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ELEMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTURE
Renato Giannini

Indice
1 Elementi di meccanica 1
1.1 Introduzione.................................... 1
1.2 Dinamicadeisistemi............................... 2
1.2.1 IlprincipiodiD’Alembert........................ 2
1.2.2 Massaepeso ............................... 2
1.2.3 Ilprincipiodellepotenzevirtuali .................... 3
1.2.4 EquazionediLagrange.......................... 4
1.2.5 Esempio:equazionedelbipendolo ................... 6
2 L’oscillatore semplice 8
2.1 Oscillazioniliberenonsmorzate......................... 8
2.2 Oscillazioniliberesmorzate ........................... 10
2.3 Oscillazioniforzatearmonicamente....................... 15
2.3.1 Energiadissipata............................. 19
2.3.2 Rappresentazionecomplessa....................... 20
2.3.3 Isolamentoallabase ........................... 22
2.4 Rispostaadun’azioneperiodica......................... 24
2.5 Rispostaadunaforzaimpulsiva......................... 27
2.6 Rispostaadun’azionenonperiodica ...................... 30
2.6.1 IntegralediDuhamel........................... 30
2.6.2 Integrazionedirettadelleequazionidelmoto ............. 31
2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo . . . 33
3 Sistemi discreti con più di un grado di libertà 40
3.1 Introduzione.................................... 40
3.2 Lamatricedellemasse.............................. 41
3.3 Oscillazioniliberenonsmorzate......................... 44
3.3.1 Esempi .................................. 46
3.4 Oscillazionismorzateeforzate ......................... 51
3.4.1 Matricedismorzamento......................... 53
3.5 Analisiinfrequenza ............................... 55
3.5.1 TrasformatadiFourier.......................... 55
3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier . 57
3.6 Motoditrascinamento.............................. 59
3.6.1 Motosincrono .............................. 59
3.6.2 Motononsincrono............................ 61
3.7 Smorzamentononclassico............................ 62
3.7.1 Analisimodalecomplessa ........................ 63
2

INDICE i
4 Sistemi continui: onde nei mezzi elastici 68
4.1 Introduzione.................................... 68
4.2 Vibrazionilongitudinalidiunabarra...................... 69
4.2.1 Ondestazionarie ............................. 69
4.2.2 Barra di lunghezza finita......................... 70
4.3 Onde nel continuo indefinito........................... 76
4.3.1 Ondepiane ................................ 77
4.4 Onde superficiali(ondediRayleigh) ...................... 78
4.5 Traveataglio................................... 80
4.5.1 Ondesmorzate .............................. 83
4.6 Vibrazione delle travi inflesse .......................... 86
4.6.1 Oscillazionilibere............................. 87
A Elementi di algebra lineare 90
A.1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
A.2 Dipendenzalineare................................ 91
A.3 Dimensionidiunospazio.Basi ......................... 91
A.4 Prodottointerno ................................. 91
A.5 Vettori ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A.6 Basi ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A.7 Componentidiunvettore ............................ 93
A.7.1 Basiortonormali ............................. 94
A.8 Cambiamentodibase .............................. 94
A.9 Operatorilineari ................................. 96
A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare . . . . . . . . . . . . . 97
A.9.2 Nucleodiunoperatorelineare ..................... 97
A.9.3 Inversodiunoperatore ......................... 97
A.9.4 Operatoreidentico ............................ 98
A.9.5 Operatorihermitiani........................... 98
A.9.6 Operatoriunitari............................. 98
A.9.7 Autovaloriedautovettoridiunoperatore ............... 99
A.10 Vettori in C n ...................................100
A.11Autovaloreedautovettoridiunamatrice....................100
A.11.1Autovalorimultipli,triangolarizzazione ................101
A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori . . . . . . . . . . 103
A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici . . . . . . . . 104

Capitolo 1
Elementi di meccanica
1.1 Introduzione
Le forze agenti sulle strutture civili, nella maggior parte dei casi, si possono trattare come
se agissero staticamente; con questo si intende che, variando molto lentamente nel tempo,
esse inducono nella struttura velocità ed accelerazioni trascurabili, in modo tale che la
struttura passa da uno stato di equilibrio ad un altro attraverso stati che in pratica possono
essere considerati anch’essi di equilibrio. In quanto precede si intende che il termine stato
di equilibrio èsinonimodistato di equilibrio statico.
Sebbene sia vero che la maggior parte delle azioni che interessano le strutture civili si
possono considerare ai fini pratici come statiche, è pur vero che esistono alcune importanti
eccezioni; p.es. le azioni indotte da macchinari rotanti all’interno di officine ed impianti
industriali, la pressione del vento, le azioni indotte da veicoli (in particolare quelli pesanti)
in movimento sui ponti ed i viadotti, le onde del mare, ecc. Non vi è dubbio però che
l’azione dinamica più importante per le strutture civili è quella sismica, almeno in quei
paesi, come l’Italia, dove è presente una rilevante attività sismica.
L’azione sismica si manifesta con un moto del terreno, in direzione orizzontale e verticale,
che trascina con sé le strutture degli edifici. Questo moto di trascinamento, indotto
dal sisma, induce delle forze di inerzia che agiscono sulla struttura nella direzione del
moto di trascinamento; particolarmente pericolosa è la componente orizzontale del moto,
che induce sulle strutture azioni che esse normalmente non sono chiamate a sopportare e
nei confronti delle quali sono spesso vulnerabili.
L’importanza che si attribuisce alle azioni sismiche è ben nota; essa discende dagli
effetti distruttivi che un terremoto violento può avere sulle costruzioni e dalla grande
estensione di territorio interessata dal fenomeno, che può assumere aspetti catastrofici, sia
dal punto di vista economico, sia da quello relativo alla perdita di vite umane.
La formulazione generale dell’analisi dinamica delle strutture, specialmente quando
queste vengono studiate con modelli lineari, prescinde ovviamente dal tipo di azione;
quindi nel seguito normalmente non si farà riferimento all’azione sismica. Tuttavia poiché
per l’analisi sismica sono stati sviluppati alcuni procedimenti specifici (p.es. l’analisi con
lo spettro di risposta), quando necessario, sarà abbandonato il generale per il particolare
specifico.
1

1.2 Dinamica dei sistemi 2
1.2 Dinamica dei sistemi
1.2.1 Il principio di D’Alembert
La dinamica dei sistemi può essere ricondotta alla statica mediante il Principio di D’Alembert,
che semplicemente afferma che ogni sistema è sempre in equilibrio sotto l’azione
delle forze attive Fi, diquellereattiveΦi e delle forze di inerzia miai:
Fi + Φi − miai =0 (i = 1, 2,... ,N) (1.1)
In questa equazione mi indica la massa ed ai l’accelerazione del punto materiale i del
sistema. La forza d’inerzia quindi non è altro che il prodotto della massa per l’accelerazione
(cambiata di segno) del corpo puntiforme.
L’accelerazione di un corpo, però, dipende dal sistema di riferimento; ad esempio un
corpo in quiete rispetto ad un riferimento solidale ad un punto della superficie della Terra
risulta muoversi di moto accelerato rispetto ad un altro riferimento, la cui origine è solidale
al centro della Terra ed è orientato verso le stelle fisse; infatti rispetto a quest’ultimo
riferimento il corpo ruota con la velocità angolare della rotazione terrestre, ωT , e quindi
ha un’accelerazione (centripeta) di valore ω2 T r, r essendo la distanza del corpo dall’asse
terrestre. Quindi la relazione (1.1) non può essere valida in ogni riferimento, ma solo in
un certo tipo di riferimento privilegiato.
I riferimenti di questo tipo sono detti inerziali. Un modo per definire un riferimento
inerziale è il seguente: un riferimento inerziale ha l’origine solidale ad una massa isolata
ed è orientato verso le stelle fisse. Per massa isolata si intende un corpo che si trovi
così distante da tutti gli altri, da poterne trascurare le interazioni reciproche; le stelle
fisse sono quei corpi celesti così lontani che il loro moto relativo al nostro corpo risulta
comunque inavvertibile. In pratica nessun corpo rispetta esattamente queste condizioni,
ma si possono costruire riferimenti che approssimano quello inerziale in modo più o meno
accurato: un riferimento con origine nel baricentro del Sole ed orientato verso le stelle
fisse è una buona approssimazione di riferimento inerziale; un riferimento con origine nel
baricentro della Terra ed orientato come il precedente costituisce un’approssimazione un
po’ meno buona. Ai fini pratici della meccanica strutturale tuttavia, anche un riferimento
solidale alla superficie terrestre può essere adottato come riferimento inerziale; infatti
l’accelerazione centripeta è molto piccola, al massimo (all’equatore) si ha:
a = ω 2 µ 2
2π rad
T rT '
24 · 3600 sec2 × 6 · 106 −2 m
m ' 3.17 · 10
sec2 cioè appena lo 0.3% dell’accelerazione di gravità.
Nell’eq. (1.1) compaiono solo le accelerazioni, pertanto essa è evidentemente valida in
tutti quei riferimenti in cui l’accelerazione è la stessa che nel riferimento inerziale; di fatto,
se un riferimento è inerziale lo sono anche tutti quelli che si muovono di moto relativo
uniforme (cioè traslano con velocità costante) rispetto al primo. Con le stesse approssimazioni
accettate prima, quindi, anche ogni riferimento che si muova sulla Terra con
moto uniforme rispetto ad uno fisso (se la velocità non è troppo alta) si potrà considerare
inerziale.
1.2.2 Massa e peso
La massa (inerziale) è una proprietà della materia: le particelle elementari hanno una
massa (in alcuni casi nulla), che (a riposo) è un invariante, cioè non dipende né dal tempo

1.2 Dinamica dei sistemi 3
né dalla posizione della particella. Ma vi è un altro significato per la massa (gravitazionale):
essa è una costante che misura l’intensità della forza di gravitazione che una particella è
in grado di scambiare con un’altra (in modo analogo alla carica elettrica in relazione alle
forze elettromagnetiche). La massa inerziale e quella gravitazionale quantitativamente
coincidono: questa in apparenza sorprendente coincidenza della natura trova una profonda
spiegazione nella teoria geometrica (relativistica) della gravitazione.
Poiché il peso dei corpi non è altro che l’effetto delle forze gravitazionali che essi
scambiano con la Terra, vi è una semplice relazione tra massa e peso: pi = mig, incuig
è l’accelerazione di gravità, cioè il campo gravitazionale generato dalla massa della Terra
nei punti prossimi alla sua superficie. 1 Il modulo del vettore g cambia poco da un punto
all’altro della superficie terrestre, e si può assumere approssimativamente pari a:
g =9.81 m/sec 2
Nel sistema MKS l’unità di massa è il chilogrammo (kg) e ne costituisce un’unità
fondamentale, insieme al metro ed al secondo. Le forze invece si misurano in Newton
(N): un Newton è un chilogrammo per un metro al secondo quadrato (N =kg· m/sec 2 ).
Quindi un corpo che ha massa m = 1 kg ha un peso
p = m · g = 1 · 9.81 N
Nella pratica tecnica, in passato, è stata molto usata l’unità di forza chilogrammo-forza,
comunemente indicata con kgf (o più semplicemente con kg). Un chilogrammo-forza è la
forzapesoesercitatadaunamassadiunchilo,cioè:
1 kgf = 1 kg · g =9.81 N
Se si utilizza come unità fondamentale il chilogrammo-forza, la massa deve essere espressa
in kgf/g, quindi un corpo che pesa 1 kgf ha una massa, in unità conformi : m = 1/g =
1/9.81 kgf/g.
1.2.3 Il principio delle potenze virtuali
Poiché, grazie al principio di D’Alembert, le equazioni della dinamica sono ricondotte a
quelle della statica con l’aggiunta delle forze di inerzia, le equazioni di equilibrio (1.1)
possono esprimersi in modo equivalente mediante il principio delle potenze virtuali. Limitandoci
al caso di sistemi soggetti a vincoli bilaterali e lisci 2 , le equazioni di equilibrio
1 Due particelle di massa m1 ed m2 si scambiano una forza proporzionale al prodotto delle loro masse
ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:
F12 = G m1m2
r 2 12
La costante di gravitazione universale G è piccolissima (G =6.66×10 −8 cm 3 sec −2 g −1 ); per questo motivo
la forza di gravità scambiata tra corpi di massa piccola non è avvertita: solo se almeno uno dei due
corpi ha grande massa, come quella di un pianeta o di una stella, la gravità ha effetti significativi. Su
piccola scala quindi dominano le forze elettromagnetiche, molto più intense: tuttavia queste hanno segno
opposto (attrattiva tra particelle di diversa carica, repulsiva tra quelle di carica uguale); poiché la materia è
generalmente neutra (cioè vi è uguale numero di particelle con carica positiva e negativa), a grande scala le
forze elettromagnetiche si annullano, mentre le forze gravitazionali, che sono sempre attrattive, divengono
prevalenti e dominano nella meccanica celeste.
2 Il caso dei vincoli scabri può essere incluso aggiungendo alle forze attive quelle dovute all’attrito.

1.2 Dinamica dei sistemi 4
dinamico si possono esprimere:
Π =
NX
(Fi − miai) × v 0 i =0 (1.2)
i=1
in cui v 0 i indica un arbitrario atto di moto virtuale, cioè compatibile con i vincoli fissi 3 ,
mentre × indica il prodotto interno (scalare) tra vettori. Nell’eq. (1.2) non compaiono le
forze reattive, il che normalmente costituisce una notevole semplificazione.
1.2.4 Equazione di Lagrange
Si considerino ora sistemi soggetti a vincoli che, oltre che bilaterali e lisci, siano anche
olonomi, cioè esclusivamente di posizione; in questo caso, se il sistema ha n gradi di
libertà, le coordinate di ogni suo punto Pi si possono esprimere in funzione di n parametri
liberi, qk(t) (k = 1, 2,... ,n), detti coordinate lagrangiane del sistema:
Pi(t) =Pi[q1(t),q2(t), ··· ,qn(t); t] (1.3)
L’espressione della velocità di un punto mediante le coordinate lagrangiane si determina
derivando l’eq. (1.3):
vi = X ∂Pi
˙qk +
∂qk
∂Pi
(1.4)
∂t
k
Nel caso di vincoli fissi Pi non dipende esplicitamente da t e quindi l’ultimo termine nella
(1.4) viene a mancare. Se v0 i indica un atto di moto virtuale, essendo questo per definizione
relativo a vincoli fissi, si avrà:
˙q
k=1
0 k
v 0 i = X
i=1
k
∂Pi
∂qk
˙q 0 k
(1.5)
Sostituendo l’eq. (1.5) nella equazione delle potenze virtuali (1.2), dopo aver scambiato
gliordinidisommasiha:
" nf X NX
(Fi − miai) ∂Pi
#
=0
∂qk
Questa, per l’arbitrarietà dell’atto di moto virtuale ˙q 0 k , implica il sistema di equazioni:
che può scriversi:
NX
i=1
∂Pi
Fi −
∂qk
NX
i=1
NX
i=1
∂Pi
miai
∂qk
∂Pi
miai
∂qk
= Qk
=0
(1.6)
3 Cioè, v 0 i deve essere compatibile con le condizioni di vincolo rese indipendenti da t, anche se queste
equazioni sono funzioni del tempo. Ad esempio, per un punto materiale che si muove vincolato ad una
linea, che a sua volta si sposta, v 0 deve essere tangente alla linea considerata fissa nella sua posizione al
tempo t, senza tener conto del moto del vincolo.

1.2 Dinamica dei sistemi 5
Avendo introdotto le forze generalizzate
Qk =
NX
i=1
∂Pi
Fi
∂qk
Indicando con vi la velocità del punto Pi, l’energia cinetica del sistema è definita dalla
relazione:
T = 1
2
NX
i=1
mivi × vi
Derivando la (1.7) relativamente a ˙qk e tenendo conto della (1.4), risulta:
∂T
∂ ˙qk
=
NX
i=1
∂vi
mivi
∂ ˙qk
=
NX
i=1
∂Pi
mivi
∂qk
(1.7)
Derivando ulteriormente rispetto al tempo entrambi i membri dell’equazione precedente,
si ottiene:
d ∂T
=
dt ∂ ˙qk
NX
i=1
∂Pi
miai +
∂qk
Tenendo conto che, derivando la (1.7), si ottiene:
∂T
∂qk
=
NX
i=1
combinando questa equazione con la (1.8), si ha:
NX
i=1
∂Pi
miai
∂qk
NX
i=1
∂vi
mivi
∂qk
= d ∂T
dt ∂ ˙qk
∂vi
mivi
∂qk
− ∂T
∂qk
E quindi, sostituendo questo risultato nell’eq. (1.6), si ottiene l’equazione di Lagrange:
(1.8)
d ∂T
−
dt ∂ ˙qk
∂T
= Qk
(1.9)
∂qk
Questa equazione risulta di notevole aiuto nello studio dei sistemi complessi, in quanto
permette di scrivere in modo automatico le equazioni di equilibrio, una volta che sia stata
scritta l’espressione esplicita dell’energia cinetica.
L’eq. (1.9) si semplifica ulteriormente se tutte le forze agenti sul sistema sono conservative,
cioè se esiste una funzione potenziale U(P1,P2, ··· ,PN), delle coordinate del sistema,
tale che:
Fi = ∂U
(1.10)
∂Pi
In questo caso l’espressione della forza generalizzata diviene:
Qk =
NX
i=1
∂Pi
Fi
∂qk
=
NX ∂U ∂Pi
i=1
∂Pi ∂qk
= ∂U
∂qk

1.2 Dinamica dei sistemi 6
in quanto, tramite le (1.3), U è funzione delle sole coordinate lagrangiane qk.
Introdotta la funzione di Lagrange, definita come
L(q, ˙q, t) =T + U (1.11)
somma dell’energia cinetica e della funzione potenziale, l’eq. (1.9) si può scrivere in modo
più sintetico:
d ∂L
−
dt ∂ ˙qk
∂L
=0 (1.12)
∂qk
che è un’altra forma delle equazioni di Lagrange.
L’equazione (1.12) è l’equazione di Eulero del funzionale:
S =
Z t2
t1
L(q, ˙q, t) dt (1.13)
chiamato l’azione del sistema. L’equazione (1.12) implica che il sistema evolve tra due
qualsiasi istanti di tempo t1 e t2 rendendo stazionaria l’azione S (principio di Hamilton).
Se i vincoli sono fissi, per cui L non dipende esplicitamente dal tempo, si può dimostrare
che la quantità:
H = T − U = T + V (1.14)
si conserva, cioè resta costante nel tempo. La quantità H non è altro che l’energia totale
del sistema, in quanto somma dell’energia cinetica T e dell’energia potenziale V = −U.
Quindi si può concludere che: in un sistema con vincoli bilaterali, lisci ed indipendenti dal
tempo e soggetto all’azione di sole forze conservative, l’energia totale H si conserva.
1.2.5 Esempio: equazione del bipendolo
Si consideri un doppio pendolo, composto con due masse m1 ed m2, sospese a due regoli
rigidi e privi di massa di lunghezza l1 ed l2. Indicando con θ1 e θ2 gli angoli formati dai
regoli rispetto ad un asse verticale, le coordinate delle due masse, riferite ad un sistema
cartesiano ortogonale, con l’asse x verticale e rivolta verso l’alto ed origine nella cerniera
del pendolo, sono:
e di conseguenza le componenti delle velocità risultano:
x1 = l1 sin (θ1) (1.15a)
y1 = −l1 cos (θ1) (1.15b)
x2 = l1 sin (θ1)+l2 sin (θ2) (1.15c)
y2 = −l1 cos (θ1) − l2 cos (θ2) (1.15d)
˙x1 = l1 cos (θ1) ˙ θ1
˙y1 = l1 sin (θ1) ˙ θ1
˙x2 = l1 cos (θ1) ˙ θ1 + l2 cos (θ2) ˙ θ2
˙y2 = l1 sin (θ1) ˙ θ1 + l2 sin (θ2) ˙ θ2
(1.16a)
(1.16b)
(1.16c)
(1.16d)

1.2 Dinamica dei sistemi 7
Gli angoli θ1 e θ2 sono le coordinate lagrangiane del sistema; l’espressione dell’energia
cinetica in funzione delle coordinate lagrangiane si ottiene quindi facilmente sostituendo
le (1.16) nell’espressione di T :
T = 1 £ ¡ 2
m1 ˙x 1 + ˙y
2
2¢ ¡ 2
1 + m2 ˙x 2 + ˙y 2¢¤ 2
= 1
h
(m1 + m2) l
2
2 1 ˙ θ 2
1 +2m2l1 ˙ θ1l2 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)+m2l 2 2 ˙ θ 2
i
2 (1.17)
Analogamente dalle (1.15) si ottiene la forma esplicita del potenziale U in funzione delle
coordinate lagrangiane:
U = −m1y1g − m2y2g = g {m1l1 cos (θ1)+m2 [l1 cos (θ1)+l2 cos (θ2)]}
(1.18)
e quindi, sommando le eq. (1.17) e (1.18), si ha la funzione di Lagrange:
L = T + U = 1
h
(m1 + m2) l
2
2 1 ˙ θ 2
1 +2m2l1 ˙ θ1l2 ˙ θ2 cos (θ1 − θ2)+m2l 2 2 ˙ θ 2
i
2 +
g {m1l1 cos (θ1)+m2 [l1 cos (θ1)+l2 cos (θ2)]} (1.19)
Applicando l’equazione di Lagrange (1.12) alla funzione (1.19), si ottengono le due
equazioni seguenti, che descrivono la dinamica del sistema:
d ∂L
dt ∂ ˙ θ1
− ∂L
∂θ1
=(m1 + m2) l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 cos (θ1 − θ2) ¨ θ2 +
m2l1l2 sin (θ1 − θ2) ˙ θ 2
2 + g (m1 + m2) l1 sin θ1 =0 (1.20)
d ∂L
dt ∂ ˙ −
θ2
∂L
= m2l1l2 cos (θ1 − θ2)
∂θ2
¨θ1 + m2l 2 2 ¨θ2 −
m2l1l2 sin (θ1 − θ2) ˙ θ 2
1 + gm2l2 sin θ2 =0 (1.21)
Le equazioni (1.20) e (1.21) sono nonlineari; per valori piccoli degli angoli θ1e θ2 le funzioni
trigonometriche seno e coseno possono essere approssimate dai termini lineari del loro
sviluppo in serie, ottenendo:
(m1 + m2) l 2 1 ¨ θ1 + m2l1l2 ¨ θ2 + m2l1l2 (θ1 − θ2) ˙ θ 2
2 + g (m1 + m2) l1θ1 =0
m2l1l2 ¨ θ1 + m2l 2 2 ¨ θ2 − m2l1l2 (θ1 − θ2) ˙ θ 2
1 + gm2l2θ2 =0
(1.22a)
(1.22b)
Queste equazioni tuttavia sono ancora nonlineari a causa dei termini che contengono i
quadrati delle velocità angolari ˙ θ che tengono conto degli effetti delle forze centrifughe; se
le velocità sono sufficientemente piccole i loro quadrati si potranno trascurare con un’approssimazione
confrontabile con quella precedente e si ottiene allora il semplice sistema di
due equazioni lineari accoppiate:
(m1 + m2) l 2 1 ¨θ1 + m2l1l2 ¨θ2 + g (m1 + m2) l1θ1 =0 (1.23a)
m2l1l2 ¨θ1 + m2l 2 2 ¨θ2 + gm2l2θ2 =0 (1.23b)

Capitolo 2
L’oscillatore semplice
Si consideri una struttura molto semplice, composta da una trave sostenuta da due pilastri
uguali (portale), come quella rappresentata nella fig. 2.1. Se si suppone che siano soddisfatte
le seguenti condizioni: i) la trave sia molto più rigida dei pilastri, in modo che le
rotazioni dei nodi siano trascurabili, ii) la rigidezza assiale dei pilastri sia molto maggiore
di quella flessionale, in modo che i pilastri si possano ritenere assialmente indeformabili,
iii)iltelaiosispostisolonelsuopiano;questosistemahaunsologradodilibertà,lo
spostamento x dalla posizione di equilibrio statico.
2.1 Oscillazioni libere non smorzate
Indicando con m la massa complessiva della trave più quella da essa sopportata ed assumendo
trascurabili le masse dei pilastri, l’equazione di equilibrio di questa struttura si
scrive facilmente in modo diretto, utilizzando il principio di D’Alembert; in assenza di
forze esterne applicate le sole forze sono la forza elastica esercitata dai pilastri e la forza
d’inerzia della massa m:
−m¨x(t) − kx(t) =0 (2.1)
in cui k =2· 12EJ/h 3 indica la rigidezza dei pilastri. Dividendo l’eq. (2.1) per m ed
introducendo la quantità:
l’eq. (2.1) diviene:
ω 2 = k
m
(2.2)
¨x(t)+ω 2 x(t) =0 (2.3)
Il parametro ω ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. È conveniente introdurre il
tempo adimensionale:
Infatti, tenendo conto che:
d d dτ
=
dt dτ dt
τ = ωt (2.4)
8
d
= ω (2.5)
dτ

2.1 Oscillazioni libere non smorzate 9
Figura~2.1: Portale ad un grado di libertà
sostituendo τ a t come variabile in x, ed indicando con il punto la derivazione rispetto a τ
e non più rispetto a t, come in precedenza, applicando la (2.5) alla (2.3) e poi dividendo
per ω 2 ,siottiene:
¨x(τ)+x(τ) =0 (2.6)
equazione in cui non compaiono esplicitamente parametri.
La soluzione generale dell’equazione differenziale lineare ed omogenea (2.6) ha la forma:
x(τ) =A sin(τ)+B cos(τ) (2.7)
in cui A e B sono parametri che dipendono dalle condizioni iniziali, cioè dallo stato della
struttura al tempo τ =0.
Derivando la (2.7) rispetto a τ si ha:
y(τ) = ˙x(τ) =A cos(τ) − B sin(τ) (2.8)
in cui y = dx/dτ èlegatoallavelocitàv = dx/dt dalla semplice proporzionalità: y = v/ω,
come segue dalla (2.5). Indicando con x0, y0 i valori di x ed y al tempo τ =0,dalle
equazioni (2.7) e (2.8) esplicitate al tempo τ =0, si ottengono i valori di A e B in funzione
delle condizioni iniziali x0, y0, per cui la (2.7) diviene:
x(τ) =x0 cos(τ)+y0 sin(τ) (2.9)
Dalle eq. (2.7) o (2.9) si osserva facilmente che x(τ) (ed y(τ)) sono funzioni periodiche
di periodo 2π:
x(τ +2nπ) =x(τ) n intero
Poiché x è periodica di periodo 2π in τ, rispetto al tempo reale t risulta periodica di
periodo
T = 2π
ω =2π
r
m
k
(2.10)

2.2 Oscillazioni libere smorzate 10
f
Figura~2.2: Legge forza—spostamento di un sistema elasto-viscoso soggetto ad un’azione
ciclica
T èilperiodo proprio delle oscillazioni libere della struttura, ω è detta pulsazione propria,
mentre l’inverso di T è detto frequenza propria f = 1/T = ω/2π. Dunque l’eq. (2.9)
descrive un moto oscillatorio, di ampiezza p x2 0 + y2 0 ediperiodoT , dato dall’eq. (2.10). È
importante osservare che il periodo delle oscillazioni libere dipende solo dalle caratteristiche
della struttura, massa e rigidezza, e non dallo specifico moto; in particolare il periodo delle
oscillazioni non è funzione dell’ampiezza del moto: vibrazioni di piccola o grande ampiezza
compiono un ciclo nello stesso tempo, almeno fin quando il modello elastico lineare descrive
con sufficiente esattezza il comportamento strutturale.
2.2 Oscillazioni libere smorzate
La soluzione (2.9) dell’eq. (2.6) è una funzione armonica la cui ampiezza p x 2 0 + y2 0 è
costante nel tempo. Fisicamente ciò corrisponde ad un sistema che, una volta posto in
movimento, continua ad oscillare con la stessa ampiezza, senza più fermarsi. Questo è in
contraddizione con le più elementari esperienze, che ci mostrano come, in assenza di forze
che le sostengano, le oscillazioni libere di qualsiasi sistema si riducano in ampiezza, fino a
che questo torna in quiete dopo un numero più o meno grande di cicli.
Il fatto che il moto del sistema governato dalle eq. (2.3) o (2.6) sia indefinitamente
periodico dipende dal fatto che la sola forza attiva presa in conto, la forza elastica −kx,
è conservativa e quindi l’energia totale del sistema è costante. In realtà tutti i sistemi
sono dissipativi, in quanto una parte dell’energia viene trasformata in calore e quindi resa
indisponibile ai processi meccanici, come previsto dal secondo principio della termodinamica.
Quindi l’energia meccanica del sistema si riduce e con essa l’ampiezza massima delle
oscillazioni.
Applicando ad un oggetto che segue un comportamento elastico lineare una forza che
varia lentamente, questo subisce un processo reversibile; infatti togliendo gradualmente la
forzailcorpotornanellasuaconfigurazione originale, percorrendo, nello spazio degli stati,
lo stesso cammino seguito nella fase di carico. Se la forza viene applicata più rapidamente
questo non si verifica più; nella fase di carico la forza è maggiore di quella (kx) puramente
x

2.2 Oscillazioni libere smorzate 11
Figura~2.3: Modello di una struttura con elemento dissipativo elasto-viscoso
elastica, nella fase di scarico invece la forza risulta minore, come illustrato schematicamente
nella fig. 2.2; l’area racchiusa nel ciclo rappresenta il lavoro fatto sul sistema e non
restituito, per cui la trasformazione risulta ora irreversibile. Questo fenomeno si può spiegare
assumendo che sul sistema agisca, oltre la forza elastica −kx, anche una forza viscosa
o attritivo, la cui ampiezza ed il segno dipendono dalla velocità; il modello più semplice
è quello della viscosità lineare, in cui la forza è data dal prodotto della velocità per
una costante, che dipende dalle proprietà del materiale e dalla configurazione strutturale.
Con riferimento alla semplice struttura della fig. 2.1, questo effetto può essere modellato
aggiungendo al sistema un elemento viscoso, schematicamente illustrato in fig. 2.3, che
esplica sulla massa m una forza viscosa FD = −c ˙x(t), proporzionale alla velocità del sistema
ed al coefficiente di viscosità c. Che la forza FD sia dissipativa si può verificare
calcolando il lavoro fatto da questa forza in un ciclo:
WD =
I
−c dx
Z T
dx = −c
dt 0
µ 2
dx
dt < 0 (2.11)
dt
esso risulta (se c>0) sempre negativo, come segue dal fatto che la funzione integranda
nell’eq. (2.11) è sempre positiva.
Se si tiene conto anche delle forze di tipo viscoso che si sviluppano nella struttura,
l’eq. (2.1) deve essere sostituita dalla:
−m¨x(t) − c ˙x(t) − kx(t) =0 (2.12)
Dividendo tutti i termini dell’eq. (2.12) per m, tenendo conto della (2.2) ed inoltre ponendo:
si ottiene:
c =2mωξ =2 √ kmξ (2.13)
¨x(t)+2ωξ ˙x(t)+ω 2 x(t) =0 (2.14)

2.2 Oscillazioni libere smorzate 12
Quindi eseguendo il cambiamento di variabile (2.4), dal tempo reale t a quello adimensionale
τ, risulta l’equazione:
¨x(τ)+2ξ ˙x(τ)+x(τ) =0 (2.15)
in cui compare il solo parametro ξ; questo viene indicato come il coefficiente di smorzamento
percentuale, per i motivi che saranno chiariti nel seguito; poiché c ha le dimensioni
di una forza divisa per la velocità e perciò di una massa divisa per il tempo, ξ risulta
adimensionale.
L’integrale generale dell’eq. (2.15) è:
x(τ) =Ae α1τ + Be α2τ
in cui α1 ed α2 sono le radici dell’equazione caratteristica:
ossia:
Sostituendo la (2.18), la (2.16) diviene:
(2.16)
α 2 +2ξα + 1 =0 (2.17)
q
α1 = −ξ + ξ 2 q
− 1 α2 = −ξ − ξ 2 − 1 (2.18)
h √ √ i
2 2 −ξτ ξ −1τ − ξ −1τ
x(τ) =e Ae + Be
(2.19)
L’equazione (2.19) ha un punto di biforcazione (cioè cambia comportamento) in corrispondenza
del valore di ξ = 1. Perξ < 1 la quantità p ξ 2 − 1 è immaginaria e quindi le funzioni
esponenziali nell’eq. (2.19) divengono delle funzioni armoniche, per cui l’eq. (2.19) si può
riscrivere:
avendo posto
x(τ) =e −ξτ [C1 sin(δτ)+C2 cos(δτ)] (2.20)
δ =
Derivando l’eq.(2.20) rispetto a τ si ottiene:
q
1 − ξ 2
(2.21)
˙x(τ) =e −ξτ [−(C1ξ + C2δ)sin(δτ)+(C1δ − C2ξ)cos(δτ)] (2.22)
I valori delle costanti C1 e C2 si determinano quindi imponendo le condizioni iniziali ad x
ed ˙x; dalle eq. (2.20) e (2.22) si deduce infatti il sistema:
risolvendo il quale risulta:
x(0) = C2 = x0
˙x(0) = C1δ − C2ξ = y0
C1 = y0 + x0ξ
δ
C2 = x0

2.2 Oscillazioni libere smorzate 13
per cui le eq. (2.20) e (2.22) si possono scrivere esplicitamente in funzione delle condizioni
iniziali:
x(τ) =e −ξτ
·
x0 cos(δτ)+ y0
¸
+ x0ξ
sin(δτ)
(2.23)
δ
˙x(τ) =e −ξτ
·
y0 cos(δτ) − x0
¸
+ y0ξ
sin(δτ)
(2.24)
δ
Ponendo y0 =0(questa condizione può sempre essere verificata, fissando opportunamente
l’origine del tempo) le equazioni (2.23) e (2.24) si semplificano nelle:
x(τ) =x0e −ξτ
·
cos(δτ)+ ξ
δ sin(δτ)
¸
(2.25)
−ξτ 1
˙x(τ) =−x0e sin(δτ) (2.26)
δ
Dalla (2.26) appare evidente che ˙x(τ) =0se δτ = nπ, doven =0, 1, 2,... èunnumero
intero. In corrispondenza degli istanti in cui ˙x si annulla, x(τ) prende valori estremali
(massimi o minimi); in particolare se x0 > 0, x èmassimopernpari, minimo per n
dispari. Due massimi consecutivi si verificano quindi per ∆τ =2π/δ; passando al tempo
naturale, si può definire un “periodo” delle oscillazioni smorzate TD come il tempo che
intercorre tra due massimi della risposta:
TD = ∆τ
ω =
T
p (2.27)
2
1 − ξ
(T è il periodo delle oscillazioni non smorzate); al periodo TD corrisponde una “pulsazione”:
q
ωD = ωδ = ω 1 − ξ 2
(2.28)
Queste relazioni mostrano che il periodo delle oscillazioni libere, smorzate o no, non dipende
dalle condizioni iniziali, ma solo dalle caratteristiche dell’oscillatore, la massa, la
rigidezza e lo smorzamento percentuale ξ. Le eq. (2.20) e (2.23) descrivono un moto oscillatorio
di ampiezza decrescente, come illustrato nella figura 2.4a. Il rapporto tra
due massimi consecutivi della risposta, agli istanti τ n =2nπ/δ e τ n+1 =2(n + 1)π/δ, per
l’eq.(2.25) risulta:
x(τ n+1)
x(τ n) =exp
"
− 2ξπ
#
p
2
1 − ξ
(2.29)
e dipende soltanto dal coefficiente ξ. Il logaritmo dell’inverso di questo rapporto è detto
decremento logaritmico:
µ
x(τ n)
∆l =log
(2.30)
x(τ n+1)
L’eq. (2.29) si può risolvere in ξ, esprimendo lo smorzamento percentuale in funzione del
decremento logaritmico:
ξ =
∆l
q
∆2 l +4π2
(2.31)

2.2 Oscillazioni libere smorzate 14
x Ε ≥ Φ
Smorzamento subcritico ( ↑ΖΜΚΜΡΦ
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0
≥
(a)
smorzamento critico ( ↑ΖΝΦ
smorzamento supercritico ( ↑ΖΝΚΡΦ
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
≥
(b)
Figura~2.4: Moto smorzato: smorzamento subcritico (a), critico e supercritico (b)
Questa relazione può essere utilizzata per misurare il coefficiente di smorzamento sulla
base di registrazioni del moto di risposta.
Quando ξ = 1 l’equazione (2.17) ha due radici reali coincidenti α = −1. Inquestocaso
la soluzione dell’eq. (2.15) prende la forma
e quindi, imponendo il rispetto delle condizioni iniziali:
x(τ) =e −τ (A + Bτ) (2.32)
x(τ) =e −τ [x0 +(x0 + y0)τ] (2.33)
Le equazioni (2.32) e (2.33) esprimono un moto di direzione uniforme, senza oscillazioni;
il sistema tende a tornare nella posizione di equilibrio statico muovendo dalla posizione
attuale e tendendo ad x =0in un tempo idealmente infinito. 1 Il moto di un sistema che
inizia con velocità nulla, nel caso di smorzamento critico è illustrato nella fig. 2.4b. Lo
smorzamento c corrispondente a ξ = 1 è detto critico; per la (2.13) si ha:
cr =2 √ mk (2.34)
quindi ξ rappresenta la percentuale di smorzamento rispetto al valore critico. Nelle strutture
si manifestano solitamente smorzamenti piccoli, relativamente a quello critico; quindi
si hanno valori di ξ molto minori di uno. Valori tipici sono compresi nell’intervallo tra
0.02 e 0.10.
1 L’esperienza dimostra che l’equilibrio viene invece raggiunto dopo un tempo più o meno breve, ma
finito; questo implica che la legge dello smorzamento viscoso lineare spiega solo approssimativamente la
realtà. Da un punto di vista pratico questo però ha scarsa importanza; dopo un tempo t =10· T =20π/ω,
cioè dopo un tempo pari a 10 volte il periodo delle oscillazioni non smorzate, si ha τ =20π e quindi
e −τ ' 0.51 · 10 −27 , cioè lo spostamento è divenuto circa 10 27 volte più piccolo di quello iniziale: ai fini
pratici questo è equivalente a zero.

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 15
Per valori di ξ superiori ad uno le radici dell’equazione caratteristica (2.17) sono reali e
distinte; il moto che ne risulta è ancora di tipo non oscillatorio, simile a quello relativo allo
smorzamento critico; tuttavia, come è illustrato nell’esempio in fig. 2.4b, il moto avviene
più lentamente ed il sistema impiega più tempo per raggiungere la posizione di equilibrio
(o meglio uno spostamento sufficientemente piccolo, preso convenzionalmente come zero).
2.3 Oscillazioni forzate armonicamente
Si supponga ora di applicare, alla struttura di fig. 2.3, una forza F (t) variabile nel tempo.
L’equazione di equilibrio dinamico si ottiene aggiungendo questo termine all’eq. (2.12):
F (t) − m¨x(t) − c ˙x(t) − kx(t) =0 (2.35)
Quindi, dividendo i termini per m, utilizzando le posizioni (2.2) e (2.13), ed eseguendo la
sostituzione (2.4) della scala dei tempi, si ottiene l’equazione:
F (τ/ω)
¨x(τ)+2ξ˙x(τ)+x(τ) = (2.36)
k
Se la forza F (t) varia con legge armonica, indicando con ωf la sua pulsazione, si può
porre F (t) =F0 sin(ωft); sostituendo questa espressione nell’eq. (2.36), si ottiene:
Nell’eq. (2.37) si è posto
¨x(τ)+2ξ ˙x(τ)+x(τ) =u0 sin(βτ) (2.37)
u0 = F0
k
(2.38)
ad indicare lo spostamento che la struttura subirebbe per effetto una forza di modulo F0
applicata staticamente, mentre
β = ωf
(2.39)
ω
indica il rapporto tra la pulsazione (o la frequenza) della forzante e quella delle oscillazioni
libere (non smorzate) della struttura.
Seguendo la regola generale per la soluzione delle equazioni lineari non omogenee, la
soluzione dell’eq. (2.37) si ottiene sovrapponendo all’integrale generale della stessa equazione
resa omogenea (cioè eliminando il termine a secondo membro), un integrale particolare
dell’equazione completa (2.37). Nel seguito si supporrà che la struttura abbia uno
smorzamento subcritico (ξ < 1), pertanto l’integrale generale dell’equazione omogenea è
quello espresso dall’eq. (2.20). La soluzione particolare dell’equazione completa si ottiene
assumendo che possa porsi nella forma:
¯x(τ) =A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ) (2.40)
Infatti, sostituendo l’espressione di x(τ) ad x(τ) nell’eq. (2.37), risulta:
− β 2 [A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ)] + 2βξ [A1 cos(βτ) − A2 sin(βτ)] +
A1 sin(βτ)+A2 cos(βτ) =u0 sin(βτ)

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 16
Ponendo in evidenza le funzioni sin(βτ) e cos(βτ), appare evidente che questa equazione
risulta identicamente soddisfatta per ogni valore di τ se risultano entrambi nulli i coefficienti
delle funzioni seno e coseno. Imponendo queste condizioni si ottiene il sistema di
due equazioni nelle incognire A1, A2:
la cui soluzione è
(1 − β 2 )A1 − 2ξβA2 = u0
2ξβA1 + (1 − β 2 )A2 = 0
1 − β 2
−2ξβ
(2.41)
A1 = u0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
A2 = u0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
Quindi, sostituendo le espressioni dei coefficienti A1 ed A2 nell’eq. (2.40), si determina
l’espressione esplicita della soluzione particolare dell’equazione non omogenea (2.37):
¯x(τ) =
£ ¤
2
(1 − β )sin(βτ) − 2ξβ cos(βτ) (2.42)
in cui:
u0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
L’eq. (2.40) si può anche scrivere in forma più espressiva ponendo:
X =
¯x(τ) = ¯ X sin(βτ − φ) (2.43)
q
A 2 1 + A2 2 =
u0
q
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
indica l’ampiezza del moto di risposta, mentre l’angolo φ, definito dalle relazioni:
sin(φ) =− A2
¯X =
cos(φ) = A1
¯X =
2ξβ
q
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
1 − β 2
q
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
(2.44)
(2.45)
è detto la differenza di fase tralaforzanteedilmotodirisposta.
La soluzione generale del moto forzato si ottiene sommando la soluzione particolare
[eq. (2.42)] dell’equazione non omogenea alla soluzione generale [eq. (2.20)] dell’equazione
omogenea, e risulta:
x(τ) =e −ξτ [C1 sin(δτ)+C2 cos(δτ)] +
u0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
£ (1 − β 2 )sin(βτ) − 2ξβ cos(βτ) ¤
(2.46)
Ottenuta l’espressione esplicita di ˙x(τ) derivando il secondo membro dell’eq. (2.46), la
forma esplicita del moto di risposta si determina imponendo le condizioni iniziali (x(0) =
x0, ˙x(0) = y0), e quindi calcolando le costanti C1 e C2:
x(τ) =e −ξτ
· 1
δ
µ
x0ξ + y0 + u0(2ξ 2 − 1 + β 2 )β
µ
x0 +
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
2ξβu0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
u0
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
sin(δτ)+
¸
cos(δτ) +
£ (1 − β 2 )sin(βτ) − 2ξβ(βτ) ¤
(2.47)

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 17
In presenza di smorzamento (ξ > 0), la parte dell’eq. (2.47) che dipende dalle condizioni
iniziali, cioè la soluzione dell’equazione omogenea, diminuisce esponenzialmente al crescere
di τ e tende a zero per per τ →∞; in pratica per τ abbastanza grande questo termine
diverrà trascurabile a confronto di quello che dipende dalle caratteristiche della forzante.
Quindi nei sistemi dotati di smorzamento si possono distinguere due fasi della risposta: una
prima, per tempi vicini a quello iniziale, in cui il moto è influenzato dalle condizioni iniziali,
detta fase transitoria; una seconda, espressa dalla sola eq. (2.42), detta fase stazionaria,
in cui il moto di risposta non dipende dalle condizioni iniziali ma solo dalle caratteristiche
della forzante. Ovviamente la separazione tra queste due fasi è convenzionale, in quanto il
passaggio dall’una fase all’altra è continuo e, a rigore, la fase stazionaria si raggiunge solo
quando τ = ∞. In pratica però si può, con qualche arbitrio, scegliere un valore di τ oltre
il quale il contribito del termine (2.20) all’ampiezza totale del moto diviene trascurabile e
considerare stazionario il moto nel tempo successivo.
Poiché, come si riconosce guardando la figura 2.4a, anche per valori piccoli di ξ le
oscillazioni libere si smorzano dopo un numero limitato di cicli, è interessante puntare
l’attenzione sulla parte stazionaria della risposta. Dall’eq. (2.42) appare evidente che ¯x(τ)
è periodica di periodo 2π/β in τ e quindi di periodo 2π/ωf in t;cioèlostessodellaforzante.
L’ampiezza massima della risposta ¯ X è quella data dall’eq. (2.43), da cui si ricava che:
¯X
u0
1
= D = q
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
(2.48)
Il fattore D è detto coefficiente di amplificazione dinamica, in quanto è il raporto tra lo
spostamento massimo della risposta dinamica e lo spostamento u0 = F0/k che sarebbe
prodotto dalla forza F0 qualora agisse staticamente. Per β =0D = 1; alcrescerediβ
generalmente D cresce fino a raggiungere un massimo per β soluzione dell’equazione:
dD
dβ ∼ β(−1 + β2 +2ξ 2 )=0
Se 2ξ 2 < 1 questa equazione ammette una soluzione reale per:
q
βr = 1 − 2ξ 2
cui corrisponde il valore massimo del coefficiente di amplificazione:
(2.49)
1
Dmax =
2ξ p 1 − ξ 2
(2.50)
Facendo crescere β oltre il valore βr, D decresce e per β →∞D → 0. L’andamento del
coefficiente di amplificazione in funzione di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ è
mostrato nella fig. 2.5. Se ξ ¿ 1 l’amplificazione massima si verifica per βr ' 1,
cioè quando ωf ' ω; con la stessa approssimazione l’amplificazione massima e circa 1/2ξ.
La frequenza per cui l’ampiezza della risposta è massima si chiama di risonanza:
q
ωr = ω 1 − 2ξ 2
Nei sistemi debolmente smorzati la frequenza di risonanza praticamente coincide con la
frequenza delle oscillazioni libere (non smorzate) della struttura, indicata anche come
frequenza naturale dell’oscillatore. L’amplificazione massima che si verifica alla risonanza

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 18
D
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
0.0 1.0 2.0 3.0
ϒΖ∂
f Λ∂
Figura~2.5: Coefficiente di amplificazione dinamica in funzione di β e ν; in linea spessa è
indicata la congiungente i punti di massima amplificazione
cresce inversamente allo smorzamento; nei sistemi debolmente smorzati (ξ ¿ 1) Dmax À 1
e tende all’infinito nel caso di smorzamento nullo. Così, nei sistemi con debole smorzamento,
se la frequenza della forzante si avvicina alla frequenza naturale dell’oscillatore, il
moto di risposta risulta grandemente amplificato; in questo modo anche una piccola forza,
se pulsa alla frequenza di risonanza della struttura, può produrre spostamenti, e quindi
sollecitazioni, molto grandi e pericolosi.
Il ritardo di fase φ, espresso dalle equazioni (2.45), è diagrammato in fig. 2.6 in funzione
di β e per alcuni valori dello smorzamento ξ. Per sistemi debolmente smorzati (al limite
con smorzamento nullo) quando β < 1 φ ∼ 0, cioè la risposta è praticamente in fase con
l’eccitazione. Quando β siavvicinaad1ladifferenza di fase aumenta rapidamente, in
modo che per β = 1 si ha φ = π/2. Spostandosi ancora verso valori maggiori di β, φ
aumenta rapidamente, approssimando π; inquestocasolarispostaèinopposizione di fase
all’eccitazione, in quanto l’una raggiunge il massimo positivo quando l’altra è al massimo
negativo e viceversa. Il passaggio dalla risposta in fase ed in opposizione di fase è tanto
più brusco quanto più lo smorzamento è piccolo, come mostrato dalla fig. 2.6; al limite per
sistemi non smorzati passa da φ =0per β < 1 a φ = π per β > 0 in modo discontinuo.
Questa caratteristica del cambiamento di fase viene utilizzata per individuare la frequenza
di risonanza di un oscillatore.
In figura 2.7 sono rappresentate le storie degli spostamenti di due oscillatori, con lo
stesso coefficiente di smorzamento ξ =0.05, soggetti all’azione di una forza di periodo
β = ωf/ω =0.9 il primo (a), e β = 1.1 il secondo (b). È evidente che nel primo caso, dopo
la fase transitoria, la risposta è praticamente in fase con la forzante, mentre nel secondo
si ha opposizione di fase.
↑=Ζ=ΜΚΜ
↑=Ζ=ΜΚΜΡ
↑=Ζ=ΜΚΝΜ
↑=Ζ=ΜΚΡΜ

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 19
∞
3.14
1.57
0.00
↑=Ζ=ΜΚΜΝ
↑=Ζ=ΜΚΜΡ
↑=Ζ=ΜΚΝΜ
↑=Ζ=ΜΚΠΜ
0.0 1.0 2.0 3.0
ϒ
Figura~2.6: Differenza di fase tra forzante e risposta in funzione di β e del coefficiente di
smorzamento ν
2.3.1 Energia dissipata
Il lavoro svolto dalla forza esterna F (t) in un ciclo del moto stazionario, si calcola facilmente
avendo determinato la legge del moto di risposta. Infatti si ha:
W =
Z Tf
0
F0 sin(ωft) ˙x(t) dt (2.51)
in cui Tf =2π/ωf indica il periodo della forza F (t). Quindi sostituendo ad x(t) l’espressione
esplicita del moto stazionario (2.43), tenendo conto della (2.44), della (2.48) e delle
definizioni di β, τ e u0, dall’eq.(2.51) si deduce:
W = DF 2 0 ωf
k
Z 2π/ωf
0
sin(ωft)cos(ωft − φ) dt = DF 2 0
k
π sin(φ) (2.52)
Quindi rendendo espliciti i termini D e sin(φ) mediante sostituzione delle equazioni (2.48)
e (2.45), si ha:
W = F 2 0 4πξβ
2k (1 − β2 ) 2 +4ξ2β2 (2.53)
Il primo termine nel secondo membro dell’eq. (2.53), F 2 0 /2k è il lavoro fatto dalla forza
F0 applicata staticamente, nel ciclo di carico; il secondo termine tiene conto della legge
ciclica di applicazione della forza e degli effetti dinamici. È facile verificare che l’espressione
(2.53) del lavoro fatto dalla forza esterna in un ciclo coincide con quello dissipato dall’unico
elemento non conservativo dell’oscillatore ed espresso dall’integrale:
Z Tf
0
c ˙x 2 (t) dt

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 20
x
x
6.0
4.0
2.0
0.0
-2.0
-4.0
-6.0
6.0
4.0
2.0
0.0
-2.0
-4.0
-6.0
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
≥
(a)
0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0
≥
Figura~2.7: Storie degli spostamenti di due oscillatori con lo stesso coefficiente di smorzamento
ν =0.05. Grafico (a): β =0.9; grafico (b): β = 1.1. Con linea tratteggiata è
indicata la storia della forzante u0 sin(βτ)
Il valore di W in funzione di β e per alcuni valori di ξ è rappresentato nel diagramma
della figura 2.8. In tutti i casi il lavoro fatto si annulla per β → 0, come conseguenza
del fatto che il sistema non è dissipativo nei confronti di forze applicate staticamente;
inoltre si osservi come, per valori di β non troppo vicini ad uno, il lavoro fatto dal sistema
cresca con lo smorzamento percentuale ξ: cioè i sistemi con coefficiente di smorzamento
più grande dissipano una maggiore quantità di energia. Questa relazione però si inverte
quando β ' 1, cioè in prossimità della risonanza: in tali condizioni l’energia dissipata dai
sistemi debolmente smorzati aumenta molto rapidamente e raggiunge livelli anche molto
più elevati di quelli relativi agli oscillatori dotati di maggior smorzamento.
2.3.2 Rappresentazione complessa
Se su di un piano cartesiano x, y si riporta un vettore ~u di modulo u0 e che forma un angolo
βτ(mod 2π) con l’asse x, come mostrato nella figura 2.9, la componente di ~u sull’asse y
ha ampiezza u0 sin(βτ), uguale all’ampiezza della forzante nell’equazione (2.37); facendo
ruotare ~u con velocità angolare β la sua proiezione su y uguaglia l’ampiezza della forza
applicata al sistema.
(b)

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 21
W
1E+2
1E+1
1E+0
1E-1
1E-2
1E-3
0.0 1.0 2.0 3.0
ϒ
Figura~2.8: Lavoro fatto dalla forza sinusoidale applicata ad un oscillatore smorzato in
un ciclo del moto stazionario
Combinando i risultati (2.43) e (2.48), l’ampezza della risposta stazionaria si può
scrivere:
¯X(τ) =Du0 sin(βτ − φ) (2.54)
Se sullo stesso piano dove viene riportato ~u si riporta anche il vettore ~x, dimoduloDu0 e
che forma con ~u l’angolo −φ, i due vettori, ruotando solidalmente, descrivono, con le loro
proiezioni su y, l’ampiezza della forzante e del moto di risposta.
Se si interpreta il piano x, y come il piano dei numeri complessi, i vettori ~u e ~x si
possono interpretare come le rappresentazioni dei numeri complessi:
u0[cos(βτ)+i sin(βτ)] = u0e iβτ
Du0[cos(βτ − φ)+i sin(βτ − φ)] = Du0e i(βτ−φ)
↑=Ζ=ΜΚΜΝ
↑=Ζ=ΜΚΜΡ
↑=Ζ=ΜΚΝΜ
↑=Ζ=ΜΚΟΜ
↑=Ζ=ΜΚΡΜ
(2.55)
(2.56)
Più in generale, ponendo Ue iβτ come termine noto nell’eq. (2.37), con U eventualmente
complesso, e cercando la soluzione stazionaria dell’equazione così ottenuta nella forma
Xe iβτ , dopo sostituzione nell’equazione (2.37), si ha:
dacuisiottiene:
La funzione
X[−β 2 +2iβξ + 1]e −βτ = Ue −βτ
X =
H(β, ξ) =
U
1 − β 2 +2iβξ
(2.57)
= H(β, ξ)U (2.58)
1
1 − β2 +2iβξ = 1 − β2 − 2iβξ
(1 − β2 ) 2 +4ξ2β2 (2.59)

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 22
Figura~2.9: Rappresentazione vettoriale (o complessa) della forza e della risposta
è detta funzione di trasferimento; la sua inversa 1 − β 2 +2iβξ è l’impedenza complessa del
sistema. Posta in forma esponenziale la funzione di trasferimento si scrive:
H(β, ξ) =||H||e −iψ
(2.60)
Èfacileverificare che il modulo di H coincide con il coefficiente di amplificazione; infatti:
||H|| = q
1
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
= D (2.61)
mentre l’anomalia ψ coincide con il ritardo di fase φ, come si controlla confrontando le
cos(ψ) =
1 − β 2
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
sin(ψ) =
2βξ
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
con l’eq. (2.45).
Se U è reale ed uguale ad u0, per l’eq. (2.57) e per quanto visto sopra si ha:
x(τ) =H(β, ξ)u0e iβτ = Du0e i(βτ−φ)
(2.62)
coincidente con la (2.56). Si è dunque determinata una soluzione complessa in conseguenza
di una legge complessa della forzante. Poiché realmente sia la forzante che la risposta sono
grandezze reali, la soluzione (2.62) si deve intendere come la combinazione delle risposte
ad un’eccitazione cosinusoidale (parte reale) ed a quella sinusoidale (parte immaginaria).
2.3.3 Isolamento alla base
Si supponga che una macchina rotante eserciti una forza sinusoidale F0 sin(ωft) su di una
struttura di fondazione di massa m, collegata al terreno mediante dei vincoli elastici di
rigidezza k e viscosità c, come schematicamente illustrato nella figura 2.10; si è interessati
alla determinazione della forza che il basamento trasmette al terreno.
Poiché questa struttura è stata modellata come un sistema ad un grado di libertà, la
risposta in spostamento ad una forzante armonica è data dall’eq. (2.47); in particolare la la

2.3 Oscillazioni forzate armonicamente 23
Figura~2.10: Modellazione schematica del basamento di fondazione di una macchina
legge della parte stazionaria è espressa nell’eq.(2.54). La forza che il basamento trasmette
al terreno è evidentemente la somma delle forze assorbite dai vincoli, cioè la forza elastica
kx(t) e la forza viscosa c ˙x(t). Quindi, tenendo conto della (2.54), si ottiene facilmente:
FT (t) =kx(t)+c ˙x(t) =Du0[k sin(βτ − φ)+cβω cos(βτ − φ)]
= DF0[sin(βτ − φ)+2ξβ cos(βτ − φ)] (2.63)
in cui D è la funzione di amplificazione (2.48) e sono state utilizzate le uguaglianze (2.38)
e (2.13).
L’eq. (2.63) mostra che la forza FT , in condizioni stazionarie, segue una legge armonica
con la pulsazione βω = ωf della forzante ed ampiezza:
q
|FT (t)| = F0D 1 +4ξ 2 β 2
Quindi, sostituendo l’espressione di D fornita dall’eq. (2.48), si ottiene in forma esplicita il
rapporto |FT |/F0 tra la forza trasmessa al terreno e quella esercitata dalla macchina sulla
fondazione, chiamato la trasmissibilità del sistema:
TR = |FT (t)|
F0
=
s
1 +4ξ 2 β 2
(1 − β 2 ) 2 +4ξ 2 β 2
(2.64)
La trasmissibilità è rappresentata in fig. 2.11 in funzione di β eperdiversivaloridel
coefficiente di smorzamento. Da questa figura appare evidente che TR = 1 per
β → 0, cioè per azioni statiche, e cresce quando β approssima 1, con un’amplificazione che
dipende dallo smorzamento. Superato 1 la trasmissibilità diminuisce e diviene inferiore
ad 1 per β > √ 2. L’attenuazione è maggiore per i sistemi poco smorzati, così come era
maggiore l’amplificazione per β ' 1.
Dal grafico di fig. (2.11) appare evidente che se si vuole ridurre gli effetti trasmessi dal
macchinario al terreno (e quindi attraverso questo alle strutture circostanti) occorre che
TR ¿ 1, il che si ottiene mediante un sistema in cui β = ωf/ω À √ 2, ciò che significa
che la fondazione deve avere una frequenza propria molto minore di quella della forzante.
Dallo stesso grafico sembrerebbe essere conveniente ridurre al minimo lo smorzamento,
perché in questo modo si riduce la trasmissibilità, ma non è prudente eccedere, perché i

2.4 Risposta ad un’azione periodica 24
T R
100.00
10.00
1.00
0.10
0.01
0.0 1.0 _
2.0 3.0 4.0
ϒ=Ζ=∂ ∂
Figura~2.11: Funzione di trasmissibilità di un sistema eccitato armonicamente
sistemi poco smorzati hanno l’inconveniente di attenuare lentamente gli effetti transitori
e,nelcasosidovesseverificare un’azione di frequenza vicina a quella naturale del sistema,
darebbero luogo a pericolose amplificazioni. Valori dello smorzamento prossimi al 10%
rappresentano di solito un buon compromesso tra queste due esigenze.
2.4 Risposta ad un’azione periodica
Spesso le azioni trasmesse da macchinari alle strutture sono periodiche di periodo Tf, cioè
soddisfano la condizione:
F (t + Tf) =F (t) ∀t
ma non sono semplicemente armoniche, cioè non possono essere rappresentate in modo
soddisfacente con una semplice funzione sinusoidale o cosinusoidale. Tuttavia è ben noto
che le funzioni periodiche possono essere espresse mediante uno sviluppo in serie di funzioni
armoniche; questa serie è nota come serie di Fourier.
Da un punto di vista operativo è più comodo utilizzare la rappresentazione sotto forma
di esponenziali complessi delle funzioni armoniche, perché così si ottengono risultati in
forma più compatta; si potrà poi fare uso di quanto visto nel § 2.3.2 per interpretare i
risultati espressi in forma complessa.
Se F (t) è periodica di periodo Tf, si potrà allora porre:
in cui
F (t) =a0 +
∞X
n=−∞
n6=0
ωn = 2nπ
Tf
Ane iωnt
↑ΖΜΚΜΝ
↑ΖΜΚΜΡ
↑ΖΜΚΝΜ
↑ΖΜΚΟΜ
↑ΖΜΚΘΜ
↑ΖΜΚΣΜ
(2.65)
(2.66)

2.4 Risposta ad un’azione periodica 25
èlapulsazionedell’n-esima armoninica in cui è decomposta la funzione F (t), mentreAn
indica la corrispondente ampiezza complessa. Moltiplicando entrambi i membri dell’equazione
(2.65) per exp(−iωjt) ed integrando il risultato su di un periodo, si ottiene:
Z Tf
0
F (t)e −iωjt dt = a0
da cui si deduce:
Z Tf
0
e −iωjt dt +
a0 = 1
Tf
Aj = 1
Tf
∞X
n=−∞
n6=0
Z Tf
0
Z Tf
0
An
Z Tf
0
F (t) dt
F (t)e −iωjt dt
e i(ωn−ωj)t dt =
½ Tfa0 se j =0
TfAj se j 6= 0
(2.67)
(2.68)
Negli sviluppi dell’eq. (2.67) si è tenuto conto che le funzioni e iωnt ,perωn 6= 0,sono
periodiche e pertanto il loro integrale su di un intervallo multiplo del loro periodo è nullo.
Per l’eq. (2.65) la forza periodica F (t) è stata decomposta nella somma di una forza
costante a0 ediinfinite forze variabili con legge armonica di ampiezza ||An|| eperiodo
ωn =2nπ/Tf. Per la linearità del sistema, la parte stazionaria della risposta sarà la
somma delle risposte dello stesso sistema a queste forzanti armoniche agenti singolarmente.
Si potrà allora porre:
¯x(t) =b0 +
∞X
n=−∞
n6=0
Bne iωnt
(2.69)
Sostituendo le equazioni (2.65), (2.69) e le sue derivate nell’equazione di equilibrio dinamico
(2.35) si ha:
−
∞X
ω 2 nBne iωnt +2iωξ
∞X
ωnBne iωnt + ω 2
⎛
⎜
⎝b0 +
∞X
Bne iωnt
⎞
⎟
⎠ =
n=−∞
n6=0
n=−∞
n6=0
1
m
n=−∞
n6=0
⎛
⎜
⎝ a0 +
∞X
n=−∞
n6=0
Ane iωnt
⎞
⎟
⎠ (2.70)
da cui, uguagliando i termini costanti ed i coefficienti delle funzioni e iωnt , si ottengono le
espressioni dei coefficienti dello sviluppo della risposta:
b0 = a0
k
Bn =
An
m(ω 2 − ω 2 n +2iξωωn) =
An
k(1 − β 2 n +2iξβn) = H(βn, ξ) An
k
(2.71a)
(2.71b)
in cui β n = ωn/ω ed H indica la funzione di trasferimento complessa, definita dall’eq.
(2.59).

2.4 Risposta ad un’azione periodica 26
Infine, sostituendo le soluzioni (??) nell’eq. (2.69) si ricava l’espressione esplicita della
risposta stazionaria del sistema alla forzante periodica F (t):
¯x(t) = 1
⎡
⎢
k ⎣a0 +
∞X
H(βn, ξ)Ane iωnt
⎤
⎥
⎦
(2.72)
n=−∞
n6=0
Se F (t) èrealeAn e A−n formano coppie di numeri complessi coniugati; così i termini
dello sviluppo (2.65) sono, per valori opposti di n, complessi coniugati e la somma delle
coppie
Ane iωnt + A−ne −iωnt =2

2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 27
Figura~2.12: Approssimazione della funzione “onda quadra” mediante somma dei primi
termini (n

2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 28
A n , B n
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
Ampiezza armoniche forzante A n
Ampiezza armoniche di risposta B n
1 3 5 7 9
∂ n
Figura~2.13: Ampiezza del modulo dei coefficienti dello sviluppo della forzante e della
risposta
Figura~2.14: Risposta stazionaria di un oscillatore di frequenza ω = 3.5 sec −1 e
smorzamento 5% ad un’onda quadra di periodo 2π

2.5Rispostaadunaforzaimpulsiva 29
Integrando entrambi i membri di questa equazione nell’intervallo [t, t + ∆t], siha:
m ˙x(t + ∆t) − m ˙x(t) =
Z t+∆t
t
f(θ) dθ (2.74)
Il prodotto della massa per la velocità è la quantità di moto del sistema, l’integrale a
secondo membro è detto l’impulso prodotto dalla forza f(t) nel tempo ∆t. L’eq. (2.74) dimostra
che la variazione della quantità di moto in un intervallo di tempo uguaglia l’impulso
prodotto dalla risultante di tutte le forze agenti nello stesso tempo.
Se ad un sistema in quiete, al tempo t =0, viene applicata una forza di intensità F0
costante per un tempo ∆t, la funzione di risposta del sistema x(t) può essere sviluppata in
serie di Taylor nell’intorno di t =0; tenendo conto che per ipotesi si ha x(0) = ˙x(0) = 0,
lo sviluppo diviene:
x(t) =O(t 2 ) (2.75)
in cui O(tn ) indica un infinitesimo dello stesso ordine di tn .
Applicando l’equazione (2.74) all’oscillatore di massa m, rigidezza k e smorzamento c,
si ha, ponendo t =0e tenendo conto che il sistema è inizialmente in quiete:
Z ∆t
m ˙x(∆t) = (F0 − c ˙x(θ) − kx(θ)) dθ
0
Nel secondo membro di questa equazione, l’integrale di ˙x fornisce lo spostamento x(∆t)
che, per l’eq. (2.75) è infinitesimo di ordine ∆t 2 , mentre l’integrale della funzione x(t)
risulterà di conseguenza infinitesimo di orine ∆t 3 . Qindi si potrà scrivere:
m ˙x(∆t) =F0∆t + O(∆t 2 )
Da questa equazione, per ∆t → 0, si ottiene, a meno di infinitesimi di ordine superiore al
primo, la velocità dell’oscillatore al tempo ∆t prodotta dall’impulso F0∆t:
˙x(∆t) = F0
∆t (2.76)
m
mentre lo spostamento, che si ottiene integrando la velocità, risulterà infinitesimo di ordine
superiore ad uno.
Cessata la forza, per t>∆t, il sistema è soggetto alle oscillazioni libere determinate
dalle condizioni iniziali ˙x0 = ˙x(∆t) x0 = x(∆t) =0; ricordando l’eq. (2.23) con x0 =0ed
il significato di δ ediy0 = ˙x0/ω si ha:
x(τ) =e −ξτ sin(p 1 − ξ 2 τ)
p 1 − ξ 2
che espressa nel tempo effettivo t = τ/ω, diviene:
x(t) = e−ωξt
m
F0
∆τ (2.77)
k
sin(ω p 1 − ξ 2 t)
ω p 1 − ξ2 F0∆t (2.78)

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 30
2.6 Risposta ad un’azione non periodica
2.6.1 Integrale di Duhamel
Se ora si suppone che sul sistema agisca una forza variabile con legge di tipo arbitrario
F (t), questa si può pensare decomposta in infiniti impulsi di intensità F (t) e di durata
infinitesima dt. La risposta del sistema in quiete a ciascuno di questi impulsi si può
determinare applicando l’eq. (2.78), tenendo però conto che ora l’azione è applicata non
nell’origine ma al tempo generico θ, per cui la risposta al tempo t sarà:
dx(t) = e−ξω(t−θ)
m
sin[ωD(t − θ)]
F (θ) dθ (2.79)
in cui si è fatto uso della posizione (2.28). Per la linearità del sistema, la funzione di risposta
all’intera storia della forza F (θ) nel tempo (t0,t) si ottiene sommando i contributi di tutti
gli impulsi infinitesimi in cui è stata idealmente decomposta, al limite la sommatoria tende
ad un integrale e così per la (2.79) si ottiene:
x(t) =
Z t
t0
ωD
e−ξω(t−θ) sin[ωD(t − θ)]
F (θ) dθ (2.80)
m
Quest’ultima equazione può essere anche scritta in forma sintetica:
in cui
x(t) =
Z t
t0
h(t) = e−ξωt
m
ωD
h(t − θ)F (θ) dθ (2.81)
sin(ωDt)
ωD
(2.82)
è la funzione di risposta ad impulso dell’oscillatore di massa m, frequenza angolare ω e
smorzamento ξ.
Se nell’eq. (2.81) si esegue un cambiamento della variabile di integrazione, ponendo
t 0 = t − θ, si ottiene l’espressione alternativa:
Z t−t0
x(t) = h(t
0
0 )F (t − t 0 ) dt 0
(2.83)
La variabile t0 rappresenta il tempo trascorso tra il momento di applicazione della forza e
quello di osservazione; è evidente che per valori negativi di t0 si ha h(t0 ) ≡ 0, altrimenti
l’effetto precederebbe l’azione. Quindi, con questa posizione, il limite inferiore dell’integrale
(2.83) può essere esteso a −∞ senza modificare il risultato. Poi, portando l’origine
dei tempi all’infinito, cioè ponendo t0 = −∞, l’eq. (2.83) diviene2 :
Z ∞
x(t) =
h(t
−∞
0 )F (t − t 0 ) dt 0
(2.84)
per cui la risposta stazionaria si ottiene come prodotto di convoluzione tra la forza F (t) e
la funzione di risposta ad impulso h(t).
2 Questo non modifica il risultato, se per esempio si assume che F (t) ≡ 0 per t

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 31
2.6.2 Integrazione diretta delle equazioni del moto
L’equazione (2.81) [o (2.84)] ha un’importanza più concettuale che pratica, poiché se,
come spesso avviene, l’integrale non può essere svolto analiticamente, il procedimento di
calcolo della risposta basato sulla quadratura numerica dell’integrale (2.80) risulta del
tutto inefficiente. Infatti esso fornisce la risposta ad un fissato istante di tempo t, e
dovrebbe pertanto essere ripetuto tante volte quanti sono i punti dell’asse dei tempi in cui
si vuole conoscere la risposta.
Molto più efficienti sono a questo scopo i procedimenti basati sull’integrazione diretta
(numerica) delle equazioni del moto: questi procedimenti hanno inoltre il vantaggio
di non richiedere che la struttura abbia un comportamento lineare. Infatti, se la legge
forza- spostamento del nostro oscillatore fosse non-lineare, l’equazione del moto si potrebbe
riscrivere:
m¨x(t)+c ˙x(t)+r(x, ˙x) =F (t)
in cui il termine non lineare r(x, ˙x) sostituisce il termine lineare kx. L’integrazione di
questa equazione non richiede in sostanza un impegno di calcolo superiore a quello dell’analoga
equazione lineare, se non per l’eventuale maggior onere necessario per il calcolo
della funzione r(x) che sostituisce il semplice prodotto kx. Inoltre, mentre per la soluzione
del problema lineare sono disponibili diversi metodi alternativi, per quanto riguarda l’analisi
delle strutture non lineari l’integrazione diretta delle equazioni del moto è in pratica
la sola via perseguibile.
Vi sono diverse famiglie di algoritmi per la soluzione numerica delle equazioni differenziali;
quelli utilizzati nell’analisi sismica delle strutture vengono normalmente classificati
in due tipi: algoritmi espliciti ed algoritmi impliciti. I primi, di più semplice applicazione,
consentono di determinare il valore della funzione integranda (x, ˙x) al passo k + 1 direttamente
in funzione delle stesse grandezze al passo precedente e dell’equazione di equilibrio
scritta nel passo k; i secondi invece richiedono che l’equazione di bilancio sia soddisfatta
anche nel passo k + 1, ciò che, nei sistemi non lineari, richiede che si compiano delle iterazioni.
I metodi impliciti sono generalmente più accurati di quelli espliciti ed inoltre, per
opportune scelte dei parametri, sono incondizionatamente stabili.
Un algoritmo si dice stabile se la soluzione che fornisce non diverge; la stabilità non implica
accuratezza, poiché la soluzione numerica potrebbe differire di molto da quella esatta,
pur restando limitata. La stabilità delle soluzioni numeriche dell’equazione dell’oscillatore
può essere studiata in via generale solo nel caso lineare; da questo studio si deduce che la
condizione di stabilità è in genere soddisfatta solo se il passo di integrazione, cioè l’intervallo
di tempo esistente tra due successivi istanti in cui viene calcolata la risposta della
struttura, è minore di una frazione del periodo proprio della struttura; in questo caso la
stabilità è condizionata alla scelta di un passo di integrazione sufficientemente piccolo e
pertanto l’algoritmo si classifica come condizionatamente stabile.
In alcuni casi, per gli algoritmi impliciti, la condizione di stabilità è soddisfatta qualunque
sia il valore del passo di integrazione: questi algoritmi si dicono incondizionatamente
stabili. Naturalmente questo non autorizza ad adottare passi di grandezza arbitraria; se si
desidera che la soluzione sia accurata il passo deve essere sufficientemente piccolo. Tuttavia
vi sono dei casi, nell’analisi di sistemi con molti gradi di libertà, in cui nelle equazioni
compaiono dei termini irrilevanti, per i quali non è richiesta accuratezza, ma solo che
restino limitati, in modo da non alterare apprezzabilmente la soluzione; in questi casi la
stabilità incondizionata dell’integratore diviene un requisito importante al fine di ottenere

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 32
soluzioni accurate. Questi aspetti saranno richiamati più avanti, dopo aver trattato delle
strutture con molti gradi di libertà.
Un esempio di algoritmo esplicito: il metodo delle differenze centrali
Un algoritmo esplicito molto semplice e largamente usato nell’analisi dinamica delle strutture
è il metodo delle differenze centrali. Esso è basato sull’idea che, nelle equazioni
dinamiche, le derivate prime e seconde delle funzioni incognite siano sostituibili con le
differenze finite centrali. Se l’asse dei tempi è diviso in intervalli di uguale ampiezza ∆t,
indicando con il pedice k tutte le grandezze relative all’istante tk = k∆t, ledifferenze finite
al passo k-esimo sono date dalle relazioni:
˙xk = xk+1 − xk−1
2∆t
¨xk = xk+1 − 2xk + xk−1
∆t2 (2.85)
Sostutuendo queste espressioni nell’equazione dinamica dell’oscillatore relativa al tempo
tk, che in modo relativamente generale si potrà scrivere:
¨xk +2ωξ ˙xk + r(xk) =f(tk) (2.86)
si ottiene un’equazione in cui compaiono le grandezze xk ed xx−1, che sono note, e l’unica
incognita xk+1, che può quindi facilmente essere calcolata. In modo analogo, conoscendo
ora il valore di x ai passi k + 1 e k, si può determinarne il valore al passo k +2; il procedimento
viene ripetuto per tutti i passi e consente di ottenere la soluzione, approssimata,
dell’equazione differenziale (2.86).
Ad ogni passo la soluzione dipende dal valore della funzione nei due passi precedenti;
nelle condizioni iniziali (al tempo t0) questo pone qualche problema perché in tal caso non
esiste un passo precente. Tuttavia all’istante iniziale devono essere noti il valore di x0, e
quello della sua derivata prima ˙x0 e quindi, grazie all’equazione dinamica (2.86) scritta
per k =0, anche l’accelerazione ¨xk. Allora dalle equazioni (2.85) scritte per k =0,sipuò
eliminare il termine x1 ed ottenere un’equazione in cui compaiono x0, ˙x0, ¨x0, che sono
noti, e x−1. Risolvendo questa equazione rispetto alla sola incognita si ottiene:
∆t
x−1 = x0 − ˙x0∆t +¨x0
2
2
che, insieme ad x0, viene usato come valore di innesco del processo di integrazione.
Un procedimento implicito: il metodo di Newmark
La famiglia di metodi di integrazione ideata da Newmark, si basa sulla stima del valore
della funzione incognita e della sua derivata prima alla fine del passo, mediante l’integrazione
della funzione accelerazione, che viene approssimata con una legge arbitraria tra i
valori che assume agli estremi del passo; si pone quindi:
˙xk+1 = ˙xk +[¨xk(1 − α)+¨xk+1α]∆t
xk+1 = xk + ˙xk∆t +[¨xk(1 − β)+¨xk+1β] ∆t2
(2.87)
2
Il tipo di legge interpolante usato per l’accelerazione dipende dai valori assegnati ai
coefficienti α e β, che possono variare tra 0 ed 1. Porre α = β = 1/2 è equivalente ad

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 33
un’accelerazione costante, uguale alla media dei valori iniziale e finale (metodo dell’accelerazione
media); per α = 1/2 e β = 1/3 la legge di interpolazione tra i valori estremi
dell’intervallo è lineare.
Come si vede dall’eq. (2.87), i valori finali di x ed ˙x al passo k + 1 dipendono dall’accelerazione
di fine passo, la quale a sua volta dipende, tramite l’equazione (2.86), da xk+1
ed ˙xk+1. Pertanto la soluzione richiede generalmente delle iterazioni: fissato un valore
di prima approssimazione per ¨xk+1 (p.es. uguale al valore del passo precedente) si determinano,
mediante le eq. (2.87), xk+1 e ˙xk+1. Sostituendo questi valori nell’eq. (2.87), si
calcola ¨xk+1 e quindi xk+1 e ˙xk+1; il procedimento viene iterato fin quando il risultato non
èstabile.
I metodi impliciti sono, come si è visto, più onerosi perché richiedono ad ogni passo
alcune iterazioni, e quindi più calcoli; per contro sono in genere più accurati, e questo consente
di impiegare un passo di integrazione più grande, il che significa un minor numero
di passi, riducendo così sensibilmente il loro svantaggio. Inoltre, per opportune scelte dei
parametri α e β, il metodo di Newmark è incondizionatamente stabile, cioè la soluzione
resta limitata anche se il passo di integrazione è grande rispetto al periodo proprio dell’oscillatore:
come si vedrà più avanti, questa proprietà è molto utile per sistemi con molti
gradi di libertà.
2.6.3 Stabilità, decadimento di ampiezza ed elongazione del periodo
Si esaminano più in dettaglio le proprietà di stabilità e di accuratezza del metodo delle
differenze centrali e del metodo di Newmark, come esempi di procedure esplicite ed implicite,
rispettivamente. L’analisi verrà condotta con riferimento alle oscillazioni libere di
un sistema non smorzato, la cui equazione del moto, utilizzando il tempo adimensionale
τ = ωt, è (2.6):
Stabilità del metodo delle differenze centrali
¨x(τ)+x(τ) =0 (2.88)
Introducendo la velocità come variabile autonoma e tenendo conto della (2.88), le equazioni
(2.85) possono essere riscritte, dopo aver eliminato xk−1, nelseguentemodo:
µ
∆τ 2
xk+1 = 1 + xk + ∆τ ˙xk
2
µ
∆τ 3
µ
˙xk+1 = − ∆τ xk + 1 −
4 ∆τ
(2.89)
˙xk
2
Queste equazioni si sintetizzano nella forma matriciale:
xk+1 = Axk
in cui xk è il vettore di stato del sistema al tempo τ k:
(2.90)
·
xk
xk =
˙xk
¸
(2.91)
mentre la matrice di trasformazione A è formata con i coefficienti delle equazioni (2.89):
"
∆τ 2
1 −
A = 2
∆τ
∆τ
3
4 − ∆τ
#
∆τ 2
1 − 2
(2.92)

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 34
Indicando con x0 il vettore delle condizioni iniziali ed applicando ripetutamente la
(2.90), si ha:
xk = A | · A {z ···A x0 } = A
k volte
k x0
(2.93)
La matrice A può essere diagonalizzata utilizzando la base dei suoi autovettori; indicando
con Ψ la matrice degli autovettori di A econΛ la matrice diagonale degli autovalori, si
ha: Λ = Ψ −1 AΨ; di conseguenza la matrice A si può decomporre nella forma normale:
A = ΨΛΨ −1
Sostituendo l’eq. (2.94) nella (2.93) si verifica facilmente che si ottiene:
xk = ΨΛ k Ψ −1
(2.94)
(2.95)
Poiché la matrice Λ è digonale, la sua k-esima potenza è la matrice (diagonale) i cui
elementi sono gli stessi della matrice Λ elevati alla potenza k.
Dalla (2.95) appare evidente che il comportamento della soluzione è governato dagli
autovalori della matrice A. Se gli autovalori fossero reali la soluzione crescerebbe o decrescerebbe
esponenzialmente, senza oscillare: quindi se si vuole che la soluzione sia oscillante,
come è effettivamente quella esatta, gli autovalori λ1 e λ2 di A devono essere complessi
coniugati e, affinché l’ampiezza delle oscillazioni non aumenti, cioè che la soluzione sia
stabile, il modulo dei due autovalori non deve risultare maggiore di 1.
Gli autovalori di una matrice si ottengono come radici dell’equazione caratteristica
det(A − λI) =0
in cui I indica la matrice unità. Per una matrice 2 × 2, l’equazione caratteristica è
semplicemente:
λ 2 − tr(A)λ + det(A) =0 (2.96)
in cui tr(A) indica la traccia della matrice A. Poiché l’eq. (2.96) è un’equazione di secondo
grado, la condizione che le sue radici siano complesse implica che il discriminante sia minore
di zero, ossia che:
tr(A) 2 − 4det(A) < 0
Per il metodo delle differenze centrali la matrice A è espressa dall’eq. (2.92); sostituita
nella precedente si ottiene la condizione:
(2 − ∆τ 2 ) 2 − 4 < 0
che, con l’ovvia condizione ∆τ > 0, ha come soluzione:
0 < ∆τ < 2 (2.97)
Se le soluzioni dell’equazione (2.96) sono complesse coniugate allora si ha che |λ| 2 =
det(A); poichèèfacileverificare che risulta
det(A) =1 (2.98)

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 35
ne segue che se è soddisfatta l’eq. (2.97) gli autovalori di A sono complessi, dunque la
soluzione è oscillante, ed inoltre, poiché in tal caso |λ| = 1, èanchestabile.
Se le soluzioni sono reali allora risulta:
|λ| 2 Ã
max = 1 −
∆τ 2
2 +
r
∆τ 2 ∆τ 4
−
4
La condizione |λ| ≤ 1 implica ∆τ ≤ 2: pertanto si può concludere che il metodo delle differenze
centrali è stabile se ∆τ ≤ 2 e fornisce anche una soluzione oscillante se èsoddisfatta
la più restrittiva eq. (2.97), che nel tempo naturale t = τ/ω = τT/2π significa:
∆t
T
< 1
π
! 2
(2.99)
Come si è notato in precedenza la condizione di stabilità non implica l’accuratezza della
soluzione; essa è condizione necessaria, ma non sufficiente, perché la soluzione numerica
dell’equazione differenziale approssimi quella esatta. Per giudicare circa l’accuratezza del
metodo si esaminano altri due aspetti della soluzione: il decadimento dell’ampiezza e lo
scorrimento del periodo.
Gli autovalori di A, supponendo che le condizioni di stabilità siano verificate, sono
complessi coniugati e quindi si possono porre nella forma:
λ1 = |λ|e iφ
λ2 = |λ|e −iφ
in cui |λ| = det(A) 1/2 è il modulo e φ l’argomento degli autovalori. Al k-esimo passo di
integrazione gli autovalori risultano elevati alla k-esima potenza, per cui si ha:
λ k j = |λ| k e ±ikφ
(j = 1, 2) (2.100)
Se |λ| fosse maggiore di uno il modulo degli autovalori di A k crescerebbe indefinitamente
con k, per cui il procedimento sarebbe instabile; viceversa se |λ| < 1 il modulo degli
autovalori decresce e tende a zero per k →∞: la soluzione in questo caso è stabile ma
si manifesta un decadimento dell’ampiezza delle oscillazioni, analogo a quello prodotto da
un termine viscoso, che però nell’equazione (2.88) che stiamo integrando non è presente.
Poiché la soluzione delle equazioni (2.88) è una combinazione di funzioni armoniche di
periodo 2π, prendendo come passo di integrazione una frazione di questo periodo: ∆τ =
2π/n, il decadimento di ampiezza in un periodo risulta:
Dopo k iterazioni, tali che:
|λ| n = |λ| 2π/∆τ
kφ =2π
(2.101)
si ha xk/|λ| k = x0. Se ∆τ è il passo di integrazione, il periodo della soluzione numerica
risulta pertanto
Π ∗ = k∆τ = ∆τ 2π
φ
Lo scarto dal valore esatto Π =2π èdunque:
Π ∗ − Π =2π
µ ∆τ
φ
− 1

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 36
e lo scarto percentuale è dato da:
Sp = T ∗ − T
T
= Π∗ − Π
Π
= ∆τ
φ
− 1 (2.102)
Nel metodo delle differenze centrali, se è soddisfatta la condizione (2.99), si ha
|λ| = det(A) 1/2 = 1
per cui non si verifica decadimento di ampiezza. Inoltre risulta
cos(φ) =
che sostituita nella (2.102) da luogo a:
tr(A) ∆τ 2
= 1 −
2det(A) 1/2 2
∆τ
Sp =
arccos(1 − ∆τ 2 − 1
/2)
Sviluppando in serie questa funzione si ottiene la relazione approssimata:
che, espressa in termini del tempo effettivo t, diviene:
Sp = − π2
6
∆τ 2 17
Sp = − −
24 5760 ∆τ 4 + O(∆τ 6 ) (2.103)
µ 2
∆t
−
T
π4
360
µ 4
∆t
+ O
T
" µ∆t #
6
T
(2.104)
Si può quindi concludere che al crescere del rapporto ∆t/T il periodo della soluzione
numerica ottenuta con il metodo delle differenze centrali si discosta, risultando più piccolo,
da quello esatto.
Metodo di Newmark
Quando il sistema è elastico lineare, l’equazione (2.88) può essere usata per esprimere ¨xk+1
in funzione di xk+1 e ˙xk+1; questo permette di eliminare l’accelerazione di fine passo dalle
equazioni (2.87), che così divengono esplicite, e si possono porre ancora nella forma (2.90),
in cui la matrice A è:
⎡
⎢
A = ⎢
⎣
2+(β − 1)∆τ 2
2+β∆τ 2
(α − β)∆τ 3 − 2∆τ
2+β∆τ 2
2∆τ
2+β∆τ 2
2+(β − 2α)∆τ 2
2+β∆τ 2
⎤
⎥
⎦
(2.105)
Esplicitamente, la condizione che gli autovalori siano complessi, e quindi la soluzione
oscillante, si esprime ora:
da cui segue:
tr(A) 2 − 4 det(A) =∆τ 2 ∆τ 2 (1 − 8β +4α +4α 2 ) − 16
(2 + β∆τ 2 ) 2
∆τ <
4
p 1 +4(α 2 + α − 2β)
< 0
(2.106)

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 37
ovvero, nel tempo naturale t,
∆t
T <
2
π p 1 +4(α 2 + α − 2β)
Se gli autovalori sono complessi si ha |λ| 2 = λ1λ2 =det(A); quindi la soluzione è stabile
se:
2+(1 + β − 2α)∆τ 2
det(A) =
2+β∆τ 2 ≤ 1
Questa relazione è soddisfatta per qualunque valore di ∆τ che soddisfi la condizione
(2.106), se risulta:
α ≥ 1
(2.107)
2
Se l’eq. (2.106) non è soddisfatta gli autovalori sono reali; in questo caso il modulo
dell’autovalore maggiore è dato dalla relazione:
|λmax| 2 =
⎛
⎝ tr(A)
2 +
s
tr(A) 2
4
⎞
− det(A) ⎠
la condizione di stabilità, cioè che λmax ≤ 1, è soddisfatta se:
√
2
∆τ ≤ √
α − β
(2.108)
Si deve peraltro osservare che la condizione (2.107) deve comunque essere verificata, se
si vuole che la soluzione resti stabile anche quando il passo di integrazione è abbastanza
piccolo da soddisfare l’eq. (2.106).
Se α = β ed α ≥ 0 l’equazione (2.108) è soddisfatta per qualsiasi valore di ∆τ; inquesto
caso l’integratore si indica come incondizionatamente stabile; tuttavia la soluzione risulta
oscillante solo se il passo di integrazione è abbastanza piccolo da soddisfare l’eq. (2.106),
che per α = β ora si scrive:
4
∆τ <
|1 − 2α|
Un altro modo per avere condizioni di stabilità incondizionata, sempre ammesso che si
abbia α ≥ 1/2, consiste nel rendere infinito il secondo membro dell’eq. (2.106): in tal modo
la soluzione risulta sempre oscillante (perché è verificata l’eq. (2.106)) e stabile, perché è
imposta la condizione (2.107). Annullando il denominatore del termine a secondo membro
dell’eq. (2.106) si ottiene:
1 +4(α 2 + α − 2β) =0
cheèverificata se si pone;
(1 +2α)2
β = (2.109)
8
Poiché la condizione di stabilità richiede che si abbia α > 1/2, è conveniente porre
α = 1
+ ² (² ≥ 0)
2

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 38
Sostituendo questa posizione nell’eq. (2.109) si ottiene la condizione per β:
β =
(1 + ²)2
2
Per ogni scelta di ² tale che 0 ≤ ² ≤ √ 2 − 1 si ottiene un procedimento che risulta incondizionatamente
stabile. Si osservi che per ² =0si ha α = β = 1/2: questo dimostra
che il metodo dell’accelerazione media è incondizionatamente stabile. Al contrario il metodo
dell’accelerazione lineare (α = 1/2 β = 1/3) non è incondizionatamente stabile; la
condizione di stabilità dell’equazione (2.108) diviene per questo caso:
∆τ ≤ 2 √ 3
Gli algoritmi di Newmark incondizionatamente stabili sono generalmente dissipativi,
in quanto risulta che |λ| < 1. Infatti, ponendo α = β = 1/2+² il modulo degli autovalori
complessi risulta:
|λ| 2 =det(A) =
4+(1 − 2²)∆τ 2
4+(1 +2²)∆τ 2
Ponendo invece α = 1/2+², β =(1 + ²) 2 /2, altra combinazione che rende il procedimento
incondizionatamente stabile, si ha:
|λ| 2 =det(A) = 4+(1 − ²)2 ∆τ 2
4+(1 + ²) 2 ∆τ 2
Quindi risulta evidente che |λ| < 1, con l’eccezione del caso ² =0. Il metodo dell’accelerazione
media è il solo, tra gli algoritmi di Newmark, che sia incondizionatamente stabile
e non presenti decadimento di ampiezza.
Per ²>0 si manifesta un decadimento di ampiezza; dalle due combinazioni per cui il
metodo risulta incondizionatamente stabile si ottengono risultati molto simili; nel seguito
si fa riferimento alla scelta che rende la soluzione stabile ed oscillante. Sostituendo allora
la precedente espressione di |λ| nell’eq. (2.101) si ottiene che la riduzione di ampiezza in
un periodo è:
·
4+(1− ²) 2∆τ 2 ¸π/∆τ DA =
4+(1 + ²) 2 ∆τ 2
I primi termini dello sviluppo in serie di questa espressione sono:
DA = 1 − π ² ∆τ + 1
2 π2 ² 2 ∆τ 2 + O(∆τ 3 )
Il logaritmo dell’inverso di DA è il decremento logaritmico delle oscillazioni libere; a
questo decremento corrisponde uno smorzamento percentuale che si calcola con l’eq. (2.31).
Sviluppando in serie di Taylor l’espressione che ne risulta si ha:
ξ ∗ = 1 2² +3²3
²∆τ −
2 16 ∆τ 3 + O(∆τ 4 )
Questo smorzamento non compare esplicitamente nelle equazioni del moto ma è equivalente,
nel senso che produce gli stessi effetti dell’algoritmo numerico; per questo motivo è
chiamato smorzamento numerico dell’algoritmo. Se ∆τ è sensibilmente inferiore ad uno,
in modo che siano trascurabili gli infinitesimi superiori, lo smorzamento numerico è circa

2.6 Risposta ad un’azione non periodica 39
²∆τ/2. Quindi, se si vuole ridurre il decadimento di ampiezza, occorre assumere valori
piccoli di ² ed usare un piccolo passo di integrazione.
Per determinare l’entità dello scorrimento del periodo si determina il coseno dell’argo-
mento degli autovalori di A:
cos(φ) =
tr(A)
2det(A) 1/2
Quindi lo scorrimento di periodo si calcola con l’eq. (2.104). Per gli algoritmi incondizionatamente
stabili ed oscillanti, ponendo α = 1/2+², β =(1+²) 2 /2, e sviluppando in serie
di ∆τ, siha:
Sp =
1 +3²2
12 ∆τ 2 + O(∆τ 4 )
Per il metodo dell’accelerazione media si ha in particolare:
Sp =
∆τ 2
12
− ∆τ 4
180 + O(∆τ 6 )
mentre il metodo dell’accelerazione lineare (che non è incondizionatamente stabile) ha
un’elogazione del periodo:
Sp =
∆τ 2
24
− 17
5760 ∆τ 4 + O(∆τ 6 )
Per ∆τ → 0 il metodo dell’accelerazione lineare produce lo stesso scarto di periodo del
metodo delle differenze centrali (ma con segno opposto); al crescere di ∆τ però la situazione
diviene più favorevole per il metodo di Newmark, come dimostra, nello sviluppo in serie
della funzione Sp, ladifferenza di segno tra il termine quadratico e quello di quarto grado.

Capitolo 3
Sistemidiscreticonpiùdiun
grado di libertà
3.1 Introduzione
Gli oggetti reali, da un punto di vista macroscopico, sono continui e quindi caratterizzati
da infiniti gradi di libertà. Tuttavia, come insegna la teoria delle strutture, i mezzi continui
possono essere discretizzati, per esempio mediante la tecnica degli elementi finiti (e.f.), e
le equazioni differenziali che ne descrivono il comportamento ridotte a sistemi di equazioni
algebriche, la cui soluzione approssima quella esatta tanto meglio quanto più fitta è stata
la discretizzazione impiegata.
Analoghe considerazioni si applicano al problema dinamico, spesso in modo ancora
più marcato, come avviene ad esempio quando la maggior parte della massa è associata a
pochi gradi di libertà: in tal caso i gradi di libertà a cui è associata una massa trscurabile
possono essere “condensati” e non compaiono più come incognite esplicite nelle equazioni
del moto.
Per esempio, prendendo in esame un telaio multipiano a maglie rettangolari, come
quello illustrato nella fig. , se si trascura la deformabilità assiale delle travi e si ritiene che
le masse associate ai gradi di libertà di rotazione dei nodi siano piccole in confronto con
quelle relative alle traslazioni, tutte le masse si possono considerare concentrate a livello
dei piani. Non essendovi masse (e quindi forze) associate agli altri gradi di libertà, la
matrice di rigidezza della struttura può essere condensata, ponendo in relazione solo le
forze applicate ai piani e gli spostamenti corrispondenti. 1
Con la notazione delle matrici, l’equazione di equilibrio della struttura si scrive:
Ku = f (3.1)
in cui K indica la matrice delle rigidezze, u è il vettore degli spostamenti dei piani ed f
èilvettoredelleforzeapplicateaipiani. Selesoleforzeapplicatesonoquelled’inerzia,
1 La matrice condensata si può ottenere direttamente, p.es. mediante un programma ad e.f. standard,
imponendo uno spostamento unitario ai nodi di un piano e spostamenti nulli agli altri: le reazioni che si
ottengono formano una colonna della matrice di rigidezza condensata; variando a turno il piano a cui è
imposto lo spostamento si determinano tutte le colonne.
40

3.2 La matrice delle masse 41
poichélemassesonoperipotesiconcentrateneipiani,siavrà:
⎡
⎢
f = − ⎢
⎣
m1ü1
⎤
⎥
⎦ = Mü
m2ü2
···
mnün
dove m1,...,mn sono le masse dei piani e M è la matrice diagonale:
⎡
⎤
m1 0 ··· 0
⎢
M = ⎢ 0 m2 ··· 0 ⎥
⎣ .................. ⎦
0 0 ··· mn
(3.2)
detta matrice delle masse. Sostituendo le forze di inerzia ad f nell’eq. (3.1) si ottiene il
sistema di equazioni della dianamica di un sistema con masse concentrate e non forzato:
Mü(t)+Ku(t) =0 (3.3)
L’equazione (3.3) è formalmente simile alla (2.1) relativa ad un sistema con un solo
gradodilibertà,malequantitàscalarim e k sono sostituite dalle corrispondenti matrici
M e K. L’equazione (3.3) si riferisce al moto libero e non smorzato di un sistema con
molti gradi di libertà: il caso più generale del moto forzato di un sistema dissipativo si
ottiene con ovvie generalizzazioni: la presenza di azioni esterne comporta l’aggiunta di
un termine f(t), rappresentativo delle azioni esterne note, mentre gli effetti della viscosità
lineare vengono messi in conto introducendo un termine C ˙u(t), prodotto di una matrice
viscosa C per il vettore delle velocità. Sulla effettiva struttura della matrice C si tornerà
nel seguito, per ora si osservi che, con l’introduzione delle forze esterne e degli effetti viscosi,
l’equazione dinamica di un sistema discreto con più di un grado di libertà si sintetizza nella
formula:
Mü(t)+C ˙u(t)+Ku(t) =f(t) (3.4)
che corrisponde alla eq. (2.35), relativa ad un sistema ad un g.d.l.
3.2 La matrice delle masse
Per i sistemi discreti la matrice delle masse è una matrice diagonale i cui elementi non nulli
sono le masse concentrate, associate ai rispettivi gradi di libertà. Spesso questo modello
rappresenta un’approssimazione accettabile anche per i sistemi continui discretizzati, come
si è detto a proposito dell’esempio descritto nel precedente paragrafo. In questo caso i
termini diagonali della matrice delle masse sono formati con i valori risultanti delle masse
distribuite, associate a ciascun nodo secondo qualche criterio di “zona di influenza”.
Questo procedimento però non è sempre accettabile, né si può sempre trascurare il
fatto che una massa distribuita è associata a più di un grado di libertà, per cui la matrice
delle masse non è diagonale. Per affrontare in modo razionale la costruzione della matrice
delle masse di un sistema continuo discretizzato, si riassumono sinteticamente i passi con
cui si perviene a formulare le equazioni di equilibrio, utilizzando la tecnica degli elementi
finiti.

3.2 La matrice delle masse 42
Indicando con u(x,t) il campo degli spostamenti in un mezzo continuo, questo si
discretizza ponendo:
u(x,t)=N(x)u 0 (t) (3.5)
In cui N(x) indica una matrice di funzioni interpolanti e u0(t) è un vettore di parametri,
che nel metodo degli elementi finiti si interpretano come gli spostamenti dei nodi
dell’elemento.
Dal campo degli spostamenti si deriva quello delle deformazioni, mediante l’applicazione
di un operatore differenziale D che, nella teoria linearizzata, valida per piccole deformazioni,
è lineare. Quindi applicando l’operatore D ad u, posto nella forma discretizzata
dell’eq. (3.5), si ottiene:
in cui
²(x,t)=D[u(x,t)] = D[N(x)]u0(t) =B(x)u0(t) (3.6)
B(x) =D[N(x)]
è la matrice che trasforma il campo degli spostamenti nodali u0 nel campo delle deformazioni
².
In un mezzo elastico lineare la relazione tra il campo delle deformazioni ² e quello delle
tensioni σ è lineare, per cui si ha σ = E², doveE è la matrice elastica del materiale.
Utilizzando l’espressione (3.6) per ², si ha quindi:
σ(x,t)=EB(x)u 0 (t) (3.7)
Utilizzando le equazioni dell’equilibrio nella forma del principio dei lavori virtuali, indicando
con g il vettore delle forze di massa, con δu il campo, arbitrario, degli spostamenti
virtuali e con δ² il corrispondente campo delle deformazioni, ed indicando con V il volume
dell’elemento, si ha:
Z
δε(x,t)
V
T Z
σ(x,t) dx = δu(x,t)
V
T g(x,t) dx (3.8)
Nella formulazione di Galerkin il campo di spostamenti arbitrario viene espresso mediante
le stesse funzioni interpolanti usate per descrivere il campo degli spostamenti reali;
si pone dunque δu = Nδu0. Sostituendo nella (3.8) questa espressione degli spostamenti
virtuali e quella analoga delle deformazioni, che si ottiene dalla (3.6) ponendo δu0 in luogo
di u0, nonché l’espressione (3.7) del campo delle tensioni, si ottiene:
δu T 0
·µZ
V
B T
(x)EB(x) dx
Z
u0(t) − N
V
T (x)g(x,t) dx
¸
= 0 (3.9)
che, per l’arbitrarietà del campo degli spostamenti δu0, implica sia verificata l’equazione:
Ku0(t) =f(t)
dove la matrice di rigidezza, come si desume dall’eq. (3.9), è:
Z
K = B T (x)EB(x) dx
V

3.2 La matrice delle masse 43
mentre il vettore delle forze generalizzate risulta:
Z
f(t) = N T (x)g(x,t) dx (3.10)
V
Nei problemi dinamici, tra le forze di massa g deve essere considerata la forza d’inerzia
−ρü (ρ indica la densità di massa del materiale); il contributo alla forza generalizzata
dovuto alla forza di inerzia si calcola quindi facilmente, sostituendo, nell’eq. (3.10), a g il
termine inerziale −ρü; utilizzando per u l’espressione (3.5) si ha pertanto:
µZ
fi(t) =− ρN T
(x)N(x) dx ü0(t) =−Mü0(t) (3.11)
in cui
V
Z
M =
V
ρN T (x)N(x) dx (3.12)
è la matrice “coerente” delle masse del sistema discretizzato. Nel caso di elementi finiti
l’equazione (3.12) fornisce la matrice delle masse dell’elemento: la matrice dell’intera
struttura si ottiene poi assemblando le matrici elementari con le solite regole, valide anche
per l’assemblaggio della matrice di rigidezza.
Aggiungendo il termine con le forze d’inerzia all’equazione di equilibrio si ottiene quindi
ancora l’equazione (3.4) (a meno del termine viscoso C ˙u) ma ora la matrice delle masse
non è più diagonale: essa non è stata ottenuta per semplice “aggregazione” nel nodo della
massa circostante, ma con un procedimento coerente (da qui la denominazione) con gli
altri procedimenti di discretizzazione.
Esempio 3.1 Si vuole costruire la matrice delle masse di una trave vincolata nel piano x, y, con
densità di massa per unità di lunghezza ρ l, uniforme.
Nel riferimento proprio della trave, l’asse x coincidente con quello della trave, l’asse y ortogonale,se
si indica con u(x) =[u(x) v(x)] T il vettore degli spostamenti e con u0 =[u1 v1 φ 1 u2 v2 φ 2] T
il vettore dei parametri nodali, cioè le componenti dello spostamento e la rotazione di ciascuna
estremità della trave, la matrice delle funzioni interpolanti è:
N(x) =
" 1 − x
l 0 0 x
l 0 0
0 −3 x2
l2 + 1 +2x3 l3 x 3
l2 + x − 2 x2
l 0 −2 x3
l3 +3x2 l2 x 3
l2 − x2
l
Per determinare la matrice delle masse si sostituisce l’esprerssione di N(x) data dall’equazione
precedente nella (3.12); svolgendo i prodotti e quindi integrando tutti i termini della matrice
quadrata N T (x)N(x) per x variabile tra 0 ed l, tenendo conto che, per ipotesi, ρ l non dipende da
x, siha:
Z l
M =
0
ρN T (x)N(x) dx = ρ l
⎡
⎢
⎣
1
3 l 0 0 1
6 l 0 0
0
0
13
35 l
11
210 l2
11
210 l2 9
13
0 70 l − 420 l2
1
105 l3 13 0 420 l2 − 1
140 l3
1
6 l 0 0 1
3 l 0 0
0
9
70 l
0 − 13
420 l2 − 1
140 l3
13
420 l2 13 11
0 35 l − 210 l2
0 − 11
210 l2
1
105 l3
#
⎤
⎥
⎦
2

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 44
3.3 Oscillazioni libere non smorzate
L’equazione (3.3) è, come si è detto, l’equivalente dell’eq. (2.1) generalizzata ai sistemi
con più di un grado di libertà, rappresenta cioè l’equazione del moto di un sistema non
soggetto ad azioni esterne ed in assenza di effetti viscosi; come per il caso ad un g.d.l. si
affronterà prima la soluzione di questo problema, per poi generalizzarla ai sistemi forzati
esmorzati.
Per determinare la soluzione dell’eq. (3.3), che qui si riscrive:
si pone:
Mü(t)+Ku(t) =0
u(t) =φz(t) (3.13)
Si assume quindi che la soluzione dell’eq. (3.3) si possa esprimere come il prodotto di un
vettore costante φ per una funzione scalare del tempo z(t); quindi si cerca, se esiste, una
soluzione dell’eq. (3.3) che si possa porre in tale forma.
Sostituendo l’eq. (3.13) nella (3.3) e moltiplicando tutti i termini a sinistra per φ T ,si
ottiene:
φ T Mφ ¨z(t)+φ T Kφ z(t) =0
quindi, tenendo conto che i prodotti φ T Mφ e φ T Kφ sono scalari, dall’equazione precedente
si trae:
¨z(t)
z(t) = − φT Kφ
φ T = −ω2
Mφ
(3.14)
cioè il rapporto tra la derivata seconda di z(t) e la funzione stessa deve uguagliare una
costante negativa. Il segno di questa costante consegue dal fatto che le quantità φT Mφ e
φ T Kφ sono sempre positive. Questo si giustifica osservando che, se si interpreta il vettore
φ come un vettore di spostamenti impressi alla struttura, la quantità φ T Kφ è, a meno
del fattore 1
2 , l’energia elastica della struttura, che è, come noto, sempre positiva. Analogamente
se φ si interpreta come il vettore delle velocità impresse ai nodi della struttura,
φT Mφ è il doppio dell’energia cinetica del sistema, grandezza anch’essa positiva. 2
Dall’eq. (3.14) segue che z(t) deve essere soluzione dell’equazione differenziale:
¨z(t)+ω 2 z(t) =0 (3.15)
che coincide con l’eq. (2.3), dell’oscillatore ad un g.d.l. libero e non smorzato, la cui
soluzione si può porre nella forma:
z(t) =A sin(ωt + φ) (3.16)
in cui A e φ sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
Sostituendo l’espressione di z(t) (3.16) nell’eq. (3.13) e quindi questa di nuovo nella
(3.3), si ricava facilmente:
¡ −Mφω 2 + Kφ ¢ A sin(ωt + φ) =0 (3.17)
2 Quindi le matrici M e K sono definite positive

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 45
Perché questa equazione sia soddisfatta per ogni valore di t deve risultare identicamente
nullalaquantità(−Mφω 2 +Kφ). Sostituendo ω 2 con λ, questoimplicachesideveavere:
Kφ = λMφ (3.18)
Questa equazione è identica a quella (A.49) studiata nell’appendice A: λ e φ devono
quindi essere l’autovalore ed il corrispondente autovettore, in forma generalizzata, delle
matrici K e M. Come è stato mostrato nei §§??, ??, ?? ed ??, poichélematriciK e
M sono simmetriche ed il loro determinante non è nullo (come segue dal fatto che sono
definite positive), se n è l’ordine delle matrici, se ciè il sistema ha n g.d.l., l’equazione
(3.18) ha n soluzioni distinte φ 1,...,φ n, a ciascuna delle quali è associato un autovalore
λk (k = 1,...,n) i cui valori non sono necessariamente sempre distinti. Sempre per la
simmetria di M e K si ha che gli autovalori λk e gli autovettori φ k sono reali ed inoltre
i vettori φ k sono linearmente indipendenti, pertanto formano una base per lo spazio R n :
questo significa che ogni vettore x può essere ottenuto come una combinazione lineare dei
vettori φ k.
Un’ulteriore proprietà che deriva dalla simmetria di M e K èche,perj 6= k si ha:
φ T j Mφ k = φ T j Kφ k = 0 j 6= k (3.19)
Quindi, se si indica con Φ la matrice n × n costruita con gli autovettori φk,risultachele matrici:
Φ T KΦ Φ T MΦ
sono diagonali ed inoltre:
(Φ T MΦ) −1 (Φ T KΦ) =Φ −1 ¡ M −1 K ¢ Φ = Λ (3.20)
in cui Λ indica la matrice diagonale costruita con gli autovalori λk di K e M.
Da queste osservazioni segue che l’equazione (3.3) ha n soluzioni del tipo (3.13), una per
ogni autovettore di M e K: φkzk(t), incuizk(t) è a sua volta la soluzione dell’equazione
dell’oscillatore semplice di frequenza ωk = √ λk, doveλkèil corrispondente autovalore.
Dunque la più generale delle soluzioni dell’eq. (3.3) si potrà esprimere come combinazione
lineare delle precedenti, ossia:
nX
u(t) = φkzk(t) (3.21)
k=1
dove zk(t) è la soluzione della k-esima tra le n equazioni:
¨zk(t)+ω 2 k zk(t) =0 k = 1,...,n (3.22)
che, come è noto dallo studio dei sistemi ad un g.d.l., è:
zk(t) =Ak sin(ωkt + φ k) ω 2 k = λk (3.23)
In conclusione si può affermare che il moto libero di un sistema non smorzato ad n
g.d.l., governato dal sistema di equazioni (3.3), si può ottenere sovrapponendo n oscillazioni
armoniche di frequenza ω1,...,ωn; ad ogni frequenza è associata una “forma” del moto
di oscillazione (detta modo) edefinita dall’autovettore φk, corrispondente all’autovalore
ω 2 k
. Il moto libero di un sistema si decompone quindi in n modi, ciascuno oscillante con
diversa frequenza (la frequenza del modo). Poiché ciascuna delle componenti modali del
moto zk(t) èdefinita a meno di due costanti (l’ampiezza Ak elafaseφ k), l’intero moto
èdefinito a meno di 2n parametri, che si possono determinare imponendo le condizioni
iniziali della posizione u(0) e della velocità ˙u(0) del sistema.

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 46
3.3.1 Esempi
Come primo esempio si studiano le oscillazioni libere del doppio pendolo introdotto nel
§1.2.5, utilizzando le equazioni linearizzate (1.23).
Esempio 3.2 Oscillazioni libere del bipendolo Le equazioni del bipendolo sono state ottenute
nel nel §1.2.5, applicando le equazioni di Lagrange; in forma linearizzata, valida per piccole
oscillazioni, queste sono espresse dalle (1.23). Queste equazioni possono formularsi, con la notazione
delle matrici, nella forma M¨θ + Kθ = 0, incuiθindica il vettore delle coordinate lagrangiane
e le matrici delle masse e delle rigidezze sono:
·
(m1 + m2) l
M =
2 ¸ · ¸
1 m2l1l2
g (m1 + m2) l1 0
K =
m2l1l2
0 gm2l2
Gli autovalori della matrice:
la cui equazione caratteristica è:
m2l 2 2
K −1 "
1
M =
g l1
1
g l1
1
g(m1+m2) m2l2
1
g l2
g2m1 + g2m2 g2 (m1 + m2) λ2 + −l1gm1 − l1gm2 − gl2m1 − gm2l2
g2 (m1 + m2)
#
m1
λ + l1l2
g2 (m1 + m2) =0
sono proporzionali (a meno di 2π) al quadrato dei periodi di oscillazione del sistema. Tali autovalori
si ottengono come radici dell’equazione precedente, e sono:
λ1 = 1
r ³
(l1 + l2)(m1 + m2)+ (m1 + m2) m2 (l1 + l2)
2g
2 + m1 (l1 − l2) 2´
m1 + m2
λ2 = 1
r ³
(l1 + l2)(m1 + m2) − (m1 + m2) m2 (l1 + l2)
2g
2 + m1 (l1 − l2) 2´
m1 + m2
Introducendo le quantità adimensionali µ = m2/(m1 + m2) e η = l2/(l1 + l2), le espressioni dei
due autovalori si semplificano; a meno del fattore 2π p (l1 + l2)/g, che è il periodo di un pendolo
semplice di lunghezza l1 + l2, i periodi di oscillazione del bipendolo dependono soltanto da questi
rapporti:
T1 = 2π
T2 = 2π
s
s
r
(l1 + l2) 1
g 2
(l1 + l2)
g
h
1 + p µ +(1− µ)(1 − 2η) 2
i
r
1
h
1 −
2
p µ +(1− µ)(1 − 2η) 2
i
I corrispondenti autovettori, normalizzati assumendo θ2 = 1, sono indicati dalle espressioni seguenti:
"
1 1−2η+
2
√ µ+(1−µ)(1−2η) 2
# "
1 1−2η−
1−η
1
2
√ µ+(1−µ)(1−2η) 2
#
1−η
1
Nella figura 3.1 sono riportati gli andamenti dei periodi di vibrazione (adimensionalizzate mediante
il fattore 2π p (l1 + l2)/g) dei due modi, in funzione del rapporto µ tralamassam2 e quella totale e
per due casi del rapporto η tra la lunghezza l2 del secondo pendolo e quella totale. In linea continua
è rappresentato il caso η =0.5, con linea punteggiata è rappresentato il caso η =0.25, che peraltro
coincide con quello relativo a η =0.75. Nella successiva figura 3.2 è riportata, in funzione degli

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 47
1
0.8
0.6
0.4
0.2
00
0.2
0.4
Figura~3.1: Periodi di vibrazione del bipendolo (normalizzati con il fattore π p (l1 + l2)/g)
in funzione del rapporto µ = m2/(m1 + m2); tratto continuo: η =0.5; linea tratteggiata:
η =0.25 e η =0.75. Le linee superiori si riferiscono al primo modo, quelle inferiori al
secondo.
stessi parametri, l’ampiezza della componente θ1 del vettore delle coordinate, rapportata a θ2,
posta uguale ad 1. Dalla fig. 3.1 si osservi come il periodo del primo modo aumenta al crescere
della seconda massa in rapporto a quella totale, mentre il periodo del secondo diminuisce. Per
µ = 1 (tutta la massa concentrata nel secondo pendololo) il periodo di oscillazione del primo modo
coincide con quello del pendolo semplice di lunghezza l1 + l2; inoltre, dalla fig. 3.2 risulta che
θ2 = θ1 = 1, ossia il pendolo oscilla rigidamente, ignorando la cerniera intermedia. Al diminuire
della massa m2 il periodo del primo modo decresce; se la cerniera è al centro (l1 = l2) i periodi dei
due modi tendono a coincidere mentre θ1 → 0: l’ampiezza delle oscillazioni del pendolo superiore,
dotato di maggiore massa, si riduce e tende ad annullarsi (raffrontata a quella del pendolo di massa
minore) quando tutta la massa è nel nodo superiore.
Si determina ora la storia delle ampiezze delle coordinate angolari θ1 e θ2 per un doppio pendolo
con masse uguali (µ =0.5) e per tre valori del rapporto η = l2/(l1 + l2), assumendo le condizioni
θ1 = θ2 = 1 e ˙ θ1 = ˙ θ2 =0. Indicando con φi (i = 1, 2) gli autovettori si ottengono le equazioni:
· ¸
1
φ1 [a1 cos (0) + b1 sin (0)] + φ2 [a2 cos (0) + b2 sin (0)] =
1
2π
φ1 [−a1 sin(0) + b1 cos(0)] + 2π
· ¸
0
φ2 [−a2 sin(0) + b2 cos(0)] =
0
T1
T2
Per cui dalla seconda equazione segue che b1 = b2 =0mentre la prima si semplifica nella:
· ¸
1
φ1a1 + φ2a2 =
1
Per µ =0.5 ed η =0.5 si ottiene:
φ 1 =
· . 8604
1.0
¸
φ 2 =
0.6
· −. 19372
1.0
T1 = . 9462 T2 =0. 3236
0.8
¸
1

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 48
1
0
-1
-2
-3
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figura~3.2: Primo elemento del vettore modale in funzione del rapporto µ. I valori positivi
si riferiscono al primo modo, quelli negativi al secondo. Linea punteggiata η =0.25; linea
continua η =0.5; linea tratteggiata η =0.75
e quindi
a1 = 1. 1324 a2 = −. 13243
Combinando questi risultati si ottengono le espressioni:
θ1 = 1. 1324 cos(1. 0569τ) − . 13243 cos(3. 0902τ),
θ2 = . 97432 cos(1. 0569τ)+2. 5654 × 10 −2 cos(3. 0902τ)
in cui τ = t/T0 è un tempo adimensionalizzato con il periodo del pendolo di lunghezza l1 + l2.
Queste due funzioni sono rappresentate nella figura 3.3.
Ripetendo il procedimento per i valori del parametro η di 0.25 e 0.75 rispettivamente, si ottengono
le seguenti esppressioni delle coordinate angolari θ in funzione del tempo:
θ1 = . 97432 cos (1. 0568τ)+2. 5654 × 10 −2 cos (3. 0902τ)
θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ) − . 13243 cos (3. 0902τ)
θ1 = . 65809 cos (1. 0568τ)+. 34188 cos (3. 0902τ)
θ2 = 1. 1324 cos (1. 0568τ) − . 13245 cos (3. 0902τ)
Gli andamenti nel tempo sono, nei due casi, rappresentati nelle figure 3.4 e 3.5.
Si noti come il contributo del seondo modo sia poco rilevante per i casi in cui η =0.5 e η =0.25,
mentre diventano importanti, almeno per il moto della massa superiore, nel caso η =0.75. Questo
era d’altra parte prevedibile osservando il grafico della fig. 3.2, dove è evidente, per questo caso, la
grande ampiezza (negativa) della componente θ1 del secondo autovettore. 2
Come secondo esempio si riporta lo studio delle oscillazioni libere di un semplice telaio
di 3 piani con travi indeformabili (shear type).

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 49
1
0.5
00
-0.5
-1
10
20
30
t
Figura~3.3: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.
µ =0.5 η =0.5. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2
1
0.5
00
-0.5
-1
10
20
30
t
Figura~3.4: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.
µ =0.5 η =0.25. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2
40
40
50
50
60
60

3.3 Oscillazioni libere non smorzate 50
1
0.5
00
-0.5
-1
10
20
30
t
Figura~3.5: Storia temporale delle oscillazioni delle coordinate angolari del bipendolo.
µ =0.5 η =0.75. Con linea continua è rappresentato θ1, con linea punteggiata θ2
Esempio 3.3 Sivoglionodeterminarelefrequenzeeleformemodalideltelaioa3pianirappresentato
in fig. 3.6, ipotizzando che le travi siano indeformabili e trascurando la deformazione
assiale dei pilastri. Si assume inoltre che le masse sono interamente concentrate a livello dei piani.
Le sezioni dei pilastri sono 30 × 30 cm2 , le masse, uguali a tutti i piani, sono di 30 t, il modulo
elastico del materiale E =3× 107 KN/m 2 .
Il sistema ha tre soli gradi di libertà, corrispondenti agli spostamenti dei piani. Numerando le
coordinate lagrangiane ui (gli spostamenti dei piani) partendo dal basso, la matrice di rigidezza si
costruisce facilmente partendo da quella dei pilastri. Indicando con
J = 1
12 0.3 × 0.33 =6. 75 × 10 −4 m 4
il momento di inerzia della sezione di un pilastro e con Kp la rigidezza di un piano:
Kp =2 12EJ
33 La matrice di rigidezza della struttura risulta:
⎡
2Kp
K = ⎣ −Kp
−Kp
2Kp
0
−Kp
⎤
⎦ =
0 −Kp Kp
40
KN
= 18000
m
Poiché le masse sono concentrate, la matrice M è diagonale:
⎡
30
M = ⎣ 0
0
30
0
0
⎤
⎦
0 0 30
⎡
⎣
50
60
36000 −18000 0
−18000 36000 −18000
0 −18000 18000
Le frequenze proprie (al quadrato) del telaio si possono calcolare come autovalori della matrice
A = M −1 ⎡
30
K = ⎣ 0
0
30
0
0
⎤−1
⎡
36000
⎦ ⎣ −18000
−18000
36000
⎤ ⎡
0
1200
−18000 ⎦ = ⎣ −600
−600
1200
0
−600
⎤
⎦
0 0 30 0 −18000 18000 0 −600 600
⎤
⎦

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 51
risolvendo l’equazione caratteristica:
Figura~3.6: Schema del telaio esaminato.
det(A−λI) =λ 3 − 3000λ 2 +2160000λ − 216000000 = 0
Si ottengono quindi i tre autovalori, raccolti nella matrice diagonale Λ:
Λ =diag £ 118. 84 932. 97 1948. 2 ¤
ed a cui corrispondono gli autovettori:
⎡
. 32799
Φ = ⎣ . 59101
−. 73698
−. 32799
⎤
. 59101
−. 73698 ⎦
. 73698 . 59101 . 32799
Le frequenze proprie della struttura si ottengono dagli autovalori, ricordando che ωi = √ λi; nella
tabella seguente sono riportati i valori delle frequenze e dei periodi propri della struttura:
modo freq. ω (sec −1 ) period. T (sec)
1 10.90 0.576
2 30.54 0.206
3 44.14 0.142
Nella figura 3.7 sono invece rappresentate le forme modali dei tre modi del telaio. 2
3.4 Oscillazioni smorzate e forzate
Si torni ora a considerare l’equazione generale della dinamica lineare di sistemi discreti, eq.
(3.4). Se Φ è la matrice degli autovettori φ i di K ed M, soluzione dell’eq. (3.18), poiché
questi autovettori formano una base in R n ,sipuòporre:
u(t) =
nX
φizi(t) =Φz(t) (3.24)
i=1

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 52
3
2
1
0
-1.0 0.0 1.0
3
2
1
0
-1.0 0.0 1.0
3
2
1
0
-1.0 0.0 1.0
1° modo 2° modo 3° modo
Figura~3.7: Deformate modali del telaio a 3 piani
Sostituendo l’eq. (3.24) nella (3.4) e premoltiplicando quest’ultima equazione per Φ T ,si
ottiene:
Φ T MΦ¨z(t)+Φ T CΦ˙z(t)+Φ T KΦz(t) =Φ T f(t) (3.25)
Perquantovistonel§3.3lematriciΦ T MΦ e Φ T KΦ sono diagonali, ma il termine
Φ T CΦ in generale non risulta diagonale: così il sistema (3.25) non è completamente disaccoppiato
e quindi non è più possibile risolverlo sovrapponendo le soluzioni di n sistemi
ad un g.d.l.
Ciò nonostante si assuma che C sia tale da essere diagonalizzato dagli autovettori Φ,
in modo che si possa porre:
Φ T CΦ = matrice diagonale (3.26)
In questo caso, noto come smorzamento proporzionale o classico, il sistema (3.25) si
decompone in n equazioni indipendenti:
Mi¨zi + Ci ˙zi + Kizi = Fi(t) (3.27)
in cui Mi, Ci e Ki sono i termini non nulli delle matrici diagonali: Φ T MΦ, Φ T CΦ e Φ T KΦ:
Mi = φ T i Mφ i Ci = φ T i Cφ i Ki = φ T i Kφ i (3.28)
e sono detti massa, smorzamento e rigidezza del modo i, mentre
Fi = φ T i f (3.29)
èlaforzamodale.
L’equazione (3.27) è quella di un oscillatore ad 1 gdl aventi massa, rigidezza e smorzamento
del modo i. Dividendo questa equazione per Mi questa si può porre nella forma
standard:
¨zi +2ωiξ i ˙zi + ω 2 i zi = Qi(t) (3.30)

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 53
in cui
ξi =
2 √ (3.31)
KiMi
sono la frequenza naturale non smorzata e lo smorzamento percentuale del modo, mentre
si è posto Qi = Fi/Mi.
ω 2 i = Ki
Mi
3.4.1 Matrice di smorzamento
La capacità dissipativa delle strutture dipende da molti fenomeni che non sono chiaramente
compresi; per questo motivo non è usualmente possibile costruire la matrice C partendo
dalla geometria della struttura e dalle caratteristiche dei materiali, in modo simile a quello
con cui si calcolano le matrici di rigidezza e delle masse. Di solito i valori degli smorzamenti
delle strutture si assegnano globalmente, sulla base di risultati sperimentali, misurati su
strutture di analoghe caratteristiche.
Dati i metodi con cui è possibile misurare lo smorzamento di una struttura (p.es. sulla
base del decadimento di ampiezza delle oscillazioni libere, o sull’ampiezza della risposta
di risonanza), ciò che è noto solitamente sono i valori degli smorzamenti percentuali dei
(primi) modi di vibrazione della struttura; quindi quel che si conosce sono proprio i valori
dei coefficienti ξ i dei primi modi di vibrazione, non i termini cij della matrice C.
L’ipotesi che gli autovalori di M e K diagonalizzino la matrice di smorzamento è dunque
una conseguenza della scarsa conoscenza del fenomeno dello smorzamento; in questi casi
non è effettivamente necessario eseguire la decomposizione della matrice C (che in effetti
non è nota): determinate le caratteristiche dei modi non smorzati, come descritto nel §3.3,
nelle equazioni disaccoppiate (3.30) si introduce un termine dissipativo 2ωiξ i, assegnando
alla percentuale di smorzamento ξ i il valore che compete a quel modo. Le risposte modali
z(t) ottenute integrando le equazioni (3.30) si combinano secondo la (3.24) per ottenere il
vettore degli spostamenti dei nodi u(t), da cui si potrà poi derivare ogni altra grandezza
di interesse fisico, come deformazioni, tensioni, ecc...
In alcuni casi, anziché operare la decomposizione modale, si preferisce integrare numericamente
il sistema di equazioni accoppiate (3.4); questo si verifica ad esempio per
le strutture con comportamento nonlineare, le cui forze interne non seguono la semplice
legge lineare del prodotto di una matrice costante K per il vettore degli spostamenti u.
In questi casi è indispensabile costruire la matrice C partendo dai dati disponibili, cioè gli
smorzamenti modali. 3 √
Dalla seconda delle (3.31) si determinano i coefficienti della matrice
diagonale Ci =2ξi KiMi e quindi invertendo le eq. (3.282) siha:
C = Φ [Ci] Φ T
Ci
(3.32)
Per le strutture con molti gdl questo procedimento risulta molto oneroso: infatti il
calcolo di tutti gli autovettori ed autovalori di una matrice di grandi dimensioni richiede
un notevole impegno di calcolo. L’efficenza dell’analisi modale si basa sul fatto che generalmente
i modi di frequenza più elevata danno un contributo trascurabile alla risposta,
per cui la decomposizione (3.24) può essere sostituita da
mX
u(t) ' φizi(t) (3.33)
i=1
3 A rigore nell’analisi nonlineare non è più lecito parlare di modi e di analisi modale. Tuttavia poiché
per vibrazioni di ampiezza sufficientemente piccola si può ritenere che il sistema si comporti linearmente,
si può comunque fare riferimento ai modi relativi alla matrice di rigidezza “tangente” nell’origine.

3.4 Oscillazioni smorzate e forzate 54
in cui il numero dei modi considerati m ≤ n è spesso molto minore del numero dei gdl
della struttura. Viceversa il calcolo di C mediante la (3.32) richiede che si impieghino tutti
gli autovettori di M e K; infatti se in luogo di Φ si impegasse una matrice rettangolare
composta con i primi m ωm, ciò che, per ragioni di
stabilità e accuratezza dell’algoritmo di integrazione, non è opportuno.
Per costruire una matrice di smorzamento “classica” normalmente si preferisce assumere
che essa sia proporzionale alle matrici M e K:
C =αM+βK (3.34)
con α e β coefficienti opportuni. Questa matrice soddisfa evidentemente la condizione
(3.26) e quindi si ha:
Φ T CΦ =[Ci] =α [Mi]+β [Ki]
da cui si deduce:
ξi = 1
µ
α
+ βωi
2 ωi
(3.35)
in cui ωi indica la frequenza delle oscillazioni libere e non smorzate del modo i. Poiché
mediante la (3.34) C dipende solo dai due coefficienti α e β, è possibile fissare i
valori degli smorzamenti di due soli modi (p.es. del 1 ◦ edel2 ◦ ); gli altri risultano tutti
automaticamente determinati dall’eq. (3.35).
1. Una formulazione più generale, di cui la (3.34) rappresenta un caso particolare, è la
seguente:
C = M
pX
l=0
¡ ¢ −1 l
αl M K
2. Per p = 1 l’eq. (3.36) coincide con la (3.34); per l>1, per l’eq. (3.20) si ha:
Φ −1 ¡ M −1 K ¢ Φ = Λ
da cui segue che M−1K = ΦΛΦ−1 , e di conseguenza:
¡ ¢ −1 l −1 −1 −1
M K = | ΦΛΦ ΦΛΦ{z ···ΦΛΦ } = ΦΛ
l volte
l Φ −1
Sostituendo questa equazione nella (3.36), si ottiene:
e dunque:
C = M
Φ T CΦ = Φ T
"
MΦ X
l
pX
αlΦΛ l Φ
l=0
αlΛ l Φ −1
#
Φ =diag[Mi] X
l
αlΛ l
(3.36)

3.5 Analisi in frequenza 55
ovvero, in forma scalare:
φ T i Cφj = 0 se i 6= j
X
φ T i Cφ i = Mi
l
αlω 2l
i
Si dimostra così che quando C ha la forma (3.36), è diagonalizzata dagli autovalori
di M e K. Inoltre uguagliando lo smorzamento modale a: 2Miωiξ i, si ottiene
l’espressione dello smorzamento del modo i in funzione dei coefficienti αl:
3.5 Analisi in frequenza
3.5.1 Trasformata di Fourier
ξ i = 1
2
X
l
αlω 2l−1
i
(3.37)
Nel paragrafo 2.4 si è visto che, mediante uno sviluppo in serie di Fourier, ogni forzante periodica
di periodo T può essere rappresentata come sovrapposizione di funzioni armoniche
di periodo T,T/2,T/3,..., e quindi, grazie alla linearità delle equazioni del sitema, anche
la risposta si ottiene sovrapponendo le soluzioni ottenute per il caso con forzante armonica,
cioè, per la parte stazionaria, di funzioni armoniche anch’esse di periodo T,T/2,T/3,...
ecc., e con ampiezze e fasi che dipendono, oltre che da quelle delle componenti dell’azione,
dalla funzione di risposta H(ω, ξ) espressa dall’eq. (2.59). Si vogliono generalizzare questi
risultati al caso delle funzioni non periodiche.
L’espressione (2.68) dei coefficienti di Fourier si può scrivere in modo equivalente4 :
TAn =
Z T/2
−T/2
f(t)e −iωnt dt (3.38)
mentre l’espressione della funzione f(t) come combinazione di armoniche diviene:
f(t) = 1
2π
∞X
n=−∞
TAne iωnt ∆ω (3.39)
dove si è posto ∆ω = ω1 = ωn − ωn−1 =2π/T .PerT→∞si ha ovviamente che ∆ω → 0
e la variabile discreta ωn tende alla varibile continua ω. Pertanto, posto TAn = e f(ω) e
tenendo conto che per ∆ω → 0 la sommatoria nell’eq. (3.39) tende al relativo integrale,
dalle equazioni (3.38) e (3.39) si deducono le relazioni:
Z ∞
ef(ω) = f(t)e −iωt dt (3.40)
−∞
f(t) = 1
2π
Z ∞
−∞
ef(ω)e iωt dω (3.41)
La funzione e f(ω) è chiamata trasformata (o integrale) di Fourier della funzione f(t); la
funzione originale (detta anche antitrasformata) e la sua trasformata formano una coppia,
collegate dalle relazioni simmetriche (3.40) e (3.41). Nel seguito verranno illustrate alcune
tra le principali proprietà dell’operazione di trasformazione.
4 Le relazioni (3.40) e (3.41) hanno senso solo se gli integrali impropri convergono: questo implica che:
limt→±∞ |f(t)e iωt | =0ed anche limω→±∞ | e f(ω)e iωt | =0.

3.5 Analisi in frequenza 56
L’operazione di trasformazione e la sua inversa sono lineari, pertanto sono intercambiabili
con ogni altro operatore lineare.
Trasformata di Fourier della derivata. Applicando l’eq. (3.40) alla derivata di f(t)
ed integrando per parti, si ottiene:
fdf dt =
Z ∞ df
−∞ dt e−iωtdt = f(t)e −iωt¯¯ ∞
Z ∞
+ iω f(t)e −∞
−∞
−iωt dt = iω e f(ω)
Avendo tenuto conto di quanto detto nella nota precedente. Applicando più volte il
procedimento risulta:
gd nf dtn =(iω)nf(ω) e (3.42)
Ovvero: la trasformata di Fourier della derivata n-esima di una funzione si ottiene
moltiplicando per (iω) n la trasformata della funzione.
Trasformata di Fourier dell’integrale. L’eq. (3.42), ponendo g(t) = dnf(t)/dtn ,
diviene:
eg(ω) =(iω) n
^
Z Z
··· g(t)dt
da cui segue:
Z
^
Z
··· g(t)dt =(iω) −n eg(ω) (3.43)
e quindi la trasformata dell’integrale di una funzione è data dalla trasformata della
funzione divisa per (iω) n .
Prodotto di convoluzione. Date due funzioni f(t) e g(t), sidefinisce prodotto di
convoluzione, ammesso che esista, l’integrale:
Z ∞
Z ∞
f(t) ∗ g(t) = f(t − τ)g(τ)dτ = f(τ)g(t − τ)dτ (3.44)
−∞
Applicando la (3.40) alla (3.44), dopo uno scambio dell’ordine di integrazione, si
ottiene:
Z ∞ ·Z ∞
]f ∗ g =
−∞
−∞
−∞
¸
f(t − τ)g(τ)dτ e −iωt Z ∞ Z ∞
dt = g(τ) f(t − τ)e
−∞ −∞
−iωt dt dτ
Quindi, ponendo θ = t − τ e sostituendo nella precedente, risulta:
Z ∞
]f ∗ g = g(τ)e −iωτ Z ∞
dτ f(θ)e −iωθ dθ = e f(ω)eg(ω) (3.45)
−∞
−∞
In sintesi: la trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni è il
prodotto delle trasformate.
Lo sviluppo in serie di Fourier può quindi essere visto come un caso particolare della
trasformata, nel caso che la funzione sia periodica: infatti è possibile dimostrare che nel
caso in cui la funzione f(t) è periodica, l’integrale (3.40) è nullo ovunque, eccetto un

3.5 Analisi in frequenza 57
numero discreto di punti ωn = 2πn/T , in cui si ha e f(ωn) = Aiδ(ω − ωn); in questa
espressione δ indica la funzione Delta di Dirac ed Ai èilcoefficiente dello sviluppo in serie
di Fourier.
Solo nel caso di funzioni semplici è possibile calcolare analiticamente la trasformata di
Fourier, altrimenti il calcolo deve essere svolto numericamente. In questo caso di fatto la
trasformata viene approssimata con i coefficienti di uno sviluppo in serie di una funzione
periodica di periodo abbastanza grande da coprire tutta la durata di interesse del fenomeno.
Un algoritmo particolarmente efficiente a questo scopo è la Fast Fourier Transform
(FFT) che trasforma una funzione di t, campionata in n punti equidistanti ti nella sua
trasformata, anch’essa campionata in n punti equidistanti ωi.
Se f(t) è una funzione reale, l’eq. (3.40) si può scrivere esplicitamente:
Z ∞
Z ∞
ef(ω) = f(t)cos(ωt)dt − i f(t)sin(ωt)dt
−∞
se f(t) è simmetrica attorno all’origine [f(t) =f(−t)] il secondo integrale è nullo e la
trasformata di Fourier è anch’essa reale.
3.5.2 Soluzione dell’equazione dinamica mediante trasformata di Fourier
Se a tutti i termini dell’equazione dinamica di un oscillatore ad un g.d.l.:
−∞
¨x(t)+2ω0ξ ˙x(t)+ω 2 0x(t) =f(t)
si applica l’operatore trasformata di Fourier, tenendo conto della linearità dell’operatore
e della proprietà (3.42) si ottiene:
−ω 2 ex(ω)+2ω0ξ(iω)ex(ω)+ω 2 0ex(ω) = e f(ω)
In queste equazioni ω0 è la frequenza delle oscillazioni libere non smorzate del sistema,
mentre ω è il parametro della trasformata di Fourier e ex e e f indicano le trasformate della
risposta e della forzante, rispettivamente. Risolvendo la precedente equazione rispetto ad
ex(ω) si ottiene:
ex(ω) =
1
−ω 2 +2iω0ωξ + ω 2 0
ef(ω) =H(ω, ω0, ξ) e f(ω) (3.46)
dove H(ω, ω0, ξ) è la funzione di trasferimento complessa, già introdotta nel precedente
capitolo [eq. (2.59)] 5
Tenendo conto delle proprietà della trasformata del prodotto di convoluzione espresse
dalle equazioni (3.44) e (3.45), la trasformata inversa della (3.46) si scrive:
Z ∞
x(t) = f(τ)h(t − τ) dτ (3.47)
−∞
in cui h(t) indica la trasformata inversa della funzione di trasferimento H(ω), cioè:
h(t) = 1
Z ∞
H(ω)e
2π
iωt dω (3.48)
−∞
5 Nel capitolo precedente il tempo natorale t era sostituito con il tempo adimensionale τ = ω0t per
questo motivo la funzione H risulta moltiplicata per ω 2 0.Siricordicheβ = ω/ω0.

3.5 Analisi in frequenza 58
Confrontando l’eq. (3.47) con la (2.81) appare evidente che la funzione di trasferimento
H(ω) è la trasformata di Fourier della funzione di risposta ad impulso (2.82) (a meno del
fattore 1/m), pertanto si avrà:
Z ∞ 1
H(ω)e
2π −∞
iωt sin
dω =
³ p ´
2
ω0 1 − ξ t
ω0
p 1 − ξ 2
e −ξω0t
(3.49)
Questa relazione può essere calcolata direttamente, facendo uso della proprietà delle
funzioni olomorfe, per cui si ha:
Z ∞
f(x) dx =2πi X
Residuo [f(zn)]
−∞
dove zn sono i punti di singolarità di f(z) che cadono nella parte superiore del piano
complesso. I punti singolari di H(ω)e iωt sono le radici della funzione a denominatore:
e quindi:
h(t) = eω0t
h √
2 −ξ+i 1−ξ i
−ω 2 +2iω0ωξ + ω 2 0 =0
ω1 2
= ω0
n
·
iξ ±
q
1 − ξ 2
+ e ω0t
h √
2 −ξ−i 1−ξ i
p
2
2iω0 1 − ξ
=
¸
³ p ´
2
sin ω0 1 − ξ t
p e
2 1 − ξ −ξω0t
La funzione h(t) si deve intendere nulla per t < 0; pertanto l’integrale (3.47) si può
estendere all’intervallo [−∞,t]; in questo modo l’eq. (3.47) coincide con la (2.81) quando
il tempo inziale t0 →−∞; questo dimostra che l’eq. (3.46) fornisce la trasformata della
parte stazionaria del moto.
Per un sistema a molti gradi di libertà, supponendo che lo smorzamento sia di tipo
classico, le equazioni del moto possono essere disaccoppiate, riportando il problema a
quello di N oscillatori indipendenti, ciascuno caratterizzato dalla frequenza modale ωn
e dal relativo smorzamento ξ n, per i quali si applica l’eq. (3.46). Quindi eseguendo la
trasformata di Fourier dell’eq. (3.30) si orriene:
in cui
e
Hn(ω) =
ω0
ezn(ω) =Hn(ω) e Qn(ω) (3.50)
1
−ω 2 +2iωωnξ n + ω 2 n
(3.51)
eQn(ω) = φTn ef(ω) (3.52)
Mn
Il vettore e f(ω) è costruito con le trasformate di Fourier delle componenti del vettore delle
forze esterne f(t). L’intero vettore ez(ω) è dato quindi dalla relazione:
ez(ω) =diag[Hn(ω)] ¡ Φ T MΦ ¢ −1 Φ Te f(ω) =diag[Hn(ω)] Φ −1 M −1e f(ω)
(3.53)

3.6Motoditrascinamento 59
e quindi, tenendo conto dell’eq. (3.24), risulta:
La matrice:
eu(ω) =Φez(ω) =Φ diag [Hn(ω)] Φ −1 M −1e f(ω) =H(ω)ea(ω) (3.54)
H(ω) =Φ diag [Hn(ω)] Φ −1
è la matrice di trasferimento della struttura, mentre
(3.55)
ea(ω) =M −1e f(ω) (3.56)
è il vettore delle trasformate di Fourier delle forze normalizzate con la matrice delle masse.
Il calcolo della trasformata diretta ed inversa in forma analitica è possibile solo per
poche semplici funzioni. In generale l’uso delle trasformate di Fourier richiede l’impiego
di procedimenti numerici: utilizzando l’algoritmo FFT si possono calcolare per punti le
funzioni e f(ω) e quindi, mediante le (3.54) si determinano i valori di eu; la risposta si ottiene
poi utilizzando la FFT inversa, applicata a eu.
3.6 Moto di trascinamento
3.6.1 Moto sincrono
Tra le cause che sono in grado di indurre azioni dinamiche significative sulle strutture delle
costruzioni civili la più importante probabilmente è il moto sismico. In questo caso sulla
struttura non agiscono direttamente delle forze, ma solo gli effetti inerziali impressi dal
moto di trascinamento. Infatti, in condizioni sismiche, un riferimento solidale al terreno
non è più, neanche approssimativamente, inerziale e non è più lecito scrivere le equazioni
del moto rispetto ad esso. Si dovrà perciò assumere come riferimento uno solidale al terreno
in quiete; rispetto a questo, supponendo che la fondazione, rappresentata dai nodi vincolati
al terreno, si comporti come un corpo rigido, l’accelerazione dei nodi della struttura si potà
decomporre nella somma di un moto rigido direttamente proporzionale all’accelerazione
alla base e di un termine di moto relativo, che esprime la deformazione della struttura:
ü + Tag(t), incuiu indica ancora il vettore degli spostamenti relativi alla fondazione e
ag è il vettore delle componenti del moto della fondazione; nel caso più generale ag èun
vettore con 6 termini (3 traslazioni e 3 rotazioni). La matrice T, detta di trascinamento,
è la matrice che esprime il moto dei nodi della struttura (considerata rigida) in funzione
di quello della base; essa ha tante colonne quanti sono i termini di ag e tante righe per
quanti sono i g.d.l. della struttura. Tenendo conto che la parte rigida del moto non induce
direttamente tensioni, l’equazione dinamica del sistema si scrive:
M (ü + Tag(t)) + C ˙u + Ku = 0
Portando il termine noto a secondo membro si ottiene:
Mü + C ˙u + Ku = −MTag(t) (3.57)
Questa equazione coincide con la (3.4) se si sostituisce il termine noto f con −Tag. Se
la matrice di smorzamento è di tipo classico l’eq. (3.57) può essere disaccoppiata nelle
equazioni modali ed il termine della forzante del modo i—esimo risulta:
Qi = − φTi MT
ag(t) =−piag(t) (3.58)
φiMφi

3.6Motoditrascinamento 60
Il vettore
pi = φT i MT
φ iMφ i
(3.59)
è detto vettore dei coefficienti di partecipazione del modo i—esimo. Quando il moto della
fondazione è traslatorio in una sola direzione, il vettore ag diviene uno scalare e la matrice
T un vettore; in questo caso anche pi è uno scalare, indicato come coefficiente di
partecipazione del modo.
La matrice P dei coefficienti di partecipazione si può anche esprimere direttamente
come prodotto di Φ −1 T,infatti:
P = ¡ Φ T MΦ ¢ −1 ¡ Φ T MT ¢ = Φ −1 T (3.60)
Questa formulazione non è conveniente per i sistemi con numerosi g.d.l. di cui normalmente
non vengono determinati tutti gli autovettori e pertanto l’eq. (3.60) non è utilizzabile, in
quanto l’intera matrice Φ non è nota.
Esempio 3.4 Determinare i coefficienti di partecipazione dei modi del telaio studiato nell’esempio
3.3 supponendo che il moto di trascinamento sia di sola traslazione in direzione orizzontale.
In questo caso la matrice T diviene un vettore che, per la struttura esaminata, ha tre termini, tutti
uguali ad 1:
T =
⎡
⎣ 1
1
1
ricordando le matrici delle masse e degli autovettori della struttura:
⎡
30
M = ⎣ 0
0
30
0
0
⎤
⎦
⎡
. 32799
Φ = ⎣ . 59101
−. 73698
−. 32799
. 59101
−. 73698
0 0 30
. 73698 . 59101 . 32799
si ottiene facilmente, per ciascun modo:
ovvero, direttamete:
⎡
p = Φ −1 T = ⎣
⎤
⎦
p1 = φT1 MT
φ T =
1 Mφ1 49. 679
= 1. 656
30.0
p2 = φT2 MT
φ T =
2 Mφ2 −14. 219
= −. 47397
30.0
p3 = φT3 MT
φ T =
3 Mφ3 5. 4606
= . 18202
30.0
. 32798 . 59101 . 73697
−. 73697 −. 32798 . 59101
. 59101 −. 73697 . 32798
⎤ ⎡
⎦ ⎣ 1
⎤ ⎡
1 ⎦ = ⎣
1
⎤
⎦
1. 656
−. 47395
. 18201
Si osservi come i coefficienti di partecipazione diminuiscano in valore assoluto al crescere dell’ordine
del modo: pertanto la forzante modale Qi decresce a sua volta e di conseguenza i modi di ordine
elevato, in questi casi, contribuiscono poco al moto complessivo della struttura. 2
⎤
⎦

3.6Motoditrascinamento 61
3.6.2 Moto non sincrono
Anche se nella maggior parte dei casi l’ipotesi di moto sincrono dei punti vincolati al
terreno sia lecita, ve ne sono alcuni in cui essa non è più accettabile: questo è per esempio
il caso delle strutture spazialmente estese, con vincoli anche molto distanti tra loro, come i
lunghi ponti o viadotti, o le tubazioni dei gasdotti, o nel caso delle sovrastrutture vincolate
in punti diversi di una struttura principale.
Quando il moto di trascinamento non è più sincrono si deve far riferimento al sistema
di assi in quiete: indicando con x il vettore degli spostamenti di tutti inodi della struttura
relativi a questo riferimento, le equazioni di equilibrio dei g.d.l. non vincolati si scrive:
Mff¨xf+Mfg¨xg+Cff ˙xf+Cfg ˙xg+Kffxf+Kfgxg= 0 (3.61)
Il vettore x è stato suddiviso nei sottovettori xf dei gradi di libertà non vincolati e xg del
moto impresso ai g.d.l. vincolati e le matrici delle masse, degli smorzamenti e di rigidezza
sono state coerentemente suddivise. La matrice Kfg tiene conto degli effetti prodotti sui
nodi liberi dalle distorsioni impresse ai vincoli; la matrice Mfg nonènullasolonelcaso
di matrice delle masse “coerente”. È conveniente esprimere xf come somma di una parte
“dinamica” e di una “statica” o distorsiva:
xf = x s f + u (3.62)
in cui u indica la parte “dinamica” del moto e xs f quella “statica”. La parte “statica” si
assume che verifichi l’equazione (3.61) in condizioni statiche, cioè:
da cui si deduce che:
Kffx s f +Kfgxg= 0 (3.63)
x s f
= −K−1
ff Kfgxg
(3.64)
Sostituendo la decomposizione (3.62) nell’eq. (3.61) e tenendo conto della (3.64), si ottiene:
³
Mffü + Cff ˙u + Kffu = MffK −1
ff Kfg−Mfg
´ ³
¨xg+ CffK −1
ff Kfg−Cfg
´
˙xg
(3.65)
In questo modo si è ottinuto di dare all’equazione delle strutture soggette a moto non
sincrono una struttura analoga alla (3.57) relativa al caso sincrono, a parte il termine
a secondo membro dell’eq. (3.65) che dipende dalla velocità del moto di trascinamento.
Inoltre, se si assume che la matrice di rigidezza sia semplicemente proporzionale a quella
delle rigidezze, cioè che sia valida l’eq. (3.34) con α =0, allora sostituendo Cff = βKff
e Cfg = βKfg, l’ultimo termine del secondo membro dell’eq. (3.65) è identicamente nullo
erisulta:
³
Mffü + Cff ˙u + Kffu = MffK −1
ff Kfg−Mfg
´
¨xg
(3.66)
Anche quando non si può sostenere che la matrice di smorzamento è proporzionale alle
rigidezze, se il contributo dello smorzamento alle forze totali è piccolo, il termine di smorzamento
viene comunque trascurato, in modo che il sistema di equazioni assuma la forma
(3.66), formalmente simile a quella delle strutture soggette a moto sincrono.

3.7 Smorzamento non classico 62
Le sollecitazioni dei nodi liberi dipendono solo dalla parte dinamica dello spostamento:
infattisiha:
sf = Kff(u + x s f )+Kfgxg = Kffu (3.67)
L’ultimo risultato si ottiene immediatamente tenendo conto della posizione (3.63). Nei
nodi vincolati invece si avrà:
sg = Kgf(u + x s f )+Kggxg
per cui, tenendo conto della (3.64) e del fatto che Kgf = KT fg ,siottiene:
sg = K T fgu+ ³
Kgg−K T fgK−1 ff Kfg
´
xg
(3.68)
Quindi, contrariamente al caso di moto sincrono, le sollecitazioni nei nodi vincolati dipendono
anche dalle distorsioni indotte dal trascinamento.
3.7 Smorzamento non classico
Si è già detto in precedenza come di solito non sia possibile costruire la matrice di smorzamento
di una struttura per assemblaggio di quelle dei suoi elementi costituenti (p.es.
travi e pilastri) per cui lo smorzamento viene assegnato in termini percentuali direttamente
ai modi della struttura non smorzata, basandosi sui valori misurati sperimentalmente
su edifici analoghi a quello attualmente studiato. Questo modo di procedere presuppone
che la matrice di smorzamento della struttura risulti disaccoppiata dagli autovettori delle
matrici di rigidezza e delle masse, relativi alla struttura non smorzata, ossia che lo smorzamento
sia di tipo “classico” o “proporzionale”, e ques to implica che C si possa ottenere
combinando M e K come espresso dall’eq. (3.34) o, più in generale, (3.36).
In alcuni casi tuttavia l’ipotesi di smorzamento “classico” non è accettabile: questo si
verifica quando per qualche ragione è noto che una parte di una struttura ha uno smorzamento
notevolmente diverso da quello delle altre, come nel caso dello studio dei problemi
di interazione suolo struttura o delle strutture isolate alla base o munite di sistemi di dissipazione
di energia. Ad esempio per lo studio dell’interazione della deformabilità del suolo
con la soprastante struttura è necessario inserire nel modello, insieme alla struttura, anche
una parte del suolo sottostante. È noto che, per varie ragioni, lo smorzamento da assegnare
al suolo è sensibilmente maggiore di quello da attribuire alla struttura soprastante,
ne consegue che la matrice globale risulta non proporzionale 6 .
Quando la matrice di smorzamento non è diagonalizzata dagli autovettori del sistema
non smorzato, la decomposizione modale studiata nei §3.3 ed 3.4 non è più applicabile
perchè il sistema di equazioni che si ottiene utilizzando la trasformazione (3.25) non è più
composto da equazioni indipendenti, poiché la matrice Φ T CΦ non è diagonale e pertanto
nella k—esima equazioni compaiono termini in ˙zj, conj 6= k. Sono stati ideati alcuni metodi
approssimati per superare questo ostacolo, il più semplice dei quali, utilizzabile per
6 Nel caso dei problemi di interazione suolo—struttura, per la costruzione della matrice complessiva si
può procedere nel seguente modo: si costruiscono le matrici di smorzamento Ct e Cs relative al solo terreno
ed alla sola struttura, considerati separati, partendo dalle matrici di rigidezza e delle masse di ciascuna
parte, nell’ipotesi di smorzamento proporzionale, utilizzando le eq. (3.34) o (3.36), e quindi assemblando
queste in un’unica matrice.

3.7 Smorzamento non classico 63
sistemi debolmente smorzati, consiste semplicemente nell’ignorare i termini fuori diagonale,
assumendo quindi per ogni modo lo smorzamento che corrisponde altermine diagonale
della matrice Φ T CΦ. Più in generale, se si vuole tenere correttamente conto della natura
non proporzionale dello smorzamento per un sistema eccitato da una forzante qualsiasi,
ma definita deterministicamente, la via più conveniente è quella di integrare direttamente
le equazioni del moto nel dominio del tempo, impiegando una tecnica numerica del tipo
di quelle illustrate nel §2.6.2. In alcuni casi però, ad esempio nelo studio della risposta ad
un’azione aleatoria, è indispensabile possedere una formulazione analitica dell’equazione,
ottenuta mediante la decomposizione modale: nel seguito sarà illustrato un procedimento
che consente la decomposizione modale di sistemi con matrice di smorzamento di tipo
qualsiasi.
3.7.1 Analisi modale complessa
Riduzione di un’equazione differenziale ad un sistema del primo ordine
Una equazione differenziale lineare di orine m:
con le condizioni iniziali:
y (m) + a1y (m−1) + ···+ am−1y 0 + amy = f
y(0) = y10, y 0 (0) = y20, ... y (m−1) (0) = ym0
può essere sempre trasformata in un sistema di m equazioni del primo ordine; basta per
questo introdurre un vettore di incognite:
y1 = y, y2 = y 0 , ... ym = y (m−1)
e quindi riscrivere l’equazione originale e le definizioni introdotte in modo da formare il
sitema seguente:
y 0 1 = y2
y 0 2 = y3
con le condizioni iniziali
.
y 0 m = −a1ym − a2ym−1 − ···− am−1y2 − amy1 + f
y1(0) = y10, y2(0) = y20, ... ym(0) = ym0
In modo analogo si può mostrare che un sistema di N equazioni di ordine m, si può
trasformare in un sistema di mN equazioni del primo ordine.
Seguendo il procedimento delineato sopra, l’equazione dinamica di una struttura con
N gradi di libertà (3.4) diviene un sistema di 2N equazioni del primo ordine; per questo
si definisce il vettore di stato:
x(t) =
· u(t)
˙u(t)
¸
(3.69)

3.7 Smorzamento non classico 64
la matrice dei coefficienti
ed il vettore dei termini noti:
·
A =
0 I
−M −1 K −M −1 C
·
y(t)=
0
M −1 f(t)
L’equazione (3.4) è quindi equivalente al sistema di primo ordine:
¸
¸
(3.70)
(3.71)
˙x(t) =Ax(t)+y(t) (3.72)
come è facile verificare direttamente, sviluppando la (3.72) e tenendo conto delle definizioni
(3.69), (3.70) e (3.71).
Soluzione di un sistema del primo ordine a coefficienti costanti
L’equazione differenziale (3.72) è a coefficienti costanti, come l’eq. (3.4) da cui deriva.
L’integrale generale dell’eq. (3.72) si può calcolare con la relazione:
x(t) =X(t)x0 +
Z t
0
X(t−τ)y(τ) dτ (3.73)
in cui x0 indica il vettore delle condizioni iniziali di x(t) ed X(t) èlamatrice delle soluzioni
principali. X(t) è una matrice 2N × 2N formata con 2N soluzioni indipendenti dell’equazione
(3.72) resa omogenea e con condizioni iniziali tali che solo una delle componenti di
x(0) è non nulla (ed uguale ad uno). Sinteticamente questo significa che X(t) soddisfa le
condizioni:
˙X(t) =AX(t) X(0) = I (3.74)
dove, come di solito, I indica la matrice unità. La (3.73) si giustifica immediatamente,
calcolando la derivata di x(t) e tenendo conto della (3.74)
Z t
˙x(t) = ˙X(t)x0 + X(0)y(t)+ ˙X(t − τ)y(τ) dτ =
0
Z t
AX(t)x0 + y(t)+A X(t − τ)y(τ) dτ = Ax(t)+y(t)
La soluzione dell’equazione matriciale (3.74) si può scrivere formalmente:
X(t) =e At
in cui con e At siintendelamatricechesiottienecomelimitedellaserie:
e At = I + At + 1
2 (At)2 + 1
3! (At)3 + ···=
0
∞X
n=0
1
n! An t n
(3.75)
(3.76)
Supponendo che la matrice degli autovettori di A, Ψ, sia non singolare, essa definisce una
trasformazione che rende A diagonale [eq. (A.46)] Ψ −1 AΨ = Λ,incuiΛ =diag[λ1, λ2,... ,λ2N]

3.7 Smorzamento non classico 65
è la matrice diagonale degli autovalori di A. Inversamente si ha A = ΨΛΨ−1 ; sostituendo
questa relazione nella (3.76) si ottiene:
e At Ã
∞X
1
= Ψ
n! Λnt n
!
Ψ −1 "
∞X
λ
= Ψ diag
n k
n! tn
#
n=0
n=0
Ψ −1 h i
λkt
= Ψ diag e Ψ −1 = Ψe Λt Ψ −1
(3.77)
Con e Λt si è indicata sinteticamente la matrice diagonale formata con gli esponenziali
degli autovalori di A moltiplicati per t. La soluzione dell’equazione differenziale (3.72) è
quindi ricondotta alla determinazione degli autovalori e degli autovettori della matrice A
dei coefficienti.
Determinazione delle soluzioni modali
Sostituendo nella (3.73) alla matrice delle soluzioni principali X(t) la (3.75) nella forma
(3.77), si ottiene
x(t) =Ψe Λt Ψ −1 Z t
x0 + Ψ e
0
Λ(t−τ) Ψ −1 y(τ) dτ (3.78)
Quindi, introducendo il vettore delle variabili modali z(t):
dalla (3.78) si ottiene:
z(t)= Ψ −1 x(t) ⇐⇒ x(t)= Ψz(t) (3.79)
z(t) =e Λt Z t
z0 +
0
e Λ(t−τ) w(τ) dτ (3.80)
avendo posto, in accordo alla (3.79), z0 = Ψ−1x0 e w(t) =Ψ−1y(t). Tenendo conto che
eΛt è una matrice diagonale, l’eq. (3.80) si decompone in 2N equazioni indipendenti del
tipo:
zk(t) =e λkt
Z t
z0k + e
0
λk(t−τ)
wk(τ) dτ (k = 1, 2,... ,2N) (3.81)
La decomposizione delle matrici simmetriche M e K dava luogo ad autovettori ed
autovalori reali; al contrario gli autovalori e gli autovettori della matrice non simmetrica
A risultano generalmente complessi e, poiché A ha dimensioni pari, si avranno in generale
N coppie di valori complessi coniugati. Se gli autovettori Ψ sono complessi, tali saranno
anche le coordinate modali z(t), mapoichéΨezsono composte da coppie coniugate, il
loro prodotto risulta reale; quindi x risulta reale, come ovvio.
Si consideri il caso di oscillazioni libere (w(t) ≡ 0) per cui si ha zk(t) =z0keλkt ;seλk
fosse reale avremmo un andamento esponenziale del moto e poiché questo non può essere
crescente risulterà λk < 0. Questo è il caso che corrisponde ad uno smorzamento critico o
supercritico per l’oscillatore ad un g.d.l. Per sistemi smorzati in modo subcritico, affinché
il moto sia oscillante, l’autovalore dovrà essere complesso e la parte reale non positiva; i
due autovalori complessi coniugati saranno pertanto
λk = −µ k ± iη k

3.7 Smorzamento non classico 66
in cui µ k e ηk sono numeri reali non negativi. Indicando con ωk = |λk| il modulo
dell’autovalore e ponendo µ k = ξkωk, evidentemente si ha
η k = ωk
per cui la legge temporale del modo zk risulta
zk(t) =z0ke −ξkωkt · µ
cos
ωk
q
1 − ξ 2 k
q
1 − ξ 2 k t
µ q
+ i sin ωk 1 − ξ 2 kt ¸
(3.82)
La parte reale di questa funzione coincide con la legge del moto di un oscillatore di frequnza
naturale (non smorzata) ωk e smorzamento percentuale ξ k. Dunque il modulo dell’autovalore
complesso λk è la frequenza naturale del modo ed il rapporto tra la parte reale ed
il modulo stesso corrisponde al coefficiente di smorzamento.
Autovettori complessi
Nelle strutture non smorzate, o smorzate in modo classico, se viene eccitato un singolo
modo di vibrazione, la struttura oscilla in modo che, pur variando l’ampiezza, la configurazione
non muta, poiché questa è dall’autovettore reale delle matrici K e M. Per
comprendere quello che accade per le strutture con smorzamento non classico si osservi
che se ψk indica il k—esimo vettore della matrice Ψ, cioèilk—esimo autovettore di A, deve
soddisfare l’equazione Aψk = λkψk. Ricordando la forma
·
della
¸
matrice A [eq. (3.70)] e
φk
suddividendo il vettore ψk in due sottovettori: ψk = si ha:
·
Aψk =
da cui si deducono le due equazioni:
0 I
−M −1 K −M −1 C
¸· φk
$k
$k
−M −1 Kφ k−M −1 C$k = λk$k
¸ ·
φk
= λk
$k
$k = λkφ k (3.83)
Sostituendo la prima nella seconda, dopo aver moltiplicato tutti i termini a sinistra per
M, si ottiene:
¡ λ 2 k M+λkC + K ¢ φ k = 0 (3.84)
Gli autovalori λk si possono quindi ottenere come radici del polinomio di ordine 2N:
det ¡ λ 2 k M+λkC + K ¢ = 0 ed gli autovettori φ k come soluzioni del sistema omogeneo
(3.84).
Ortogonalità degli autovettori
Introducendo le matrici simmetriche:
· ¸
C M
D =
M 0
efacileverificare che
D −1 ·
=
·
−K 0
B =
0 M
0 M −1
M −1 −M −1 CM −1
¸
¸
¸
(3.85)

3.7 Smorzamento non classico 67
e quindi che D −1 B = A. Sostituendo questa posizione nell’equazione agli autovalori di A,
dopo aver moltiplicato i due membri per D risulta
Bψ k = λkDψ k
(3.86)
Poiché le matrici B e D sono simmetriche si verifica facilmente che gli autovettori sono
ortogonali; cioè se ψ k e ψ l sono autovettori che corrispondono a due modi diversi λk 6= λl,
si ha:
ψ T l Bψ k = λkψ T l Dψ k =0 (l 6= k) (3.87)
·
φk
In forma esplicita, ricordando che si è posto ψk =
equazioni
λkφ k
¸
, alla (3.87) corrispondono le
φ T l Kφk=λlλkφ T l Mφk (3.88a)
φ T l Cφk+(λl + λk)φ T l Mφk =0 (3.88b)
Forme di vibrazione delle strutture con smorzamento non classico
Moltiplicando l’ampiezza del modo k, espressa dalla (3.82) per il corrispondente autovettore
φk si ottiene il contributo di questo modo al moto globale della struttura; sommando
poiicontributididuemodicomplessiconiugatisiottienecheilvettoredeglispostamenti
strutturalidovutialmodok, sipossonoesprimerecome
uk(t) =2Re
½
φ kz0ke −ξ k ωkt
·
cos
µ
ωk
q
1 − ξ 2 k t
µ q
+ i sin ωk 1 − ξ2 kt ¸¾
quindi, ponendo z0k nella forma |z0k|eiϑk e distinguendo φk nelle sue parti reale e immaginaria,
risulta:
½
uk(t) =2Re (κk+iγ k) |z0k|e −ξkωkt · µ q
cos ωk 1 − ξ 2
kt + ϑk
µ q
+i sin ωk 1 − ξ2 ¸¾
kt + ϑk =
2|z0k|e ξkωkt · µ q
κk cos ωk 1 − ξ2 µ q
kt + ϑk − γk sin ωk 1 − ξ2 ¸
kt + ϑk (3.89)
Questa equazione dimostra come, a differenza del caso delle oscillazioni non smorzate,
o smorzate in modo proporzionale, ora le oscillazioni di ciascun modo sono formate da una
combinazione di due forme, che oscillano con la stessa frequenza ma con una differenza di
fase di π/2, corrispondenti alla parte reale e complessa dell’autovettore.

Capitolo 4
Sistemi continui: onde nei mezzi
elastici
4.1 Introduzione
Nei capitoli precedenti sono stati esaminati sistemi con un numero finito di gradi di libertà.
Da un punto di vista operativo l’aver ristretto lo studio a tali sistemi non è una
limitazione, poiché è sempre possibile approssimare un sistema continuo con uno discreto,
eventualmente fornito di un numero sufficientemente grande di gradi di libertà. In alcuni
casi la discretizzazione è quasi naturale e dà luogo a sistemi con relativamente pochi gradi
di libertà (p.es. gli edifici a telaio multipiano), in altri la discretizzazione è meno ovvia
e richiede, per ottenere una modellazione significativa, l’introduzione di molti gradi di libertà
(p.es. la discretizzazione con elementi finiti di un guscio o di una piastra). Tuttavia,
se la discretizzazione con il metodo degli elementi finiti è uno strumento potente che permette
di risolvere accuratamente problemi complessi, la cui soluzione è inabbordabile per
via analitica, ha il limite di non porre in evidenza i caratteri generali delle soluzioni, che
spesso è possibile ottenere da uno studio attento delle equazioni che reggono il problema e
della struttura delle soluzioni (quando note); tale studio consente spesso di penetrare più
profondamente nella natura del sistema e funge da guida per apprestare gli strumenti di
indagine più appropriati per altri problemi.
Le equazioni della dinamica dei continui si ottengono facilmente estendendo quelle ben
note della statica. In pratica le equazioni di compatibilità cinematica (congruenza) e la
legge costitutiva del materiale (p.es. elastica lineare) non mutano; solo nelle equazioni di
equilibrio si deve tener conto anche degli effetti dell’inerzia. Nel caso di piccoli spostamenti,
quando è possibile sostituire le equazioni di equilibrio relative alla configurazione
di riferimento (configurazione indeformata) a quelle relative alla configurazione attuale, le
equazionidiequilibriosiscrivono:
τ ij/j + gi = ρüi
(4.1)
dove τ ij indica la componente ij del tensore delle tensioni T, gi sono le componenti del
vettore delle forze di volume g, ui sono le componenti del vettore degli spostamenti u
e ρ indica la densità di massa; il pedice /j denota la derivazione rispetto alla j-esima
coordinata spaziale xj, mentre con il punto sopra il simbolo si è indicata la derivata
rispetto alla coordinata temporale t. Pertanto üi èlai-esima componente del vettore
accelerazione; inoltre si è applicata la convenzione di Einstein, per la quale è sottintesa la
68

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 69
somma degli indici ripetuti due volte (p.es. τ ij/j = P
j
(4.1) si può scrivere:
div T+g =ρü
∂τij
∂xj
). Con altra notazione l’eq.
L’equazione (4.1), unita a quella di compatibiltà cinematica ed alla legge costitutiva
del materiale, descrive in modo completo la dinamica delle piccole vibrazioni dei solidi.
4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra
4.2.1 Onde stazionarie
Il caso più semplice da esaminire è quello di una barra con asse rettilineo soggetta soltanto
ad azioni parallele all’asse longitudinale. Indicando con x la direzione di questo asse, la
sola componente non nulla di T sarà τ xx = σ; assumendo inoltre nulle le forze di volume,
la (4.1) si semplifica nella sola equazione scalare:
∂σ
∂x = ρ∂2 u
∂t2 In un mezzo elastico lineare e per le ipotesi fatte si ha semplicemente σ = Eε, dove
(4.2)
ε = ∂u
∂x
è la deformazione longitudinale della barra ed E è il modulo elastico del materiale.
Sostituendo queste due ultime relazioni nella (4.2) si ottiene facilmente:
µ
∂
E
∂x
∂u
∂x
= ρ ∂2 u
∂t 2
e, se le caratteristiche meccaniche sono uniformi nella barra:
che si può anche scrivere:
E ∂2u ∂x2 = ρ∂2 u
∂t2 ∂2u ∂t2 = c2 ∂2u ∂x2 dove, tenendo conto che E e ρ sono grandezze sempre positive, si è posto:
s
E
c =
ρ
Èfacileverificare che l’equazione (4.3) ha soluzioni del tipo:
(4.3)
(4.4)
u (x, t) =f1 (x + ct)+f2 (x − ct) (4.5)
dove f1 ed f2 sono funzioni arbitrarie, purché due volte derivabili, il cui effettivo valore
dipende dalle condizioni iniziali ed al contorno. L’equazione (4.5) rappresenta la sovrapposizione
di due onde, di forma f1(x) ed f2(x), rispettivamente, entrambe viaggianti con
velocità c, la prima nel verso negativo e la seconda in quello positivo dell’asse della barra.

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 70
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
5 10 15 20 25 30
x
Figura~4.1: Moto di un onda di equazione f(x) =sin(x)e −0.03x2
Infatti, se ad esempio f1 assume il valore ū nel punto x0 al tempo t0, lo stesso valore sarà
raggiunto in tutti i punti in cui è soddisfatta la condizione:
x + ct = x0 + ct0
ossia per
x = x0 − c (t − t0)
Questa è l’equazione di un punto che si muove, in direzione negativa, con velocità c.
Analogamente è facile verificare che l’onda f2 si propaga nella direzione positiva con la
medesima velocità. Nella Fig.4.1 è rappresentata in tre differenti istanti l’onda di equazione
sin (x) e−0.03x2 propagantesi in verso positivo.
4.2.2 Barra di lunghezza finita
La soluzione (4.5) dell’equazione (4.3) lascia completamente indeterminata la forma delle
funzioni f1 ed f2. Per rendere la soluzione determinata occorre definire delle condizioni al
contorno, cioè sulle sezioni terminali della barra, e delle condizioni iniziali, cioè lo stato
della barra da un tempo iniziale, per esempio t =0.
Si consideri allora una barra di lunghezza finita l, con condizioni di vincolo nelle basi
che saranno definite in seguito. La soluzione dell’equazione (4.3) viene cercata con il
metodo della separazione delle variabili, ponendo
Sostituendo la (4.6) nella (4.3) si ottiene:
u (x, t) =φ (x) w (t) (4.6)
φ (x) d2w dt2 = c2w (t) d2φ dx2 quindi dividendo entrambi i membri per u e tenendo conto che ora il primo membro
dipende solo da t ed il secondo solo da x, sidovràavere::
1
w(t)
d2w 1
= c2
dt2 d
φ(x)
2φ = −ω2
dx2 (4.7)

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 71
dove ω 2 indica una costante positiva. La ragione della scelta del segno della costante sarà
chiarito tra breve.
Dalla (4.7) si ottengono due equazioni differenziali ordinarie (lineari ed a coefficienti
costanti):
d 2 w
d2φ +
dx2 dt 2 + ω2 w = 0 (4.8)
³ ω
c
´ 2
φ = 0 (4.9)
L’equazione (4.8) coincide con quella (2.3) di un oscillatore semplice non smorzato di
frequenza ω. La soluzione si può scrivere nella forma:
w(t) =e iωt
(4.10)
È ora possibile chiarire la ragione della scelta del segno dell’ultimo membro della
(4.7); se questo fosse stato positivo la soluzione dell’equazione (4.8) sarebbe stata
esponenzialmente crescente nel tempo, violando i principi di conservazione.
Analogamente anche la soluzione dell’equazione (4.9) è una combinazione di funzioni
armoniche:
incuisièposto
φ(x) =Ae iκx + Be −iκx
(4.11)
κ = ω
(4.12)
c
mentre A e B sono costanti complesse che dipendono dai vincoli imposti alle sezioni di
estremità. La soluzione dell’equazione (4.3) si può quindi scrivere:
Estremi liberi
u (x, t) =Ae i(ωt+κx) + Be i(ωt−κx)
(4.13)
Intalcasonellasezionidiascissax =0e x = l si ha σ =0, ovvero, per la proporzionalità
tra tensioni e deformazioni,
εx = ∂u dφ
= w =0 per x =0e x = l
∂x dx
Sostituendo la (4.13) si ottengono le due equazioni:
iκ (A − B) e iωt = 0
³
iκ Ae iκl − Be −iκl´
e iωt = 0
Dalla prima di queste equazioni segue che A = B. Quindi dalla seconda si ricava:
A
³
e iκl − e −iκl´
=2iA sin (κl) =0
Escludendo la soluzione banale A =0, questa equazione è verificata se κl = nπ, doven
indica un arbitrario intero positivo. Dalla condizione κl = nπ segue
κn = nπ
(4.14)
l

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 72
e quindi
ωn = nπ c
(4.15)
l
A ciacun valore di n corrisponde quindi una soluzione dell’equazione (4.3) che rispetta le
condizioni di bordo libero:
in cui
un(x, t) =φ n(x)wn(t) (4.16)
φ n(x) = cos(κnx) (4.17)
wn(t) = Ae iωnt
(4.18)
Le funzioni φ n(x) sono le autofunzioni dell’equazione differenziale (4.9), per le condizioni
ai limiti prescelte; κn sono i corrispondenti autovalori. Ricordando la definizione di κn,
èfacileintendereilsignificato della grandezza, detta lunghezza d’onda, λn =2π/κn = cTn,
dove Tn =2π/ωn è il periodo di oscillazione: λn è lo spazio percorso dall’onda in un periodo
di oscillazione, ma è anche il “periodo” spaziale dell’autofunzione. Il suo inverso (a
meno di 2π) κn è detto numero d’onda.
Estremi vincolati
In questo caso le condizioni al contorno sono φ(0) = φ(l) =0. Di conseguenza dalla (4.13)
si ottiengono le equazioni:
la cui soluzione non banale è
(A + B) e iωt = 0
³
Ae iκl + Be −iκl´
e iωt = 0
A = −B κl = nπ
dove n indica un intero positivo. Quindi i numeri d’onda delle vibrazioni sono, come nel
caso precedente
κn = nπ
l
e di conseguenza anche le frequenze prendono i valori forniti dall’equazione (4.15). La
soluzione dell’equazione delle onde risulta pertanto:
un (x, t) =A sin (κnx) e iωnt
(4.19)
Il fattore 2i è stato incorporato nel coefficiente indeterminato A. Nei due casi esaminati le
vibrazioni in due barre di uguali caratteristiche ma diversamente vincolate alle estremità,
una con le estremità libere e l’altra incastrate, hanno le stesse frequenze e lunghezze
d’onda, ma le onde sono traslate, l’una rispetto a l’altra, del fattore π/2.

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 73
Estremo libero ed estremo vincolato
Se la base iniziale della barra è incastrata , mentre l’altra è libera, le condizioni al contorno
risultano:
(A + B) e iωt = 0
³
iκ Ae iκl − Be −iκl´
e iωt = 0
Dalla prima si trae che A = −B, dalla seconda segue:
e iκl + e −iκl µ
=2cos(κl) =0=⇒ κl = n − 1
π
2
e quindi
(n = 1, 2,...)
κn =
µ
n − 1
ωn =
π
2 l
µ
n − 1
π
2
c
l
(4.20a)
(4.20b)
Il confronto tra le (4.20) e la (4.15) dimostra come le frequenze delle vibrazioni libere
delle barre con vincoli misti sono più basse di quelle di analoghe barre vincolate in modo
uguale ad entrambi gli estremi. Indicando con ωI n lefrequenzediquesteultimeeconωII n
quelle delle barre con vincoli asimmetrici, si ha:
ω II
n
ω I n
= n − 1/2
n
Vibrazioni indotte da una percossa
= 1 − 1
2n = © 0.5 0.75 0.833 ··· ª
Su di una barra lunga l, inizialmente in quiete, vincolata ad un estremo e libera all’altro,
si applichi, all’estremità libera, una pressione di intensità σ0 per un tempo molto breve
∆t, dopo il quale la forza viene rimossa e la barra è lasciata libera di vibrare. Alla fine del
tempo ∆t solo un breve tratto della barra di lunghezza ∆x, infinitesimo dello stesso ordine
di ∆t, avrà avvertito gli effetti della percossa, mentre il resto della barra sarà rimasto in
quiete.
Per valutare gli effetti della forza alla fine del tempo di applicazione, si parte dalla
equazione (4.2); integrando entrambi i membri rispetto ad x, nell’intervallo [0, ∆x], siha:
Z ∆x
σ (∆x, t) − σ (0,t)=ρ ü (x, t) dx (4.21)
Per 0 ≤ t

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 74
Considerando ∆x un infinitesimo, si avrà quindi:
da cui, si ottiene:
σ0∆t = ρ ˙u (0, ∆t) ∆x + O ¡ ∆x 2¢
σ0 ∆t σ0
˙u (0, ∆t) =v0 = lim =
∆t→0 ρ ∆x ρc
(4.22)
in cui c è la velocità di propagazione delle onde.
Per quanto visto nel precedente paragrafo, per una barra con un estremo libero ed uno
vincolato, la soluzione dell’equazione (4.2) si può scrivere:
u (x, t) =
∞X
Ane iωnt
cos (κnx) (4.23)
n=1
dove le espressioni di ωn e κn sono quelle delle eq. (4.20). Diversamente dal caso trattato
prima qui si è posta l’origine del riferimento in corrispondenza dell’estremità libera della
barra, per cui la funzione seno è sostituita dalla funzione coseno. Derivando la (4.23) si
trova l’espressione della velocità:
˙u (x, t) =i
∞X
Anωne iωnt cos (κnx) (4.24)
n=1
Ponendo l’origine dei tempi nell’istante in cui cessa l’azione della forza, al tempo zero la
velocità dei punti della barra è nulla ovunque eccetto il tratto iniziale di lunghezza ∆x
dove prende il valore v0 fornito dalla (4.22). Moltiplicando entrambi i membri della (4.24)
per cos (κjx), ponendo t =0e tenendo conto che ˙u 6= 0solo per x ∈ [0, ∆x], siha:
Z ∆x
∞X
Z l
v0 cos (κjx) dx = i
cos (κjx)cos(κnx) dx
0
n=1
Ajωj
Tenendo conto dell’espressione esplicita di κ ediω [eq. (4.20)] e delle proprietà di ortogonalità
delle funzioni trigonometriche, si ha:
¡ ¡ 3
v0 ∆x + O ∆x ¢¢ l
= iAjωj
2
da cui, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo in ∆x, siricava:
Aj = −i 2v0∆x
ωjl
0
4σ0∆t
= −i
ρ (2j − 1) πc
(4.25)
Sostituendo la (4.25) nella (4.23) ed utilizzando le espressioni esplicite di ω e κ [eq. (4.20)],
si ha l’espressione dell’onda che si propaga nella barra:
u (x, t) = 4σ0∆t
ρπc
∞X
n=1
sin [(2n − 1) ω1t]cos[(2n − 1) κ1x]
(2n − 1)
(4.26)
dove ω1 = πc/2l, è la frequenza del primo modo e κ1 = ω1/c è il corrispondente numero
d’onda..

4.2 Vibrazioni longitudinali di una barra 75
≥ΖΜΚΡ ≥ΖΝΚΜ ≥ΖΝΚΡ
≥ΖΟΚΜ ≥ΖΟΚΡ ≥ΖΠΚΜ
≥ΖΠΚΡ ≥ΖΘΚΜ ≥ΖΘΚΡ
Figura~4.2: Rappresentazione della funzione u(x, t) in 6 istanti successivi. τ = ω1t.
In figura 4.2 la funzione u (x, t) è rappresentata in sei istanti successivi. Il tempo τ
è normalizzato con la frequenza del primo modo: τ = ω1t, l’ascissa spaziale è normalizzata
alla lunghezza (ξ = x/l), mentre l’ampiezza dello spostamento è normalizzata con
il fattore 4σ0∆t/ρπc. Come si vede il fronte d’onda presenta una brusca discontinuità
tra la parte indisturbata e quella che ha subito lo spostamento; in questo strato infinitesimo
evidentemente si raggiungono deformazioni infinite: ciò dipende dall’ipotesi fatta
che ∆t sia infinitesiomo e quindi, perché l’impulso σ0∆t sia finito, che σ0 sia infinito. In
realtà la transizione tra le due zone sarà tanto più lunga quanto più lungo è il tempo
di applicazione della forza e proporzionalmente minore la tensione σ0. Infigura 4.3 sono
riportati, sovrapposti, gli andamenti della deformazione ε = ∂u/∂x in tre istanti successivi
(τ =0.5 − 1.0 − 1.5). Il grafico mostra un picco, pronunciato ma di intensità finita, che
interessa un tratto piccolo ma finito della barra, che si propaga, come il fronte d’onda, con
velocità c. Il fatto che il risultato non sia un picco infinito di ampiezza nulla dipende però
solo dal numero finito di armoniche (40) messe in conto nella (4.26) per il calcolo di u. Al
crescere del numero delle armoniche conteggiate, il picco si fa sempre più alto e sottile.
Raggiunta la base fissa, come si vede dalla fig. 4.2, il fronte d’onda torna indietro, fino
alla base libera, dove viene ulteriormente riflessa verso l’interno, però con segno opposto.
Poiché nelle equazioni non sono stati introdotti termini dissipativi, è evidente che il moto
prosegue indefinitamente.

4.3 Onde nel continuo indefinito 76
Figura~4.3: Andamento della tensione nella barra in 3 istanti successivi.
4.3 Onde nel continuo indefinito
Nel continuo tridimensionale le equazioni di equilibrio sono espresse dalla (4.1); a queste si
devono aggiungere le relazioni di compatibilità cinematica che, per piccole deformazioni,
sono:
E = sim grad u (4.27)
dove l’operatore sim (T) indica la parte simmetrica del tensore T, e la legge costitutiva del
materiale. Per un mezzo linearmente elastico ed isotropo questa può formulare nel modo
seguente:
T = λ Tr (E) I+2µE (4.28)
in cui I indica il tensore isotropo, Tr (E) =e è la variazione relativa di volume dell’elemento,
mentre λ e µ sono coefficienti noti come le costanti di Lamè del materiale. Come è noto
queste costanti sono legate al modulo di Young E ed al coefficiente di Poisson ν, dalle
relazioni
λ =
νE
(1 + ν)(1 − 2ν)
Sostituendo le (4.27) e (4.28) nella (4.1) risulta:
µ = G =
E
2(1 + ν)
(4.29)
(λ + µ)graddivu+µ4u + g =ρü (4.30)
in cui 4 indica l’operatore di Laplace: 4 =divgrad= ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 .
Si assumano ora nulle le forze di volume, e si ponga
dove:
u = u l + u t
(4.31)
div u t =rotu l =0 (4.32)

4.3 Onde nel continuo indefinito 77
La decomposizione (4.31) di un vettore come somma di uno irrotazionale (u l ) ed uno
adivergenzanulla(u t ) è sempre possibile. Applicando l’operatore divergenza a tutti i
membri della (4.30) e tenendo conto delle (4.31) e (4.32), si ottiene:
div
h
(λ +2µ) ∆u l − ρü li
=0 (4.33)
Analogamente applicando l’operatore rotore e tenendo anche conto che rot grad ≡ 0, si
deduce:
rot £ µ∆u t − ρü t¤ =0 (4.34)
Poiché per le entrambe le quantità in parentesi quadra nelle due equazioni (4.33) e (4.34)
si annullano rotore e divergenza esse sono, a meno di un termine costante, identicamente
nulle; si ottengono così le due equazioni:
dove
cl =
4.3.1 Onde piane
ü l = c 2 l 4ul
ü t = c 2 t 4u t
s s
λ +2µ E 1 − ν
=
ρ ρ (1 + ν)(1 − 2ν)
ct =
r
µ
ρ =
s
E 1
ρ 2(1 + ν)
(4.35a)
(4.35b)
(4.36)
Una soluzione delle equazioni (4.35) è costituita da onde piane che si propagano secondo
una arbitraria direzione n. Infatti posto
u(t, x) =u (x · n ± ct) (4.37)
dove u sta per ul od ut secondo l’equazione considerata e di conseguenza c = cl o c = ct .
Tenendo conto che:
ü =c 2 u 00
4u = u 00 (n · n) =u 00
si vede che la (4.37) soddisfa identicamente ciascuna delle (4.35). Pertanto alle due equazioni
(4.35) corrispondono due tipi di onde che si propagano con velocità differenti: cl
e ct. Le prime sono caratterizzate da un moto irrotazionale, le seconde da divergenza
nulla, quindi, poiché div u = εii = e, è la variazione percentuale di volume, al moto u t
corrisponde una deformazione che non comporta variazione di volume, quindi è una pura
distorsione.
Le funzioni u che soddisfano le equazioni (4.35) sono arbitrarie e vengono definite dalle
condizioni iniziali, ma le componenti u l e u t devono rispettare le condizioni di irrotazionalità
e divergenza nulla. Poiché un campo irrotazionale ammette sempre un potenziale,
si può porre u l =grad[Ψ (x · n−ct)] = Ψ 0 n, ciò dimostra che la componente u l dello
spostamento ha la direzione della propagazione dell’onda. Analogamente la condizione
che div u t =0,implicache ¡ u t¢ 0 · n =0, e dunque, poiché n è una costante,anche che
¡ u t · n ¢ 0 =0, da cui segue che u t ·n =cost. Una traslazione uniforme dell’intero spazio non
è in genere compatibile con le condizioni al contorno; si potrà quindi porre u t ·n =0. Si può
pertanto concludere che la componente u t è perpendicolare alla direzione di propagazione
dell’onda.

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 78
y
z
Figura~4.4: Rappresentazione schematica di un’onda superficiale piana.
I due tipi di onde sono note in sismologia con i nomi di onde di pressione, odonde-p, e
onde di taglio, odonde-s; le onde p si propagano con velocità superiore alle onde di taglio
(s), le loro velocità sono nel rapporto:
s
= 2+ λ
µ =
r
1 − ν
2
1 − 2ν ≥ √ 2 (4.38)
cl
ct
come si deduce dalle (4.36). L’equazione (4.38) dimostra che il rapporto tra le velocità
delle onde p eles dipende solo dal coefficiente di Poisson ν.
4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh)
Si vuole ora cercare una soluzione dell’equazione delle onde (4.35) che sia valida in un
semispazio in prossimità della sua frontiera. Questa soluzione descrive la propagazione di
onde in prossimità della superficie di separazione del semispazio in uno strato di relativo
piccolo spessore e quindi sono chiamate onde superficiali o onde di Reyleigh in onore del
fisico che per primo studiò questo fenomeno (1885).
Si considererà il caso di un’onda piana, cioè quando le particelle poste in vibrazione
si muovono parallelamente ad un piano che per ovvie ragioni si supporrà ortogonale alla
superficie che delimita il semispazio. Si assumerà un riferimento con origine sulla frontiera
del semispazio, l’asse x nella direzione della propagazione dell’onda e l’asse z ortogonale
alla superficie e rivolto verso l’interno del semispazio. Per le ipotesi fatte il vettore di
spostamento u è contenuto nel piano xz e quindi ha componenti nulle nella direzione
ortogonale y.
Nel paragrafo precedente è stato mostrato che è conveniente esprimere il campo degli
spostamenti come somma di un vettore irrotazionale ed uno a divergenza nulla. Poiché il
x

4.4 Onde superficiali (onde di Rayleigh) 79
più generale vettore irrotazionale è il gradiente di un potenziale scalare Φ mentre il più
generale vettore a divergenza nulla si esprime come il rotore di un potenziale vettore ψ,
si avrà:
ul =gradΦ ut =rotψ (4.39)
Nel caso piano, Φ e ψ saranno funzioni solo di x e z; inoltre,perchéut sia contenuto nel
piano xz occorre che ψ sia ortogonale a tale piano, quindi che abbia una sola componente
non nulla −Ψ, parallela ad y. In modo esplicito si ha dunque:
ul = ∂Φ
∂x
wl = ∂Φ
∂z
ut = ∂Ψ
∂z
wt = − ∂Ψ
∂x
(4.40)
in cui u, w indicano le componenti sugli assi x e z, rispettivamente, ed i pedici l o t
indicano la parte irrotazionale e quella a divergenza nulla.
equazioni (4.35) si ottiene facilmente:
Sostituendo le (4.40) nelle
µ
∂ ∂2Φ ∂x ∂t2
= c 2 µ
∂ ∂2Φ l
∂x ∂x2 + ∂2Φ ∂z2
µ
∂ ∂2Φ ∂z ∂t2
− ∂
µ
∂2Ψ ∂z ∂t2
µ
∂ ∂2Ψ ∂x ∂t2
= c 2 l
= −c 2 t
= c 2 t
µ
∂ ∂2Φ ∂z ∂x2 + ∂2Φ ∂z2
µ
∂ ∂2Ψ ∂z ∂x2 + ∂2Ψ ∂z2
µ
∂ ∂2Ψ ∂x ∂x2 + ∂2Ψ ∂z2
Queste relazioni sono equivalenti alle espressioni più sintetiche:
µ
∂2Φ grad
∂t2 = c2l 4Φ
µ
∂2Ψ grad
∂t2 = c2
t 4Ψ
che, a meno di un termine costante, del tutto irrilevante, implicano che:
∂ 2 Φ
∂t 2 = c2 l
4Φ (4.41a)
∂2Ψ ∂t2 = c2t 4Ψ (4.41b)
Queste due equazioni sono simili e si differenziano solo per il diverso valore della velocità
delle onde di pressione rispetto a quelle di taglio; si cercherà ora la struttura della soluzione
di un’equazione del tipo:
∂2F ∂t2 = c24F (4.42)
dove F sta per Φ o Ψ e di conseguenza c varrà cl o ct.
Separando le variabili si pone
F (x, z, t) =X (x) Z (z) φ (t) (4.43)

4.5 Trave a taglio 80
Sostituendo la (4.43) nella (4.42) e dividendo tutti i termini per F = XZφ, siha:
1 d
φ
2 µ
φ 1 d
= c2
dt2 X
2X 1 d
+
dx2 Z
2Z dz2
4.5 Trave a taglio
Si consideri ora il caso di uno strato delimitato da due piani paralleli tra loro distanti
h. Si assuma un riferimento in cui l’asse z è ortogonale ai due piani, quindi, supponendo
chelostratosiasoggettoadunmotopiano,siindichiconx l’altro asse che, insieme a z,
definisca il piano parallelo alla direzione del moto, così che possa porsi uy =0. Inoltre
si assumerà che la faccia inferiore dello strato (z =0) sia vincolata, per cui u(0,t)=0,
mentre la faccia superiore sarà libera, e quindi T(h, t)k =0; k indica la direzione dell’asse
z.
Si cerca una soluzione delle equazioni (4.35) che soddisfa le condizioni precedenti,
assumendo uz =0ed inoltre che la sola componente di u non nulla, ux, sia funzione della
sola coordinata spaziale z:
ux = u(z, t) uy = uz =0 (4.44)
Di conseguenza la sola componente di deformazione non nulla sarà:
γxz = du
dz
e pertanto la sola componente di T diversadazerosaràτ xz. Le equazioni di equilibrio
(4.1) con g =0si riducono alla sola:
ρ ∂2u ∂t2 = G∂2 u
∂z2 poiché le altre si riducono all’identità 0=0, e da cui si ottiene:
∂2u ∂t2 = c2 ∂2u ∂z2 dove c = p G/ρ è la velocità delle onde di taglio [eq. (4.36)].
Separando le variabili, ponendo:
dalla (4.45) si ottengono le due equazioni ordinarie:
(4.45)
u (z,t) =φ (z) w(t) (4.46)
¨w + ω 2 w = 0 (4.47a)
φ 00 + κ 2 φ = 0 (4.47b)
dove κ = ω/c.
Come nel caso delle vibrazioni longitudinali di una barra, le soluzioni delle equazioni
(4.47) sono funzioni armoniche:
w(t) = e iωt
φ(z) = Ae iκx + Be −iκx
(4.48a)
(4.48b)

4.5 Trave a taglio 81
e quindi
u (x, t) =Ae i(ωt+κx) + Be i(ωt−κx)
Per rispettare le condizioni ai limiti si dovrà avere che u(0,t) = 0 ed inoltre che
τ xz(h) =Gγ xz(h) =Gw dφ
dz |zhl =0, per cui dovranno essere soddisfatte le condizioni:
(A + B)e iωt = 0
³
iκ Ae iκh − Be iκh´
e iωt = 0
da cui si hanno le soluzioni non banali: A = −B e cos (κh) =0,ovvero:
µ
κ = κn = n − 1
π
2 h
dove n è un intero positivo. A questi valori di κ corrispondono le autofunzioni
φn = φ0n sin
·µ
n − 1
π
2
z
¸
h
(4.49)
(4.50)
che sono le forme di vibrazione dello strato.
Dalla (4.49) e dalla definizione di κ segue che le frequenze dei modi di vibrazione dello
strato sono:
Oscillazioni forzate
µ
ω = ωn = cκn = n − 1
π
2
c
h
(4.51)
Si supponga ora che la base dello strato sia soggetta ad un moto assegnato di direzione
x, descritto dalla storia di accelerazione ag(t). Le equazioni di equilibrio (4.1) sono ovviamente
ancora valide, ma devono scriversi con riferimento ad una base inerziale, per cui in
questo caso si ha
µ
ρ ag + ∂2u ∂t2
= G ∂2u ∂z2 da cui si deduce l’equazione
∂2u ∂t2 − c2 ∂2u ∂z2 = −ag(t) (4.52)
La soluzione di questa equazione si cercherà tra le funzioni che possono esprimersi come
combinazione lineare delle autofunzioni φ n dei modi di vibrazione dello strato, nella forma:
u(z,t) =
∞X
wn (t) φn (z) (4.53)
n=1
che soddisfano in modo implicito le condizioni ai limiti. Questo richiede in via preliminare
la dimostrazione che le autofunzioni φ n formino un sistema ortogonale, ossia che
R h
0 φ n(z)φ k(z)dz =0se n 6= k.

4.5 Trave a taglio 82
Ortogonalità dei modi Per quanto visto prima ogni funzione un(z,t) =wn(t)φ n(z) è
una soluzione dell’equazione di equilibrio
ρün = G ∂2 un
∂z 2
per cui in ogni istante vi è equilibrio tra le tensioni prodotte dalla deformazione elastica un
e le forze esterne −ρün. Seune uk sono gli spostamenti relativi a due modi di vibrazione
n e k, alloraperilteorema di Betti, ad ogni istante, il lavoro fatto dalle forze del modo
n per gli spostamenti del modo k sarà uguale al lavoro delle forze del modo k per gli
spostamenti del modo n. Informule:
Z h
0
(−ρün) ukdz =
Sotituendo ad u il prodotto w(t)φ(z) si ottiene:
¨wnwk
Z h
0
Z h
ρφ n(z)φ k(z)dz =¨wkwn
0
(−ρük) undz
Z h
o
ρφ k(z)φ n(z)dz
quindi, tenendo conto cke per (4.47a) si ha ¨wn/wn = −ω2 n, dividendo ambo i membri
dell’equazione precedente per wnwk si ottiene:
ovvero:
−ω 2 Z h
n ρφn(z)φk(z)dz = −ω
0
2 Z h
k
o
¡ ω 2 n − ω 2 k
¢ Z h
ρφn(z)φk(z)dz =0
Se ω2 n 6= ω2 k la condizione precedente è soddisfatta solo se
Z h
0
0
ρφ k(z)φ n(z)dz
ρφ n(z)φ k(z)dz =0 n 6= k (4.54)
che esprime la condizione di ortogonalità dei modi di vibrazione; quando, come nel caso
esaminato, si suppone che ρ costante nel dominio di integrazione, la condizione (4.54)
diviene semplicemente: R h
0 φ n(z)φ k(z)dz =0.
Soluzione del problema delle oscillazioni forzate Tornando alla determinazione
delle vibrazioni dello strato prodotte dal moto di trascinamento della base vincolata,
sostituendo la (4.53) nella (4.52) e ricordando che, se la serie (4.53) è assolutamente
convergente, l’operatore di somma e quello di derivazione commutano, si ha:
∞X
∞X
¨wn (t) φn (z) − c
n=0
2
wn (t) φ
n=1
00 n (z) =−ag (t)
Eseguendo la sostituzione φ 00 n = −κnφ n, come è lecito per la (4.47b), quindi moltiplicando
tutti i termini di questa equazione per la k-esima autofunzione φ k(z) eperρ ed integrando
su z tra 0 e h, tenendo in conto la (4.54) si ha:
¨wk (t)
Z h
ρφ
0
2 k (z) dz + c2κ 2 kwk Z h
(t) ρφ
0
2 k (z) dz = −ag
Z h
(t)
0
ρφ k (z) dz

4.5 Trave a taglio 83
Dividendo tutti i termini per R h
si deriva;
dove
0 ρφ2 k
(z) dz e ricordando che cκ = ω, dall’ultima equazione
¨wk (t)+ω 2 k wk (t) =−pkag (t) (4.55)
pk =
R h
0 ρφk (z) dz
R h
0 ρφ2k (z) dz
(4.56)
è il coefficiente di partecipazione del modo k.
l’espressione (4.50), pertanto:
Per ρ costante le funzioni φk hanno
pk =
R h
0 sin £¡ k − 1
¢ ¤
z
2 π h dz
R h
φ0k 0 sin2 £¡ k − 1 ¢ ¤ =
z
2 π h dz 1 4
φ0k (2k − 1) π
(4.57)
Icoefficienti pk che “pesano” l’azione ag per ciascun modo, decrescono inversamente al-
l’ordine del modo. Così, normalizzando tutti i modi per cui φ0k = 1 ∀k, il rapporto tra
il coefficiente del modo k ed il primo, pk/p1 = 1/(2k + 1). Ad esempio il coefficiente di
partecipazione del 10◦ modo sarà 1/19 del coefficiente del primo; i modi di ordine molto
elevato pertanto avranno un coefficiente molto piccolo e risulteranno trascurabili.
Se l’eccitazione è una funzione armonica di pulsazione ωf, per quanto visto nel capitolo
2, le ampiezze delle risposte modali wk(t) dipendono, oltre che dall’ampiezza della forzante,
dal rapporto βk = ωf/ωk tra la frequenza della forzante e quella naturale del modo. Poiché
la funzione di amplificazione D [eq. (2.48)] ha un massimo per β ' 1,lerispostedeimodidi
frequenza prossima a quella della forzante saranno amplificati; quelli di frequenza ωk ¿ ωf
(βk À 1) risultano attenuati, poiché D

4.5 Trave a taglio 84
per cui l’equazione di equilibrio diviene:
ρ ∂2 u
∂t 2 = G∂2 u
∂z 2 + η ∂3 u
∂t∂z 2
Si cerca una soluzione della (4.60) ponendo:
u (z,t) =φ (z) e iωt
Sostituendo la (4.61) nella (4.60) si ottiene:
ovvero:
−ρω 2 φ (z) e iωt = Gφ 00 (z) e iωt + iωηφ 00 (z) e iωt
(4.60)
(4.61)
·
φ 00 (z)+ ρω2
¸
φ (z) e
G + iωη iωt =0 (4.62)
I modi di vibrazione dello strato si ottengono quindi come soluzione dell’equazione
φ 00 (z)+κ ∗2 φ (z) =0 (4.63)
per appropriate condizioni al contorno. La costante
κ ∗ r r
ρ ρ
= ω = ω
G∗ |G∗ √
e−iψ (4.64)
|
èilnumero d’onda complesso e G∗ = G − iωη èilmodulo di taglio complesso. Se
si pone ωη =2ζG, doveζèla percentuale di smorzamento rispetto al critico, si ha
G∗ = G (1 +2iζ) e la (4.64) si puòscrivere:
κ ∗ s
ρ
= ω
G ¡ 1 +4ζ 2¢√e−iψ (4.65)
esièpostoψ =tan −1 (2ζ). Le due radici di e −iψ sono quindi e −iζ e e i(π−ζ) .
La soluzione dell’equazione (4.63) si scrive dunque:
φ (z) =Ae iκ∗ z + Be −iκ ∗ z
e quindi u (z, t) = ¡ Ae iκ∗ z + Be −iκ ∗ z ¢ e iωt . Di conseguenza la tensione τ èdatada
τ = G ∂u
∂z + η ∂2 u
∂t∂z
=[G + iωη] ∂φ
∂z eiωt =
G ∗ ³
∗
iκ Ae iκz − Be −iκ∗z ´
e iωt
(4.66)
(4.67)
Se z =0corrisponde alla superficie libera dello strato, si avrà τ (0,t)=0e quindi, per
la (4.67) A − B =0,ossiaA = B.
Si supponga che la base dello strato sia soggetta ad un moto imposto di tipo armonico:
u0 = Ue iωt ; quindi alla base dello strato, per compatibilità cinematica, si dovrà avere:
Ae iκ∗ h + Be −iκ ∗ h = U

4.5 Trave a taglio 85
7
6
5
4
3
2
1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura~4.5: Modulo della funzione di amplificazione per v = 500m/ sec, h = 50m e
ζ =0.1
ed essendo A = B,
A = B =
U
e iκ∗ h + e −iκ ∗ h =
U
2cos(κ ∗ h)
così il rapporto tra l’ampiezza del moto in superficie A + B e quella alla base U è
F (ω) = 2A
U =
1
cos (κ ∗ h)
ed è detta la funzione di amplificazione dello strato. Ponendo κ ∗ = κ1 + iκ2, siha
ed il cui modulo è
1
F (ω) =
cos hκ1 cosh hκ2 − i sin hκ1 sinh hκ2
|F (ω)| =
1
p sinh(κ2h) 2 +cos(κ1h) 2
(4.68)
(4.69)
(4.70)
Per valori piccoli dello smorzamento si ha κ ∗ ' κ (1 − iζ), doveκ = ω p ρ/G = ω/v
è il numero d’onda non smorzato. In tal caso κ1 = κ, κ2 = ζκ. Ponendo ad esempio
v = 500 m/ sec e ζ =0.1, h =50m
Se il terreno è stratificato, la soluzione si può ancora porre nella forma (4.66) all’interno
di ciscuno strato, ma i coefficienti A e B saranno diversi tra uno strato e l’altro. Assumendo
per ciascun strato un riferimento che ha origine sulla superficie limite superiore dello strato
e rivolto verso il basso, le condizioni di compatibilità ed equilibrio tra due strati consecutivi
impongono che:
φk (0) = φk+1 (hk+1)
τ k (0) = τ k+1 (hk+1)

4.6 Vibrazione delle travi inflesse 86
Dalla prima si tre immediatamente che
mentre dalla seconda, ricordando la (4.67) si ha:
ovvero
Ak+1 + Bk+1 = Ake iκ∗ k hk + Bke −iκ∗ k hk (4.71)
G ∗ k+1 iκ∗ k+1 (Ak+1 − Bk+1) =G ∗ k iκ∗ k
³
Ake iκ∗ khk − Bke −iκ∗ khk ´
Ak+1 − Bk+1 = G∗ kiκ∗ k
G∗ k+1iκ∗ ³
Ake
k+1
iκ∗ khk − Bke −iκ∗ khk ´
(4.72)
Ponendo a sistema le (4.71) e (4.72) si ottiene la relazione ricorsiva:
Ak+1 =
Ã
1 + G∗ kiκ∗ k
!
Ake iκ∗ khk Ã
+ 1 − G∗ kiκ∗ k
!
Bke −iκ∗ khk (4.73a)
Bk+1 =
Ã
G ∗ k+1 iκ∗ k+1
1 − G∗ k iκ∗ k
G ∗ k+1 iκ∗ k+1
!
Ake iκ∗ k hk +
Ã
G ∗ k+1 iκ∗ k+1
1 + G∗ k iκ∗ k
G ∗ k+1 iκ∗ k+1
!
Bke −iκ∗ khk (4.73b)
Partendo dallo strato superiore dove, per quanto si è visto A = B e ponendo A = B = 1,
applicando ripetutamente la (4.73) si determinano i coefficienti AN e BN dell’ultimo strato,
la funzione di amplificazione sarà:
F (ω) =
2
ANe iκ∗ N hN + BNe −iκ∗ N hN
4.6 Vibrazione delle travi inflesse
(4.74)
Per una trave di sezione costante deformabile solamente a flessione, l’equazione della linea
elastica è, come noto:
d4v p(x)
=
dx4 EJ
dove v(x) è lo spostamento della linea elastica, p(x) indica la densità del carico, EJ èla
rigidezza alla flessione ed x è l’ascissa lungo la linea d’asse della trave. Nel caso dinamico,
oltre al carico p(x) si dovrà mettere in conto le forze di inerzia; considerando trascurabili
i termini dovuti all’inerzia rotazionale, l’equazione di equilibrio dinamico della trave è:
∂4 µ
v 1
= p(x) − ρ
∂x4 EJ
∂2v ∂t2
che, ordinata diversamente può scriversi:
∂4v ρ
+
∂x4 EJ
∂2v p(x, t)
=
∂t2 EJ
(4.75)
In questa equazione ρ è la densità di massa della trave e v(x, t) è la linea elastica della
trave, funzione dell’ascissa x e del tempo t.

4.6 Vibrazione delle travi inflesse 87
4.6.1 Oscillazioni libere
Ponendo p ≡ 0, l’equazione (4.75) si semplifica nella:
∂4v ρ
+
∂x4 EJ
∂2v =0 (4.76)
∂t2 la cui soluzione rappresenta le oscillazioni libere della trave. Anche in questo caso la
soluzione si cerca con il metodo di separazione, ponendo:
Sostituendo la (4.77) nella (4.76) si ottiene:
e quindi:
v (x, t) =φ (x) w (t) (4.77)
d4φ ρ
w +
dx4 1 d
φ
4φ dx4 da cui si deducono le due equazioni:
EJ
ρ
EJ φd2 w
=0
dt2 = − 1
w
d2w = ω2
dt2 d 2 w
dt 2 + ω2 w = 0 (4.78a)
d4φ ρω2
− φ = 0 (4.78b)
dx4 EJ
La prima è ancora l’equazione di un oscillatore elementare non smorzato di frequenza
naturale ω2 . La seconda delle (4.78), posto
a 4 = ρω2
EJ
è un’equazione omogenea di quarto grado, la cui equazione caratteristica è
α 4 − a 4 =0
le cui 4 radici sono
α = © a ia −a −ia ª
Quindi la soluzione della (4.78b) è
o, in forma equivalente:
φ(x) =C1e ax + C2e iax + C3e −ax + C4e −iax
(4.79)
φ(x) =A1 sin (ax)+A2 cos (ax)+A3 sinh (ax)+A4 cosh (ax) (4.80)
I valori dei coefficienti Ak (o Ck) dipendono dalle condizioni al contorno, pertanto la
funzione φ risulterà definita solo dopo aver precisato le condizioni di vincolo delle estremità.

4.6 Vibrazione delle travi inflesse 88
Trave appoggiata
Nella trave appoggiata si annullano sia gli spostamenti sia i momenti alle estremità della
trave. Poiché M = EJu 00 le condizioni di vincolo forniscono le 4 equazioni per le funzioni
φ:
φ(0) = 0 φ(l) =0
φ 00 (0) = 0 φ 00 (l) =0
dove l indica la lunghezza della trave. Sostituendo la (4.80) e la sua derivata seconda si
ottengono le seguenti 4 equazioni, le cui incognite sono i coefficienti Ai:
A2 + A4 = 0
−A2 + A4 = 0
A1 sin(al)+A2 cos(al)+A3 sinh(al)+A4 cosh(al) = 0
−A1 sin(al) − A2 cos(al)+A3 sinh(al)+A4 cosh(al) = 0
In altra forma questo sistema si può riscrivere:
⎡
0 1 0 1
⎢ 0
⎣ sin(al)
−1
cos(al)
0
sinh(al)
1
cosh(al)
− sin(al) − cos(al) sinh(al) cosh(al)
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
A1
A2
A3
A4
⎤
⎥
⎦ =
Questo sistema omogeneo ha soluzioni non banali solo se il determinante della matrice dei
coefficienti è nullo, ossia se:
−4sinal sinh al =0
che evidentemente è soddisfatta se al = nπ, ossia se:
a = n π
l
Ricordando la definizione (4.79) della costante a si ottengono le frequenze naturali delle
oscillazioni libere non smorzate:
ωn =
s
EJ
ρ a2 = n 2 π 2
s
EJ
ρl4 ⎡
⎢
⎣
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦
(4.81)
Imodidivibrazioneflessionale di una trave elastica di sezione costante sono sinusoidi
la cui “lunghezza d’onda” è un sottomultiplo di l: sin(nπx/l), a ciascun modo corrisponde
una frequenza di vibrazione fornita dall’equazione (4.81).
Mensola
Nel caso di una mensola incastrata nella sezione origine (x =0), le condizioni di vincolo
sono: u(0) = u 0 (0) = 0, M(l) =V (l) =0, ossia nella sezione di incastro si annullano
gli spostamenti e le rotazioni, nella sezione libera saranno nulle le sollecitazioni di taglio
e momento. Queste condizioni implicano che la funzione φ deve verificare le seguenti
equazioni:
φ (0) = φ 0 (0) = 0
φ 00 (l) = φ 000 (l) =0

4.6 Vibrazione delle travi inflesse 89
Sostituendo l’espressione (4.80) della funzione φ si ha il sistema di 4 equazioni nelle 4
incognite Ak:
⎡
⎢
⎣
0 1 0 1
1 0 1 0
− sin (al) − cos (al) sinh(al) cosh(al)
− cos (al) sin(al) cosh(al) sinh(al)
Il determinante della matrice dei coefficienti è
2+2cosal cosh al
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
A1
A2
A3
A4
⎤
⎥
⎦ =
I valori di al che rendono nulla questa funzione devono essere trovati numericamente; le
prime 4 radici sono:
al = © 1. 8751 4. 6941 7. 8548 10. 996 ··· ª
e pertanto le prime 4 frequenze naturali di una mensola omogenea di lunghezza l e rigidezza
flessionale EJ, risultano:
s
EJ
ω =
ρl4 © ª
3. 516 22. 035 61. 698 120. 91 ··· (4.82)
⎡
⎢
⎣
0
0
0
0
⎤
⎥
⎦

Appendice A
Elementi di algebra lineare
A.1 Spazi vettoriali
Si dice spazio vettoriale un insieme non vuoto V che soddisfa le seguenti condizioni:
1. Se u ed v sono elementi di V, esiste un’operazione, la somma di u e v, che associa a
due elementi di V uno ed un solo elemento dello stesso spazio:
echeverifica le seguenti proprietà:
(a) è commutativa
(b) è associativa:
2. Esiste in V un elemento nullo 0 tale che:
w = u + v
u + v = v + u
u +(v + w) =(u + v)+w
u + 0 = u ∀u ∈ V
3. Per ogni elemento u ∈ V esiste un altro elemento di V, detto l’opposto di u, (−u),
tale che:
u +(−u) =0
4. Se a èunnumeroeu ∈ V, ilprodottodia per u è un vettore v ∈ V:
che verifica le seguenti proprietà:
v = au
a(bu) =(ab)u
1u = u
(a + b)u = au + bu
a(u + v) =au + av
90

A.2 Dipendenza lineare 91
A.2 Dipendenza lineare
Dati n vettori v1,...,vn elementi di V, questisidiconolinearmente dipendenti se esistono
n numeri a1,...,an, non tutti nulli, tali che:
a1v1 + a2v2 + ···+ anvn = 0 (A.1)
Al contrario, se l’eq. (A.1) è vera solo se a1 = a2 = ··· = an =0,ivettoriv1,...,vn si
dicono linearmente indipendenti.
A.3 Dimensionidiunospazio.Basi
Se in uno spazio vettoriale V esistono n vettori linearmente indipendenti e1, e2,...,en, ma
non ne esistono n + 1, sidicecheV ha n dimensioni, e si indica con Vn.
Una n-pla di vettori indipendenti ∈ Vn forma una base dello spazio vettoriale, poiché
ogni vettore w ∈ Vn si può rappresentare con una combinazione lineare dei vettori della
base.
Infatti, se e1,...,en sono una tale base, allora qualunque sia w esisteranno n+1 numeri
aj tali che:
a1e1 + a2e2 + ···+ anen + an+1w = 0 (A.2)
in quanto per ipotesi in Vn non esistono n + 1 vettori linearmente indipendenti; inoltre
an+1 6= 0, poiché in caso contrario i vettori della base {ej} sarebbero linearmente
dipendenti. Quindi, risolvendo la (A.2) rispetto a w si ha:
incuiicoefficienti wj sono dati dalla:
w = w1e1 + w2e2 + ···+ wnen =
wj = − aj
an+1
e sono detti le componenti di w rispetto alla base E = {ej}.
A.4 Prodotto interno
nX
j=1
wjej
(A.3)
Se u, w sono elementi dello spazio vettoriale V, sidefinisce il prodotto interno (o scalare)
dei due vettori un’operazione che associa a u, w un numero (reale o complesso) e si indica
con il simbolo:
hu, wi
Il prodotto interno soddisfa le seguenti condizioni:
1. se a e b sono numeri (reali o complessi) allora:
hau,bwi = abhu, wi
in cui b indica il complesso coniugato di b.

A.5 Vettori ortogonali 92
2.
3.
4.
hu, ui ≥ 0
e l’uguaglianza è verificata se e solo se u = 0.
A.5 Vettori ortogonali
hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
hu, wi = hw, ui
Due vettori non nulli u e v si dicono ortogonali se il loro prodotto interno è nullo:
u ⊥ w se hu, wi =0
Se n vettori vj sono tra loro ortogonali allora sono anche linearmente indipendenti.
Infatti in caso contrario esisterebbe una combinazione lineare con coefficienti non tutti
nulli per cui:
nX
ajvj = 0
j=1
Prendento il prodotto interno di ambo i membri di questa equazione ed uno qualsiasi vk
dei vettori dell’insieme, per l’ortogonalità tra essi, si ha evidentemente:
nX
ajhvj, vki = akhvk, vki =0
j=1
Ciòimplica,datochehvk, vki 6=0,cheak =0. Poiché questo e valido per qualunque vk
(k = 1, 2,...,n), ne segue che i coefficienti ak devono essere tutti nulli, quindi i vettori vj
sono linermente indipendenti.
Da quanto dimostrato segue che in uno spazio Vn non possono esistere più di n vettori
tra loro ortogonali.
A.6 Basi ortogonali
Dati n vettori linearmente indipendenti v1, v2, ...,vn, si possono, a partire da questi,
costruire n vettori ortogonali. A questo scopo è sufficiente seguire la procedura:
w1 = v1
w2 = v2 − hw1, v2i
hw1, w1i w1
w3 = v3 − hw1, v3i
hw1, w1i w1 − hw2, v3i
hw2, w2i w2
...
(A.4)

A.7Componentidiunvettore 93
È facile controllare direttamente che i vettori wj sono tra loro ortogonali; la dimostrazione
però non è completa se non si verivica che i denominatori nelle eq. (A.4) sono diversi da
zero. Per questo basta controllare che wk 6= 0 ∀k; ma questo è immediato perché, tenendo
conto che ogni wk è una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli di vj, j ≤ k, se
per qualche k risultasse wk = 0, esisterebbe una combinazione lineare dei vettori vj con
risultante nullo, contraddicendo l’ipotesi di indipendenza dei vettori vj.
Poiché i vettori ortogonali sono indipendenti possono essere impiegati per formare una
base dello spazio Vn. Data una base qualsiasi, seguendo la procedura (A.4), si può sempre
costruire una base ortogonale. Se poi, a partire da una base ortogonale wj si costruisce
un’altra base:
1
uj =
hwj, wji wj ∀j
che soddisfa alla condizione di normalità huj, uji = 1, ∀j, labasecosìottenutasidice
ortonormale.
A.7 Componenti di un vettore
Data una base E ∈ Vn, l’eq. (A.3) dimostra che ogni vettore w può essere rappresentato
come combinazione lineare dei vettori della base. I coefficienti wj della combinazione si
dicono le componenti di w nella base E.
Dati due vettori u ed w, rappresentati nella base E:
la loro somma è data da:
u =
nX
j=1
ujej
u + w =
w =
nX
j=1
nX
(uj + wj)ej
j=1
wjej
(A.5)
(A.6)
cioè le componenti della somma di due vettori si ottengono sommando le componenti
omologhe dei vettori sommati.
Se a è un numero, applicando le proprietà elencate, si ottiene facilmente che:
au =
nX
(auj)ej
j=1
(A.7)
ossia le componenti del vettore ottenuto moltiplicando un vettore per uno scalare si
ottengono moltiplicando le componenti del vettore dato per lo stesso scalare.
Si calcola ora il prodotto interno di due vettori rappresentati nella base E; utilizzando
l’eq. (A.5) e le proprietà del prodotto interno si ottiene:
hu, wi =
nX
j=1 k=1
nX
hej, ekiujwk =
nX
nX
j=1 k=1
gkjujwk
(A.8)
Questa equazione dimostra che il prodotto interno di due vettori si calcola come una forma
quadratica i cui coefficienti:
gkj = hej, eki (A.9)

A.8 Cambiamento di base 94
formano una matrice quadrata hermitiana1 edefinita positiva2 : la prima proprietà è conseguenza
della proprietà 4, mentre quest’ultima discende direttamente dalla proprietà n. 2
del prodotto interno.
Indicando con u e w le matrici n × 1 costruite con le componenti dei vettori u e w, e
con G la matrice quadrata n × n costruita con i coefficienti gkj:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
u1
w1
g11 g12 ... g1n
⎢
⎢u2
⎥ ⎢
⎥ ⎢w2
⎥ ⎢
u = ⎢ ⎥ w = ⎢ ⎥ G = ⎢g21
g22 ... g2n ⎥
⎣ . ⎦ ⎣ . ⎦ ⎣...................
⎦ (A.10)
un
wn
gn1 gn2 ... gnn
il prodotto interno dei vettori u ed w si calcola con la forma quadratica 3 :
A.7.1 Basi ortonormali
hu, wi = w ∗ · G · u = u ∗ · G · w (A.11)
Se E è una base ortonormale, tenendo conto che in tal caso si ha hej, eki =0per j 6= k e
hej, eji = 1, dall’eq. (A.9) segue:
gjk = δjk
in cui δjk indica il simbolo di Kroneker: δjk =0per j 6= k e δjj = 1. Di conseguenza la
matrice G coincide con la matrice unità I ed il prodotto interno di due vettori in questa
base diviene:
hu, wi = u ∗ · I · w = u ∗ · w (A.12)
In questo caso il prodotto interno si riconduce al prodotto matriciale tra una matrice ad
una riga u ∗ ed una matrice ad una colonna w.
A.8 Cambiamento di base
Se E è una base di Vn e E0 un’altra base nello stesso spazio, i vettori e0 j che formano la
seconda base si potranno rappresentare come combinazione di quelli della prima:
e 0 j =
nX
k=1
β kjek
(A.13)
1 Una matrice quadrata si dice hermitiana se per tutti i termini della matrice sono verificate le uguaglianze
ajk = akj. SeconA ∗ si indica la matrice (detta aggiunta) che si ottiene da A scambiando le righe
con le colonne e prendendo il complesso coniugato dei suoi elementi:
A ∗ = A T
una matrice è hermitiana se A = A ∗ . È evidente che gli elementi della diagonale principale di una matrice
hermitiana sono reali. Se una matrice hermitiana è reale allora è una matrice simmetrica, cioè A = A T .
2 Una matrice quadrata n × n A si dice definita positiva se, per per qualsiasi matrice n × 1, x 6= 0 si ha:
x ∗ · A · x > 0
3 Nel caso reale l’eq. (A.11) diviene semplicemente hu, wi = u T · G · w.

A.8 Cambiamento di base 95
Analogamente i vettori della prima base si potranno rappresentare come combinazione di
quelli della seconda:
nX
eh =
(A.14)
αjhe
j=1
0 j
Con i coefficienti βkj e αjh si costruiscono due matrici n × n che, come è facile dimostrare,
sono l’una l’inversa dell’altra. Infatti se si sostituisce l’eq. (A.13) nella (A.14) si ottiene:
nX nX
eh =
(A.15)
αjhβkjek j=1 k=1
Poiché i vettori eh sono linearmente indipendenti, l’equazione (A.15) implica che:
nX
j=1
β kjαjh = δkh
che, con formalismo matriciale, si può scrivere:
da cui segue che, poiché A e B sono quadrate:
(A.16)
B · A = I (A.17)
B = A −1
(A.18)
cioè la matrice B èl’inversadiA (e viceversa).
Se u èunvettorediVn e uT =[u1, u2, ...,un] sono le sue componenti nella base E,
cioè si ha:
nX
u =
j=1
sostituendo ai vettori ej la loro rappresentazione nella base E 0 espressa dall’eq. (A.14), si
ottiene:
incuisièposto
u =
nX
nX
j=1 k=1
u 0 k =
ujej
ujαkjv 0 k =
nX
j=1
αkjuj
nX
k=1
u 0 k v0 k
(A.19)
(A.20)
L’equazione (2.23) mostra che le quantità u 0 k sono le componenti di u nella nuova base E0 ;
con esse si costruisce la matrice u 0 (n×1) , che si ottiene dalla matrice u delle componenti
relative alla base precedente mediante la trasformazione:
u 0 = Au (A.21)

A.9 Operatori lineari 96
A.9 Operatori lineari
Una funzione che associa elementi v di uno spazio vettoriale ad altri elementi dello stesso
spazio, è chiamata un operatore. Se la funzione gode delle proprietà di linearità, è indicata
con il nome di operatore lineare.
Più precisamente, sia L : Vn 7→ Vn, inmodotaleche,se( uw) ∈ Vn e a e b sono
numeri,siha:
L(au + bw) =aL(u)+bL(w)
L è un operatore lineare.
Dato uno spazio vettoriale Vn, seE è una sua base e L un operatore lineare, rappresentando
un vettore u ∈ Vn come combinazione lineare dei vettori della base:
u =
nX
j=1
ujej
(A.22)
ed applicando ad entrambi i membri dell’eq. (A.22) l’operatore L, tenendo conto delle
proprietà prima enunciate, risulta:
L(u) =
nX
ujL(ej) (A.23)
j=1
I vettori L(ej) sono elementi di Vn e quindi si possono rappresentare nella base E;
indicando con akj la componente di L(ej) relativamente a ek, è
L(ej) =
Quindi, sostituendo nell’eq. (A.23) si ottiene:
L(u) =
nX
nX
j=1 k=1
nX
k=1
ujakjek =
akjek
⎛
nX nX
⎝
k=1
akjuj
j=1
⎞
⎠ ek
(A.24)
Dall’eq. (A.24) appare evidente che le componenti del vettore L(u) nella base E, siottengono
combinando linearmente i coefficienti akj con le componenti del vettore origine
u. Raccogliendo le componenti di L(u) ediuin matrici n × 1 eicoefficienti ak,j della
trasformazione nella matrice n × n:
⎡
⎤
a11 a12 ... a1n
⎢a21
a22
L = ⎢ ... a2n ⎥
⎣...................
⎦
an1 an2 ... ann
le componenti di L(u) in E si ottengono dal prodotto:
L · u (A.25)

A.9 Operatori lineari 97
A.9.1 Cambiamento di base di un operatore lineare
Se u, w sono due elementi dello spazio vettoriale Vn collegati da una trasformazione lineare
L, in modo che si abbia w = L(u), per l’eq. (A.25), le componenti dei vettori relative ad
una base E si trasformano mediante la relazione lineare:
w = L · u (A.26)
in cui L è una matrice n × n. Passando dalla base E ad una nuova base E 0 le componenti
dei vettori u, w si trasformano in accordo alla eq. (A.21); tenendo conto anche della (A.18)
si ha quindi: w 0 = Aw e u = A −1 u 0 , per cui l’eq. (A.26) diviene:
avendo posto:
w 0 = A · w = A · L · A −1 · u 0 = L 0 · u 0
L 0 = A · L · A −1
(A.27)
(A.28)
L’eq. (A.28) esprime la legge di trasformazione a seguito del cambiamento di base della
matrice L della trasformazione lineare L.
A.9.2 Nucleo di un operatore lineare
Se L indica un operatore lineare in Vn, l’insieme degli elementi dello spazio vettoriale Vn
per cui si ha:
L(v) =0
èchiamatoilnucleo dell’operatore L. Formalmente, il nucleo (L) di un’operatore lineare
èdefinito dalla relazione:
A.9.3 Inverso di un operatore
(L) ={v ∈ Vn|L(v) =0} (A.29)
Sia L un operatore lineare di Vn; datounelementoqualsiasiw ∈ Vn, si supponga che
esista un solo elemento di Vn, v, taleche:
w = L(v)
allora si può definire un operatore w → v, inverso di L:
v = L −1 (w) =L −1 ◦ L(v) (A.30)
Si può dimostrare che, se esiste, L−1 è un operatore lineare e che l’operatore L è
invertibile (cioè esiste il suo inverso L−1 ) se e solo se il suo nucleo è costituito dal solo
vettore nullo:
(L) ={0}
Se L è la matrice dell’operatore L in una base E, allora, se L è invertibile, la matrice
dell’operatore L−1 è l’inversa di L. L’operatore L èinvertibileseesoloseLnon è
singolare (cioè det(L) 6= 0). 4
4
Il determinante è una proprietà intrinseca dell’operatore e non muta con il cambiamento della base.
Infatti, tenendo conto delle note proprietà dei determinanti e dell’eq. (A.28), si ha:
det(A 0 )=det(A · L · A −1 )=det(A)det(L)det(A) −1 =det(A)

A.9 Operatori lineari 98
A.9.4 Operatore identico
L’operatore che trasforma ogni elemento di Vn in se stesso è detto l’operatore identico
dello spazio Vn:
v = I(v) ∀v ∈ Vn
L’eq. (A.30) dimostra che, se un operatore è invertibile, l’applicazione successiva di L
e del suo inverso produce l’operatore identico:
L −1 ◦ L = I
La matrice dell’operatore identico I in Vn è la matrice unitaria I (n × n).
A.9.5 Operatori hermitiani
Siano (v, w) ∈ Vn elementi di uno spazio vettoriale ed L un operatore lineare dello stesso
spazio: poiché L(v) ∈ Vn, si può calcolare il prodotto interno:
hL(v), wi
Esiste ed è unico un altro operatore lineare L ∗ , detto l’operatore aggiunto di L, taleche:
hL(v), wi = hv, L ∗ (w)i (A.31)
Un operatore lineare L si dice hermitiano od autoaggiunto se L = L ∗ , per cui:
hL(v), wi = hv L(w)i
La matrice dell’operatore aggiunto è l’aggiunta della matrice di L, cioèlamatriceche
si ottiene prendendo la complessa coniugata della trasposta:
L ∗ = L T (A.32)
La matrice aggiunta di una matrice reale è la sua trasposta. Una matrice è hermitiana se
coincide con la sua aggiunta A ∗ = A; una matrice reale è autoaggiunta se è simmetrica.
A.9.6 Operatori unitari
Un operatore U si dice unitario se soddisfa la seguente condizione: per ogni (v, w) ∈ Vn,
hU(w), U(v)i = hw, vi (A.33)
Un operatore è unitario solo se U ∗ ◦ U = I. Infatti dalla definizione (A.33) e da quella
di operatore aggiunto (A.31), segue:
hU(v), U(w)i = hv, U ∗ ◦ U(w)i = hv, wi
da cui segue evidentemente che U ∗ ◦ U = I.
Quindi per un operatorunitario esiste sempre l’operatore inverso, e questo coincide con
l’operatore aggiunto.

A.9 Operatori lineari 99
A.9.7 Autovalori ed autovettori di un operatore
Se A è un operatore lineare dello spazio vettoriale Vn ed x un elemento di Vn, x è detto
un autovettore di A se per qualche numero λ èverificata l’equazione:
A(x) =λx (A.34)
il numero λ ∈ C è detto l’autovalore di A associato all’autovettore x.
Se ad un autovalore λ sono associati più di un atovettore xk, allora ogni combinazione
lineare di questi autovettori è un autovettore di A. Infatti, per le proprietà degli operatori
lineari e per la (A.34), si ha:
A( X
ckxk) = X
ckA(xk) =λ X
k
k
Gli autovettori che corrispondono ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti.
Siano infatti x1,...,xm m autovettori di A, cui corrispondono diversi autovalori λ1,...,λm.
Se m = 1 l’affermazione è ovvia; infatti cx1 = 0 solo se c =0. Si assuma che l’affermazione
siaveraperm − 1; in questo caso per qualunque combinazione lineare a coefficienti non
tuttinulli,siha:
k
ckxk
c1x1 + c2x2 + ···+ cm−1xm−1 6= 0 (A.35)
Si supponga per assurdo che invece x1,...,xm−1, xm siano linearmente dipendenti. In
questo caso esisterebbe una combinazione lineare a coefficienti non tutti nulli per cui:
c1x1 + c2x2 + ···+ cm−1xm−1 + cmxm = 0 (A.36)
Applicando l’operatore A a tutti i termini della (A.36) e tenendo conto dell’eq. (A.34),
risulta:
c1λ1x1 + c2λ2x2 + ···+ cm−1λm−1xm−1 + cmλmxm = 0 (A.37)
se a questa equazione si sottra la (A.36) moltiplicata per λm, risulta:
c1(λ1 − λm)x1 + c2(λ2 − λm)x2 + ···+ cm−1(λm−1 − λm)xm−1 = 0
ma, dato che per ipotesi λm 6= λk, (k 6= m), questa implicherebbe che x1,...,xm−1 siano
linearmente dipendenti, contraddicendo l’ipotesi: quindi l’eq. (A.36) è falsa ed è pertanto
dimpostrato che gli autovettori di autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
Indicando con I l’operatore identico, l’equazione (A.34) si può riscrivere:
(A − λI)(x) =0 (A.38)
Ricordando la definizione del nucleo di un operatore, è evidente che gli autovettori associati
all’autovalore λ sono il nucleo dell’operatore (A − λI); ne consegue che λ è un operatore
di A seesolose(A − λI) non è invertibile.
Un’ulteriore proprietà che può essere dimostrata è che ogni operatore A ha almeno un
operatore non nullo. Per quanto visto in precedenza se un operatore lineare ha m atovalori
distinti allora ha anche m autovalori, che tra loro risultano linearmente indipendenti; da
questo consegue che un operatore in Vn non può avere più di n autovalori ed autovettori.

A.10 Vettori in C n 100
A.10 Vettori in C n
Nei paragrafi precedenti si è posto in evidenza come un vettore v ∈ Vn, elemento di uno
spazio vettoriale, sia generalmente diverso dai coefficienti di una sua rappresentazione
relativa ad una qualche base di Vn; per sottolineare questa differenza e non ingenerare
confusione, l’insieme delle componenti di v è stato chiamato matrice n × 1 o matrice
colonna enonvettore, come spesso avviene.
Peraltro lo spazio dei numeri complessi, 5 o, più in generale, il prodotto di n spazi
complessi C × C×··· × C = C n è uno spazio vettoriale, in quanto soddisfa a tutte le
condizioni esposte nel primo paragrafo. Pertanto le n-ple di numeri complessi sono esse
stesse elementi di uno spazio vettoriale, per cui non è improprio chiamare vettore una
matrice-colonna. Quindi l’insieme di n numeri complessi è di per se stesso un vettore,
come elemento di uno spazio C n ma può anche essere la rappresentazione, relativa ad
una qualche base, di un elemento di un altro spazio vettoriale. Ad esempio l’insieme dei
segmenti orientati nello spazio che hanno un estremo in un punto è uno spazio vettoriale; le
coordinate dell’altro estremo del segmento riferite ad una terna cartesiana forniscono una
terna di numeri che sono le componenti del vettore nella base assegnata. Questa terna di
numeri può essere interpretata come un vettore dello spazio R n o come rappresentazione,
riferita ad una certa base, del segmento orientato dello spazio geometrico.
Nel seguito, quando non sarà necessario evidenziare questa distinzione, le n-ple di
numeri reali (o complessi) saranno chiamate vettori.
A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice
Sia E una base in Vn; come si è visto, ogni vettore v ∈ Vn può essere rappresentato
dalla matrice (n × 1) delle componenti di v rispetto ad E. Quindi ad ogni vettore in Vn
corrisponde una matrice (n × 1) e ad ogni operatore lineare una matrice (n × n).
Se dunque A è un operatore lineare e A la matrice ad esso associata nella base E, se
λ è un autovalore di A ed x un corrispondente autovettore, le componenti x di x in E,
devono soddisfare l’equazione:
L’eq. (A.39) è equivalente alla:
A · x = λx (A.39)
(A − λI) · x = 0 (A.40)
in cui I indica la matrice unità e 0 è l’elemento nullo di C n .
L’equazione (A.40) è un sistema omogeneo (perché il termine noto è nullo) di n equazioni
nelle n incognite x, lacuimatricedeicoefficienti è (A−λI). Comeènotounsistema
di questo genere ammette soluzioni non banali 6 se e solo se il rango della matrice dei
coefficienti è inferiore al numero delle incognite. Poiché nel caso in esame la matrice è
quadrata questo significa che si dovrà avere:
det(A − λI) =0 (A.41)
5 Analoghe considerazioni si applicano allo spazio dei numeri reali, che si può considerare un sottospazio
di C 6 x = 0 è ovviamente soluzione dell’eq. (A.40), ma essa è priva di interesse e quindi denominata banale

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 101
Sviluppando il determinante si ottiene un polinomio di ordine n in λ, detto polinomio
caratteristico della matrice A; la condizione (A.41) è quindi un’equazione di grado n in λ,
del tipo:
λ n + p1λ n−1 + p2λ n−2 + ···+ pn =0 (A.42)
Per il teorema fondamentale dell’algebra l’eq. (A.42) ha sempre n soluzioni (radici), reali
o complesse, qualcuna delle quali può avere molteplicità maggiore di 1. Se si indica con λk
una delle m ≤ n radici distinte dell’eq. (A.42) e con rk ≥ 1 la sua molteplicità, l’eq (A.42)
èequivalentea:
mY
(λ − λk) rk =0 (A.43)
k=1
Se λk è una soluzione dell’eq. (A.42), il sistema di equazioni che si ottiene sostituendo
λk a λ nella (A.40) ammette almeno una soluzione non banale.
Se gli autovalori di A sono tutti distinti (cioè se l’equazione caratteristica ha n soluzioni
di molteplicità uno), come si è già visto gli autovettori di A sono linearmente indipendenti:
pertanto con essi si può costruire una base di Vn. In questa base la matrice Φ costruita
con le componenti degli autovettori coincide con la matrice unità. Ora poiché l’eq. (A.39),
scritta per tutti gli autovettori, si può mettere nella forma:
A · Φ = Φ · Λ (A.44)
in cui Λ è la matrice diagonale degli autovettori, se Φ = I, dall’eq.(A.44) segue che A = Λ;
in altre parole si può dire che, nel riferimento che ha per base gli autovettori dell’operatore
A, la matrice ad esso associata è diagonale e coincide con la matrice Λ costruita con i suoi
autovalori, che per ipotesi sono tutti diversi.
La matrice di trasformazione da una base arbitraria E a quella degli autovettori è
evidentemente costituita dalle componenti degli autovettori su questa base; infatti dall’eq.
(A.44) si deduce:
Φ −1 · A · Φ = Λ (A.45)
ovvero, inversamente, si può passare dalla base degli autovettori ad un’altra base E
mediante la trasformazione inversa:
A.11.1 Autovalori multipli, triangolarizzazione
Φ · Λ · Φ −1 = A (A.46)
Se una matrice ha qualche autovalore di molteplicità maggiore di uno non è più garantita
l’esistenza di n autovettori distinti; pertanto non è in generale sempre possibile porre la
matrice nella forma diagonale Λ. Tuttavia è almeno sempre possibile determinare una
trasformazione unitaria che renda la matrice triangolare superiore; anche in questo caso i
termini sulla diagonale principale sono gli autovalori della matrice.
Per dimostrare la precedente affermazione si osservi che una matrice ha sempre almeno
un autovettore; si costruisce allora una base ortonormale in Vn formata con l’autovettore
φ di A econaltrin − 1 vettori ortonormali, ma per altro arbitrari.

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 102
In questa base la prima colonna di A ha tutti i termini nulli, eccetto il primo, che ha il
valore dell’autovalore λ1 associato all’auovettore φ. Infatti in questa base φ ha componenti
[1 00...0] e quindi si dovrà avere:
⎡ ⎤
a11
⎢
⎢a21
⎥
A · φ = ⎢ ⎥
⎣ . ⎦ = λ1φ
⎡ ⎤
1
⎢
⎢0
⎥
= λ1 ⎢ ⎥
⎣.
⎦
0
da cui appare evidente che si avrà
an1
a11 = λ1 aj1 =0 (j =2...n)
La matrice di trasformazione U1 che proietta la matrice in questo riferimento è ovviamente
formata con le componenti dell’autovettore φ e degli altri vettori ortogonali.
Se ora si considera la matrice (n − 1 × n − 1) A1, ottenuta da A eliminandone le prime
riga e colonna, anche questa matrice avrà almeno un autovettore e quindi si potrà costruire
una base di Vn−1 in cui sono nulli tutti i termini della prima colonna di A1, escluso il
primo. La matrice di trasformazione può essere aumentata in Vn, aggiungendovi il vettore
[1 0 ... 0] T e ponendo uguali a zero le componenti dei vettori di Vn−1 su φ. Questamatrice
di trasformazione U2 è ancora unitaria e quindi tale è anche la trasormazione prodotto
U1 · U2; infatti:
(U1 · U2) ∗ · (U1 · U2) =U ∗ 2 · U ∗ 1 · U1 · U2
Iterando il procedimento alle sottomatrici (n−2×n−2) ...2×2 che via via si formano,
si perviene quindi a costruire una trasformazione ortonormale:
U1 · U2 ···Un−1
che trasforma una generica matrice A in una matrice triangolare superiore, i cui termini
sulla diagonale principale sono gli autovalori di A.
Esempio A.1 La matrice (3 × 3):
⎡
3
A = ⎣0 −2
5
⎤
2
−1⎦
0 4 1
ha l’autovalore triplo λ =3e non può essere diagonalizzata. Si cerca quindi la trasformazione
ortonormale che triangolarizza A. Poiché la prima colonna di A è già nella forma desiderata,
la prima trasformazione sarà la trasformazione identica; quindi: U1 = I. Si considera allora la
sottomatrice (2 × 2):
A1 =
· ¸
5 −1
4 1
che ha l’autovalore doppio λ =3e l’autovettore φ1 =[1/ √ 52/ √ 5] T ; si costruisce quindi la base
ortonormale: · √
1 5
2/
√
2/ 5
√ 5 −1/ √ ¸
5
con cui si forma la trasformazione ortonormale U2:
⎡
1
U2 = ⎣0
0
1/
0
√ 5 2/ √ 0 2/
5
√ 5 −1/ √ ⎤
⎦
5

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 103
Applicando ad A questa trasformazione se ne ottiene la forma triangolare, i termini diagonali
essendo i suoi autovalori:
U T ⎡
· A · U = ⎣ 3 2/√5 −6/ √ 0 3
⎤
5
5 ⎦
0 0 3
2
A.11.2 Matrici simmetriche; ortogonalità degli autovettori
Come si è già detto una matrice si dice hermitiana se essa coincide con la matrice dell’operatore
aggiunto, cioè con la matrice coniugata della trasposta : A = AT . La matrice
trasposta coniugata si indica comunemente con il simbolo A∗ ;seAè reale la sua trasposta
coniugata coincide con la trasposta ed una matrice hermitiana e reale è simmetrica.
Una matrice hermitiana (in particolare simmetrica) si può sempre porre nella forma
diagonale. Questa proprietà consegue immediatamente dal fatto, dimostrato in precedenza,
che ogni matrice può essere posta in forma triangolare e che la proprietà di essere
hermitiana si conserva per una trasformazione unitaria; infatti in questo caso si ha:
(U ∗ · A · U) ∗ = U ∗ · A ∗ · U = U ∗ · A · U
dato che per ipotesi A ∗ = A. Poichè d’altra parte una matrice triangolare ed hermitiana
è ovviamente una matrice diagonale, ne consegue che le matrici hermitiane sono sempre
diagonalizzabili. La matrice ortonormale U della trasformazione che la triangolarizza (e
quindi la diagonalizza) è allora la matrice dei suoi autovalori. Da questo segue dunque
immediatamente come corollario che gli autovettori di una matrice hermitiana formano
una base ortogonale.
Un’ulteriore proprietà delle matrici hermitiane è che i loro autovalori sono sempre
reali. Infatti se A è una matrice hermitiana, φ un suo autovettore e λ il corrispondente
autovalore si ha:
A · φ = λφ
quindi, moltiplicando entrambi i membri dell’equazione a sinistra per φ ∗ , si ottiene:
φ ∗ · A · φ = λφ ∗ · φ (A.47)
Prendendo il trasposto-coniugato 7 dei due membri dell’eq.(A.47):
φ ∗ · A ∗ · φ = λφ ∗ · φ (A.48)
dal confronto tra le equazioni (A.47) e (A.48), tenendo conto che per ipotesi A ∗ = A, ne
consegue che deve risultare λ = λ, ilchesignifica che λ è reale. In particolare se la matrice
A è reale e simmetrica, anche gli autovettori φ sono reali.
7 Èfacileverificare che (A ∗ · B) ∗ = B ∗ · A. Infatti:
(A T B) T = B T A = B T · A

A.11 Autovalore ed autovettori di una matrice 104
A.11.3 Autovalori ed autovettori generalizzati di due matrici
Se A e B sono due operatori lineari in Vn ed A e B le corrispondenti matrici in una
opportuna base E, l’equazione (A.39) può essere generalizzata nel modo seguente:
A · x = λB · x (A.49)
Se l’operatore B è invertibile, in modo che esista la matrice inversa di B, allora
l’eq. (A.49) è equivalente a:
B −1 · A · x = λx
che è equivalente alla (A.39), ove si sostituisca A con B −1 · A.
Se A e B sono matrici hermitiane, la matrice B −1 ·A nonloè;pertantononèpossibile
direttamente estendere le proprietà delle matrici hermitiane (autovalori reali, esistenza in
ogni caso della trasformazione diagonale, ecc.). Tuttavia, se B è hermitiana, non singolare
edefinita positiva, allora esiste almeno una decomposizione per B, comeilprodottodi
una matrice per la sua aggiunta:
B = C ∗ · C (A.50)
in cui C è una matrice non singolare. Sostituendo la (A.50) nella (A.49) e ponendo:
si ha:
A · C −1 · y = λC ∗ · y
che, moltiplicata a sinistra per (C−1 ) ∗ diviene:
y = C · x x = C −1 · y (A.51)
(C −1 ) ∗ · A · C −1 · y = λy (A.52)
L’eq. (A.52) è ora nella forma standard (A.49) ed inoltre la matrice (C −1 ) ∗ · A · C −1
è ancora hermitiana, se lo è A. Si può dunque concludere che se B è hermitiana, non
singolare e definita positiva, esiste una trasformazione che pone il problema degli autovalori
nella forma standard conservando la proprietà di A di essere hermitiana. Questo consente
di estendere all’eq. (A.49), quando A e B sono hermitiane, tutte le proprietà dimostrate
per gli autovalori e gli autovettori di una matrice hermitiana, relativamente al problema
standard (A.39).
Se si indica con Y la matrice degli autovettori di (C −1 ) ∗ · A · C −1 ,allorasiha:
Y ∗ · (C −1 ) ∗ · A · C −1 · Y = Λ (A.53)
in cui Λ è la matrice diagonale degli autovalori di A. Ponendo ora:
l’equazione (A.53) diviene:
X = C −1 Y
X ∗ · A · X = Λ (A.54)
ciò dimostra che X diagonalizza la matrice A.
Tenendo conto della posizione (A.50) e del fatto che Y è ortonormale, si verifica anche
con facilità che:
X ∗ · B · X = Y ∗ · (C −1 ) ∗ · (C ∗ · C) · C −1 · Y = Y ∗ · Y = I
cioè la trasformazione X diagonalizza anche la matrice B, trsformandola nella matrice
unità.