circa
2.6 Risposta ad un’azione non periodica 39<br />
²∆τ/2. Quindi, se si vuole ridurre il decadimento di ampiezza, occorre assumere valori<br />
piccoli di ² ed usare un piccolo passo di integrazione.<br />
Per determinare l’entità dello scorrimento del periodo si determina il coseno dell’argo-<br />
mento degli autovalori di A:<br />
cos(φ) =<br />
tr(A)<br />
2det(A) 1/2<br />
Quindi lo scorrimento di periodo si calcola con l’eq. (2.104). Per gli algoritmi incondizionatamente<br />
stabili ed oscillanti, ponendo α = 1/2+², β =(1+²) 2 /2, e sviluppando in serie<br />
di ∆τ, siha:<br />
Sp =<br />
1 +3²2<br />
12 ∆τ 2 + O(∆τ 4 )<br />
Per il metodo dell’accelerazione media si ha in particolare:<br />
Sp =<br />
∆τ 2<br />
12<br />
− ∆τ 4<br />
180 + O(∆τ 6 )<br />
mentre il metodo dell’accelerazione lineare (che non è incondizionatamente stabile) ha<br />
un’elogazione del periodo:<br />
Sp =<br />
∆τ 2<br />
24<br />
− 17<br />
5760 ∆τ 4 + O(∆τ 6 )<br />
Per ∆τ → 0 il metodo dell’accelerazione lineare produce lo stesso scarto di periodo del<br />
metodo delle differenze centrali (ma con segno opposto); al crescere di ∆τ però la situazione<br />
diviene più favorevole per il metodo di Newmark, come dimostra, nello sviluppo in serie<br />
della funzione Sp, ladifferenza di segno tra il termine quadratico e quello di quarto grado.
Capitolo 3<br />
Sistemidiscreticonpiùdiun<br />
grado di libertà<br />
3.1 Introduzione<br />
Gli oggetti reali, da un punto di vista macroscopico, sono continui e quindi caratterizzati<br />
da infiniti gradi di libertà. Tuttavia, come insegna la teoria delle strutture, i mezzi continui<br />
possono essere discretizzati, per esempio mediante la tecnica degli elementi finiti (e.f.), e<br />
le equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento ridotte a sistemi di equazioni<br />
algebriche, la cui soluzione approssima quella esatta tanto meglio quanto più fitta è stata<br />
la discretizzazione impiegata.<br />
Analoghe considerazioni si applicano al problema dinamico, spesso in modo ancora<br />
più marcato, come avviene ad esempio quando la maggior parte della massa è associata a<br />
pochi gradi di libertà: in tal caso i gradi di libertà a cui è associata una massa trscurabile<br />
possono essere “condensati” e non compaiono più come incognite esplicite nelle equazioni<br />
del moto.<br />
Per esempio, prendendo in esame un telaio multipiano a maglie rettangolari, come<br />
quello illustrato nella fig. , se si trascura la deformabilità assiale delle travi e si ritiene che<br />
le masse associate ai gradi di libertà di rotazione dei nodi siano piccole in confronto con<br />
quelle relative alle traslazioni, tutte le masse si possono considerare concentrate a livello<br />
dei piani. Non essendovi masse (e quindi forze) associate agli altri gradi di libertà, la<br />
matrice di rigidezza della struttura può essere condensata, ponendo in relazione solo le<br />
forze applicate ai piani e gli spostamenti corrispondenti. 1<br />
Con la notazione delle matrici, l’equazione di equilibrio della struttura si scrive:<br />
Ku = f (3.1)<br />
in cui K indica la matrice delle rigidezze, u è il vettore degli spostamenti dei piani ed f<br />
èilvettoredelleforzeapplicateaipiani. Selesoleforzeapplicatesonoquelled’inerzia,<br />
1 La matrice condensata si può ottenere direttamente, p.es. mediante un programma ad e.f. standard,<br />
imponendo uno spostamento unitario ai nodi di un piano e spostamenti nulli agli altri: le reazioni che si<br />
ottengono formano una colonna della matrice di rigidezza condensata; variando a turno il piano a cui è<br />
imposto lo spostamento si determinano tutte le colonne.<br />
40
3.2 La matrice delle masse 41<br />
poichélemassesonoperipotesiconcentrateneipiani,siavrà:<br />
⎡<br />
⎢<br />
f = − ⎢<br />
⎣<br />
m1ü1<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ = Mü<br />
m2ü2<br />
···<br />
mnün<br />
dove m1,...,mn sono le masse dei piani e M è la matrice diagonale:<br />
⎡<br />
⎤<br />
m1 0 ··· 0<br />
⎢<br />
M = ⎢ 0 m2 ··· 0 ⎥<br />
⎣ .................. ⎦<br />
0 0 ··· mn<br />
(3.2)<br />
detta matrice delle masse. Sostituendo le forze di inerzia ad f nell’eq. (3.1) si ottiene il<br />
sistema di equazioni della dianamica di un sistema con masse concentrate e non forzato:<br />
Mü(t)+Ku(t) =0 (3.3)<br />
L’equazione (3.3) è formalmente simile alla (2.1) relativa ad un sistema con un solo<br />
gradodilibertà,malequantitàscalarim e k sono sostituite dalle corrispondenti matrici<br />
M e K. L’equazione (3.3) si riferisce al moto libero e non smorzato di un sistema con<br />
molti gradi di libertà: il caso più generale del moto forzato di un sistema dissipativo si<br />
ottiene con ovvie generalizzazioni: la presenza di azioni esterne comporta l’aggiunta di<br />
un termine f(t), rappresentativo delle azioni esterne note, mentre gli effetti della viscosità<br />
lineare vengono messi in conto introducendo un termine C ˙u(t), prodotto di una matrice<br />
viscosa C per il vettore delle velocità. Sulla effettiva struttura della matrice C si tornerà<br />
nel seguito, per ora si osservi che, con l’introduzione delle forze esterne e degli effetti viscosi,<br />
l’equazione dinamica di un sistema discreto con più di un grado di libertà si sintetizza nella<br />
formula:<br />
Mü(t)+C ˙u(t)+Ku(t) =f(t) (3.4)<br />
che corrisponde alla eq. (2.35), relativa ad un sistema ad un g.d.l.<br />
3.2 La matrice delle masse<br />
Per i sistemi discreti la matrice delle masse è una matrice diagonale i cui elementi non nulli<br />
sono le masse concentrate, associate ai rispettivi gradi di libertà. Spesso questo modello<br />
rappresenta un’approssimazione accettabile anche per i sistemi continui discretizzati, come<br />
si è detto a proposito dell’esempio descritto nel precedente paragrafo. In questo caso i<br />
termini diagonali della matrice delle masse sono formati con i valori risultanti delle masse<br />
distribuite, associate a ciascun nodo secondo qualche criterio di “zona di influenza”.<br />
Questo procedimento però non è sempre accettabile, né si può sempre trascurare il<br />
fatto che una massa distribuita è associata a più di un grado di libertà, per cui la matrice<br />
delle masse non è diagonale. Per affrontare in modo razionale la costruzione della matrice<br />
delle masse di un sistema continuo discretizzato, si riassumono sinteticamente i passi con<br />
cui si perviene a formulare le equazioni di equilibrio, utilizzando la tecnica degli elementi<br />
finiti.
3.2 La matrice delle masse 42<br />
Indicando con u(x,t) il campo degli spostamenti in un mezzo continuo, questo si<br />
discretizza ponendo:<br />
u(x,t)=N(x)u 0 (t) (3.5)<br />
In cui N(x) indica una matrice di funzioni interpolanti e u0(t) è un vettore di parametri,<br />
che nel metodo degli elementi finiti si interpretano come gli spostamenti dei nodi<br />
dell’elemento.<br />
Dal campo degli spostamenti si deriva quello delle deformazioni, mediante l’applicazione<br />
di un operatore differenziale D che, nella teoria linearizzata, valida per piccole deformazioni,<br />
è lineare. Quindi applicando l’operatore D ad u, posto nella forma discretizzata<br />
dell’eq. (3.5), si ottiene:<br />
in cui<br />
²(x,t)=D[u(x,t)] = D[N(x)]u0(t) =B(x)u0(t) (3.6)<br />
B(x) =D[N(x)]<br />
è la matrice che trasforma il campo degli spostamenti nodali u0 nel campo delle deformazioni<br />
².<br />
In un mezzo elastico lineare la relazione tra il campo delle deformazioni ² e quello delle<br />
tensioni σ è lineare, per cui si ha σ = E², doveE è la matrice elastica del materiale.<br />
Utilizzando l’espressione (3.6) per ², si ha quindi:<br />
σ(x,t)=EB(x)u 0 (t) (3.7)<br />
Utilizzando le equazioni dell’equilibrio nella forma del principio dei lavori virtuali, indicando<br />
con g il vettore delle forze di massa, con δu il campo, arbitrario, degli spostamenti<br />
virtuali e con δ² il corrispondente campo delle deformazioni, ed indicando con V il volume<br />
dell’elemento, si ha:<br />
Z<br />
δε(x,t)<br />
V<br />
T Z<br />
σ(x,t) dx = δu(x,t)<br />
V<br />
T g(x,t) dx (3.8)<br />
Nella formulazione di Galerkin il campo di spostamenti arbitrario viene espresso mediante<br />
le stesse funzioni interpolanti usate per descrivere il campo degli spostamenti reali;<br />
si pone dunque δu = Nδu0. Sostituendo nella (3.8) questa espressione degli spostamenti<br />
virtuali e quella analoga delle deformazioni, che si ottiene dalla (3.6) ponendo δu0 in luogo<br />
di u0, nonché l’espressione (3.7) del campo delle tensioni, si ottiene:<br />
δu T 0<br />
·µZ<br />
V<br />
B T <br />
(x)EB(x) dx<br />
Z<br />
u0(t) − N<br />
V<br />
T (x)g(x,t) dx<br />
¸<br />
= 0 (3.9)<br />
che, per l’arbitrarietà del campo degli spostamenti δu0, implica sia verificata l’equazione:<br />
Ku0(t) =f(t)<br />
dove la matrice di rigidezza, come si desume dall’eq. (3.9), è:<br />
Z<br />
K = B T (x)EB(x) dx<br />
V
3.2 La matrice delle masse 43<br />
mentre il vettore delle forze generalizzate risulta:<br />
Z<br />
f(t) = N T (x)g(x,t) dx (3.10)<br />
V<br />
Nei problemi dinamici, tra le forze di massa g deve essere considerata la forza d’inerzia<br />
−ρü (ρ indica la densità di massa del materiale); il contributo alla forza generalizzata<br />
dovuto alla forza di inerzia si calcola quindi facilmente, sostituendo, nell’eq. (3.10), a g il<br />
termine inerziale −ρü; utilizzando per u l’espressione (3.5) si ha pertanto:<br />
µZ<br />
fi(t) =− ρN T <br />
(x)N(x) dx ü0(t) =−Mü0(t) (3.11)<br />
in cui<br />
V<br />
Z<br />
M =<br />
V<br />
ρN T (x)N(x) dx (3.12)<br />
è la matrice “coerente” delle masse del sistema discretizzato. Nel caso di elementi finiti<br />
l’equazione (3.12) fornisce la matrice delle masse dell’elemento: la matrice dell’intera<br />
struttura si ottiene poi assemblando le matrici elementari con le solite regole, valide anche<br />
per l’assemblaggio della matrice di rigidezza.<br />
Aggiungendo il termine con le forze d’inerzia all’equazione di equilibrio si ottiene quindi<br />
ancora l’equazione (3.4) (a meno del termine viscoso C ˙u) ma ora la matrice delle masse<br />
non è più diagonale: essa non è stata ottenuta per semplice “aggregazione” nel nodo della<br />
massa circostante, ma con un procedimento coerente (da qui la denominazione) con gli<br />
altri procedimenti di discretizzazione.<br />
Esempio 3.1 Si vuole costruire la matrice delle masse di una trave vincolata nel piano x, y, con<br />
densità di massa per unità di lunghezza ρ l, uniforme.<br />
Nel riferimento proprio della trave, l’asse x coincidente con quello della trave, l’asse y ortogonale,se<br />
si indica con u(x) =[u(x) v(x)] T il vettore degli spostamenti e con u0 =[u1 v1 φ 1 u2 v2 φ 2] T<br />
il vettore dei parametri nodali, cioè le componenti dello spostamento e la rotazione di ciascuna<br />
estremità della trave, la matrice delle funzioni interpolanti è:<br />
N(x) =<br />
" 1 − x<br />
l 0 0 x<br />
l 0 0<br />
0 −3 x2<br />
l2 + 1 +2x3 l3 x 3<br />
l2 + x − 2 x2<br />
l 0 −2 x3<br />
l3 +3x2 l2 x 3<br />
l2 − x2<br />
l<br />
Per determinare la matrice delle masse si sostituisce l’esprerssione di N(x) data dall’equazione<br />
precedente nella (3.12); svolgendo i prodotti e quindi integrando tutti i termini della matrice<br />
quadrata N T (x)N(x) per x variabile tra 0 ed l, tenendo conto che, per ipotesi, ρ l non dipende da<br />
x, siha:<br />
Z l<br />
M =<br />
0<br />
ρN T (x)N(x) dx = ρ l<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
1<br />
3 l 0 0 1<br />
6 l 0 0<br />
0<br />
0<br />
13<br />
35 l<br />
11<br />
210 l2<br />
11<br />
210 l2 9<br />
13<br />
0 70 l − 420 l2<br />
1<br />
105 l3 13 0 420 l2 − 1<br />
140 l3<br />
1<br />
6 l 0 0 1<br />
3 l 0 0<br />
0<br />
9<br />
70 l<br />
0 − 13<br />
420 l2 − 1<br />
140 l3<br />
13<br />
420 l2 13 11<br />
0 35 l − 210 l2<br />
0 − 11<br />
210 l2<br />
1<br />
105 l3<br />
#<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 44<br />
3.3 Oscillazioni libere non smorzate<br />
L’equazione (3.3) è, come si è detto, l’equivalente dell’eq. (2.1) generalizzata ai sistemi<br />
con più di un grado di libertà, rappresenta cioè l’equazione del moto di un sistema non<br />
soggetto ad azioni esterne ed in assenza di effetti viscosi; come per il caso ad un g.d.l. si<br />
affronterà prima la soluzione di questo problema, per poi generalizzarla ai sistemi forzati<br />
esmorzati.<br />
Per determinare la soluzione dell’eq. (3.3), che qui si riscrive:<br />
si pone:<br />
Mü(t)+Ku(t) =0<br />
u(t) =φz(t) (3.13)<br />
Si assume quindi che la soluzione dell’eq. (3.3) si possa esprimere come il prodotto di un<br />
vettore costante φ per una funzione scalare del tempo z(t); quindi si cerca, se esiste, una<br />
soluzione dell’eq. (3.3) che si possa porre in tale forma.<br />
Sostituendo l’eq. (3.13) nella (3.3) e moltiplicando tutti i termini a sinistra per φ T ,si<br />
ottiene:<br />
φ T Mφ ¨z(t)+φ T Kφ z(t) =0<br />
quindi, tenendo conto che i prodotti φ T Mφ e φ T Kφ sono scalari, dall’equazione precedente<br />
si trae:<br />
¨z(t)<br />
z(t) = − φT Kφ<br />
φ T = −ω2<br />
Mφ<br />
(3.14)<br />
cioè il rapporto tra la derivata seconda di z(t) e la funzione stessa deve uguagliare una<br />
costante negativa. Il segno di questa costante consegue dal fatto che le quantità φT Mφ e<br />
φ T Kφ sono sempre positive. Questo si giustifica osservando che, se si interpreta il vettore<br />
φ come un vettore di spostamenti impressi alla struttura, la quantità φ T Kφ è, a meno<br />
del fattore 1<br />
2 , l’energia elastica della struttura, che è, come noto, sempre positiva. Analogamente<br />
se φ si interpreta come il vettore delle velocità impresse ai nodi della struttura,<br />
φT Mφ è il doppio dell’energia cinetica del sistema, grandezza anch’essa positiva. 2<br />
Dall’eq. (3.14) segue che z(t) deve essere soluzione dell’equazione differenziale:<br />
¨z(t)+ω 2 z(t) =0 (3.15)<br />
che coincide con l’eq. (2.3), dell’oscillatore ad un g.d.l. libero e non smorzato, la cui<br />
soluzione si può porre nella forma:<br />
z(t) =A sin(ωt + φ) (3.16)<br />
in cui A e φ sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto.<br />
Sostituendo l’espressione di z(t) (3.16) nell’eq. (3.13) e quindi questa di nuovo nella<br />
(3.3), si ricava facilmente:<br />
¡ −Mφω 2 + Kφ ¢ A sin(ωt + φ) =0 (3.17)<br />
2 Quindi le matrici M e K sono definite positive
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 45<br />
Perché questa equazione sia soddisfatta per ogni valore di t deve risultare identicamente<br />
nullalaquantità(−Mφω 2 +Kφ). Sostituendo ω 2 con λ, questoimplicachesideveavere:<br />
Kφ = λMφ (3.18)<br />
Questa equazione è identica a quella (A.49) studiata nell’appendice A: λ e φ devono<br />
quindi essere l’autovalore ed il corrispondente autovettore, in forma generalizzata, delle<br />
matrici K e M. Come è stato mostrato nei §§??, ??, ?? ed ??, poichélematriciK e<br />
M sono simmetriche ed il loro determinante non è nullo (come segue dal fatto che sono<br />
definite positive), se n è l’ordine delle matrici, se ciè il sistema ha n g.d.l., l’equazione<br />
(3.18) ha n soluzioni distinte φ 1,...,φ n, a ciascuna delle quali è associato un autovalore<br />
λk (k = 1,...,n) i cui valori non sono necessariamente sempre distinti. Sempre per la<br />
simmetria di M e K si ha che gli autovalori λk e gli autovettori φ k sono reali ed inoltre<br />
i vettori φ k sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base per lo spazio R n :<br />
questo significa che ogni vettore x può essere ottenuto come una combinazione lineare dei<br />
vettori φ k.<br />
Un’ulteriore proprietà che deriva dalla simmetria di M e K èche,perj 6= k si ha:<br />
φ T j Mφ k = φ T j Kφ k = 0 j 6= k (3.19)<br />
Quindi, se si indica con Φ la matrice n × n costruita con gli autovettori φk,risultachele matrici:<br />
Φ T KΦ Φ T MΦ<br />
sono diagonali ed inoltre:<br />
(Φ T MΦ) −1 (Φ T KΦ) =Φ −1 ¡ M −1 K ¢ Φ = Λ (3.20)<br />
in cui Λ indica la matrice diagonale costruita con gli autovalori λk di K e M.<br />
Da queste osservazioni segue che l’equazione (3.3) ha n soluzioni del tipo (3.13), una per<br />
ogni autovettore di M e K: φkzk(t), incuizk(t) è a sua volta la soluzione dell’equazione<br />
dell’oscillatore semplice di frequenza ωk = √ λk, doveλkèil corrispondente autovalore.<br />
Dunque la più generale delle soluzioni dell’eq. (3.3) si potrà esprimere come combinazione<br />
lineare delle precedenti, ossia:<br />
nX<br />
u(t) = φkzk(t) (3.21)<br />
k=1<br />
dove zk(t) è la soluzione della k-esima tra le n equazioni:<br />
¨zk(t)+ω 2 k zk(t) =0 k = 1,...,n (3.22)<br />
che, come è noto dallo studio dei sistemi ad un g.d.l., è:<br />
zk(t) =Ak sin(ωkt + φ k) ω 2 k = λk (3.23)<br />
In conclusione si può affermare che il moto libero di un sistema non smorzato ad n<br />
g.d.l., governato dal sistema di equazioni (3.3), si può ottenere sovrapponendo n oscillazioni<br />
armoniche di frequenza ω1,...,ωn; ad ogni frequenza è associata una “forma” del moto<br />
di oscillazione (detta modo) edefinita dall’autovettore φk, corrispondente all’autovalore<br />
ω 2 k<br />
. Il moto libero di un sistema si decompone quindi in n modi, ciascuno oscillante con<br />
diversa frequenza (la frequenza del modo). Poiché ciascuna delle componenti modali del<br />
moto zk(t) èdefinita a meno di due costanti (l’ampiezza Ak elafaseφ k), l’intero moto<br />
èdefinito a meno di 2n parametri, che si possono determinare imponendo le condizioni<br />
iniziali della posizione u(0) e della velocità ˙u(0) del sistema.
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 46<br />
3.3.1 Esempi<br />
Come primo esempio si studiano le oscillazioni libere del doppio pendolo introdotto nel<br />
§1.2.5, utilizzando le equazioni linearizzate (1.23).<br />
Esempio 3.2 Oscillazioni libere del bipendolo Le equazioni del bipendolo sono state ottenute<br />
nel nel §1.2.5, applicando le equazioni di Lagrange; in forma linearizzata, valida per piccole<br />
oscillazioni, queste sono espresse dalle (1.23). Queste equazioni possono formularsi, con la notazione<br />
delle matrici, nella forma M¨θ + Kθ = 0, incuiθindica il vettore delle coordinate lagrangiane<br />
e le matrici delle masse e delle rigidezze sono:<br />
·<br />
(m1 + m2) l<br />
M =<br />
2 ¸ · ¸<br />
1 m2l1l2<br />
g (m1 + m2) l1 0<br />
K =<br />
m2l1l2<br />
0 gm2l2<br />
Gli autovalori della matrice:<br />
la cui equazione caratteristica è:<br />
m2l 2 2<br />
K −1 "<br />
1<br />
M =<br />
g l1<br />
1<br />
g l1<br />
1<br />
g(m1+m2) m2l2<br />
1<br />
g l2<br />
g2m1 + g2m2 g2 (m1 + m2) λ2 + −l1gm1 − l1gm2 − gl2m1 − gm2l2<br />
g2 (m1 + m2)<br />
#<br />
m1<br />
λ + l1l2<br />
g2 (m1 + m2) =0<br />
sono proporzionali (a meno di 2π) al quadrato dei periodi di oscillazione del sistema. Tali autovalori<br />
si ottengono come radici dell’equazione precedente, e sono:<br />
λ1 = 1<br />
r ³<br />
(l1 + l2)(m1 + m2)+ (m1 + m2) m2 (l1 + l2)<br />
2g<br />
2 + m1 (l1 − l2) 2´<br />
m1 + m2<br />
λ2 = 1<br />
r ³<br />
(l1 + l2)(m1 + m2) − (m1 + m2) m2 (l1 + l2)<br />
2g<br />
2 + m1 (l1 − l2) 2´<br />
m1 + m2<br />
Introducendo le quantità adimensionali µ = m2/(m1 + m2) e η = l2/(l1 + l2), le espressioni dei<br />
due autovalori si semplificano; a meno del fattore 2π p (l1 + l2)/g, che è il periodo di un pendolo<br />
semplice di lunghezza l1 + l2, i periodi di oscillazione del bipendolo dependono soltanto da questi<br />
rapporti:<br />
T1 = 2π<br />
T2 = 2π<br />
s<br />
s<br />
r<br />
(l1 + l2) 1<br />
g 2<br />
(l1 + l2)<br />
g<br />
h<br />
1 + p µ +(1− µ)(1 − 2η) 2<br />
i<br />
r<br />
1<br />
h<br />
1 −<br />
2<br />
p µ +(1− µ)(1 − 2η) 2<br />
i<br />
I corrispondenti autovettori, normalizzati assumendo θ2 = 1, sono indicati dalle espressioni seguenti:<br />
"<br />
1 1−2η+<br />
2<br />
√ µ+(1−µ)(1−2η) 2<br />
# "<br />
1 1−2η−<br />
1−η<br />
1<br />
2<br />
√ µ+(1−µ)(1−2η) 2<br />
#<br />
1−η<br />
1<br />
Nella figura 3.1 sono riportati gli andamenti dei periodi di vibrazione (adimensionalizzate mediante<br />
il fattore 2π p (l1 + l2)/g) dei due modi, in funzione del rapporto µ tralamassam2 e quella totale e<br />
per due casi del rapporto η tra la lunghezza l2 del secondo pendolo e quella totale. In linea continua<br />
è rappresentato il caso η =0.5, con linea punteggiata è rappresentato il caso η =0.25, che peraltro<br />
coincide con quello relativo a η =0.75. Nella successiva figura 3.2 è riportata, in funzione degli
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 47<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
00<br />
0.2<br />
0.4<br />
Figura~3.1: Periodi di vibrazione del bipendolo (normalizzati con il fattore π p (l1 + l2)/g)<br />
in funzione del rapporto µ = m2/(m1 + m2); tratto continuo: η =0.5; linea tratteggiata:<br />
η =0.25 e η =0.75. Le linee superiori si riferiscono al primo modo, quelle inferiori al<br />
secondo.<br />
stessi parametri, l’ampiezza della componente θ1 del vettore delle coordinate, rapportata a θ2,<br />
posta uguale ad 1. Dalla fig. 3.1 si osservi come il periodo del primo modo aumenta al crescere<br />
della seconda massa in rapporto a quella totale, mentre il periodo del secondo diminuisce. Per<br />
µ = 1 (tutta la massa concentrata nel secondo pendololo) il periodo di oscillazione del primo modo<br />
coincide con quello del pendolo semplice di lunghezza l1 + l2; inoltre, dalla fig. 3.2 risulta che<br />
θ2 = θ1 = 1, ossia il pendolo oscilla rigidamente, ignorando la cerniera intermedia. Al diminuire<br />
della massa m2 il periodo del primo modo decresce; se la cerniera è al centro (l1 = l2) i periodi dei<br />
due modi tendono a coincidere mentre θ1 → 0: l’ampiezza delle oscillazioni del pendolo superiore,<br />
dotato di maggiore massa, si riduce e tende ad annullarsi (raffrontata a quella del pendolo di massa<br />
minore) quando tutta la massa è nel nodo superiore.<br />
Si determina ora la storia delle ampiezze delle coordinate angolari θ1 e θ2 per un doppio pendolo<br />
con masse uguali (µ =0.5) e per tre valori del rapporto η = l2/(l1 + l2), assumendo le condizioni<br />
θ1 = θ2 = 1 e ˙ θ1 = ˙ θ2 =0. Indicando con φi (i = 1, 2) gli autovettori si ottengono le equazioni:<br />
· ¸<br />
1<br />
φ1 [a1 cos (0) + b1 sin (0)] + φ2 [a2 cos (0) + b2 sin (0)] =<br />
1<br />
2π<br />
φ1 [−a1 sin(0) + b1 cos(0)] + 2π<br />
· ¸<br />
0<br />
φ2 [−a2 sin(0) + b2 cos(0)] =<br />
0<br />
T1<br />
T2<br />
Per cui dalla seconda equazione segue che b1 = b2 =0mentre la prima si semplifica nella:<br />
· ¸<br />
1<br />
φ1a1 + φ2a2 =<br />
1<br />
Per µ =0.5 ed η =0.5 si ottiene:<br />
φ 1 =<br />
· . 8604<br />
1.0<br />
¸<br />
φ 2 =<br />
0.6<br />
· −. 19372<br />
1.0<br />
T1 = . 9462 T2 =0. 3236<br />
0.8<br />
¸<br />
1
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 48<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
Figura~3.2: Primo elemento del vettore modale in funzione del rapporto µ. I valori positivi<br />
si riferiscono al primo modo, quelli negativi al secondo. Linea punteggiata η =0.25; linea<br />
continua η =0.5; linea tratteggiata η =0.75<br />
e quindi<br />
a1 = 1. 1324 a2 = −. 13243<br />
Combinando questi risultati si ottengono le espressioni:<br />
θ1 = 1. 1324 cos(1. 0569τ) − . 13243 cos(3. 0902τ),<br />
θ2 = . 97432 cos(1. 0569τ)+2. 5654 × 10 −2 cos(3. 0902τ)<br />
in cui τ = t/T0 è un tempo adimensionalizzato con il periodo del pendolo di lunghezza l1 + l2.<br />
Queste due funzioni sono rappresentate nella figura 3.3.<br />
Ripetendo il procedimento per i valori del parametro η di 0.25 e 0.75 rispettivamente, si ottengono<br />
le seguenti esppressioni delle coordinate angolari θ in funzione del tempo:<br />
θ1 = . 97432 cos (1. 0568τ)+2. 5654 × 10 −2 cos (3. 0902τ)<br />
θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ) − . 13243 cos (3. 0902τ)<br />
θ1 = . 65809 cos (1. 0568τ)+. 34188 cos (3. 0902τ)<br />
θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ) − . 13245 cos (3. 0902τ)<br />
Gli andamenti nel tempo sono, nei due casi, rappresentati nelle figure 3.4 e 3.5.<br />
Si noti come il contributo del seondo modo sia poco rilevante per i casi in cui η =0.5 e η =0.25,<br />
mentre diventano importanti, almeno per il moto della massa superiore, nel caso η =0.75. Questo<br />
era d’altra parte prevedibile osservando il grafico della fig. 3.2, dove è evidente, per questo caso, la<br />
grande ampiezza (negativa) della componente θ1 del secondo autovettore. 2<br />
Come secondo esempio si riporta lo studio delle oscillazioni libere di un semplice telaio<br />
di 3 piani con travi indeformabili (shear type).
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 49<br />
1<br />
0.5<br />
00<br />
-0.5<br />
-1<br />
10<br />
20<br />
30<br />
t<br />
Figura~3.3: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.<br />
µ =0.5 η =0.5. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2<br />
1<br />
0.5<br />
00<br />
-0.5<br />
-1<br />
10<br />
20<br />
30<br />
t<br />
Figura~3.4: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.<br />
µ =0.5 η =0.25. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2<br />
40<br />
40<br />
50<br />
50<br />
60<br />
60
3.3 Oscillazioni libere non smorzate 50<br />
1<br />
0.5<br />
00<br />
-0.5<br />
-1<br />
10<br />
20<br />
30<br />
t<br />
Figura~3.5: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.<br />
µ =0.5 η =0.75. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2<br />
Esempio 3.3 Sivoglionodeterminarelefrequenzeeleformemodalideltelaioa3pianirappresentato<br />
in fig. 3.6, ipotizzando che le travi siano indeformabili e trascurando la deformazione<br />
assiale dei pilastri. Si assume inoltre che le masse sono interamente concentrate a livello dei piani.<br />
Le sezioni dei pilastri sono 30 × 30 cm2 , le masse, uguali a tutti i piani, sono di 30 t, il modulo<br />
elastico del materiale E =3× 107 KN/m 2 .<br />
Il sistema ha tre soli gradi di libertà, corrispondenti agli spostamenti dei piani. Numerando le<br />
coordinate lagrangiane ui (gli spostamenti dei piani) partendo dal basso, la matrice di rigidezza si<br />
costruisce facilmente partendo da quella dei pilastri. Indicando con<br />
J = 1<br />
12 0.3 × 0.33 =6. 75 × 10 −4 m 4<br />
il momento di inerzia della sezione di un pilastro e con Kp la rigidezza di un piano:<br />
Kp =2 12EJ<br />
33 La matrice di rigidezza della struttura risulta:<br />
⎡<br />
2Kp<br />
K = ⎣ −Kp<br />
−Kp<br />
2Kp<br />
0<br />
−Kp<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
0 −Kp Kp<br />
40<br />
KN<br />
= 18000<br />
m<br />
Poiché le masse sono concentrate, la matrice M è diagonale:<br />
⎡<br />
30<br />
M = ⎣ 0<br />
0<br />
30<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎦<br />
0 0 30<br />
⎡<br />
⎣<br />
50<br />
60<br />
36000 −18000 0<br />
−18000 36000 −18000<br />
0 −18000 18000<br />
Le frequenze proprie (al quadrato) del telaio si possono calcolare come autovalori della matrice<br />
A = M −1 ⎡<br />
30<br />
K = ⎣ 0<br />
0<br />
30<br />
0<br />
0<br />
⎤−1<br />
⎡<br />
36000<br />
⎦ ⎣ −18000<br />
−18000<br />
36000<br />
⎤ ⎡<br />
0<br />
1200<br />
−18000 ⎦ = ⎣ −600<br />
−600<br />
1200<br />
0<br />
−600<br />
⎤<br />
⎦<br />
0 0 30 0 −18000 18000 0 −600 600<br />
⎤<br />
⎦
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 51<br />
risolvendo l’equazione caratteristica:<br />
Figura~3.6: Schema del telaio esaminato.<br />
det(A−λI) =λ 3 − 3000λ 2 +2160000λ − 216000000 = 0<br />
Si ottengono quindi i tre autovalori, raccolti nella matrice diagonale Λ:<br />
Λ =diag £ 118. 84 932. 97 1948. 2 ¤<br />
ed a cui corrispondono gli autovettori:<br />
⎡<br />
. 32799<br />
Φ = ⎣ . 59101<br />
−. 73698<br />
−. 32799<br />
⎤<br />
. 59101<br />
−. 73698 ⎦<br />
. 73698 . 59101 . 32799<br />
Le frequenze proprie della struttura si ottengono dagli autovalori, ricordando che ωi = √ λi; nella<br />
tabella seguente sono riportati i valori delle frequenze e dei periodi propri della struttura:<br />
modo freq. ω (sec −1 ) period. T (sec)<br />
1 10.90 0.576<br />
2 30.54 0.206<br />
3 44.14 0.142<br />
Nella figura 3.7 sono invece rappresentate le forme modali dei tre modi del telaio. 2<br />
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate<br />
Si torni ora a considerare l’equazione generale della dinamica lineare di sistemi discreti, eq.<br />
(3.4). Se Φ è la matrice degli autovettori φ i di K ed M, soluzione dell’eq. (3.18), poiché<br />
questi autovettori formano una base in R n ,sipuòporre:<br />
u(t) =<br />
nX<br />
φizi(t) =Φz(t) (3.24)<br />
i=1
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 52<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.0 0.0 1.0<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.0 0.0 1.0<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1.0 0.0 1.0<br />
1° modo 2° modo 3° modo<br />
Figura~3.7: Deformate modali del telaio a 3 piani<br />
Sostituendo l’eq. (3.24) nella (3.4) e premoltiplicando quest’ultima equazione per Φ T ,si<br />
ottiene:<br />
Φ T MΦ¨z(t)+Φ T CΦ˙z(t)+Φ T KΦz(t) =Φ T f(t) (3.25)<br />
Perquantovistonel§3.3lematriciΦ T MΦ e Φ T KΦ sono diagonali, ma il termine<br />
Φ T CΦ in generale non risulta diagonale: così il sistema (3.25) non è completamente disaccoppiato<br />
e quindi non è più possibile risolverlo sovrapponendo le soluzioni di n sistemi<br />
ad un g.d.l.<br />
Ciò nonostante si assuma che C sia tale da essere diagonalizzato dagli autovettori Φ,<br />
in modo che si possa porre:<br />
Φ T CΦ = matrice diagonale (3.26)<br />
In questo caso, noto come smorzamento proporzionale o classico, il sistema (3.25) si<br />
decompone in n equazioni indipendenti:<br />
Mi¨zi + Ci ˙zi + Kizi = Fi(t) (3.27)<br />
in cui Mi, Ci e Ki sono i termini non nulli delle matrici diagonali: Φ T MΦ, Φ T CΦ e Φ T KΦ:<br />
Mi = φ T i Mφ i Ci = φ T i Cφ i Ki = φ T i Kφ i (3.28)<br />
e sono detti massa, smorzamento e rigidezza del modo i, mentre<br />
Fi = φ T i f (3.29)<br />
èlaforzamodale.<br />
L’equazione (3.27) è quella di un oscillatore ad 1 gdl aventi massa, rigidezza e smorzamento<br />
del modo i. Dividendo questa equazione per Mi questa si può porre nella forma<br />
standard:<br />
¨zi +2ωiξ i ˙zi + ω 2 i zi = Qi(t) (3.30)
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 53<br />
in cui<br />
ξi =<br />
2 √ (3.31)<br />
KiMi<br />
sono la frequenza naturale non smorzata e lo smorzamento percentuale del modo, mentre<br />
si è posto Qi = Fi/Mi.<br />
ω 2 i = Ki<br />
Mi<br />
3.4.1 Matrice di smorzamento<br />
La capacità dissipativa delle strutture dipende da molti fenomeni che non sono chiaramente<br />
compresi; per questo motivo non è usualmente possibile costruire la matrice C partendo<br />
dalla geometria della struttura e dalle caratteristiche dei materiali, in modo simile a quello<br />
con cui si calcolano le matrici di rigidezza e delle masse. Di solito i valori degli smorzamenti<br />
delle strutture si assegnano globalmente, sulla base di risultati sperimentali, misurati su<br />
strutture di analoghe caratteristiche.<br />
Dati i metodi con cui è possibile misurare lo smorzamento di una struttura (p.es. sulla<br />
base del decadimento di ampiezza delle oscillazioni libere, o sull’ampiezza della risposta<br />
di risonanza), ciò che è noto solitamente sono i valori degli smorzamenti percentuali dei<br />
(primi) modi di vibrazione della struttura; quindi quel che si conosce sono proprio i valori<br />
dei coefficienti ξ i dei primi modi di vibrazione, non i termini cij della matrice C.<br />
L’ipotesi che gli autovalori di M e K diagonalizzino la matrice di smorzamento è dunque<br />
una conseguenza della scarsa conoscenza del fenomeno dello smorzamento; in questi casi<br />
non è effettivamente necessario eseguire la decomposizione della matrice C (che in effetti<br />
non è nota): determinate le caratteristiche dei modi non smorzati, come descritto nel §3.3,<br />
nelle equazioni disaccoppiate (3.30) si introduce un termine dissipativo 2ωiξ i, assegnando<br />
alla percentuale di smorzamento ξ i il valore che compete a quel modo. Le risposte modali<br />
z(t) ottenute integrando le equazioni (3.30) si combinano secondo la (3.24) per ottenere il<br />
vettore degli spostamenti dei nodi u(t), da cui si potrà poi derivare ogni altra grandezza<br />
di interesse fisico, come deformazioni, tensioni, ecc...<br />
In alcuni casi, anziché operare la decomposizione modale, si preferisce integrare numericamente<br />
il sistema di equazioni accoppiate (3.4); questo si verifica ad esempio per<br />
le strutture con comportamento nonlineare, le cui forze interne non seguono la semplice<br />
legge lineare del prodotto di una matrice costante K per il vettore degli spostamenti u.<br />
In questi casi è indispensabile costruire la matrice C partendo dai dati disponibili, cioè gli<br />
smorzamenti modali. 3 √<br />
Dalla seconda delle (3.31) si determinano i coefficienti della matrice<br />
diagonale Ci =2ξi KiMi e quindi invertendo le eq. (3.282) siha:<br />
C = Φ [Ci] Φ T<br />
Ci<br />
(3.32)<br />
Per le strutture con molti gdl questo procedimento risulta molto oneroso: infatti il<br />
calcolo di tutti gli autovettori ed autovalori di una matrice di grandi dimensioni richiede<br />
un notevole impegno di calcolo. L’efficenza dell’analisi modale si basa sul fatto che generalmente<br />
i modi di frequenza più elevata danno un contributo trascurabile alla risposta,<br />
per cui la decomposizione (3.24) può essere sostituita da<br />
mX<br />
u(t) ' φizi(t) (3.33)<br />
i=1<br />
3 A rigore nell’analisi nonlineare non è più lecito parlare di modi e di analisi modale. Tuttavia poiché<br />
per vibrazioni di ampiezza sufficientemente piccola si può ritenere che il sistema si comporti linearmente,<br />
si può comunque fare riferimento ai modi relativi alla matrice di rigidezza “tangente” nell’origine.
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 54<br />
in cui il numero dei modi considerati m ≤ n è spesso molto minore del numero dei gdl<br />
della struttura. Viceversa il calcolo di C mediante la (3.32) richiede che si impieghino tutti<br />
gli autovettori di M e K; infatti se in luogo di Φ si impegasse una matrice rettangolare<br />
composta con i primi m ωm, ciò che, per ragioni di<br />
stabilità e accuratezza dell’algoritmo di integrazione, non è opportuno.<br />
Per costruire una matrice di smorzamento “classica” normalmente si preferisce assumere<br />
che essa sia proporzionale alle matrici M e K:<br />
C =αM+βK (3.34)<br />
con α e β coefficienti opportuni. Questa matrice soddisfa evidentemente la condizione<br />
(3.26) e quindi si ha:<br />
Φ T CΦ =[Ci] =α [Mi]+β [Ki]<br />
da cui si deduce:<br />
ξi = 1<br />
µ <br />
α<br />
+ βωi<br />
2 ωi<br />
(3.35)<br />
in cui ωi indica la frequenza delle oscillazioni libere e non smorzate del modo i. Poiché<br />
mediante la (3.34) C dipende solo dai due coefficienti α e β, è possibile fissare i<br />
valori degli smorzamenti di due soli modi (p.es. del 1 ◦ edel2 ◦ ); gli altri risultano tutti<br />
automaticamente determinati dall’eq. (3.35).<br />
1. Una formulazione più generale, di cui la (3.34) rappresenta un caso particolare, è la<br />
seguente:<br />
C = M<br />
pX<br />
l=0<br />
¡ ¢ −1 l<br />
αl M K<br />
2. Per p = 1 l’eq. (3.36) coincide con la (3.34); per l>1, per l’eq. (3.20) si ha:<br />
Φ −1 ¡ M −1 K ¢ Φ = Λ<br />
da cui segue che M−1K = ΦΛΦ−1 , e di conseguenza:<br />
¡ ¢ −1 l −1 −1 −1<br />
M K = | ΦΛΦ ΦΛΦ{z ···ΦΛΦ } = ΦΛ<br />
l volte<br />
l Φ −1<br />
Sostituendo questa equazione nella (3.36), si ottiene:<br />
e dunque:<br />
C = M<br />
Φ T CΦ = Φ T<br />
"<br />
MΦ X<br />
l<br />
pX<br />
αlΦΛ l Φ<br />
l=0<br />
αlΛ l Φ −1<br />
#<br />
Φ =diag[Mi] X<br />
l<br />
αlΛ l<br />
(3.36)
3.5 Analisi in frequenza 55<br />
ovvero, in forma scalare:<br />
φ T i Cφj = 0 se i 6= j<br />
X<br />
φ T i Cφ i = Mi<br />
l<br />
αlω 2l<br />
i<br />
Si dimostra così che quando C ha la forma (3.36), è diagonalizzata dagli autovalori<br />
di M e K. Inoltre uguagliando lo smorzamento modale a: 2Miωiξ i, si ottiene<br />
l’espressione dello smorzamento del modo i in funzione dei coefficienti αl:<br />
3.5 Analisi in frequenza<br />
3.5.1 Trasformata di Fourier<br />
ξ i = 1<br />
2<br />
X<br />
l<br />
αlω 2l−1<br />
i<br />
(3.37)<br />
Nel paragrafo 2.4 si è visto che, mediante uno sviluppo in serie di Fourier, ogni forzante periodica<br />
di periodo T può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni armoniche<br />
di periodo T,T/2,T/3,..., e quindi, grazie alla linearità delle equazioni del sitema, anche<br />
la risposta si ottiene sovrapponendo le soluzioni ottenute per il caso con forzante armonica,<br />
cioè, per la parte stazionaria, di funzioni armoniche anch’esse di periodo T,T/2,T/3,...<br />
ecc., e con ampiezze e fasi che dipendono, oltre che da quelle delle componenti dell’azione,<br />
dalla funzione di risposta H(ω, ξ) espressa dall’eq. (2.59). Si vogliono generalizzare questi<br />
risultati al caso delle funzioni non periodiche.<br />
L’espressione (2.68) dei coefficienti di Fourier si può scrivere in modo equivalente4 :<br />
TAn =<br />
Z T/2<br />
−T/2<br />
f(t)e −iωnt dt (3.38)<br />
mentre l’espressione della funzione f(t) come combinazione di armoniche diviene:<br />
f(t) = 1<br />
2π<br />
∞X<br />
n=−∞<br />
TAne iωnt ∆ω (3.39)<br />
dove si è posto ∆ω = ω1 = ωn − ωn−1 =2π/T .PerT→∞si ha ovviamente che ∆ω → 0<br />
e la variabile discreta ωn tende alla varibile continua ω. Pertanto, posto TAn = e f(ω) e<br />
tenendo conto che per ∆ω → 0 la sommatoria nell’eq. (3.39) tende al relativo integrale,<br />
dalle equazioni (3.38) e (3.39) si deducono le relazioni:<br />
Z ∞<br />
ef(ω) = f(t)e −iωt dt (3.40)<br />
−∞<br />
f(t) = 1<br />
2π<br />
Z ∞<br />
−∞<br />
ef(ω)e iωt dω (3.41)<br />
La funzione e f(ω) è chiamata trasformata (o integrale) di Fourier della funzione f(t); la<br />
funzione originale (detta anche antitrasformata) e la sua trasformata formano una coppia,<br />
collegate dalle relazioni simmetriche (3.40) e (3.41). Nel seguito verranno illustrate alcune<br />
tra le principali proprietà dell’operazione di trasformazione.<br />
4 Le relazioni (3.40) e (3.41) hanno senso solo se gli integrali impropri convergono: questo implica che:<br />
limt→±∞ |f(t)e iωt | =0ed anche limω→±∞ | e f(ω)e iωt | =0.
3.5 Analisi in frequenza 56<br />
L’operazione di trasformazione e la sua inversa sono lineari, pertanto sono intercambiabili<br />
con ogni altro operatore lineare.<br />
Trasformata di Fourier della derivata. Applicando l’eq. (3.40) alla derivata di f(t)<br />
ed integrando per parti, si ottiene:<br />
fdf dt =<br />
Z ∞ df<br />
−∞ dt e−iωtdt = f(t)e −iωt¯¯ ∞<br />
Z ∞<br />
+ iω f(t)e −∞<br />
−∞<br />
−iωt dt = iω e f(ω)<br />
Avendo tenuto conto di quanto detto nella nota precedente. Applicando più volte il<br />
procedimento risulta:<br />
gd nf dtn =(iω)nf(ω) e (3.42)<br />
Ovvero: la trasformata di Fourier della derivata n-esima di una funzione si ottiene<br />
moltiplicando per (iω) n la trasformata della funzione.<br />
Trasformata di Fourier dell’integrale. L’eq. (3.42), ponendo g(t) = dnf(t)/dtn ,<br />
diviene:<br />
eg(ω) =(iω) n<br />
^<br />
Z Z<br />
··· g(t)dt<br />
da cui segue:<br />
Z<br />
^<br />
Z<br />
··· g(t)dt =(iω) −n eg(ω) (3.43)<br />
e quindi la trasformata dell’integrale di una funzione è data dalla trasformata della<br />
funzione divisa per (iω) n .<br />
Prodotto di convoluzione. Date due funzioni f(t) e g(t), sidefinisce prodotto di<br />
convoluzione, ammesso che esista, l’integrale:<br />
Z ∞<br />
Z ∞<br />
f(t) ∗ g(t) = f(t − τ)g(τ)dτ = f(τ)g(t − τ)dτ (3.44)<br />
−∞<br />
Applicando la (3.40) alla (3.44), dopo uno scambio dell’ordine di integrazione, si<br />
ottiene:<br />
Z ∞ ·Z ∞<br />
]f ∗ g =<br />
−∞<br />
−∞<br />
−∞<br />
¸<br />
f(t − τ)g(τ)dτ e −iωt Z ∞ Z ∞<br />
dt = g(τ) f(t − τ)e<br />
−∞ −∞<br />
−iωt dt dτ<br />
Quindi, ponendo θ = t − τ e sostituendo nella precedente, risulta:<br />
Z ∞<br />
]f ∗ g = g(τ)e −iωτ Z ∞<br />
dτ f(θ)e −iωθ dθ = e f(ω)eg(ω) (3.45)<br />
−∞<br />
−∞<br />
In sintesi: la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni è il<br />
prodotto delle trasformate.<br />
Lo sviluppo in serie di Fourier può quindi essere visto come un caso particolare della<br />
trasformata, nel caso che la funzione sia periodica: infatti è possibile dimostrare che nel<br />
caso in cui la funzione f(t) è periodica, l’integrale (3.40) è nullo ovunque, eccetto un
3.5 Analisi in frequenza 57<br />
numero discreto di punti ωn = 2πn/T , in cui si ha e f(ωn) = Aiδ(ω − ωn); in questa<br />
espressione δ indica la funzione Delta di Dirac ed Ai èilcoefficiente dello sviluppo in serie<br />
di Fourier.<br />
Solo nel caso di funzioni semplici è possibile calcolare analiticamente la trasformata di<br />
Fourier, altrimenti il calcolo deve essere svolto numericamente. In questo caso di fatto la<br />
trasformata viene approssimata con i coefficienti di uno sviluppo in serie di una funzione<br />
periodica di periodo abbastanza grande da coprire tutta la durata di interesse del fenomeno.<br />
Un algoritmo particolarmente efficiente a questo scopo è la Fast Fourier Transform<br />
(FFT) che trasforma una funzione di t, campionata in n punti equidistanti ti nella sua<br />
trasformata, anch’essa campionata in n punti equidistanti ωi.<br />
Se f(t) è una funzione reale, l’eq. (3.40) si può scrivere esplicitamente:<br />
Z ∞<br />
Z ∞<br />
ef(ω) = f(t)cos(ωt)dt − i f(t)sin(ωt)dt<br />
−∞<br />
se f(t) è simmetrica attorno all’origine [f(t) =f(−t)] il secondo integrale è nullo e la<br />
trasformata di Fourier è anch’essa reale.<br />
3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier<br />
Se a tutti i termini dell’equazione dinamica di un oscillatore ad un g.d.l.:<br />
−∞<br />
¨x(t)+2ω0ξ ˙x(t)+ω 2 0x(t) =f(t)<br />
si applica l’operatore trasformata di Fourier, tenendo conto della linearità dell’operatore<br />
e della proprietà (3.42) si ottiene:<br />
−ω 2 ex(ω)+2ω0ξ(iω)ex(ω)+ω 2 0ex(ω) = e f(ω)<br />
In queste equazioni ω0 è la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate del sistema,<br />
mentre ω è il parametro della trasformata di Fourier e ex e e f indicano le trasformate della<br />
risposta e della forzante, rispettivamente. Risolvendo la precedente equazione rispetto ad<br />
ex(ω) si ottiene:<br />
ex(ω) =<br />
1<br />
−ω 2 +2iω0ωξ + ω 2 0<br />
ef(ω) =H(ω, ω0, ξ) e f(ω) (3.46)<br />
dove H(ω, ω0, ξ) è la funzione di trasferimento complessa, già introdotta nel precedente<br />
capitolo [eq. (2.59)] 5<br />
Tenendo conto delle proprietà della trasformata del prodotto di convoluzione espresse<br />
dalle equazioni (3.44) e (3.45), la trasformata inversa della (3.46) si scrive:<br />
Z ∞<br />
x(t) = f(τ)h(t − τ) dτ (3.47)<br />
−∞<br />
in cui h(t) indica la trasformata inversa della funzione di trasferimento H(ω), cioè:<br />
h(t) = 1<br />
Z ∞<br />
H(ω)e<br />
2π<br />
iωt dω (3.48)<br />
−∞<br />
5 Nel capitolo precedente il tempo natorale t era sostituito con il tempo adimensionale τ = ω0t per<br />
questo motivo la funzione H risulta moltiplicata per ω 2 0.Siricordicheβ = ω/ω0.
3.5 Analisi in frequenza 58<br />
Confrontando l’eq. (3.47) con la (2.81) appare evidente che la funzione di trasferimento<br />
H(ω) è la trasformata di Fourier della funzione di risposta ad impulso (2.82) (a meno del<br />
fattore 1/m), pertanto si avrà:<br />
Z ∞ 1<br />
H(ω)e<br />
2π −∞<br />
iωt sin<br />
dω =<br />
³ p ´<br />
2<br />
ω0 1 − ξ t<br />
ω0<br />
p 1 − ξ 2<br />
e −ξω0t<br />
(3.49)<br />
Questa relazione può essere calcolata direttamente, facendo uso della proprietà delle<br />
funzioni olomorfe, per cui si ha:<br />
Z ∞<br />
f(x) dx =2πi X<br />
Residuo [f(zn)]<br />
−∞<br />
dove zn sono i punti di singolarità di f(z) che cadono nella parte superiore del piano<br />
complesso. I punti singolari di H(ω)e iωt sono le radici della funzione a denominatore:<br />
e quindi:<br />
h(t) = eω0t<br />
h √<br />
2 −ξ+i 1−ξ i<br />
−ω 2 +2iω0ωξ + ω 2 0 =0<br />
ω1 2<br />
= ω0<br />
n<br />
·<br />
iξ ±<br />
q<br />
1 − ξ 2<br />
+ e ω0t<br />
h √<br />
2 −ξ−i 1−ξ i<br />
p<br />
2<br />
2iω0 1 − ξ<br />
=<br />
¸<br />
³ p ´<br />
2<br />
sin ω0 1 − ξ t<br />
p e<br />
2 1 − ξ −ξω0t<br />
La funzione h(t) si deve intendere nulla per t < 0; pertanto l’integrale (3.47) si può<br />
estendere all’intervallo [−∞,t]; in questo modo l’eq. (3.47) coincide con la (2.81) quando<br />
il tempo inziale t0 →−∞; questo dimostra che l’eq. (3.46) fornisce la trasformata della<br />
parte stazionaria del moto.<br />
Per un sistema a molti gradi di libertà, supponendo che lo smorzamento sia di tipo<br />
classico, le equazioni del moto possono essere disaccoppiate, riportando il problema a<br />
quello di N oscillatori indipendenti, ciascuno caratterizzato dalla frequenza modale ωn<br />
e dal relativo smorzamento ξ n, per i quali si applica l’eq. (3.46). Quindi eseguendo la<br />
trasformata di Fourier dell’eq. (3.30) si orriene:<br />
in cui<br />
e<br />
Hn(ω) =<br />
ω0<br />
ezn(ω) =Hn(ω) e Qn(ω) (3.50)<br />
1<br />
−ω 2 +2iωωnξ n + ω 2 n<br />
(3.51)<br />
eQn(ω) = φTn ef(ω) (3.52)<br />
Mn<br />
Il vettore e f(ω) è costruito con le trasformate di Fourier delle componenti del vettore delle<br />
forze esterne f(t). L’intero vettore ez(ω) è dato quindi dalla relazione:<br />
ez(ω) =diag[Hn(ω)] ¡ Φ T MΦ ¢ −1 Φ Te f(ω) =diag[Hn(ω)] Φ −1 M −1e f(ω)<br />
(3.53)
3.6Motoditrascinamento 59<br />
e quindi, tenendo conto dell’eq. (3.24), risulta:<br />
La matrice:<br />
eu(ω) =Φez(ω) =Φ diag [Hn(ω)] Φ −1 M −1e f(ω) =H(ω)ea(ω) (3.54)<br />
H(ω) =Φ diag [Hn(ω)] Φ −1<br />
è la matrice di trasferimento della struttura, mentre<br />
(3.55)<br />
ea(ω) =M −1e f(ω) (3.56)<br />
è il vettore delle trasformate di Fourier delle forze normalizzate con la matrice delle masse.<br />
Il calcolo della trasformata diretta ed inversa in forma analitica è possibile solo per<br />
poche semplici funzioni. In generale l’uso delle trasformate di Fourier richiede l’impiego<br />
di procedimenti numerici: utilizzando l’algoritmo FFT si possono calcolare per punti le<br />
funzioni e f(ω) e quindi, mediante le (3.54) si determinano i valori di eu; la risposta si ottiene<br />
poi utilizzando la FFT inversa, applicata a eu.<br />
3.6 Moto di trascinamento<br />
3.6.1 Moto sincrono<br />
Tra le cause che sono in grado di indurre azioni dinamiche significative sulle strutture delle<br />
costruzioni civili la più importante probabilmente è il moto sismico. In questo caso sulla<br />
struttura non agiscono direttamente delle forze, ma solo gli effetti inerziali impressi dal<br />
moto di trascinamento. Infatti, in condizioni sismiche, un riferimento solidale al terreno<br />
non è più, neanche approssimativamente, inerziale e non è più lecito scrivere le equazioni<br />
del moto rispetto ad esso. Si dovrà perciò assumere come riferimento uno solidale al terreno<br />
in quiete; rispetto a questo, supponendo che la fondazione, rappresentata dai nodi vincolati<br />
al terreno, si comporti come un corpo rigido, l’accelerazione dei nodi della struttura si potà<br />
decomporre nella somma di un moto rigido direttamente proporzionale all’accelerazione<br />
alla base e di un termine di moto relativo, che esprime la deformazione della struttura:<br />
ü + Tag(t), incuiu indica ancora il vettore degli spostamenti relativi alla fondazione e<br />
ag è il vettore delle componenti del moto della fondazione; nel caso più generale ag èun<br />
vettore con 6 termini (3 traslazioni e 3 rotazioni). La matrice T, detta di trascinamento,<br />
è la matrice che esprime il moto dei nodi della struttura (considerata rigida) in funzione<br />
di quello della base; essa ha tante colonne quanti sono i termini di ag e tante righe per<br />
quanti sono i g.d.l. della struttura. Tenendo conto che la parte rigida del moto non induce<br />
direttamente tensioni, l’equazione dinamica del sistema si scrive:<br />
M (ü + Tag(t)) + C ˙u + Ku = 0<br />
Portando il termine noto a secondo membro si ottiene:<br />
Mü + C ˙u + Ku = −MTag(t) (3.57)<br />
Questa equazione coincide con la (3.4) se si sostituisce il termine noto f con −Tag. Se<br />
la matrice di smorzamento è di tipo classico l’eq. (3.57) può essere disaccoppiata nelle<br />
equazioni modali ed il termine della forzante del modo i—esimo risulta:<br />
Qi = − φTi MT<br />
ag(t) =−piag(t) (3.58)<br />
φiMφi
3.6Motoditrascinamento 60<br />
Il vettore<br />
pi = φT i MT<br />
φ iMφ i<br />
(3.59)<br />
è detto vettore dei coefficienti di partecipazione del modo i—esimo. Quando il moto della<br />
fondazione è traslatorio in una sola direzione, il vettore ag diviene uno scalare e la matrice<br />
T un vettore; in questo caso anche pi è uno scalare, indicato come coefficiente di<br />
partecipazione del modo.<br />
La matrice P dei coefficienti di partecipazione si può anche esprimere direttamente<br />
come prodotto di Φ −1 T,infatti:<br />
P = ¡ Φ T MΦ ¢ −1 ¡ Φ T MT ¢ = Φ −1 T (3.60)<br />
Questa formulazione non è conveniente per i sistemi con numerosi g.d.l. di cui normalmente<br />
non vengono determinati tutti gli autovettori e pertanto l’eq. (3.60) non è utilizzabile, in<br />
quanto l’intera matrice Φ non è nota.<br />
Esempio 3.4 Determinare i coefficienti di partecipazione dei modi del telaio studiato nell’esempio<br />
3.3 supponendo che il moto di trascinamento sia di sola traslazione in direzione orizzontale.<br />
In questo caso la matrice T diviene un vettore che, per la struttura esaminata, ha tre termini, tutti<br />
uguali ad 1:<br />
T =<br />
⎡<br />
⎣ 1<br />
1<br />
1<br />
ricordando le matrici delle masse e degli autovettori della struttura:<br />
⎡<br />
30<br />
M = ⎣ 0<br />
0<br />
30<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎦<br />
⎡<br />
. 32799<br />
Φ = ⎣ . 59101<br />
−. 73698<br />
−. 32799<br />
. 59101<br />
−. 73698<br />
0 0 30<br />
. 73698 . 59101 . 32799<br />
si ottiene facilmente, per ciascun modo:<br />
ovvero, direttamete:<br />
⎡<br />
p = Φ −1 T = ⎣<br />
⎤<br />
⎦<br />
p1 = φT1 MT<br />
φ T =<br />
1 Mφ1 49. 679<br />
= 1. 656<br />
30.0<br />
p2 = φT2 MT<br />
φ T =<br />
2 Mφ2 −14. 219<br />
= −. 47397<br />
30.0<br />
p3 = φT3 MT<br />
φ T =<br />
3 Mφ3 5. 4606<br />
= . 18202<br />
30.0<br />
. 32798 . 59101 . 73697<br />
−. 73697 −. 32798 . 59101<br />
. 59101 −. 73697 . 32798<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣ 1<br />
⎤ ⎡<br />
1 ⎦ = ⎣<br />
1<br />
⎤<br />
⎦<br />
1. 656<br />
−. 47395<br />
. 18201<br />
Si osservi come i coefficienti di partecipazione diminuiscano in valore assoluto al crescere dell’ordine<br />
del modo: pertanto la forzante modale Qi decresce a sua volta e di conseguenza i modi di ordine<br />
elevato, in questi casi, contribuiscono poco al moto complessivo della struttura. 2<br />
⎤<br />
⎦
3.6Motoditrascinamento 61<br />
3.6.2 Moto non sincrono<br />
Anche se nella maggior parte dei casi l’ipotesi di moto sincrono dei punti vincolati al<br />
terreno sia lecita, ve ne sono alcuni in cui essa non è più accettabile: questo è per esempio<br />
il caso delle strutture spazialmente estese, con vincoli anche molto distanti tra loro, come i<br />
lunghi ponti o viadotti, o le tubazioni dei gasdotti, o nel caso delle sovrastrutture vincolate<br />
in punti diversi di una struttura principale.<br />
Quando il moto di trascinamento non è più sincrono si deve far riferimento al sistema<br />
di assi in quiete: indicando con x il vettore degli spostamenti di tutti inodi della struttura<br />
relativi a questo riferimento, le equazioni di equilibrio dei g.d.l. non vincolati si scrive:<br />
Mff¨xf+Mfg¨xg+Cff ˙xf+Cfg ˙xg+Kffxf+Kfgxg= 0 (3.61)<br />
Il vettore x è stato suddiviso nei sottovettori xf dei gradi di libertà non vincolati e xg del<br />
moto impresso ai g.d.l. vincolati e le matrici delle masse, degli smorzamenti e di rigidezza<br />
sono state coerentemente suddivise. La matrice Kfg tiene conto degli effetti prodotti sui<br />
nodi liberi dalle distorsioni impresse ai vincoli; la matrice Mfg nonènullasolonelcaso<br />
di matrice delle masse “coerente”. È conveniente esprimere xf come somma di una parte<br />
“dinamica” e di una “statica” o distorsiva:<br />
xf = x s f + u (3.62)<br />
in cui u indica la parte “dinamica” del moto e xs f quella “statica”. La parte “statica” si<br />
assume che verifichi l’equazione (3.61) in condizioni statiche, cioè:<br />
da cui si deduce che:<br />
Kffx s f +Kfgxg= 0 (3.63)<br />
x s f<br />
= −K−1<br />
ff Kfgxg<br />
(3.64)<br />
Sostituendo la decomposizione (3.62) nell’eq. (3.61) e tenendo conto della (3.64), si ottiene:<br />
³<br />
Mffü + Cff ˙u + Kffu = MffK −1<br />
ff Kfg−Mfg<br />
´ ³<br />
¨xg+ CffK −1<br />
ff Kfg−Cfg<br />
´<br />
˙xg<br />
(3.65)<br />
In questo modo si è ottinuto di dare all’equazione delle strutture soggette a moto non<br />
sincrono una struttura analoga alla (3.57) relativa al caso sincrono, a parte il termine<br />
a secondo membro dell’eq. (3.65) che dipende dalla velocità del moto di trascinamento.<br />
Inoltre, se si assume che la matrice di rigidezza sia semplicemente proporzionale a quella<br />
delle rigidezze, cioè che sia valida l’eq. (3.34) con α =0, allora sostituendo Cff = βKff<br />
e Cfg = βKfg, l’ultimo termine del secondo membro dell’eq. (3.65) è identicamente nullo<br />
erisulta:<br />
³<br />
Mffü + Cff ˙u + Kffu = MffK −1<br />
ff Kfg−Mfg<br />
´<br />
¨xg<br />
(3.66)<br />
Anche quando non si può sostenere che la matrice di smorzamento è proporzionale alle<br />
rigidezze, se il contributo dello smorzamento alle forze totali è piccolo, il termine di smorzamento<br />
viene comunque trascurato, in modo che il sistema di equazioni assuma la forma<br />
(3.66), formalmente simile a quella delle strutture soggette a moto sincrono.
3.7 Smorzamento non classico 62<br />
Le sollecitazioni dei nodi liberi dipendono solo dalla parte dinamica dello spostamento:<br />
infattisiha:<br />
sf = Kff(u + x s f )+Kfgxg = Kffu (3.67)<br />
L’ultimo risultato si ottiene immediatamente tenendo conto della posizione (3.63). Nei<br />
nodi vincolati invece si avrà:<br />
sg = Kgf(u + x s f )+Kggxg<br />
per cui, tenendo conto della (3.64) e del fatto che Kgf = KT fg ,siottiene:<br />
sg = K T fgu+ ³<br />
Kgg−K T fgK−1 ff Kfg<br />
´<br />
xg<br />
(3.68)<br />
Quindi, contrariamente al caso di moto sincrono, le sollecitazioni nei nodi vincolati dipendono<br />
anche dalle distorsioni indotte dal trascinamento.<br />
3.7 Smorzamento non classico<br />
Si è già detto in precedenza come di solito non sia possibile costruire la matrice di smorzamento<br />
di una struttura per assemblaggio di quelle dei suoi elementi costituenti (p.es.<br />
travi e pilastri) per cui lo smorzamento viene assegnato in termini percentuali direttamente<br />
ai modi della struttura non smorzata, basandosi sui valori misurati sperimentalmente<br />
su edifici analoghi a quello attualmente studiato. Questo modo di procedere presuppone<br />
che la matrice di smorzamento della struttura risulti disaccoppiata dagli autovettori delle<br />
matrici di rigidezza e delle masse, relativi alla struttura non smorzata, ossia che lo smorzamento<br />
sia di tipo “classico” o “proporzionale”, e ques to implica che C si possa ottenere<br />
combinando M e K come espresso dall’eq. (3.34) o, più in generale, (3.36).<br />
In alcuni casi tuttavia l’ipotesi di smorzamento “classico” non è accettabile: questo si<br />
verifica quando per qualche ragione è noto che una parte di una struttura ha uno smorzamento<br />
notevolmente diverso da quello delle altre, come nel caso dello studio dei problemi<br />
di interazione suolo struttura o delle strutture isolate alla base o munite di sistemi di dissipazione<br />
di energia. Ad esempio per lo studio dell’interazione della deformabilità del suolo<br />
con la soprastante struttura è necessario inserire nel modello, insieme alla struttura, anche<br />
una parte del suolo sottostante. È noto che, per varie ragioni, lo smorzamento da assegnare<br />
al suolo è sensibilmente maggiore di quello da attribuire alla struttura soprastante,<br />
ne consegue che la matrice globale risulta non proporzionale 6 .<br />
Quando la matrice di smorzamento non è diagonalizzata dagli autovettori del sistema<br />
non smorzato, la decomposizione modale studiata nei §3.3 ed 3.4 non è più applicabile<br />
perchè il sistema di equazioni che si ottiene utilizzando la trasformazione (3.25) non è più<br />
composto da equazioni indipendenti, poiché la matrice Φ T CΦ non è diagonale e pertanto<br />
nella k—esima equazioni compaiono termini in ˙zj, conj 6= k. Sono stati ideati alcuni metodi<br />
approssimati per superare questo ostacolo, il più semplice dei quali, utilizzabile per<br />
6 Nel caso dei problemi di interazione suolo—struttura, per la costruzione della matrice complessiva si<br />
può procedere nel seguente modo: si costruiscono le matrici di smorzamento Ct e Cs relative al solo terreno<br />
ed alla sola struttura, considerati separati, partendo dalle matrici di rigidezza e delle masse di ciascuna<br />
parte, nell’ipotesi di smorzamento proporzionale, utilizzando le eq. (3.34) o (3.36), e quindi assemblando<br />
queste in un’unica matrice.
3.7 Smorzamento non classico 63<br />
sistemi debolmente smorzati, consiste semplicemente nell’ignorare i termini fuori diagonale,<br />
assumendo quindi per ogni modo lo smorzamento che corrisponde altermine diagonale<br />
della matrice Φ T CΦ. Più in generale, se si vuole tenere correttamente conto della natura<br />
non proporzionale dello smorzamento per un sistema eccitato da una forzante qualsiasi,<br />
ma definita deterministicamente, la via più conveniente è quella di integrare direttamente<br />
le equazioni del moto nel dominio del tempo, impiegando una tecnica numerica del tipo<br />
di quelle illustrate nel §2.6.2. In alcuni casi però, ad esempio nelo studio della risposta ad<br />
un’azione aleatoria, è indispensabile possedere una formulazione analitica dell’equazione,<br />
ottenuta mediante la decomposizione modale: nel seguito sarà illustrato un procedimento<br />
che consente la decomposizione modale di sistemi con matrice di smorzamento di tipo<br />
qualsiasi.<br />
3.7.1 Analisi modale complessa<br />
Riduzione di un’equazione differenziale ad un sistema del primo ordine<br />
Una equazione differenziale lineare di orine m:<br />
con le condizioni iniziali:<br />
y (m) + a1y (m−1) + ···+ am−1y 0 + amy = f<br />
y(0) = y10, y 0 (0) = y20, ... y (m−1) (0) = ym0<br />
può essere sempre trasformata in un sistema di m equazioni del primo ordine; basta per<br />
questo introdurre un vettore di incognite:<br />
y1 = y, y2 = y 0 , ... ym = y (m−1)<br />
e quindi riscrivere l’equazione originale e le definizioni introdotte in modo da formare il<br />
sitema seguente:<br />
y 0 1 = y2<br />
y 0 2 = y3<br />
con le condizioni iniziali<br />
.<br />
y 0 m = −a1ym − a2ym−1 − ···− am−1y2 − amy1 + f<br />
y1(0) = y10, y2(0) = y20, ... ym(0) = ym0<br />
In modo analogo si può mostrare che un sistema di N equazioni di ordine m, si può<br />
trasformare in un sistema di mN equazioni del primo ordine.<br />
Seguendo il procedimento delineato sopra, l’equazione dinamica di una struttura con<br />
N gradi di libertà (3.4) diviene un sistema di 2N equazioni del primo ordine; per questo<br />
si definisce il vettore di stato:<br />
x(t) =<br />
· u(t)<br />
˙u(t)<br />
¸<br />
(3.69)
3.7 Smorzamento non classico 64<br />
la matrice dei coefficienti<br />
ed il vettore dei termini noti:<br />
·<br />
A =<br />
0 I<br />
−M −1 K −M −1 C<br />
·<br />
y(t)=<br />
0<br />
M −1 f(t)<br />
L’equazione (3.4) è quindi equivalente al sistema di primo ordine:<br />
¸<br />
¸<br />
(3.70)<br />
(3.71)<br />
˙x(t) =Ax(t)+y(t) (3.72)<br />
come è facile verificare direttamente, sviluppando la (3.72) e tenendo conto delle definizioni<br />
(3.69), (3.70) e (3.71).<br />
Soluzione di un sistema del primo ordine a coefficienti costanti<br />
L’equazione differenziale (3.72) è a coefficienti costanti, come l’eq. (3.4) da cui deriva.<br />
L’integrale generale dell’eq. (3.72) si può calcolare con la relazione:<br />
x(t) =X(t)x0 +<br />
Z t<br />
0<br />
X(t−τ)y(τ) dτ (3.73)<br />
in cui x0 indica il vettore delle condizioni iniziali di x(t) ed X(t) èlamatrice delle soluzioni<br />
principali. X(t) è una matrice 2N × 2N formata con 2N soluzioni indipendenti dell’equazione<br />
(3.72) resa omogenea e con condizioni iniziali tali che solo una delle componenti di<br />
x(0) è non nulla (ed uguale ad uno). Sinteticamente questo significa che X(t) soddisfa le<br />
condizioni:<br />
˙X(t) =AX(t) X(0) = I (3.74)<br />
dove, come di solito, I indica la matrice unità. La (3.73) si giustifica immediatamente,<br />
calcolando la derivata di x(t) e tenendo conto della (3.74)<br />
Z t<br />
˙x(t) = ˙X(t)x0 + X(0)y(t)+ ˙X(t − τ)y(τ) dτ =<br />
0<br />
Z t<br />
AX(t)x0 + y(t)+A X(t − τ)y(τ) dτ = Ax(t)+y(t)<br />
La soluzione dell’equazione matriciale (3.74) si può scrivere formalmente:<br />
X(t) =e At<br />
in cui con e At siintendelamatricechesiottienecomelimitedellaserie:<br />
e At = I + At + 1<br />
2 (At)2 + 1<br />
3! (At)3 + ···=<br />
0<br />
∞X<br />
n=0<br />
1<br />
n! An t n<br />
(3.75)<br />
(3.76)<br />
Supponendo che la matrice degli autovettori di A, Ψ, sia non singolare, essa definisce una<br />
trasformazione che rende A diagonale [eq. (A.46)] Ψ −1 AΨ = Λ,incuiΛ =diag[λ1, λ2,... ,λ2N]
3.7 Smorzamento non classico 65<br />
è la matrice diagonale degli autovalori di A. Inversamente si ha A = ΨΛΨ−1 ; sostituendo<br />
questa relazione nella (3.76) si ottiene:<br />
e At Ã<br />
∞X<br />
1<br />
= Ψ<br />
n! Λnt n<br />
!<br />
Ψ −1 "<br />
∞X<br />
λ<br />
= Ψ diag<br />
n k<br />
n! tn<br />
#<br />
n=0<br />
n=0<br />
Ψ −1 h i<br />
λkt<br />
= Ψ diag e Ψ −1 = Ψe Λt Ψ −1<br />
(3.77)<br />
Con e Λt si è indicata sinteticamente la matrice diagonale formata con gli esponenziali<br />
degli autovalori di A moltiplicati per t. La soluzione dell’equazione differenziale (3.72) è<br />
quindi ricondotta alla determinazione degli autovalori e degli autovettori della matrice A<br />
dei coefficienti.<br />
Determinazione delle soluzioni modali<br />
Sostituendo nella (3.73) alla matrice delle soluzioni principali X(t) la (3.75) nella forma<br />
(3.77), si ottiene<br />
x(t) =Ψe Λt Ψ −1 Z t<br />
x0 + Ψ e<br />
0<br />
Λ(t−τ) Ψ −1 y(τ) dτ (3.78)<br />
Quindi, introducendo il vettore delle variabili modali z(t):<br />
dalla (3.78) si ottiene:<br />
z(t)= Ψ −1 x(t) ⇐⇒ x(t)= Ψz(t) (3.79)<br />
z(t) =e Λt Z t<br />
z0 +<br />
0<br />
e Λ(t−τ) w(τ) dτ (3.80)<br />
avendo posto, in accordo alla (3.79), z0 = Ψ−1x0 e w(t) =Ψ−1y(t). Tenendo conto che<br />
eΛt è una matrice diagonale, l’eq. (3.80) si decompone in 2N equazioni indipendenti del<br />
tipo:<br />
zk(t) =e λkt<br />
Z t<br />
z0k + e<br />
0<br />
λk(t−τ)<br />
wk(τ) dτ (k = 1, 2,... ,2N) (3.81)<br />
La decomposizione delle matrici simmetriche M e K dava luogo ad autovettori ed<br />
autovalori reali; al contrario gli autovalori e gli autovettori della matrice non simmetrica<br />
A risultano generalmente complessi e, poiché A ha dimensioni pari, si avranno in generale<br />
N coppie di valori complessi coniugati. Se gli autovettori Ψ sono complessi, tali saranno<br />
anche le coordinate modali z(t), mapoichéΨezsono composte da coppie coniugate, il<br />
loro prodotto risulta reale; quindi x risulta reale, come ovvio.<br />
Si consideri il caso di oscillazioni libere (w(t) ≡ 0) per cui si ha zk(t) =z0keλkt ;seλk<br />
fosse reale avremmo un andamento esponenziale del moto e poiché questo non può essere<br />
crescente risulterà λk < 0. Questo è il caso che corrisponde ad uno smorzamento critico o<br />
supercritico per l’oscillatore ad un g.d.l. Per sistemi smorzati in modo subcritico, affinché<br />
il moto sia oscillante, l’autovalore dovrà essere complesso e la parte reale non positiva; i<br />
due autovalori complessi coniugati saranno pertanto<br />
λk = −µ k ± iη k
3.7 Smorzamento non classico 66<br />
in cui µ k e ηk sono numeri reali non negativi. Indicando con ωk = |λk| il modulo<br />
dell’autovalore e ponendo µ k = ξkωk, evidentemente si ha<br />
η k = ωk<br />
per cui la legge temporale del modo zk risulta<br />
zk(t) =z0ke −ξkωkt · µ<br />
cos<br />
ωk<br />
q<br />
1 − ξ 2 k<br />
q<br />
1 − ξ 2 k t<br />
<br />
µ q<br />
+ i sin ωk 1 − ξ 2 kt ¸<br />
(3.82)<br />
La parte reale di questa funzione coincide con la legge del moto di un oscillatore di frequnza<br />
naturale (non smorzata) ωk e smorzamento percentuale ξ k. Dunque il modulo dell’autovalore<br />
complesso λk è la frequenza naturale del modo ed il rapporto tra la parte reale ed<br />
il modulo stesso corrisponde al coefficiente di smorzamento.<br />
Autovettori complessi<br />
Nelle strutture non smorzate, o smorzate in modo classico, se viene eccitato un singolo<br />
modo di vibrazione, la struttura oscilla in modo che, pur variando l’ampiezza, la configurazione<br />
non muta, poiché questa è dall’autovettore reale delle matrici K e M. Per<br />
comprendere quello che accade per le strutture con smorzamento non classico si osservi<br />
che se ψk indica il k—esimo vettore della matrice Ψ, cioèilk—esimo autovettore di A, deve<br />
soddisfare l’equazione Aψk = λkψk. Ricordando la forma<br />
·<br />
della<br />
¸<br />
matrice A [eq. (3.70)] e<br />
φk<br />
suddividendo il vettore ψk in due sottovettori: ψk = si ha:<br />
·<br />
Aψk =<br />
da cui si deducono le due equazioni:<br />
0 I<br />
−M −1 K −M −1 C<br />
¸· φk<br />
$k<br />
$k<br />
−M −1 Kφ k−M −1 C$k = λk$k<br />
¸ ·<br />
φk<br />
= λk<br />
$k<br />
$k = λkφ k (3.83)<br />
Sostituendo la prima nella seconda, dopo aver moltiplicato tutti i termini a sinistra per<br />
M, si ottiene:<br />
¡ λ 2 k M+λkC + K ¢ φ k = 0 (3.84)<br />
Gli autovalori λk si possono quindi ottenere come radici del polinomio di ordine 2N:<br />
det ¡ λ 2 k M+λkC + K ¢ = 0 ed gli autovettori φ k come soluzioni del sistema omogeneo<br />
(3.84).<br />
Ortogonalità degli autovettori<br />
Introducendo le matrici simmetriche:<br />
· ¸<br />
C M<br />
D =<br />
M 0<br />
efacileverificare che<br />
D −1 ·<br />
=<br />
·<br />
−K 0<br />
B =<br />
0 M<br />
0 M −1<br />
M −1 −M −1 CM −1<br />
¸<br />
¸<br />
¸<br />
(3.85)
3.7 Smorzamento non classico 67<br />
e quindi che D −1 B = A. Sostituendo questa posizione nell’equazione agli autovalori di A,<br />
dopo aver moltiplicato i due membri per D risulta<br />
Bψ k = λkDψ k<br />
(3.86)<br />
Poiché le matrici B e D sono simmetriche si verifica facilmente che gli autovettori sono<br />
ortogonali; cioè se ψ k e ψ l sono autovettori che corrispondono a due modi diversi λk 6= λl,<br />
si ha:<br />
ψ T l Bψ k = λkψ T l Dψ k =0 (l 6= k) (3.87)<br />
·<br />
φk<br />
In forma esplicita, ricordando che si è posto ψk =<br />
equazioni<br />
λkφ k<br />
¸<br />
, alla (3.87) corrispondono le<br />
φ T l Kφk=λlλkφ T l Mφk (3.88a)<br />
φ T l Cφk+(λl + λk)φ T l Mφk =0 (3.88b)<br />
Forme di vibrazione delle strutture con smorzamento non classico<br />
Moltiplicando l’ampiezza del modo k, espressa dalla (3.82) per il corrispondente autovettore<br />
φk si ottiene il contributo di questo modo al moto globale della struttura; sommando<br />
poiicontributididuemodicomplessiconiugatisiottienecheilvettoredeglispostamenti<br />
strutturalidovutialmodok, sipossonoesprimerecome<br />
uk(t) =2Re<br />
½<br />
φ kz0ke −ξ k ωkt<br />
·<br />
cos<br />
µ<br />
ωk<br />
q<br />
1 − ξ 2 k t<br />
<br />
µ q<br />
+ i sin ωk 1 − ξ2 kt ¸¾<br />
quindi, ponendo z0k nella forma |z0k|eiϑk e distinguendo φk nelle sue parti reale e immaginaria,<br />
risulta:<br />
½<br />
uk(t) =2Re (κk+iγ k) |z0k|e −ξkωkt · µ q<br />
cos ωk 1 − ξ 2 <br />
kt + ϑk<br />
µ q<br />
+i sin ωk 1 − ξ2 ¸¾<br />
kt + ϑk =<br />
2|z0k|e ξkωkt · µ q<br />
κk cos ωk 1 − ξ2 µ q<br />
kt + ϑk − γk sin ωk 1 − ξ2 ¸<br />
kt + ϑk (3.89)<br />
Questa equazione dimostra come, a differenza del caso delle oscillazioni non smorzate,<br />
o smorzate in modo proporzionale, ora le oscillazioni di ciascun modo sono formate da una<br />
combinazione di due forme, che oscillano con la stessa frequenza ma con una differenza di<br />
fase di π/2, corrispondenti alla parte reale e complessa dell’autovettore.
Capitolo 4<br />
Sistemi continui: onde nei mezzi<br />
elastici<br />
4.1 Introduzione<br />
Nei capitoli precedenti sono stati esaminati sistemi con un numero finito di gradi di libertà.<br />
Da un punto di vista operativo l’aver ristretto lo studio a tali sistemi non è una<br />
limitazione, poiché è sempre possibile approssimare un sistema continuo con uno discreto,<br />
eventualmente fornito di un numero sufficientemente grande di gradi di libertà. In alcuni<br />
casi la discretizzazione è quasi naturale e dà luogo a sistemi con relativamente pochi gradi<br />
di libertà (p.es. gli edifici a telaio multipiano), in altri la discretizzazione è meno ovvia<br />
e richiede, per ottenere una modellazione significativa, l’introduzione di molti gradi di libertà<br />
(p.es. la discretizzazione con elementi finiti di un guscio o di una piastra). Tuttavia,<br />
se la discretizzazione con il metodo degli elementi finiti è uno strumento potente che permette<br />
di risolvere accuratamente problemi complessi, la cui soluzione è inabbordabile per<br />
via analitica, ha il limite di non porre in evidenza i caratteri generali delle soluzioni, che<br />
spesso è possibile ottenere da uno studio attento delle equazioni che reggono il problema e<br />
della struttura delle soluzioni (quando note); tale studio consente spesso di penetrare più<br />
profondamente nella natura del sistema e funge da guida per apprestare gli strumenti di<br />
indagine più appropriati per altri problemi.<br />
Le equazioni della dinamica dei continui si ottengono facilmente estendendo quelle ben<br />
note della statica. In pratica le equazioni di compatibilità cinematica (congruenza) e la<br />
legge costitutiva del materiale (p.es. elastica lineare) non mutano; solo nelle equazioni di<br />
equilibrio si deve tener conto anche degli effetti dell’inerzia. Nel caso di piccoli spostamenti,<br />
quando è possibile sostituire le equazioni di equilibrio relative alla configurazione<br />
di riferimento (configurazione indeformata) a quelle relative alla configurazione attuale, le<br />
equazionidiequilibriosiscrivono:<br />
τ ij/j + gi = ρüi<br />
(4.1)<br />
dove τ ij indica la componente ij del tensore delle tensioni T, gi sono le componenti del<br />
vettore delle forze di volume g, ui sono le componenti del vettore degli spostamenti u<br />
e ρ indica la densità di massa; il pedice /j denota la derivazione rispetto alla j-esima<br />
coordinata spaziale xj, mentre con il punto sopra il simbolo si è indicata la derivata<br />
rispetto alla coordinata temporale t. Pertanto üi èlai-esima componente del vettore<br />
accelerazione; inoltre si è applicata la convenzione di Einstein, per la quale è sottintesa la<br />
68
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 69<br />
somma degli indici ripetuti due volte (p.es. τ ij/j = P<br />
j<br />
(4.1) si può scrivere:<br />
div T+g =ρü<br />
∂τij<br />
∂xj<br />
). Con altra notazione l’eq.<br />
L’equazione (4.1), unita a quella di compatibiltà cinematica ed alla legge costitutiva<br />
del materiale, descrive in modo completo la dinamica delle piccole vibrazioni dei solidi.<br />
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra<br />
4.2.1 Onde stazionarie<br />
Il caso più semplice da esaminire è quello di una barra con asse rettilineo soggetta soltanto<br />
ad azioni parallele all’asse longitudinale. Indicando con x la direzione di questo asse, la<br />
sola componente non nulla di T sarà τ xx = σ; assumendo inoltre nulle le forze di volume,<br />
la (4.1) si semplifica nella sola equazione scalare:<br />
∂σ<br />
∂x = ρ∂2 u<br />
∂t2 In un mezzo elastico lineare e per le ipotesi fatte si ha semplicemente σ = Eε, dove<br />
(4.2)<br />
ε = ∂u<br />
∂x<br />
è la deformazione longitudinale della barra ed E è il modulo elastico del materiale.<br />
Sostituendo queste due ultime relazioni nella (4.2) si ottiene facilmente:<br />
µ<br />
∂<br />
E<br />
∂x<br />
∂u<br />
<br />
∂x<br />
= ρ ∂2 u<br />
∂t 2<br />
e, se le caratteristiche meccaniche sono uniformi nella barra:<br />
che si può anche scrivere:<br />
E ∂2u ∂x2 = ρ∂2 u<br />
∂t2 ∂2u ∂t2 = c2 ∂2u ∂x2 dove, tenendo conto che E e ρ sono grandezze sempre positive, si è posto:<br />
s<br />
E<br />
c =<br />
ρ<br />
Èfacileverificare che l’equazione (4.3) ha soluzioni del tipo:<br />
(4.3)<br />
(4.4)<br />
u (x, t) =f1 (x + ct)+f2 (x − ct) (4.5)<br />
dove f1 ed f2 sono funzioni arbitrarie, purché due volte derivabili, il cui effettivo valore<br />
dipende dalle condizioni iniziali ed al contorno. L’equazione (4.5) rappresenta la sovrapposizione<br />
di due onde, di forma f1(x) ed f2(x), rispettivamente, entrambe viaggianti con<br />
velocità c, la prima nel verso negativo e la seconda in quello positivo dell’asse della barra.
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 70<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
-0.4<br />
-0.6<br />
-0.8<br />
5 10 15 20 25 30<br />
x<br />
Figura~4.1: Moto di un onda di equazione f(x) =sin(x)e −0.03x2<br />
Infatti, se ad esempio f1 assume il valore ū nel punto x0 al tempo t0, lo stesso valore sarà<br />
raggiunto in tutti i punti in cui è soddisfatta la condizione:<br />
x + ct = x0 + ct0<br />
ossia per<br />
x = x0 − c (t − t0)<br />
Questa è l’equazione di un punto che si muove, in direzione negativa, con velocità c.<br />
Analogamente è facile verificare che l’onda f2 si propaga nella direzione positiva con la<br />
medesima velocità. Nella Fig.4.1 è rappresentata in tre differenti istanti l’onda di equazione<br />
sin (x) e−0.03x2 propagantesi in verso positivo.<br />
4.2.2 Barra di lunghezza finita<br />
La soluzione (4.5) dell’equazione (4.3) lascia completamente indeterminata la forma delle<br />
funzioni f1 ed f2. Per rendere la soluzione determinata occorre definire delle condizioni al<br />
contorno, cioè sulle sezioni terminali della barra, e delle condizioni iniziali, cioè lo stato<br />
della barra da un tempo iniziale, per esempio t =0.<br />
Si consideri allora una barra di lunghezza finita l, con condizioni di vincolo nelle basi<br />
che saranno definite in seguito. La soluzione dell’equazione (4.3) viene cercata con il<br />
metodo della separazione delle variabili, ponendo<br />
Sostituendo la (4.6) nella (4.3) si ottiene:<br />
u (x, t) =φ (x) w (t) (4.6)<br />
φ (x) d2w dt2 = c2w (t) d2φ dx2 quindi dividendo entrambi i membri per u e tenendo conto che ora il primo membro<br />
dipende solo da t ed il secondo solo da x, sidovràavere::<br />
1<br />
w(t)<br />
d2w 1<br />
= c2<br />
dt2 d<br />
φ(x)<br />
2φ = −ω2<br />
dx2 (4.7)
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 71<br />
dove ω 2 indica una costante positiva. La ragione della scelta del segno della costante sarà<br />
chiarito tra breve.<br />
Dalla (4.7) si ottengono due equazioni differenziali ordinarie (lineari ed a coefficienti<br />
costanti):<br />
d 2 w<br />
d2φ +<br />
dx2 dt 2 + ω2 w = 0 (4.8)<br />
³ ω<br />
c<br />
´ 2<br />
φ = 0 (4.9)<br />
L’equazione (4.8) coincide con quella (2.3) di un oscillatore semplice non smorzato di<br />
frequenza ω. La soluzione si può scrivere nella forma:<br />
w(t) =e iωt<br />
(4.10)<br />
È ora possibile chiarire la ragione della scelta del segno dell’ultimo membro della<br />
(4.7); se questo fosse stato positivo la soluzione dell’equazione (4.8) sarebbe stata<br />
esponenzialmente crescente nel tempo, violando i principi di conservazione.<br />
Analogamente anche la soluzione dell’equazione (4.9) è una combinazione di funzioni<br />
armoniche:<br />
incuisièposto<br />
φ(x) =Ae iκx + Be −iκx<br />
(4.11)<br />
κ = ω<br />
(4.12)<br />
c<br />
mentre A e B sono costanti complesse che dipendono dai vincoli imposti alle sezioni di<br />
estremità. La soluzione dell’equazione (4.3) si può quindi scrivere:<br />
Estremi liberi<br />
u (x, t) =Ae i(ωt+κx) + Be i(ωt−κx)<br />
(4.13)<br />
Intalcasonellasezionidiascissax =0e x = l si ha σ =0, ovvero, per la proporzionalità<br />
tra tensioni e deformazioni,<br />
εx = ∂u dφ<br />
= w =0 per x =0e x = l<br />
∂x dx<br />
Sostituendo la (4.13) si ottengono le due equazioni:<br />
iκ (A − B) e iωt = 0<br />
³<br />
iκ Ae iκl − Be −iκl´<br />
e iωt = 0<br />
Dalla prima di queste equazioni segue che A = B. Quindi dalla seconda si ricava:<br />
A<br />
³<br />
e iκl − e −iκl´<br />
=2iA sin (κl) =0<br />
Escludendo la soluzione banale A =0, questa equazione è verificata se κl = nπ, doven<br />
indica un arbitrario intero positivo. Dalla condizione κl = nπ segue<br />
κn = nπ<br />
(4.14)<br />
l
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 72<br />
e quindi<br />
ωn = nπ c<br />
(4.15)<br />
l<br />
A ciacun valore di n corrisponde quindi una soluzione dell’equazione (4.3) che rispetta le<br />
condizioni di bordo libero:<br />
in cui<br />
un(x, t) =φ n(x)wn(t) (4.16)<br />
φ n(x) = cos(κnx) (4.17)<br />
wn(t) = Ae iωnt<br />
(4.18)<br />
Le funzioni φ n(x) sono le autofunzioni dell’equazione differenziale (4.9), per le condizioni<br />
ai limiti prescelte; κn sono i corrispondenti autovalori. Ricordando la definizione di κn,<br />
èfacileintendereilsignificato della grandezza, detta lunghezza d’onda, λn =2π/κn = cTn,<br />
dove Tn =2π/ωn è il periodo di oscillazione: λn è lo spazio percorso dall’onda in un periodo<br />
di oscillazione, ma è anche il “periodo” spaziale dell’autofunzione. Il suo inverso (a<br />
meno di 2π) κn è detto numero d’onda.<br />
Estremi vincolati<br />
In questo caso le condizioni al contorno sono φ(0) = φ(l) =0. Di conseguenza dalla (4.13)<br />
si ottiengono le equazioni:<br />
la cui soluzione non banale è<br />
(A + B) e iωt = 0<br />
³<br />
Ae iκl + Be −iκl´<br />
e iωt = 0<br />
A = −B κl = nπ<br />
dove n indica un intero positivo. Quindi i numeri d’onda delle vibrazioni sono, come nel<br />
caso precedente<br />
κn = nπ<br />
l<br />
e di conseguenza anche le frequenze prendono i valori forniti dall’equazione (4.15). La<br />
soluzione dell’equazione delle onde risulta pertanto:<br />
un (x, t) =A sin (κnx) e iωnt<br />
(4.19)<br />
Il fattore 2i è stato incorporato nel coefficiente indeterminato A. Nei due casi esaminati le<br />
vibrazioni in due barre di uguali caratteristiche ma diversamente vincolate alle estremità,<br />
una con le estremità libere e l’altra incastrate, hanno le stesse frequenze e lunghezze<br />
d’onda, ma le onde sono traslate, l’una rispetto a l’altra, del fattore π/2.
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 73<br />
Estremo libero ed estremo vincolato<br />
Se la base iniziale della barra è incastrata , mentre l’altra è libera, le condizioni al contorno<br />
risultano:<br />
(A + B) e iωt = 0<br />
³<br />
iκ Ae iκl − Be −iκl´<br />
e iωt = 0<br />
Dalla prima si trae che A = −B, dalla seconda segue:<br />
e iκl + e −iκl µ<br />
=2cos(κl) =0=⇒ κl = n − 1<br />
<br />
π<br />
2<br />
e quindi<br />
(n = 1, 2,...)<br />
κn =<br />
µ<br />
n − 1<br />
ωn =<br />
<br />
π<br />
2 l<br />
µ<br />
n − 1<br />
<br />
π<br />
2<br />
c<br />
l<br />
(4.20a)<br />
(4.20b)<br />
Il confronto tra le (4.20) e la (4.15) dimostra come le frequenze delle vibrazioni libere<br />
delle barre con vincoli misti sono più basse di quelle di analoghe barre vincolate in modo<br />
uguale ad entrambi gli estremi. Indicando con ωI n lefrequenzediquesteultimeeconωII n<br />
quelle delle barre con vincoli asimmetrici, si ha:<br />
ω II<br />
n<br />
ω I n<br />
= n − 1/2<br />
n<br />
Vibrazioni indotte da una percossa<br />
= 1 − 1<br />
2n = © 0.5 0.75 0.833 ··· ª<br />
Su di una barra lunga l, inizialmente in quiete, vincolata ad un estremo e libera all’altro,<br />
si applichi, all’estremità libera, una pressione di intensità σ0 per un tempo molto breve<br />
∆t, dopo il quale la forza viene rimossa e la barra è lasciata libera di vibrare. Alla fine del<br />
tempo ∆t solo un breve tratto della barra di lunghezza ∆x, infinitesimo dello stesso ordine<br />
di ∆t, avrà avvertito gli effetti della percossa, mentre il resto della barra sarà rimasto in<br />
quiete.<br />
Per valutare gli effetti della forza alla fine del tempo di applicazione, si parte dalla<br />
equazione (4.2); integrando entrambi i membri rispetto ad x, nell’intervallo [0, ∆x], siha:<br />
Z ∆x<br />
σ (∆x, t) − σ (0,t)=ρ ü (x, t) dx (4.21)<br />
Per 0 ≤ t
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 74<br />
Considerando ∆x un infinitesimo, si avrà quindi:<br />
da cui, si ottiene:<br />
σ0∆t = ρ ˙u (0, ∆t) ∆x + O ¡ ∆x 2¢<br />
σ0 ∆t σ0<br />
˙u (0, ∆t) =v0 = lim =<br />
∆t→0 ρ ∆x ρc<br />
(4.22)<br />
in cui c è la velocità di propagazione delle onde.<br />
Per quanto visto nel precedente paragrafo, per una barra con un estremo libero ed uno<br />
vincolato, la soluzione dell’equazione (4.2) si può scrivere:<br />
u (x, t) =<br />
∞X<br />
Ane iωnt<br />
cos (κnx) (4.23)<br />
n=1<br />
dove le espressioni di ωn e κn sono quelle delle eq. (4.20). Diversamente dal caso trattato<br />
prima qui si è posta l’origine del riferimento in corrispondenza dell’estremità libera della<br />
barra, per cui la funzione seno è sostituita dalla funzione coseno. Derivando la (4.23) si<br />
trova l’espressione della velocità:<br />
˙u (x, t) =i<br />
∞X<br />
Anωne iωnt cos (κnx) (4.24)<br />
n=1<br />
Ponendo l’origine dei tempi nell’istante in cui cessa l’azione della forza, al tempo zero la<br />
velocità dei punti della barra è nulla ovunque eccetto il tratto iniziale di lunghezza ∆x<br />
dove prende il valore v0 fornito dalla (4.22). Moltiplicando entrambi i membri della (4.24)<br />
per cos (κjx), ponendo t =0e tenendo conto che ˙u 6= 0solo per x ∈ [0, ∆x], siha:<br />
Z ∆x<br />
∞X<br />
Z l<br />
v0 cos (κjx) dx = i<br />
cos (κjx)cos(κnx) dx<br />
0<br />
n=1<br />
Ajωj<br />
Tenendo conto dell’espressione esplicita di κ ediω [eq. (4.20)] e delle proprietà di ortogonalità<br />
delle funzioni trigonometriche, si ha:<br />
¡ ¡ 3<br />
v0 ∆x + O ∆x ¢¢ l<br />
= iAjωj<br />
2<br />
da cui, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo in ∆x, siricava:<br />
Aj = −i 2v0∆x<br />
ωjl<br />
0<br />
4σ0∆t<br />
= −i<br />
ρ (2j − 1) πc<br />
(4.25)<br />
Sostituendo la (4.25) nella (4.23) ed utilizzando le espressioni esplicite di ω e κ [eq. (4.20)],<br />
si ha l’espressione dell’onda che si propaga nella barra:<br />
u (x, t) = 4σ0∆t<br />
ρπc<br />
∞X<br />
n=1<br />
sin [(2n − 1) ω1t]cos[(2n − 1) κ1x]<br />
(2n − 1)<br />
(4.26)<br />
dove ω1 = πc/2l, è la frequenza del primo modo e κ1 = ω1/c è il corrispondente numero<br />
d’onda..
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 75<br />
≥ΖΜΚΡ ≥ΖΝΚΜ ≥ΖΝΚΡ<br />
≥ΖΟΚΜ ≥ΖΟΚΡ ≥ΖΠΚΜ<br />
≥ΖΠΚΡ ≥ΖΘΚΜ ≥ΖΘΚΡ<br />
Figura~4.2: Rappresentazione della funzione u(x, t) in 6 istanti successivi. τ = ω1t.<br />
In figura 4.2 la funzione u (x, t) è rappresentata in sei istanti successivi. Il tempo τ<br />
è normalizzato con la frequenza del primo modo: τ = ω1t, l’ascissa spaziale è normalizzata<br />
alla lunghezza (ξ = x/l), mentre l’ampiezza dello spostamento è normalizzata con<br />
il fattore 4σ0∆t/ρπc. Come si vede il fronte d’onda presenta una brusca discontinuità<br />
tra la parte indisturbata e quella che ha subito lo spostamento; in questo strato infinitesimo<br />
evidentemente si raggiungono deformazioni infinite: ciò dipende dall’ipotesi fatta<br />
che ∆t sia infinitesiomo e quindi, perché l’impulso σ0∆t sia finito, che σ0 sia infinito. In<br />
realtà la transizione tra le due zone sarà tanto più lunga quanto più lungo è il tempo<br />
di applicazione della forza e proporzionalmente minore la tensione σ0. Infigura 4.3 sono<br />
riportati, sovrapposti, gli andamenti della deformazione ε = ∂u/∂x in tre istanti successivi<br />
(τ =0.5 − 1.0 − 1.5). Il grafico mostra un picco, pronunciato ma di intensità finita, che<br />
interessa un tratto piccolo ma finito della barra, che si propaga, come il fronte d’onda, con<br />
velocità c. Il fatto che il risultato non sia un picco infinito di ampiezza nulla dipende però<br />
solo dal numero finito di armoniche (40) messe in conto nella (4.26) per il calcolo di u. Al<br />
crescere del numero delle armoniche conteggiate, il picco si fa sempre più alto e sottile.<br />
Raggiunta la base fissa, come si vede dalla fig. 4.2, il fronte d’onda torna indietro, fino<br />
alla base libera, dove viene ulteriormente riflessa verso l’interno, però con segno opposto.<br />
Poiché nelle equazioni non sono stati introdotti termini dissipativi, è evidente che il moto<br />
prosegue indefinitamente.
4.3 Onde nel continuo indefinito 76<br />
Figura~4.3: Andamento della tensione nella barra in 3 istanti successivi.<br />
4.3 Onde nel continuo indefinito<br />
Nel continuo tridimensionale le equazioni di equilibrio sono espresse dalla (4.1); a queste si<br />
devono aggiungere le relazioni di compatibilità cinematica che, per piccole deformazioni,<br />
sono:<br />
E = sim grad u (4.27)<br />
dove l’operatore sim (T) indica la parte simmetrica del tensore T, e la legge costitutiva del<br />
materiale. Per un mezzo linearmente elastico ed isotropo questa può formulare nel modo<br />
seguente:<br />
T = λ Tr (E) I+2µE (4.28)<br />
in cui I indica il tensore isotropo, Tr (E) =e è la variazione relativa di volume dell’elemento,<br />
mentre λ e µ sono coefficienti noti come le costanti di Lamè del materiale. Come è noto<br />
queste costanti sono legate al modulo di Young E ed al coefficiente di Poisson ν, dalle<br />
relazioni<br />
λ =<br />
νE<br />
(1 + ν)(1 − 2ν)<br />
Sostituendo le (4.27) e (4.28) nella (4.1) risulta:<br />
µ = G =<br />
E<br />
2(1 + ν)<br />
(4.29)<br />
(λ + µ)graddivu+µ4u + g =ρü (4.30)<br />
in cui 4 indica l’operatore di Laplace: 4 =divgrad= ∂2<br />
∂x2 + ∂2<br />
∂y2 + ∂2<br />
∂z2 .<br />
Si assumano ora nulle le forze di volume, e si ponga<br />
dove:<br />
u = u l + u t<br />
(4.31)<br />
div u t =rotu l =0 (4.32)
4.3 Onde nel continuo indefinito 77<br />
La decomposizione (4.31) di un vettore come somma di uno irrotazionale (u l ) ed uno<br />
adivergenzanulla(u t ) è sempre possibile. Applicando l’operatore divergenza a tutti i<br />
membri della (4.30) e tenendo conto delle (4.31) e (4.32), si ottiene:<br />
div<br />
h<br />
(λ +2µ) ∆u l − ρü li<br />
=0 (4.33)<br />
Analogamente applicando l’operatore rotore e tenendo anche conto che rot grad ≡ 0, si<br />
deduce:<br />
rot £ µ∆u t − ρü t¤ =0 (4.34)<br />
Poiché per le entrambe le quantità in parentesi quadra nelle due equazioni (4.33) e (4.34)<br />
si annullano rotore e divergenza esse sono, a meno di un termine costante, identicamente<br />
nulle; si ottengono così le due equazioni:<br />
dove<br />
cl =<br />
4.3.1 Onde piane<br />
ü l = c 2 l 4ul<br />
ü t = c 2 t 4u t<br />
s s<br />
λ +2µ E 1 − ν<br />
=<br />
ρ ρ (1 + ν)(1 − 2ν)<br />
ct =<br />
r<br />
µ<br />
ρ =<br />
s<br />
E 1<br />
ρ 2(1 + ν)<br />
(4.35a)<br />
(4.35b)<br />
(4.36)<br />
Una soluzione delle equazioni (4.35) è costituita da onde piane che si propagano secondo<br />
una arbitraria direzione n. Infatti posto<br />
u(t, x) =u (x · n ± ct) (4.37)<br />
dove u sta per ul od ut secondo l’equazione considerata e di conseguenza c = cl o c = ct .<br />
Tenendo conto che:<br />
ü =c 2 u 00<br />
4u = u 00 (n · n) =u 00<br />
si vede che la (4.37) soddisfa identicamente ciascuna delle (4.35). Pertanto alle due equazioni<br />
(4.35) corrispondono due tipi di onde che si propagano con velocità differenti: cl<br />
e ct. Le prime sono caratterizzate da un moto irrotazionale, le seconde da divergenza<br />
nulla, quindi, poiché div u = εii = e, è la variazione percentuale di volume, al moto u t<br />
corrisponde una deformazione che non comporta variazione di volume, quindi è una pura<br />
distorsione.<br />
Le funzioni u che soddisfano le equazioni (4.35) sono arbitrarie e vengono definite dalle<br />
condizioni iniziali, ma le componenti u l e u t devono rispettare le condizioni di irrotazionalità<br />
e divergenza nulla. Poiché un campo irrotazionale ammette sempre un potenziale,<br />
si può porre u l =grad[Ψ (x · n−ct)] = Ψ 0 n, ciò dimostra che la componente u l dello<br />
spostamento ha la direzione della propagazione dell’onda. Analogamente la condizione<br />
che div u t =0,implicache ¡ u t¢ 0 · n =0, e dunque, poiché n è una costante,anche che<br />
¡ u t · n ¢ 0 =0, da cui segue che u t ·n =cost. Una traslazione uniforme dell’intero spazio non<br />
è in genere compatibile con le condizioni al contorno; si potrà quindi porre u t ·n =0. Si può<br />
pertanto concludere che la componente u t è perpendicolare alla direzione di propagazione<br />
dell’onda.
4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 78<br />
y<br />
z<br />
Figura~4.4: Rappresentazione schematica di un’onda superficiale piana.<br />
I due tipi di onde sono note in sismologia con i nomi di onde di pressione, odonde-p, e<br />
onde di taglio, odonde-s; le onde p si propagano con velocità superiore alle onde di taglio<br />
(s), le loro velocità sono nel rapporto:<br />
s<br />
= 2+ λ<br />
µ =<br />
r<br />
1 − ν<br />
2<br />
1 − 2ν ≥ √ 2 (4.38)<br />
cl<br />
ct<br />
come si deduce dalle (4.36). L’equazione (4.38) dimostra che il rapporto tra le velocità<br />
delle onde p eles dipende solo dal coefficiente di Poisson ν.<br />
4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh)<br />
Si vuole ora cercare una soluzione dell’equazione delle onde (4.35) che sia valida in un<br />
semispazio in prossimità della sua frontiera. Questa soluzione descrive la propagazione di<br />
onde in prossimità della superficie di separazione del semispazio in uno strato di relativo<br />
piccolo spessore e quindi sono chiamate onde superficiali o onde di Reyleigh in onore del<br />
fisico che per primo studiò questo fenomeno (1885).<br />
Si considererà il caso di un’onda piana, cioè quando le particelle poste in vibrazione<br />
si muovono parallelamente ad un piano che per ovvie ragioni si supporrà ortogonale alla<br />
superficie che delimita il semispazio. Si assumerà un riferimento con origine sulla frontiera<br />
del semispazio, l’asse x nella direzione della propagazione dell’onda e l’asse z ortogonale<br />
alla superficie e rivolto verso l’interno del semispazio. Per le ipotesi fatte il vettore di<br />
spostamento u è contenuto nel piano xz e quindi ha componenti nulle nella direzione<br />
ortogonale y.<br />
Nel paragrafo precedente è stato mostrato che è conveniente esprimere il campo degli<br />
spostamenti come somma di un vettore irrotazionale ed uno a divergenza nulla. Poiché il<br />
x
4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 79<br />
più generale vettore irrotazionale è il gradiente di un potenziale scalare Φ mentre il più<br />
generale vettore a divergenza nulla si esprime come il rotore di un potenziale vettore ψ,<br />
si avrà:<br />
ul =gradΦ ut =rotψ (4.39)<br />
Nel caso piano, Φ e ψ saranno funzioni solo di x e z; inoltre,perchéut sia contenuto nel<br />
piano xz occorre che ψ sia ortogonale a tale piano, quindi che abbia una sola componente<br />
non nulla −Ψ, parallela ad y. In modo esplicito si ha dunque:<br />
ul = ∂Φ<br />
∂x<br />
wl = ∂Φ<br />
∂z<br />
ut = ∂Ψ<br />
∂z<br />
wt = − ∂Ψ<br />
∂x<br />
(4.40)<br />
in cui u, w indicano le componenti sugli assi x e z, rispettivamente, ed i pedici l o t<br />
indicano la parte irrotazionale e quella a divergenza nulla.<br />
equazioni (4.35) si ottiene facilmente:<br />
Sostituendo le (4.40) nelle<br />
µ<br />
∂ ∂2Φ ∂x ∂t2 <br />
= c 2 µ<br />
∂ ∂2Φ l<br />
∂x ∂x2 + ∂2Φ ∂z2 <br />
µ<br />
∂ ∂2Φ ∂z ∂t2 <br />
− ∂<br />
µ<br />
∂2Ψ ∂z ∂t2 <br />
µ<br />
∂ ∂2Ψ ∂x ∂t2 <br />
= c 2 l<br />
= −c 2 t<br />
= c 2 t<br />
µ<br />
∂ ∂2Φ ∂z ∂x2 + ∂2Φ ∂z2 <br />
µ<br />
∂ ∂2Ψ ∂z ∂x2 + ∂2Ψ ∂z2 <br />
µ<br />
∂ ∂2Ψ ∂x ∂x2 + ∂2Ψ ∂z2 <br />
Queste relazioni sono equivalenti alle espressioni più sintetiche:<br />
µ<br />
∂2Φ grad<br />
∂t2 = c2l 4Φ<br />
<br />
µ<br />
∂2Ψ grad<br />
∂t2 = c2 <br />
t 4Ψ<br />
che, a meno di un termine costante, del tutto irrilevante, implicano che:<br />
∂ 2 Φ<br />
∂t 2 = c2 l<br />
4Φ (4.41a)<br />
∂2Ψ ∂t2 = c2t 4Ψ (4.41b)<br />
Queste due equazioni sono simili e si differenziano solo per il diverso valore della velocità<br />
delle onde di pressione rispetto a quelle di taglio; si cercherà ora la struttura della soluzione<br />
di un’equazione del tipo:<br />
∂2F ∂t2 = c24F (4.42)<br />
dove F sta per Φ o Ψ e di conseguenza c varrà cl o ct.<br />
Separando le variabili si pone<br />
F (x, z, t) =X (x) Z (z) φ (t) (4.43)
4.5 Trave a taglio 80<br />
Sostituendo la (4.43) nella (4.42) e dividendo tutti i termini per F = XZφ, siha:<br />
1 d<br />
φ<br />
2 µ<br />
φ 1 d<br />
= c2<br />
dt2 X<br />
2X 1 d<br />
+<br />
dx2 Z<br />
2Z dz2 <br />
4.5 Trave a taglio<br />
Si consideri ora il caso di uno strato delimitato da due piani paralleli tra loro distanti<br />
h. Si assuma un riferimento in cui l’asse z è ortogonale ai due piani, quindi, supponendo<br />
chelostratosiasoggettoadunmotopiano,siindichiconx l’altro asse che, insieme a z,<br />
definisca il piano parallelo alla direzione del moto, così che possa porsi uy =0. Inoltre<br />
si assumerà che la faccia inferiore dello strato (z =0) sia vincolata, per cui u(0,t)=0,<br />
mentre la faccia superiore sarà libera, e quindi T(h, t)k =0; k indica la direzione dell’asse<br />
z.<br />
Si cerca una soluzione delle equazioni (4.35) che soddisfa le condizioni precedenti,<br />
assumendo uz =0ed inoltre che la sola componente di u non nulla, ux, sia funzione della<br />
sola coordinata spaziale z:<br />
ux = u(z, t) uy = uz =0 (4.44)<br />
Di conseguenza la sola componente di deformazione non nulla sarà:<br />
γxz = du<br />
dz<br />
e pertanto la sola componente di T diversadazerosaràτ xz. Le equazioni di equilibrio<br />
(4.1) con g =0si riducono alla sola:<br />
ρ ∂2u ∂t2 = G∂2 u<br />
∂z2 poiché le altre si riducono all’identità 0=0, e da cui si ottiene:<br />
∂2u ∂t2 = c2 ∂2u ∂z2 dove c = p G/ρ è la velocità delle onde di taglio [eq. (4.36)].<br />
Separando le variabili, ponendo:<br />
dalla (4.45) si ottengono le due equazioni ordinarie:<br />
(4.45)<br />
u (z,t) =φ (z) w(t) (4.46)<br />
¨w + ω 2 w = 0 (4.47a)<br />
φ 00 + κ 2 φ = 0 (4.47b)<br />
dove κ = ω/c.<br />
Come nel caso delle vibrazioni longitudinali di una barra, le soluzioni delle equazioni<br />
(4.47) sono funzioni armoniche:<br />
w(t) = e iωt<br />
φ(z) = Ae iκx + Be −iκx<br />
(4.48a)<br />
(4.48b)
4.5 Trave a taglio 81<br />
e quindi<br />
u (x, t) =Ae i(ωt+κx) + Be i(ωt−κx)<br />
Per rispettare le condizioni ai limiti si dovrà avere che u(0,t) = 0 ed inoltre che<br />
τ xz(h) =Gγ xz(h) =Gw dφ<br />
dz |zhl =0, per cui dovranno essere soddisfatte le condizioni:<br />
(A + B)e iωt = 0<br />
³<br />
iκ Ae iκh − Be iκh´<br />
e iωt = 0<br />
da cui si hanno le soluzioni non banali: A = −B e cos (κh) =0,ovvero:<br />
µ<br />
κ = κn = n − 1<br />
<br />
π<br />
2 h<br />
dove n è un intero positivo. A questi valori di κ corrispondono le autofunzioni<br />
φn = φ0n sin<br />
·µ<br />
n − 1<br />
<br />
π<br />
2<br />
z<br />
¸<br />
h<br />
(4.49)<br />
(4.50)<br />
che sono le forme di vibrazione dello strato.<br />
Dalla (4.49) e dalla definizione di κ segue che le frequenze dei modi di vibrazione dello<br />
strato sono:<br />
Oscillazioni forzate<br />
µ<br />
ω = ωn = cκn = n − 1<br />
<br />
π<br />
2<br />
c<br />
h<br />
(4.51)<br />
Si supponga ora che la base dello strato sia soggetta ad un moto assegnato di direzione<br />
x, descritto dalla storia di accelerazione ag(t). Le equazioni di equilibrio (4.1) sono ovviamente<br />
ancora valide, ma devono scriversi con riferimento ad una base inerziale, per cui in<br />
questo caso si ha<br />
µ<br />
ρ ag + ∂2u ∂t2 <br />
= G ∂2u ∂z2 da cui si deduce l’equazione<br />
∂2u ∂t2 − c2 ∂2u ∂z2 = −ag(t) (4.52)<br />
La soluzione di questa equazione si cercherà tra le funzioni che possono esprimersi come<br />
combinazione lineare delle autofunzioni φ n dei modi di vibrazione dello strato, nella forma:<br />
u(z,t) =<br />
∞X<br />
wn (t) φn (z) (4.53)<br />
n=1<br />
che soddisfano in modo implicito le condizioni ai limiti. Questo richiede in via preliminare<br />
la dimostrazione che le autofunzioni φ n formino un sistema ortogonale, ossia che<br />
R h<br />
0 φ n(z)φ k(z)dz =0se n 6= k.
4.5 Trave a taglio 82<br />
Ortogonalità dei modi Per quanto visto prima ogni funzione un(z,t) =wn(t)φ n(z) è<br />
una soluzione dell’equazione di equilibrio<br />
ρün = G ∂2 un<br />
∂z 2<br />
per cui in ogni istante vi è equilibrio tra le tensioni prodotte dalla deformazione elastica un<br />
e le forze esterne −ρün. Seune uk sono gli spostamenti relativi a due modi di vibrazione<br />
n e k, alloraperilteorema di Betti, ad ogni istante, il lavoro fatto dalle forze del modo<br />
n per gli spostamenti del modo k sarà uguale al lavoro delle forze del modo k per gli<br />
spostamenti del modo n. Informule:<br />
Z h<br />
0<br />
(−ρün) ukdz =<br />
Sotituendo ad u il prodotto w(t)φ(z) si ottiene:<br />
¨wnwk<br />
Z h<br />
0<br />
Z h<br />
ρφ n(z)φ k(z)dz =¨wkwn<br />
0<br />
(−ρük) undz<br />
Z h<br />
o<br />
ρφ k(z)φ n(z)dz<br />
quindi, tenendo conto cke per (4.47a) si ha ¨wn/wn = −ω2 n, dividendo ambo i membri<br />
dell’equazione precedente per wnwk si ottiene:<br />
ovvero:<br />
−ω 2 Z h<br />
n ρφn(z)φk(z)dz = −ω<br />
0<br />
2 Z h<br />
k<br />
o<br />
¡ ω 2 n − ω 2 k<br />
¢ Z h<br />
ρφn(z)φk(z)dz =0<br />
Se ω2 n 6= ω2 k la condizione precedente è soddisfatta solo se<br />
Z h<br />
0<br />
0<br />
ρφ k(z)φ n(z)dz<br />
ρφ n(z)φ k(z)dz =0 n 6= k (4.54)<br />
che esprime la condizione di ortogonalità dei modi di vibrazione; quando, come nel caso<br />
esaminato, si suppone che ρ costante nel dominio di integrazione, la condizione (4.54)<br />
diviene semplicemente: R h<br />
0 φ n(z)φ k(z)dz =0.<br />
Soluzione del problema delle oscillazioni forzate Tornando alla determinazione<br />
delle vibrazioni dello strato prodotte dal moto di trascinamento della base vincolata,<br />
sostituendo la (4.53) nella (4.52) e ricordando che, se la serie (4.53) è assolutamente<br />
convergente, l’operatore di somma e quello di derivazione commutano, si ha:<br />
∞X<br />
∞X<br />
¨wn (t) φn (z) − c<br />
n=0<br />
2<br />
wn (t) φ<br />
n=1<br />
00 n (z) =−ag (t)<br />
Eseguendo la sostituzione φ 00 n = −κnφ n, come è lecito per la (4.47b), quindi moltiplicando<br />
tutti i termini di questa equazione per la k-esima autofunzione φ k(z) eperρ ed integrando<br />
su z tra 0 e h, tenendo in conto la (4.54) si ha:<br />
¨wk (t)<br />
Z h<br />
ρφ<br />
0<br />
2 k (z) dz + c2κ 2 kwk Z h<br />
(t) ρφ<br />
0<br />
2 k (z) dz = −ag<br />
Z h<br />
(t)<br />
0<br />
ρφ k (z) dz
4.5 Trave a taglio 83<br />
Dividendo tutti i termini per R h<br />
si deriva;<br />
dove<br />
0 ρφ2 k<br />
(z) dz e ricordando che cκ = ω, dall’ultima equazione<br />
¨wk (t)+ω 2 k wk (t) =−pkag (t) (4.55)<br />
pk =<br />
R h<br />
0 ρφk (z) dz<br />
R h<br />
0 ρφ2k (z) dz<br />
(4.56)<br />
è il coefficiente di partecipazione del modo k.<br />
l’espressione (4.50), pertanto:<br />
Per ρ costante le funzioni φk hanno<br />
pk =<br />
R h<br />
0 sin £¡ k − 1<br />
¢ ¤<br />
z<br />
2 π h dz<br />
R h<br />
φ0k 0 sin2 £¡ k − 1 ¢ ¤ =<br />
z<br />
2 π h dz 1 4<br />
φ0k (2k − 1) π<br />
(4.57)<br />
Icoefficienti pk che “pesano” l’azione ag per ciascun modo, decrescono inversamente al-<br />
l’ordine del modo. Così, normalizzando tutti i modi per cui φ0k = 1 ∀k, il rapporto tra<br />
il coefficiente del modo k ed il primo, pk/p1 = 1/(2k + 1). Ad esempio il coefficiente di<br />
partecipazione del 10◦ modo sarà 1/19 del coefficiente del primo; i modi di ordine molto<br />
elevato pertanto avranno un coefficiente molto piccolo e risulteranno trascurabili.<br />
Se l’eccitazione è una funzione armonica di pulsazione ωf, per quanto visto nel capitolo<br />
2, le ampiezze delle risposte modali wk(t) dipendono, oltre che dall’ampiezza della forzante,<br />
dal rapporto βk = ωf/ωk tra la frequenza della forzante e quella naturale del modo. Poiché<br />
la funzione di amplificazione D [eq. (2.48)] ha un massimo per β ' 1,lerispostedeimodidi<br />
frequenza prossima a quella della forzante saranno amplificati; quelli di frequenza ωk ¿ ωf<br />
(βk À 1) risultano attenuati, poiché D
4.5 Trave a taglio 84<br />
per cui l’equazione di equilibrio diviene:<br />
ρ ∂2 u<br />
∂t 2 = G∂2 u<br />
∂z 2 + η ∂3 u<br />
∂t∂z 2<br />
Si cerca una soluzione della (4.60) ponendo:<br />
u (z,t) =φ (z) e iωt<br />
Sostituendo la (4.61) nella (4.60) si ottiene:<br />
ovvero:<br />
−ρω 2 φ (z) e iωt = Gφ 00 (z) e iωt + iωηφ 00 (z) e iωt<br />
(4.60)<br />
(4.61)<br />
·<br />
φ 00 (z)+ ρω2<br />
¸<br />
φ (z) e<br />
G + iωη iωt =0 (4.62)<br />
I modi di vibrazione dello strato si ottengono quindi come soluzione dell’equazione<br />
φ 00 (z)+κ ∗2 φ (z) =0 (4.63)<br />
per appropriate condizioni al contorno. La costante<br />
κ ∗ r r<br />
ρ ρ<br />
= ω = ω<br />
G∗ |G∗ √<br />
e−iψ (4.64)<br />
|<br />
èilnumero d’onda complesso e G∗ = G − iωη èilmodulo di taglio complesso. Se<br />
si pone ωη =2ζG, doveζèla percentuale di smorzamento rispetto al critico, si ha<br />
G∗ = G (1 +2iζ) e la (4.64) si puòscrivere:<br />
κ ∗ s<br />
ρ<br />
= ω<br />
G ¡ 1 +4ζ 2¢√e−iψ (4.65)<br />
esièpostoψ =tan −1 (2ζ). Le due radici di e −iψ sono quindi e −iζ e e i(π−ζ) .<br />
La soluzione dell’equazione (4.63) si scrive dunque:<br />
φ (z) =Ae iκ∗ z + Be −iκ ∗ z<br />
e quindi u (z, t) = ¡ Ae iκ∗ z + Be −iκ ∗ z ¢ e iωt . Di conseguenza la tensione τ èdatada<br />
τ = G ∂u<br />
∂z + η ∂2 u<br />
∂t∂z<br />
=[G + iωη] ∂φ<br />
∂z eiωt =<br />
G ∗ ³<br />
∗<br />
iκ Ae iκz − Be −iκ∗z ´<br />
e iωt<br />
(4.66)<br />
(4.67)<br />
Se z =0corrisponde alla superficie libera dello strato, si avrà τ (0,t)=0e quindi, per<br />
la (4.67) A − B =0,ossiaA = B.<br />
Si supponga che la base dello strato sia soggetta ad un moto imposto di tipo armonico:<br />
u0 = Ue iωt ; quindi alla base dello strato, per compatibilità cinematica, si dovrà avere:<br />
Ae iκ∗ h + Be −iκ ∗ h = U
4.5 Trave a taglio 85<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100<br />
Figura~4.5: Modulo della funzione di amplificazione per v = 500m/ sec, h = 50m e<br />
ζ =0.1<br />
ed essendo A = B,<br />
A = B =<br />
U<br />
e iκ∗ h + e −iκ ∗ h =<br />
U<br />
2cos(κ ∗ h)<br />
così il rapporto tra l’ampiezza del moto in superficie A + B e quella alla base U è<br />
F (ω) = 2A<br />
U =<br />
1<br />
cos (κ ∗ h)<br />
ed è detta la funzione di amplificazione dello strato. Ponendo κ ∗ = κ1 + iκ2, siha<br />
ed il cui modulo è<br />
1<br />
F (ω) =<br />
cos hκ1 cosh hκ2 − i sin hκ1 sinh hκ2<br />
|F (ω)| =<br />
1<br />
p sinh(κ2h) 2 +cos(κ1h) 2<br />
(4.68)<br />
(4.69)<br />
(4.70)<br />
Per valori piccoli dello smorzamento si ha κ ∗ ' κ (1 − iζ), doveκ = ω p ρ/G = ω/v<br />
è il numero d’onda non smorzato. In tal caso κ1 = κ, κ2 = ζκ. Ponendo ad esempio<br />
v = 500 m/ sec e ζ =0.1, h =50m<br />
Se il terreno è stratificato, la soluzione si può ancora porre nella forma (4.66) all’interno<br />
di ciscuno strato, ma i coefficienti A e B saranno diversi tra uno strato e l’altro. Assumendo<br />
per ciascun strato un riferimento che ha origine sulla superficie limite superiore dello strato<br />
e rivolto verso il basso, le condizioni di compatibilità ed equilibrio tra due strati consecutivi<br />
impongono che:<br />
φk (0) = φk+1 (hk+1)<br />
τ k (0) = τ k+1 (hk+1)
4.6 Vibrazione delle travi inflesse 86<br />
Dalla prima si tre immediatamente che<br />
mentre dalla seconda, ricordando la (4.67) si ha:<br />
ovvero<br />
Ak+1 + Bk+1 = Ake iκ∗ k hk + Bke −iκ∗ k hk (4.71)<br />
G ∗ k+1 iκ∗ k+1 (Ak+1 − Bk+1) =G ∗ k iκ∗ k<br />
³<br />
Ake iκ∗ khk − Bke −iκ∗ khk ´<br />
Ak+1 − Bk+1 = G∗ kiκ∗ k<br />
G∗ k+1iκ∗ ³<br />
Ake<br />
k+1<br />
iκ∗ khk − Bke −iκ∗ khk ´<br />
(4.72)<br />
Ponendo a sistema le (4.71) e (4.72) si ottiene la relazione ricorsiva:<br />
Ak+1 =<br />
Ã<br />
1 + G∗ kiκ∗ k<br />
!<br />
Ake iκ∗ khk Ã<br />
+ 1 − G∗ kiκ∗ k<br />
!<br />
Bke −iκ∗ khk (4.73a)<br />
Bk+1 =<br />
Ã<br />
G ∗ k+1 iκ∗ k+1<br />
1 − G∗ k iκ∗ k<br />
G ∗ k+1 iκ∗ k+1<br />
!<br />
Ake iκ∗ k hk +<br />
Ã<br />
G ∗ k+1 iκ∗ k+1<br />
1 + G∗ k iκ∗ k<br />
G ∗ k+1 iκ∗ k+1<br />
!<br />
Bke −iκ∗ khk (4.73b)<br />
Partendo dallo strato superiore dove, per quanto si è visto A = B e ponendo A = B = 1,<br />
applicando ripetutamente la (4.73) si determinano i coefficienti AN e BN dell’ultimo strato,<br />
la funzione di amplificazione sarà:<br />
F (ω) =<br />
2<br />
ANe iκ∗ N hN + BNe −iκ∗ N hN<br />
4.6 Vibrazione delle travi inflesse<br />
(4.74)<br />
Per una trave di sezione costante deformabile solamente a flessione, l’equazione della linea<br />
elastica è, come noto:<br />
d4v p(x)<br />
=<br />
dx4 EJ<br />
dove v(x) è lo spostamento della linea elastica, p(x) indica la densità del carico, EJ èla<br />
rigidezza alla flessione ed x è l’ascissa lungo la linea d’asse della trave. Nel caso dinamico,<br />
oltre al carico p(x) si dovrà mettere in conto le forze di inerzia; considerando trascurabili<br />
i termini dovuti all’inerzia rotazionale, l’equazione di equilibrio dinamico della trave è:<br />
∂4 µ<br />
v 1<br />
= p(x) − ρ<br />
∂x4 EJ<br />
∂2v ∂t2 <br />
che, ordinata diversamente può scriversi:<br />
∂4v ρ<br />
+<br />
∂x4 EJ<br />
∂2v p(x, t)<br />
=<br />
∂t2 EJ<br />
(4.75)<br />
In questa equazione ρ è la densità di massa della trave e v(x, t) è la linea elastica della<br />
trave, funzione dell’ascissa x e del tempo t.
4.6 Vibrazione delle travi inflesse 87<br />
4.6.1 Oscillazioni libere<br />
Ponendo p ≡ 0, l’equazione (4.75) si semplifica nella:<br />
∂4v ρ<br />
+<br />
∂x4 EJ<br />
∂2v =0 (4.76)<br />
∂t2 la cui soluzione rappresenta le oscillazioni libere della trave. Anche in questo caso la<br />
soluzione si cerca con il metodo di separazione, ponendo:<br />
Sostituendo la (4.77) nella (4.76) si ottiene:<br />
e quindi:<br />
v (x, t) =φ (x) w (t) (4.77)<br />
d4φ ρ<br />
w +<br />
dx4 1 d<br />
φ<br />
4φ dx4 da cui si deducono le due equazioni:<br />
EJ<br />
ρ<br />
EJ φd2 w<br />
=0<br />
dt2 = − 1<br />
w<br />
d2w = ω2<br />
dt2 d 2 w<br />
dt 2 + ω2 w = 0 (4.78a)<br />
d4φ ρω2<br />
− φ = 0 (4.78b)<br />
dx4 EJ<br />
La prima è ancora l’equazione di un oscillatore elementare non smorzato di frequenza<br />
naturale ω2 . La seconda delle (4.78), posto<br />
a 4 = ρω2<br />
EJ<br />
è un’equazione omogenea di quarto grado, la cui equazione caratteristica è<br />
α 4 − a 4 =0<br />
le cui 4 radici sono<br />
α = © a ia −a −ia ª<br />
Quindi la soluzione della (4.78b) è<br />
o, in forma equivalente:<br />
φ(x) =C1e ax + C2e iax + C3e −ax + C4e −iax<br />
(4.79)<br />
φ(x) =A1 sin (ax)+A2 cos (ax)+A3 sinh (ax)+A4 cosh (ax) (4.80)<br />
I valori dei coefficienti Ak (o Ck) dipendono dalle condizioni al contorno, pertanto la<br />
funzione φ risulterà definita solo dopo aver precisato le condizioni di vincolo delle estremità.
4.6 Vibrazione delle travi inflesse 88<br />
Trave appoggiata<br />
Nella trave appoggiata si annullano sia gli spostamenti sia i momenti alle estremità della<br />
trave. Poiché M = EJu 00 le condizioni di vincolo forniscono le 4 equazioni per le funzioni<br />
φ:<br />
φ(0) = 0 φ(l) =0<br />
φ 00 (0) = 0 φ 00 (l) =0<br />
dove l indica la lunghezza della trave. Sostituendo la (4.80) e la sua derivata seconda si<br />
ottengono le seguenti 4 equazioni, le cui incognite sono i coefficienti Ai:<br />
A2 + A4 = 0<br />
−A2 + A4 = 0<br />
A1 sin(al)+A2 cos(al)+A3 sinh(al)+A4 cosh(al) = 0<br />
−A1 sin(al) − A2 cos(al)+A3 sinh(al)+A4 cosh(al) = 0<br />
In altra forma questo sistema si può riscrivere:<br />
⎡<br />
0 1 0 1<br />
⎢ 0<br />
⎣ sin(al)<br />
−1<br />
cos(al)<br />
0<br />
sinh(al)<br />
1<br />
cosh(al)<br />
− sin(al) − cos(al) sinh(al) cosh(al)<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
A1<br />
A2<br />
A3<br />
A4<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ =<br />
Questo sistema omogeneo ha soluzioni non banali solo se il determinante della matrice dei<br />
coefficienti è nullo, ossia se:<br />
−4sinal sinh al =0<br />
che evidentemente è soddisfatta se al = nπ, ossia se:<br />
a = n π<br />
l<br />
Ricordando la definizione (4.79) della costante a si ottengono le frequenze naturali delle<br />
oscillazioni libere non smorzate:<br />
ωn =<br />
s<br />
EJ<br />
ρ a2 = n 2 π 2<br />
s<br />
EJ<br />
ρl4 ⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.81)<br />
Imodidivibrazioneflessionale di una trave elastica di sezione costante sono sinusoidi<br />
la cui “lunghezza d’onda” è un sottomultiplo di l: sin(nπx/l), a ciascun modo corrisponde<br />
una frequenza di vibrazione fornita dall’equazione (4.81).<br />
Mensola<br />
Nel caso di una mensola incastrata nella sezione origine (x =0), le condizioni di vincolo<br />
sono: u(0) = u 0 (0) = 0, M(l) =V (l) =0, ossia nella sezione di incastro si annullano<br />
gli spostamenti e le rotazioni, nella sezione libera saranno nulle le sollecitazioni di taglio<br />
e momento. Queste condizioni implicano che la funzione φ deve verificare le seguenti<br />
equazioni:<br />
φ (0) = φ 0 (0) = 0<br />
φ 00 (l) = φ 000 (l) =0
4.6 Vibrazione delle travi inflesse 89<br />
Sostituendo l’espressione (4.80) della funzione φ si ha il sistema di 4 equazioni nelle 4<br />
incognite Ak:<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0 1 0 1<br />
1 0 1 0<br />
− sin (al) − cos (al) sinh(al) cosh(al)<br />
− cos (al) sin(al) cosh(al) sinh(al)<br />
Il determinante della matrice dei coefficienti è<br />
2+2cosal cosh al<br />
⎤ ⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
A1<br />
A2<br />
A3<br />
A4<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ =<br />
I valori di al che rendono nulla questa funzione devono essere trovati numericamente; le<br />
prime 4 radici sono:<br />
al = © 1. 8751 4. 6941 7. 8548 10. 996 ··· ª<br />
e pertanto le prime 4 frequenze naturali di una mensola omogenea di lunghezza l e rigidezza<br />
flessionale EJ, risultano:<br />
s<br />
EJ<br />
ω =<br />
ρl4 © ª<br />
3. 516 22. 035 61. 698 120. 91 ··· (4.82)<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦
Appendice A<br />
Elementi di algebra lineare<br />
A.1 Spazi vettoriali<br />
Si dice spazio vettoriale un insieme non vuoto V che soddisfa le seguenti condizioni:<br />
1. Se u ed v sono elementi di V, esiste un’operazione, la somma di u e v, che associa a<br />
due elementi di V uno ed un solo elemento dello stesso spazio:<br />
echeverifica le seguenti proprietà:<br />
(a) è commutativa<br />
(b) è associativa:<br />
2. Esiste in V un elemento nullo 0 tale che:<br />
w = u + v<br />
u + v = v + u<br />
u +(v + w) =(u + v)+w<br />
u + 0 = u ∀u ∈ V<br />
3. Per ogni elemento u ∈ V esiste un altro elemento di V, detto l’opposto di u, (−u),<br />
tale che:<br />
u +(−u) =0<br />
4. Se a èunnumeroeu ∈ V, ilprodottodia per u è un vettore v ∈ V:<br />
che verifica le seguenti proprietà:<br />
v = au<br />
a(bu) =(ab)u<br />
1u = u<br />
(a + b)u = au + bu<br />
a(u + v) =au + av<br />
90
A.2 Dipendenza lineare 91<br />
A.2 Dipendenza lineare<br />
Dati n vettori v1,...,vn elementi di V, questisidiconolinearmente dipendenti se esistono<br />
n numeri a1,...,an, non tutti nulli, tali che:<br />
a1v1 + a2v2 + ···+ anvn = 0 (A.1)<br />
Al contrario, se l’eq. (A.1) è vera solo se a1 = a2 = ··· = an =0,ivettoriv1,...,vn si<br />
dicono linearmente indipendenti.<br />
A.3 Dimensionidiunospazio.Basi<br />
Se in uno spazio vettoriale V esistono n vettori linearmente indipendenti e1, e2,...,en, ma<br />
non ne esistono n + 1, sidicecheV ha n dimensioni, e si indica con Vn.<br />
Una n-pla di vettori indipendenti ∈ Vn forma una base dello spazio vettoriale, poiché<br />
ogni vettore w ∈ Vn si può rappresentare con una combinazione lineare dei vettori della<br />
base.<br />
Infatti, se e1,...,en sono una tale base, allora qualunque sia w esisteranno n+1 numeri<br />
aj tali che:<br />
a1e1 + a2e2 + ···+ anen + an+1w = 0 (A.2)<br />
in quanto per ipotesi in Vn non esistono n + 1 vettori linearmente indipendenti; inoltre<br />
an+1 6= 0, poiché in caso contrario i vettori della base {ej} sarebbero linearmente<br />
dipendenti. Quindi, risolvendo la (A.2) rispetto a w si ha:<br />
incuiicoefficienti wj sono dati dalla:<br />
w = w1e1 + w2e2 + ···+ wnen =<br />
wj = − aj<br />
an+1<br />
e sono detti le componenti di w rispetto alla base E = {ej}.<br />
A.4 Prodotto interno<br />
nX<br />
j=1<br />
wjej<br />
(A.3)<br />
Se u, w sono elementi dello spazio vettoriale V, sidefinisce il prodotto interno (o scalare)<br />
dei due vettori un’operazione che associa a u, w un numero (reale o complesso) e si indica<br />
con il simbolo:<br />
hu, wi<br />
Il prodotto interno soddisfa le seguenti condizioni:<br />
1. se a e b sono numeri (reali o complessi) allora:<br />
hau,bwi = abhu, wi<br />
in cui b indica il complesso coniugato di b.
A.5 Vettori ortogonali 92<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
hu, ui ≥ 0<br />
e l’uguaglianza è verificata se e solo se u = 0.<br />
A.5 Vettori ortogonali<br />
hu + v, wi = hu, wi + hv, wi<br />
hu, wi = hw, ui<br />
Due vettori non nulli u e v si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo:<br />
u ⊥ w se hu, wi =0<br />
Se n vettori vj sono tra loro ortogonali allora sono anche linearmente indipendenti.<br />
Infatti in caso contrario esisterebbe una combinazione lineare con coefficienti non tutti<br />
nulli per cui:<br />
nX<br />
ajvj = 0<br />
j=1<br />
Prendento il prodotto interno di ambo i membri di questa equazione ed uno qualsiasi vk<br />
dei vettori dell’insieme, per l’ortogonalità tra essi, si ha evidentemente:<br />
nX<br />
ajhvj, vki = akhvk, vki =0<br />
j=1<br />
Ciòimplica,datochehvk, vki 6=0,cheak =0. Poiché questo e valido per qualunque vk<br />
(k = 1, 2,...,n), ne segue che i coefficienti ak devono essere tutti nulli, quindi i vettori vj<br />
sono linermente indipendenti.<br />
Da quanto dimostrato segue che in uno spazio Vn non possono esistere più di n vettori<br />
tra loro ortogonali.<br />
A.6 Basi ortogonali<br />
Dati n vettori linearmente indipendenti v1, v2, ...,vn, si possono, a partire da questi,<br />
costruire n vettori ortogonali. A questo scopo è sufficiente seguire la procedura:<br />
w1 = v1<br />
w2 = v2 − hw1, v2i<br />
hw1, w1i w1<br />
w3 = v3 − hw1, v3i<br />
hw1, w1i w1 − hw2, v3i<br />
hw2, w2i w2<br />
...<br />
(A.4)
A.7Componentidiunvettore 93<br />
È facile controllare direttamente che i vettori wj sono tra loro ortogonali; la dimostrazione<br />
però non è completa se non si verivica che i denominatori nelle eq. (A.4) sono diversi da<br />
zero. Per questo basta controllare che wk 6= 0 ∀k; ma questo è immediato perché, tenendo<br />
conto che ogni wk è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli di vj, j ≤ k, se<br />
per qualche k risultasse wk = 0, esisterebbe una combinazione lineare dei vettori vj con<br />
risultante nullo, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza dei vettori vj.<br />
Poiché i vettori ortogonali sono indipendenti possono essere impiegati per formare una<br />
base dello spazio Vn. Data una base qualsiasi, seguendo la procedura (A.4), si può sempre<br />
costruire una base ortogonale. Se poi, a partire da una base ortogonale wj si costruisce<br />
un’altra base:<br />
1<br />
uj =<br />
hwj, wji wj ∀j<br />
che soddisfa alla condizione di normalità huj, uji = 1, ∀j, labasecosìottenutasidice<br />
ortonormale.<br />
A.7 Componenti di un vettore<br />
Data una base E ∈ Vn, l’eq. (A.3) dimostra che ogni vettore w può essere rappresentato<br />
come combinazione lineare dei vettori della base. I coefficienti wj della combinazione si<br />
dicono le componenti di w nella base E.<br />
Dati due vettori u ed w, rappresentati nella base E:<br />
la loro somma è data da:<br />
u =<br />
nX<br />
j=1<br />
ujej<br />
u + w =<br />
w =<br />
nX<br />
j=1<br />
nX<br />
(uj + wj)ej<br />
j=1<br />
wjej<br />
(A.5)<br />
(A.6)<br />
cioè le componenti della somma di due vettori si ottengono sommando le componenti<br />
omologhe dei vettori sommati.<br />
Se a è un numero, applicando le proprietà elencate, si ottiene facilmente che:<br />
au =<br />
nX<br />
(auj)ej<br />
j=1<br />
(A.7)<br />
ossia le componenti del vettore ottenuto moltiplicando un vettore per uno scalare si<br />
ottengono moltiplicando le componenti del vettore dato per lo stesso scalare.<br />
Si calcola ora il prodotto interno di due vettori rappresentati nella base E; utilizzando<br />
l’eq. (A.5) e le proprietà del prodotto interno si ottiene:<br />
hu, wi =<br />
nX<br />
j=1 k=1<br />
nX<br />
hej, ekiujwk =<br />
nX<br />
nX<br />
j=1 k=1<br />
gkjujwk<br />
(A.8)<br />
Questa equazione dimostra che il prodotto interno di due vettori si calcola come una forma<br />
quadratica i cui coefficienti:<br />
gkj = hej, eki (A.9)
A.8 Cambiamento di base 94<br />
formano una matrice quadrata hermitiana1 edefinita positiva2 : la prima proprietà è conseguenza<br />
della proprietà 4, mentre quest’ultima discende direttamente dalla proprietà n. 2<br />
del prodotto interno.<br />
Indicando con u e w le matrici n × 1 costruite con le componenti dei vettori u e w, e<br />
con G la matrice quadrata n × n costruita con i coefficienti gkj:<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
u1<br />
w1<br />
g11 g12 ... g1n<br />
⎢<br />
⎢u2<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢w2<br />
⎥ ⎢<br />
u = ⎢ ⎥ w = ⎢ ⎥ G = ⎢g21<br />
g22 ... g2n ⎥<br />
⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣...................<br />
⎦ (A.10)<br />
un<br />
wn<br />
gn1 gn2 ... gnn<br />
il prodotto interno dei vettori u ed w si calcola con la forma quadratica 3 :<br />
A.7.1 Basi ortonormali<br />
hu, wi = w ∗ · G · u = u ∗ · G · w (A.11)<br />
Se E è una base ortonormale, tenendo conto che in tal caso si ha hej, eki =0per j 6= k e<br />
hej, eji = 1, dall’eq. (A.9) segue:<br />
gjk = δjk<br />
in cui δjk indica il simbolo di Kroneker: δjk =0per j 6= k e δjj = 1. Di conseguenza la<br />
matrice G coincide con la matrice unità I ed il prodotto interno di due vettori in questa<br />
base diviene:<br />
hu, wi = u ∗ · I · w = u ∗ · w (A.12)<br />
In questo caso il prodotto interno si riconduce al prodotto matriciale tra una matrice ad<br />
una riga u ∗ ed una matrice ad una colonna w.<br />
A.8 Cambiamento di base<br />
Se E è una base di Vn e E0 un’altra base nello stesso spazio, i vettori e0 j che formano la<br />
seconda base si potranno rappresentare come combinazione di quelli della prima:<br />
e 0 j =<br />
nX<br />
k=1<br />
β kjek<br />
(A.13)<br />
1 Una matrice quadrata si dice hermitiana se per tutti i termini della matrice sono verificate le uguaglianze<br />
ajk = akj. SeconA ∗ si indica la matrice (detta aggiunta) che si ottiene da A scambiando le righe<br />
con le colonne e prendendo il complesso coniugato dei suoi elementi:<br />
A ∗ = A T<br />
una matrice è hermitiana se A = A ∗ . È evidente che gli elementi della diagonale principale di una matrice<br />
hermitiana sono reali. Se una matrice hermitiana è reale allora è una matrice simmetrica, cioè A = A T .<br />
2 Una matrice quadrata n × n A si dice definita positiva se, per per qualsiasi matrice n × 1, x 6= 0 si ha:<br />
x ∗ · A · x > 0<br />
3 Nel caso reale l’eq. (A.11) diviene semplicemente hu, wi = u T · G · w.
A.8 Cambiamento di base 95<br />
Analogamente i vettori della prima base si potranno rappresentare come combinazione di<br />
quelli della seconda:<br />
nX<br />
eh =<br />
(A.14)<br />
αjhe<br />
j=1<br />
0 j<br />
Con i coefficienti βkj e αjh si costruiscono due matrici n × n che, come è facile dimostrare,<br />
sono l’una l’inversa dell’altra. Infatti se si sostituisce l’eq. (A.13) nella (A.14) si ottiene:<br />
nX nX<br />
eh =<br />
(A.15)<br />
αjhβkjek j=1 k=1<br />
Poiché i vettori eh sono linearmente indipendenti, l’equazione (A.15) implica che:<br />
nX<br />
j=1<br />
β kjαjh = δkh<br />
che, con formalismo matriciale, si può scrivere:<br />
da cui segue che, poiché A e B sono quadrate:<br />
(A.16)<br />
B · A = I (A.17)<br />
B = A −1<br />
(A.18)<br />
cioè la matrice B èl’inversadiA (e viceversa).<br />
Se u èunvettorediVn e uT =[u1, u2, ...,un] sono le sue componenti nella base E,<br />
cioè si ha:<br />
nX<br />
u =<br />
j=1<br />
sostituendo ai vettori ej la loro rappresentazione nella base E 0 espressa dall’eq. (A.14), si<br />
ottiene:<br />
incuisièposto<br />
u =<br />
nX<br />
nX<br />
j=1 k=1<br />
u 0 k =<br />
ujej<br />
ujαkjv 0 k =<br />
nX<br />
j=1<br />
αkjuj<br />
nX<br />
k=1<br />
u 0 k v0 k<br />
(A.19)<br />
(A.20)<br />
L’equazione (2.23) mostra che le quantità u 0 k sono le componenti di u nella nuova base E0 ;<br />
con esse si costruisce la matrice u 0 (n×1) , che si ottiene dalla matrice u delle componenti<br />
relative alla base precedente mediante la trasformazione:<br />
u 0 = Au (A.21)
A.9 Operatori lineari 96<br />
A.9 Operatori lineari<br />
Una funzione che associa elementi v di uno spazio vettoriale ad altri elementi dello stesso<br />
spazio, è chiamata un operatore. Se la funzione gode delle proprietà di linearità, è indicata<br />
con il nome di operatore lineare.<br />
Più precisamente, sia L : Vn 7→ Vn, inmodotaleche,se( uw) ∈ Vn e a e b sono<br />
numeri,siha:<br />
L(au + bw) =aL(u)+bL(w)<br />
L è un operatore lineare.<br />
Dato uno spazio vettoriale Vn, seE è una sua base e L un operatore lineare, rappresentando<br />
un vettore u ∈ Vn come combinazione lineare dei vettori della base:<br />
u =<br />
nX<br />
j=1<br />
ujej<br />
(A.22)<br />
ed applicando ad entrambi i membri dell’eq. (A.22) l’operatore L, tenendo conto delle<br />
proprietà prima enunciate, risulta:<br />
L(u) =<br />
nX<br />
ujL(ej) (A.23)<br />
j=1<br />
I vettori L(ej) sono elementi di Vn e quindi si possono rappresentare nella base E;<br />
indicando con akj la componente di L(ej) relativamente a ek, è<br />
L(ej) =<br />
Quindi, sostituendo nell’eq. (A.23) si ottiene:<br />
L(u) =<br />
nX<br />
nX<br />
j=1 k=1<br />
nX<br />
k=1<br />
ujakjek =<br />
akjek<br />
⎛<br />
nX nX<br />
⎝<br />
k=1<br />
akjuj<br />
j=1<br />
⎞<br />
⎠ ek<br />
(A.24)<br />
Dall’eq. (A.24) appare evidente che le componenti del vettore L(u) nella base E, siottengono<br />
combinando linearmente i coefficienti akj con le componenti del vettore origine<br />
u. Raccogliendo le componenti di L(u) ediuin matrici n × 1 eicoefficienti ak,j della<br />
trasformazione nella matrice n × n:<br />
⎡<br />
⎤<br />
a11 a12 ... a1n<br />
⎢a21<br />
a22<br />
L = ⎢ ... a2n ⎥<br />
⎣...................<br />
⎦<br />
an1 an2 ... ann<br />
le componenti di L(u) in E si ottengono dal prodotto:<br />
L · u (A.25)
A.9 Operatori lineari 97<br />
A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare<br />
Se u, w sono due elementi dello spazio vettoriale Vn collegati da una trasformazione lineare<br />
L, in modo che si abbia w = L(u), per l’eq. (A.25), le componenti dei vettori relative ad<br />
una base E si trasformano mediante la relazione lineare:<br />
w = L · u (A.26)<br />
in cui L è una matrice n × n. Passando dalla base E ad una nuova base E 0 le componenti<br />
dei vettori u, w si trasformano in accordo alla eq. (A.21); tenendo conto anche della (A.18)<br />
si ha quindi: w 0 = Aw e u = A −1 u 0 , per cui l’eq. (A.26) diviene:<br />
avendo posto:<br />
w 0 = A · w = A · L · A −1 · u 0 = L 0 · u 0<br />
L 0 = A · L · A −1<br />
(A.27)<br />
(A.28)<br />
L’eq. (A.28) esprime la legge di trasformazione a seguito del cambiamento di base della<br />
matrice L della trasformazione lineare L.<br />
A.9.2 Nucleo di un operatore lineare<br />
Se L indica un operatore lineare in Vn, l’insieme degli elementi dello spazio vettoriale Vn<br />
per cui si ha:<br />
L(v) =0<br />
èchiamatoilnucleo dell’operatore L. Formalmente, il nucleo (L) di un’operatore lineare<br />
èdefinito dalla relazione:<br />
A.9.3 Inverso di un operatore<br />
(L) ={v ∈ Vn|L(v) =0} (A.29)<br />
Sia L un operatore lineare di Vn; datounelementoqualsiasiw ∈ Vn, si supponga che<br />
esista un solo elemento di Vn, v, taleche:<br />
w = L(v)<br />
allora si può definire un operatore w → v, inverso di L:<br />
v = L −1 (w) =L −1 ◦ L(v) (A.30)<br />
Si può dimostrare che, se esiste, L−1 è un operatore lineare e che l’operatore L è<br />
invertibile (cioè esiste il suo inverso L−1 ) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo<br />
vettore nullo:<br />
(L) ={0}<br />
Se L è la matrice dell’operatore L in una base E, allora, se L è invertibile, la matrice<br />
dell’operatore L−1 è l’inversa di L. L’operatore L èinvertibileseesoloseLnon è<br />
singolare (cioè det(L) 6= 0). 4<br />
4<br />
Il determinante è una proprietà intrinseca dell’operatore e non muta con il cambiamento della base.<br />
Infatti, tenendo conto delle note proprietà dei determinanti e dell’eq. (A.28), si ha:<br />
det(A 0 )=det(A · L · A −1 )=det(A)det(L)det(A) −1 =det(A)
A.9 Operatori lineari 98<br />
A.9.4 Operatore identico<br />
L’operatore che trasforma ogni elemento di Vn in se stesso è detto l’operatore identico<br />
dello spazio Vn:<br />
v = I(v) ∀v ∈ Vn<br />
L’eq. (A.30) dimostra che, se un operatore è invertibile, l’applicazione successiva di L<br />
e del suo inverso produce l’operatore identico:<br />
L −1 ◦ L = I<br />
La matrice dell’operatore identico I in Vn è la matrice unitaria I (n × n).<br />
A.9.5 Operatori hermitiani<br />
Siano (v, w) ∈ Vn elementi di uno spazio vettoriale ed L un operatore lineare dello stesso<br />
spazio: poiché L(v) ∈ Vn, si può calcolare il prodotto interno:<br />
hL(v), wi<br />
Esiste ed è unico un altro operatore lineare L ∗ , detto l’operatore aggiunto di L, taleche:<br />
hL(v), wi = hv, L ∗ (w)i (A.31)<br />
Un operatore lineare L si dice hermitiano od autoaggiunto se L = L ∗ , per cui:<br />
hL(v), wi = hv L(w)i<br />
La matrice dell’operatore aggiunto è l’aggiunta della matrice di L, cioèlamatriceche<br />
si ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta:<br />
L ∗ = L T (A.32)<br />
La matrice aggiunta di una matrice reale è la sua trasposta. Una matrice è hermitiana se<br />
coincide con la sua aggiunta A ∗ = A; una matrice reale è autoaggiunta se è simmetrica.<br />
A.9.6 Operatori unitari<br />
Un operatore U si dice unitario se soddisfa la seguente condizione: per ogni (v, w) ∈ Vn,<br />
hU(w), U(v)i = hw, vi (A.33)<br />
Un operatore è unitario solo se U ∗ ◦ U = I. Infatti dalla definizione (A.33) e da quella<br />
di operatore aggiunto (A.31), segue:<br />
hU(v), U(w)i = hv, U ∗ ◦ U(w)i = hv, wi<br />
da cui segue evidentemente che U ∗ ◦ U = I.<br />
Quindi per un operatorunitario esiste sempre l’operatore inverso, e questo coincide con<br />
l’operatore aggiunto.
A.9 Operatori lineari 99<br />
A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore<br />
Se A è un operatore lineare dello spazio vettoriale Vn ed x un elemento di Vn, x è detto<br />
un autovettore di A se per qualche numero λ èverificata l’equazione:<br />
A(x) =λx (A.34)<br />
il numero λ ∈ C è detto l’autovalore di A associato all’autovettore x.<br />
Se ad un autovalore λ sono associati più di un atovettore xk, allora ogni combinazione<br />
lineare di questi autovettori è un autovettore di A. Infatti, per le proprietà degli operatori<br />
lineari e per la (A.34), si ha:<br />
A( X<br />
ckxk) = X<br />
ckA(xk) =λ X<br />
k<br />
k<br />
Gli autovettori che corrispondono ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti.<br />
Siano infatti x1,...,xm m autovettori di A, cui corrispondono diversi autovalori λ1,...,λm.<br />
Se m = 1 l’affermazione è ovvia; infatti cx1 = 0 solo se c =0. Si assuma che l’affermazione<br />
siaveraperm − 1; in questo caso per qualunque combinazione lineare a coefficienti non<br />
tuttinulli,siha:<br />
k<br />
ckxk<br />
c1x1 + c2x2 + ···+ cm−1xm−1 6= 0 (A.35)<br />
Si supponga per assurdo che invece x1,...,xm−1, xm siano linearmente dipendenti. In<br />
questo caso esisterebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli per cui:<br />
c1x1 + c2x2 + ···+ cm−1xm−1 + cmxm = 0 (A.36)<br />
Applicando l’operatore A a tutti i termini della (A.36) e tenendo conto dell’eq. (A.34),<br />
risulta:<br />
c1λ1x1 + c2λ2x2 + ···+ cm−1λm−1xm−1 + cmλmxm = 0 (A.37)<br />
se a questa equazione si sottra la (A.36) moltiplicata per λm, risulta:<br />
c1(λ1 − λm)x1 + c2(λ2 − λm)x2 + ···+ cm−1(λm−1 − λm)xm−1 = 0<br />
ma, dato che per ipotesi λm 6= λk, (k 6= m), questa implicherebbe che x1,...,xm−1 siano<br />
linearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi: quindi l’eq. (A.36) è falsa ed è pertanto<br />
dimpostrato che gli autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.<br />
Indicando con I l’operatore identico, l’equazione (A.34) si può riscrivere:<br />
(A − λI)(x) =0 (A.38)<br />
Ricordando la definizione del nucleo di un operatore, è evidente che gli autovettori associati<br />
all’autovalore λ sono il nucleo dell’operatore (A − λI); ne consegue che λ è un operatore<br />
di A seesolose(A − λI) non è invertibile.<br />
Un’ulteriore proprietà che può essere dimostrata è che ogni operatore A ha almeno un<br />
operatore non nullo. Per quanto visto in precedenza se un operatore lineare ha m atovalori<br />
distinti allora ha anche m autovalori, che tra loro risultano linearmente indipendenti; da<br />
questo consegue che un operatore in Vn non può avere più di n autovalori ed autovettori.
A.10 Vettori in C n 100<br />
A.10 Vettori in C n<br />
Nei paragrafi precedenti si è posto in evidenza come un vettore v ∈ Vn, elemento di uno<br />
spazio vettoriale, sia generalmente diverso dai coefficienti di una sua rappresentazione<br />
relativa ad una qualche base di Vn; per sottolineare questa differenza e non ingenerare<br />
confusione, l’insieme delle componenti di v è stato chiamato matrice n × 1 o matrice<br />
colonna enonvettore, come spesso avviene.<br />
Peraltro lo spazio dei numeri complessi, 5 o, più in generale, il prodotto di n spazi<br />
complessi C × C×··· × C = C n è uno spazio vettoriale, in quanto soddisfa a tutte le<br />
condizioni esposte nel primo paragrafo. Pertanto le n-ple di numeri complessi sono esse<br />
stesse elementi di uno spazio vettoriale, per cui non è improprio chiamare vettore una<br />
matrice-colonna. Quindi l’insieme di n numeri complessi è di per se stesso un vettore,<br />
come elemento di uno spazio C n ma può anche essere la rappresentazione, relativa ad<br />
una qualche base, di un elemento di un altro spazio vettoriale. Ad esempio l’insieme dei<br />
segmenti orientati nello spazio che hanno un estremo in un punto è uno spazio vettoriale; le<br />
coordinate dell’altro estremo del segmento riferite ad una terna cartesiana forniscono una<br />
terna di numeri che sono le componenti del vettore nella base assegnata. Questa terna di<br />
numeri può essere interpretata come un vettore dello spazio R n o come rappresentazione,<br />
riferita ad una certa base, del segmento orientato dello spazio geometrico.<br />
Nel seguito, quando non sarà necessario evidenziare questa distinzione, le n-ple di<br />
numeri reali (o complessi) saranno chiamate vettori.<br />
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice<br />
Sia E una base in Vn; come si è visto, ogni vettore v ∈ Vn può essere rappresentato<br />
dalla matrice (n × 1) delle componenti di v rispetto ad E. Quindi ad ogni vettore in Vn<br />
corrisponde una matrice (n × 1) e ad ogni operatore lineare una matrice (n × n).<br />
Se dunque A è un operatore lineare e A la matrice ad esso associata nella base E, se<br />
λ è un autovalore di A ed x un corrispondente autovettore, le componenti x di x in E,<br />
devono soddisfare l’equazione:<br />
L’eq. (A.39) è equivalente alla:<br />
A · x = λx (A.39)<br />
(A − λI) · x = 0 (A.40)<br />
in cui I indica la matrice unità e 0 è l’elemento nullo di C n .<br />
L’equazione (A.40) è un sistema omogeneo (perché il termine noto è nullo) di n equazioni<br />
nelle n incognite x, lacuimatricedeicoefficienti è (A−λI). Comeènotounsistema<br />
di questo genere ammette soluzioni non banali 6 se e solo se il rango della matrice dei<br />
coefficienti è inferiore al numero delle incognite. Poiché nel caso in esame la matrice è<br />
quadrata questo significa che si dovrà avere:<br />
det(A − λI) =0 (A.41)<br />
5 Analoghe considerazioni si applicano allo spazio dei numeri reali, che si può considerare un sottospazio<br />
di C 6 x = 0 è ovviamente soluzione dell’eq. (A.40), ma essa è priva di interesse e quindi denominata banale
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 101<br />
Sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine n in λ, detto polinomio<br />
caratteristico della matrice A; la condizione (A.41) è quindi un’equazione di grado n in λ,<br />
del tipo:<br />
λ n + p1λ n−1 + p2λ n−2 + ···+ pn =0 (A.42)<br />
Per il teorema fondamentale dell’algebra l’eq. (A.42) ha sempre n soluzioni (radici), reali<br />
o complesse, qualcuna delle quali può avere molteplicità maggiore di 1. Se si indica con λk<br />
una delle m ≤ n radici distinte dell’eq. (A.42) e con rk ≥ 1 la sua molteplicità, l’eq (A.42)<br />
èequivalentea:<br />
mY<br />
(λ − λk) rk =0 (A.43)<br />
k=1<br />
Se λk è una soluzione dell’eq. (A.42), il sistema di equazioni che si ottiene sostituendo<br />
λk a λ nella (A.40) ammette almeno una soluzione non banale.<br />
Se gli autovalori di A sono tutti distinti (cioè se l’equazione caratteristica ha n soluzioni<br />
di molteplicità uno), come si è già visto gli autovettori di A sono linearmente indipendenti:<br />
pertanto con essi si può costruire una base di Vn. In questa base la matrice Φ costruita<br />
con le componenti degli autovettori coincide con la matrice unità. Ora poiché l’eq. (A.39),<br />
scritta per tutti gli autovettori, si può mettere nella forma:<br />
A · Φ = Φ · Λ (A.44)<br />
in cui Λ è la matrice diagonale degli autovettori, se Φ = I, dall’eq.(A.44) segue che A = Λ;<br />
in altre parole si può dire che, nel riferimento che ha per base gli autovettori dell’operatore<br />
A, la matrice ad esso associata è diagonale e coincide con la matrice Λ costruita con i suoi<br />
autovalori, che per ipotesi sono tutti diversi.<br />
La matrice di trasformazione da una base arbitraria E a quella degli autovettori è<br />
evidentemente costituita dalle componenti degli autovettori su questa base; infatti dall’eq.<br />
(A.44) si deduce:<br />
Φ −1 · A · Φ = Λ (A.45)<br />
ovvero, inversamente, si può passare dalla base degli autovettori ad un’altra base E<br />
mediante la trasformazione inversa:<br />
A.11.1 Autovalori multipli, triangolarizzazione<br />
Φ · Λ · Φ −1 = A (A.46)<br />
Se una matrice ha qualche autovalore di molteplicità maggiore di uno non è più garantita<br />
l’esistenza di n autovettori distinti; pertanto non è in generale sempre possibile porre la<br />
matrice nella forma diagonale Λ. Tuttavia è almeno sempre possibile determinare una<br />
trasformazione unitaria che renda la matrice triangolare superiore; anche in questo caso i<br />
termini sulla diagonale principale sono gli autovalori della matrice.<br />
Per dimostrare la precedente affermazione si osservi che una matrice ha sempre almeno<br />
un autovettore; si costruisce allora una base ortonormale in Vn formata con l’autovettore<br />
φ di A econaltrin − 1 vettori ortonormali, ma per altro arbitrari.
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 102<br />
In questa base la prima colonna di A ha tutti i termini nulli, eccetto il primo, che ha il<br />
valore dell’autovalore λ1 associato all’auovettore φ. Infatti in questa base φ ha componenti<br />
[1 00...0] e quindi si dovrà avere:<br />
⎡ ⎤<br />
a11<br />
⎢<br />
⎢a21<br />
⎥<br />
A · φ = ⎢ ⎥<br />
⎣ . ⎦ = λ1φ<br />
⎡ ⎤<br />
1<br />
⎢<br />
⎢0<br />
⎥<br />
= λ1 ⎢ ⎥<br />
⎣.<br />
⎦<br />
0<br />
da cui appare evidente che si avrà<br />
an1<br />
a11 = λ1 aj1 =0 (j =2...n)<br />
La matrice di trasformazione U1 che proietta la matrice in questo riferimento è ovviamente<br />
formata con le componenti dell’autovettore φ e degli altri vettori ortogonali.<br />
Se ora si considera la matrice (n − 1 × n − 1) A1, ottenuta da A eliminandone le prime<br />
riga e colonna, anche questa matrice avrà almeno un autovettore e quindi si potrà costruire<br />
una base di Vn−1 in cui sono nulli tutti i termini della prima colonna di A1, escluso il<br />
primo. La matrice di trasformazione può essere aumentata in Vn, aggiungendovi il vettore<br />
[1 0 ... 0] T e ponendo uguali a zero le componenti dei vettori di Vn−1 su φ. Questamatrice<br />
di trasformazione U2 è ancora unitaria e quindi tale è anche la trasormazione prodotto<br />
U1 · U2; infatti:<br />
(U1 · U2) ∗ · (U1 · U2) =U ∗ 2 · U ∗ 1 · U1 · U2<br />
<strong>It</strong>erando il procedimento alle sottomatrici (n−2×n−2) ...2×2 che via via si formano,<br />
si perviene quindi a costruire una trasformazione ortonormale:<br />
U1 · U2 ···Un−1<br />
che trasforma una generica matrice A in una matrice triangolare superiore, i cui termini<br />
sulla diagonale principale sono gli autovalori di A.<br />
Esempio A.1 La matrice (3 × 3):<br />
⎡<br />
3<br />
A = ⎣0 −2<br />
5<br />
⎤<br />
2<br />
−1⎦<br />
0 4 1<br />
ha l’autovalore triplo λ =3e non può essere diagonalizzata. Si cerca quindi la trasformazione<br />
ortonormale che triangolarizza A. Poiché la prima colonna di A è già nella forma desiderata,<br />
la prima trasformazione sarà la trasformazione identica; quindi: U1 = I. Si considera allora la<br />
sottomatrice (2 × 2):<br />
A1 =<br />
· ¸<br />
5 −1<br />
4 1<br />
che ha l’autovalore doppio λ =3e l’autovettore φ1 =[1/ √ 52/ √ 5] T ; si costruisce quindi la base<br />
ortonormale: · √<br />
1 5<br />
2/<br />
√<br />
2/ 5<br />
√ 5 −1/ √ ¸<br />
5<br />
con cui si forma la trasformazione ortonormale U2:<br />
⎡<br />
1<br />
U2 = ⎣0<br />
0<br />
1/<br />
0<br />
√ 5 2/ √ 0 2/<br />
5<br />
√ 5 −1/ √ ⎤<br />
⎦<br />
5
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 103<br />
Applicando ad A questa trasformazione se ne ottiene la forma triangolare, i termini diagonali<br />
essendo i suoi autovalori:<br />
U T ⎡<br />
· A · U = ⎣ 3 2/√5 −6/ √ 0 3<br />
⎤<br />
5<br />
5 ⎦<br />
0 0 3<br />
2<br />
A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori<br />
Come si è già detto una matrice si dice hermitiana se essa coincide con la matrice dell’operatore<br />
aggiunto, cioè con la matrice coniugata della trasposta : A = AT . La matrice<br />
trasposta coniugata si indica comunemente con il simbolo A∗ ;seAè reale la sua trasposta<br />
coniugata coincide con la trasposta ed una matrice hermitiana e reale è simmetrica.<br />
Una matrice hermitiana (in particolare simmetrica) si può sempre porre nella forma<br />
diagonale. Questa proprietà consegue immediatamente dal fatto, dimostrato in precedenza,<br />
che ogni matrice può essere posta in forma triangolare e che la proprietà di essere<br />
hermitiana si conserva per una trasformazione unitaria; infatti in questo caso si ha:<br />
(U ∗ · A · U) ∗ = U ∗ · A ∗ · U = U ∗ · A · U<br />
dato che per ipotesi A ∗ = A. Poichè d’altra parte una matrice triangolare ed hermitiana<br />
è ovviamente una matrice diagonale, ne consegue che le matrici hermitiane sono sempre<br />
diagonalizzabili. La matrice ortonormale U della trasformazione che la triangolarizza (e<br />
quindi la diagonalizza) è allora la matrice dei suoi autovalori. Da questo segue dunque<br />
immediatamente come corollario che gli autovettori di una matrice hermitiana formano<br />
una base ortogonale.<br />
Un’ulteriore proprietà delle matrici hermitiane è che i loro autovalori sono sempre<br />
reali. Infatti se A è una matrice hermitiana, φ un suo autovettore e λ il corrispondente<br />
autovalore si ha:<br />
A · φ = λφ<br />
quindi, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione a sinistra per φ ∗ , si ottiene:<br />
φ ∗ · A · φ = λφ ∗ · φ (A.47)<br />
Prendendo il trasposto-coniugato 7 dei due membri dell’eq.(A.47):<br />
φ ∗ · A ∗ · φ = λφ ∗ · φ (A.48)<br />
dal confronto tra le equazioni (A.47) e (A.48), tenendo conto che per ipotesi A ∗ = A, ne<br />
consegue che deve risultare λ = λ, ilchesignifica che λ è reale. In particolare se la matrice<br />
A è reale e simmetrica, anche gli autovettori φ sono reali.<br />
7 Èfacileverificare che (A ∗ · B) ∗ = B ∗ · A. Infatti:<br />
(A T B) T = B T A = B T · A
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 104<br />
A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici<br />
Se A e B sono due operatori lineari in Vn ed A e B le corrispondenti matrici in una<br />
opportuna base E, l’equazione (A.39) può essere generalizzata nel modo seguente:<br />
A · x = λB · x (A.49)<br />
Se l’operatore B è invertibile, in modo che esista la matrice inversa di B, allora<br />
l’eq. (A.49) è equivalente a:<br />
B −1 · A · x = λx<br />
che è equivalente alla (A.39), ove si sostituisca A con B −1 · A.<br />
Se A e B sono matrici hermitiane, la matrice B −1 ·A nonloè;pertantononèpossibile<br />
direttamente estendere le proprietà delle matrici hermitiane (autovalori reali, esistenza in<br />
ogni caso della trasformazione diagonale, ecc.). Tuttavia, se B è hermitiana, non singolare<br />
edefinita positiva, allora esiste almeno una decomposizione per B, comeilprodottodi<br />
una matrice per la sua aggiunta:<br />
B = C ∗ · C (A.50)<br />
in cui C è una matrice non singolare. Sostituendo la (A.50) nella (A.49) e ponendo:<br />
si ha:<br />
A · C −1 · y = λC ∗ · y<br />
che, moltiplicata a sinistra per (C−1 ) ∗ diviene:<br />
y = C · x x = C −1 · y (A.51)<br />
(C −1 ) ∗ · A · C −1 · y = λy (A.52)<br />
L’eq. (A.52) è ora nella forma standard (A.49) ed inoltre la matrice (C −1 ) ∗ · A · C −1<br />
è ancora hermitiana, se lo è A. Si può dunque concludere che se B è hermitiana, non<br />
singolare e definita positiva, esiste una trasformazione che pone il problema degli autovalori<br />
nella forma standard conservando la proprietà di A di essere hermitiana. Questo consente<br />
di estendere all’eq. (A.49), quando A e B sono hermitiane, tutte le proprietà dimostrate<br />
per gli autovalori e gli autovettori di una matrice hermitiana, relativamente al problema<br />
standard (A.39).<br />
Se si indica con Y la matrice degli autovettori di (C −1 ) ∗ · A · C −1 ,allorasiha:<br />
Y ∗ · (C −1 ) ∗ · A · C −1 · Y = Λ (A.53)<br />
in cui Λ è la matrice diagonale degli autovalori di A. Ponendo ora:<br />
l’equazione (A.53) diviene:<br />
X = C −1 Y<br />
X ∗ · A · X = Λ (A.54)<br />
ciò dimostra che X diagonalizza la matrice A.<br />
Tenendo conto della posizione (A.50) e del fatto che Y è ortonormale, si verifica anche<br />
con facilità che:<br />
X ∗ · B · X = Y ∗ · (C −1 ) ∗ · (C ∗ · C) · C −1 · Y = Y ∗ · Y = I<br />
cioè la trasformazione X diagonalizza anche la matrice B, trsformandola nella matrice<br />
unità.