Capitolo 9 - Dipartimento di Fisica e Astronomia

Capitolo 9 

PROPAGAZIONE DEGLI 

ERRORI 

La misura della grandezza fisica è generalmente accompagnata dalla stima 

dell’errore ad essa associato. Sappiamo come stimare l’errore nel caso di una 

misura diretta, ma che cosa accade quando la grandezza fisica in esame è 

legata matematicamente ad una o più altre grandezze, ciascuna con il proprio 

errore? Si consideri ad esempio l’equazione del moto uniforme: 

s = v t (9.1) 

Supponiamo di voler misurare la velocità media di un corpo: 

v = s 

(9.2) 

t 

Entrambe le grandezze s e t sono misurate con una certo errore ∆s e ∆t. 

Che errore ∆v dovremo associare alla velocità? In che modo gli errori delle 

grandezze coinvolte si ripercuotono sull’errore della quantità che vogliamo 

determinare? 

Possiamo affermare quindi che nella maggior parte dei casi lo sperimentatore 

utilizza un metodo di misura indiretto: il valore della grandezza fisica 

deriva da misure di altre grandezze, misurate o direttamente o con strumenti 

tarati, legate ad essa da una qualche relazione funzionale. 

Vediamo un esempio semplice: 

Vogliamo calcolare l’area di una superficie S rettangolare conoscendo i 

suoi lati a e b e vedere come si propagano gli errori ∆a e ∆b. 

Se S = a b, l’errore massimo che possiamo compiere su S è dato da: 

S + ∆S = (a + ∆a) (b + ∆b) = a b + a ∆b + b ∆a + ∆ a∆b (9.3) 

89

90 CAPITOLO 9. PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI 

Se ∆a ≪ a e ∆b ≪ b allora il termine ∆a ∆b è piccolo rispetto agli altri 

termini e si può trascurare, cioè se ci fermiamo ai termini al primo ordine 

possiamo scrivere: 

∆S = a ∆b + b ∆a (9.4) 

Vediamo adesso in dettaglio come si propagano gli errori in vari sottocasi, 

supponendo di aver misurato una o più grandezze a, b, c,... aventi errori ∆a, 

∆b, ∆c, ... Chiamiamo x la quantità di cui vogliamo ottenere la misura e 

l’indeterminazione per via indiretta. 

9.1 Somme e differenze 

Sia x = a+b. Il più alto valore probabile di a è a+∆a, mentre di b è b+∆b, 

quindi il più alto valore probabile per x sarà: 

x + ∆x = (a + ∆a) + (b + ∆b) = (a + b) + (∆a + ∆b) 

Mentre il più basso sarà: 

x − ∆x = (a − ∆a) + (b − ∆b) = (a + b) − (∆a + ∆b) 

da cui ricaviamo che: 

∆x = ∆a + ∆b 

Analogamente, nel caso x = a − b, il più alto valore probabile per x sarà: 

x + ∆x = (a + ∆a) − (b − ∆b) = (a − b) + (∆a + ∆b) 

Mentre il più basso sarà: 

x − ∆x = (a − ∆a) − (b + ∆b) = (a − b) − (∆a + ∆b) 

da cui ricaviamo ancora che: 

∆x = ∆a + ∆b 

Quindi, generalizzando possiamo dire che: 

l’errore massimo associato a una grandezza fisica che è il risultato della 

somma, o della differenza o di una combinazione di esse, fra due o più grandezze, 

ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli 

errori delle singole grandezze. 

x = a + b − c + .... (9.5) 

∆x = ∆a + ∆b + ∆c + .... (9.6)

9.2. PRODOTTI E QUOZIENTI 91 

9.2 Prodotti e quozienti 

Sia x = a b. Come prima, il più alto valore probabile di a è a + ∆a, mentre 

di b è b + ∆b, quindi il più alto valore probabile per x sarà: 

x + ∆x = (a + ∆a) (b + ∆b) = a b + a ∆b + b ∆a + ∆a ∆b 

Nell’ipotesi che ∆a ≪ a e ∆b ≪ b, possiamo ragionevolmente assumere 

che ∆a ∆b si possa trascurare. 

Da cui ricaviamo che: 

∆x = a ∆b + b ∆a 

Conviene in questo caso introdurre il concetto di errore relativo ∆x/x: 

∆x a ∆b + b ∆a 

= = 

x a b 

∆a 

a 

In realtà la notazione corretta è la seguente: 

∆x 

|x| 

= a ∆b + b ∆a 

a b 

= ∆a 

|a| 

+ ∆b 

b 

+ ∆b 

|b| 

questo perché l’errore relativo deve essere comunque una quantità positiva, 

a prescindere dal valore della grandezza fisica a cui è associato. 

Nel caso in cui x = a/b, il più alto valore probabile per x sarà: 

a + ∆a 

x + ∆x = 

b − ∆b 

Introducendo anche qui l’errore relativo si ha: 

x + ∆x = a 

b 

1 + ∆a 

|a| 

1 − ∆b 

|b| 

Moltiplicando numeratore e denominatore per 1 + ∆b 

, e trascurando i 

|b| 

termini (∆b/|b|) 2 e (∆a/|a|)(∆b/|b|), si ottiene: 

x + ∆x = a ∆a ∆b 

(1 + + 

b |a| |b| ) 

Sviluppando questa relazione si ricava: 

1 + ∆x 

|x| 

= 1 + ∆a 

|a| 

+ ∆b 

|b|


E infine: 

∆x 

|x| 

= ∆a 

|a| 

+ ∆b 

|b| 

Quindi, generalizzando possiamo dire che: 

l’errore relativo associato a una grandezza fisica che è il risultato del prodotto, 

o del quoziente o di una combinazione di essi, fra due o più grandezze, 

ciascuna misurata con la propria incertezza, si ottiene sommando gli errori 

relativi delle singole grandezze. 

∆x 

|x| 

= ∆a 

|a| 

x = 

+ ∆b 

|b| 

a b 

c d 

+ ∆c 

|c| 

+ ∆d 

|d| 

9.3 Prodotto per una costante 

(9.7) 

(9.8) 

Consideriamo adesso il caso in cui la grandezza di cui vogliamo stimare l’errore 

sia il risultato del prodotto di un’altra grandezza che misuriamo con una 

costante priva di indeterminazione. Sia cioè: x = k b, con k costante. 

Utilizziamo la formula trovata nella sezione precedente: 

∆x 

|x| 

= ∆k 

|k| 

+ ∆b 

|b| 

Poiché k non ha un errore associato, la quantità ∆k = 0. Quindi: 

E infine: 

9.4 Potenza 

∆x 

|x| 

= ∆b 

|b| 

∆x = |k| ∆b 

Consideriamo infine il caso in cui la grandezza di cui vogliamo determinare 

l’incertezza è legata alla grandezza misurata, o alle grandezze misurate, da 

una legge di potenza. Sia cioè: x = a n . 

E’ sufficiente scrivere la precedente espressione nella forma: 

x = a1 a2 a3 ... an

9.5. CASO GENERALE 93 

con 

Per cui, l’errore è dato da: 

a1 = a2 = a3 = ... = an = a 

∆x 

|x| 

= n ∆a 

|a| 

Nel caso di espressioni più complesse che includono prodotti di potenze 

di più variabili, come ad esempio: 

x = a n b k 

si applica una combinazione della regola del prodotto e della potenza, 

cioè: 

∆x 

|x| 

9.5 Caso generale 

= |n|∆a 

|a| 

+ |k|∆b 

|b| 

Supponiamo di aver misurato una grandezza x0 e aver determinato il suo 

errore ∆x. Ora vogliamo sapere come si propagherà l’incertezza di x0 sulla 

grandezza y = f(x). 

f( x +∆x) 

0 

f( x ) 

0 

f( 

x −∆x) 

0 

x −∆x 

0 

x x + ∆x 

Il più grande valore probabile di x0 è x0+∆x, mentre il più piccolo valore 

probabile è x0 − ∆x. Dal grafico si può facilmente vedere che il più grande 

e il più piccolo valore probabile di y saranno f(x0 + ∆x) e f(x0 − ∆x). 

Se l’errore ∆x è sufficientemente piccolo rispetto a x0, allora il tratto 

di curva compreso fra x0 − ∆x e x0 + ∆x si può approssimare con la retta 

0 

0


tangente in x0 e assumere che, essendo uguale l’ampiezza degli intervalli 

[x0 − ∆x, x0] e [x0, x0 + ∆x] : 

f(x0 + ∆x) − f(x0) = ∆f 

f(x0) − f(x0 − ∆x) = ∆f 

Da cui, sommando membro a membro, si ricava che l’indeterminazione 

da associare alla funzione y è: 

ossia: 

f(x0 + ∆x) − f(x0 − ∆x) = 2∆f 

∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0 − ∆x) 

2 

Poiché in generale f(x0+∆x) e f(x0 −∆x) sono spesso incogniti o difficili 

da derivare, si deve ricorrere a qualche approssimazione. Consideriamo quindi 

l’espressione: 

∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0) 

Essendo ∆x piccolo, possiamo espandere la funzione y in serie di Taylor 

al primo ordine e scrivere: 

f(x0 + ∆x) = f(x0) + df 

 

 

 

dx 

E quindi: 

x=x0 

(x0 + ∆x − x0) = f(x0) + df 

 

 

 

dx 

∆f = df 

 

 

 

dx 

x=x0 

∆x 

x=x0 

cioè per trovare l’errore associato alla funzione y = f(x) dobbiamo calcolare 

la derivata df 

e moltiplicarla per l’errore ∆x. Resta inteso che la 

dx 

derivata df 

deve essere non nulla o prossima a zero per x = x0. 

dx 

Si faccia inoltre attenzione che non necessariamente (x+∆x) > (x −∆x) 

implica f(x + ∆x) > f(x − ∆x). Nel caso in cui la pendenza della retta sia 

negativa, si avrà: 

∆f = − df 

 

 

∆x 

dx 

x=x0 

∆x

9.5. CASO GENERALE 95 

E quindi generalizzando: 

 

 

∆f = 

df 

 

dx 

x=x0 

Se adesso la grandezza y è funzione di k grandezze xj misurate direttamente, 

cioè y = f(x1, x2, · · · xk), allora dovremo fare uso del concetto di 

differenziale di una funzione di più variabili: per variazioni infinitesime dxj 

la variazione di y è data dal differenziale di f(x): 

df = 

j=1 

∆x 

k ∂f 

dxj 

∂xj 

Se gli errori ∆xj sono sufficientemente piccoli da giustificare l’approssimazione 

lineare e le derivate sono non nulle, l’errore massimo di y è dato 

dal differenziale della funzione f(x1, x2, · · · xk), prendendo i moduli delle 

derivate: 

∆f = 

k 

 

 

 

∂f 

 

∂xj 

j=1 

xj=xjo 

∆xj 

La propagazione degli errori massimi mediante l’uso del differenziale si 

basa sull’assunzione che le variazioni infinitesime delle variabili siano date dai 

rispettivi errori. Poiché si vuole stimare l’errore massimo per y è opportuno 

sommare tutti i termini coerentemente, ovvero si prendono i moduli delle 

derivate parziali. Di solito viene considerato l’errore massimo nei casi in cui: 

(1) il metodo di misura sia grossolano, la ripetizione delle misure porti sempre 

allo stesso risultato entro l’errore di sensibilità dello strumento o del metodo; 

(2) non ci sia stata la possibilità di ripetere un numero sufficientemente alto 

di misure (n ≥ 10) per poter stimare l’errore quadratico medio; (3) si possa 

approssimare ∆f(x) ≈ 3 σf(x) per n ≥ 10.


9.6 Esempi in fisica 

9.6.1 Legge di Snell 

n1 

n2 

i 

Quando un fascio di luce attraversa due mezzi aventi indice di rifrazione 

diverso, subisce una deviazione nella sua direzione di propagazione, secondo 

la famosa Legge di Snell: 

n1 sin i = n2 sin r 

Dove n1 e n2 sono gli indici di rifrazione dei due mezzi, i è l’angolo di 

incidenza e r è l’angolo di rifrazione, entrambi misurati rispetto alla verticale 

alla superficie di separazione dei due mezzi. Se assumiamo che il primo mezzo 

sia l’aria, allora n1 = 1, e possiamo calcolare n2 = n misurando i due angoli 

i ed r: 

n = 

r 

sin i 

sin r 

Alla misura di questi angoli sarà associato un errore, rispettivamente ∆i 

e ∆r. Applicando la formula generale della propagazione degli errori, si 

ottiene: 

Da cui: 

 

 

∆n = 

∂n 

 

 

∂i ∆i + 

∂n 

 

∂r ∆r

9.6. ESEMPI IN FISICA 97 

 

 

∆n = 

1 

sin 

r 

∂sin i 

∂i 

 

 

∆n = 

cos i 

 

sin 

r∆i 

+ 

 

 

 

 

∆i + 

∂ 1 

sin i 

∂r sin r∆r 

− sin i cos r 

(sin r) 2 

 

 

 

∆r Dividendo ambo i membri per n si ricava l’errore relativo: 

∆n 

n = 

 

 

 

∆i 

 

tan 

i 

+ 

 

 

 

∆r 

 

tan 

r 

È possibile raggiungere il medesimo risultato applicando l’espressione della 

propagazione degli errori nel caso del quoziente. Si scriva X = sin i e 

Y = sin r, allora sarà: 

e l’errore relativo sarà: 

n = X 

Y 

∆n 

n = 

 

 

 

∆X 

 

X + 

 

 

 

∆Y 

Y 

Poiché X e Y non sono quantità misurate direttamente ma ottenute 

da funzioni delle quantità misurate i e r, le espressioni per ∆X e ∆Y si 

otterranno differenziando X e Y : 

Da cui: 

E infine: 

∆X = 

∆Y = 

 

 

 

 

d sin i 

∆i = cos i ∆i 

d i 

d sin r 

∆r = cos r ∆r 

d r 

∆n 

n = 

 

 

 

cos i ∆i 

 

sin i + 

 

 

 

cos r ∆r 

 

sin r 

∆n 

n = 

 

 

 

∆i 

 

tan 

i 

+ 

 

 

 

∆r 

 

tan 

r


9.6.2 Legge dei punti coniugati 

Consideriamo un sistema ottico, ad esempio una lente convergente sottile di 

lunghezza focale f non conosciuta, e poniamo da un lato una sorgente luminosa 

a una distanza p dal centro della lente. La lente formerà un’immagine 

dall’altro lato ad una distanza q dal centro. 

p 

Le tre quantità in gioco sono legate dalla legge dei punti coniugati: 

f 

1 1 1 

+ = 

p q f 

Vogliamo determinare la focale f e il suo errore ∆f, noti p±∆p e q ±∆q. 

Conviene scrivere l’espressione per la lunghezza focale nel modo seguente: 

Sarà quindi: 

f = pq 

p + q 

q 

 

 

∆f = 

∂f 

 

∂p 

∆p + 

∂f 

 

∂q ∆q Ora, la derivata parziale di f rispetto a p vale: 

∂f 

∂p 

(p + q)∂(pq) 

p 

= 

− (pq)∂(p+q) 

p 

(p + q) 2 

Mentre la derivata parziale di f rispetto a q vale: 

∂f 

∂q = 

p 2 

(p + q) 2 

= 

q 2 

(p + q) 2 

E quindi sostituendo e calcolando l’errore relativo si ottiene:

9.6. ESEMPI IN FISICA 99 

∆f 

f = 

 

 

 

 

q 

 

∆p 

 

p 

+ q 

p + 

 

 

 

 

p 

 

∆q 

 

p 

+ q 

q 

Poiché p, q e f sono tutte quantità positive il modulo non è necessario, e 

si può scrivere: 

da cui si ottiene: 

∆f 

f 

q + p − p ∆p p + q − q ∆q 

= + 

p + q p p + q q 

∆f 

f 

= ∆p 

p 

+ ∆q 

q 

− ∆p + ∆q 

p + q 

Proviamo ora a vedere cosa accade se poniamo X = pq e Y = p + q. In 

questo caso: 

∆f 

f = 

 

 

 

∆X 

 

X + 

 

 

 

∆Y 

 

Y 

Per ottenere ∆X e ∆Y bisogna differenziare le loro espressioni: 

Da cui si ha: 

∆X = q∆p + p∆q 

∆Y = ∆p + ∆q 

∆f 

f = 

 

 

 

q∆p + p∆q 

 

pq + 

 

 

 

∆p + ∆q 

 

p + q 

∆f 

f = 

 

 

 

∆p 

 

p + 

 

 

 

∆q 

 

q + 

 

 

 

∆p + ∆q 

 

p + q 

Di nuovo, essendo le variabili tutte quantità positive i moduli si possono 

eliminare. Si può verificare agevolmente che quest’ultima espressione non 

coincide con quella ottenuta applicando la formula generale per la propagazione 

degli errori! Questo accade perché le stesse variabili si presentano 

sia al numeratore che al denominatore e quindi variazioni ∆p o ∆q agiscono 

contemporaneamente e possono produrre un effetto compensativo. Di conseguenza, 

in questi casi particolari, utilizzare il metodo appena esposto produce 

una sovrastima dell’errore e quindi non è consigliabile.


9.7 Esempi in astrofisica 

9.7.1 Flusso e magnitudine 

La magnitudine di una stella è legata al flusso di energia misurato dall’osservatore 

dalla seguente espressione: 

m = m0 − 2.5 log10f 

dove m è la magnitudine, m0 è una costante e f è il flusso di energia 

emesso dalla stella considerata. Il flusso viene misurato integrando il segnale 

luminoso registrato su un rivelatore (CCD, lastra fotografica) all’interno di 

un’apertura di raggio alcuni secondi d’arco. Al variare dell’apertura scelta, 

varia anche il flusso di energia in essa contenuto. Le fluttuazioni casuali 

del segnale, che chiamiamo rumore, introducono significative incertezze nella 

misura del flusso. 

Se misuriamo più volte il flusso della stella in esame, oppure se consideriamo 

più immagini della stessa stella e in ognuna di essere misuriamo il 

flusso, possiamo stimare l’incertezza ∆f. 

Come si traduce questa incertezza in termini di magnitudine, ∆m ? 

Applichiamo le formule viste prima: 

 

 

∆m = 

dm 

 

df ∆f

9.7. ESEMPI IN ASTROFISICA 101 

 

 

∆m = 

d 

df 

(m0 

 

 

− 2.5 log10f) 

∆f 

 

 

∆m = 

d 

 

df m0 

 

 

 

∆f + 2.5 

d 

df 

log10f 

 

 

 

∆f Convertendo il logaritmo decimale in logaritmo naturale, e considerando 

che m0 è una costante, si ha: 

∆m = 2.5 

ln10 

 

 

 

d 

df 

lnf 

 

 

 

∆f 

∆m = 1.086 ∆f 

f 

In questo caso, poiché f è una quantità sicuramente positiva, il modulo 

non è necessario. Un errore del 20% sulla misura del flusso, si traduce in 

circa 0.2 mag di errore. Si consideri che la tecnica dei transiti, utilizzata 

per identificare candidati pianeti extrasolari, ossia pianeti in orbita attorno 

a stelle diverse dal Sole, richiede una precisione dell’ordine del millesimo di 

magnitudine, che significa un errore nella misura del flusso dell’ordine dello 

0.1%. 

9.7.2 Flusso di una riga spettrale 

Supponiamo di osservare una nebulosa della Via Lattea attraverso un telescopio 

dotato di uno spettrografo. Lo spettro I(λ) risultante mostrerà una 

serie di righe spettrali in emissione che rappresentano la distribuzione di 

energia in funzione della lunghezze d’onda. Ogni riga spettrale corrisponde 

a un determinato salto di energia degli elettroni di un atomo o di una specie 

atomica.


Per ottenere il flusso di una riga bisogna integrare il suo profilo nella direzione 

delle lunghezze d’onda. Il profilo ha una forma che ricorda la funzione 

gaussiana e quindi si può usare l’approssimazione: 

f(λ0) = 

∞ 

−∞ 

I0e −(λ−λ 0 )2 

2σ 2 dλ 

dove λ0 è la lunghezza d’onda della riga spettrale considerata, I0 è l’intensità 

della riga a λ = λ0 e infine σ è un parametro che da’ la larghezza 

della riga. Il calcolo di questo integrale non è immediato, mentre il risultato 

è molto semplice: 

f(λ0) = √ 2πI0σ 

Il calcolo del flusso della riga è quindi funzione di due variabili, I0 e σ, 

ognuna delle quali sarà misurata con una certa incertezza, ∆I0 e ∆σ. 

Applicando la propagazione degli errori si ha: 

 

 

∆f = 

∂f 

 

∂I0 

∆I0 

 

+ 

∂f 

 

∂σ 

∆σ Da cui si ottiene: 

∆f = √ 2π∆I0 + √ 2πI0∆σ 

Dividendo ambo i membri per f si ha:


E infine: 

∆f 

f = 

√ 2πσ∆I0 + √ 2πI0∆σ 

√ 2πI0σ 

∆f 

f 

= ∆I0 

I0 

+ ∆σ 

σ 

Un errore del 10% nella misura di I0 e del 5% nella misura di σ si trasforma 

in un errore del 15% nel flusso della riga. Si tenga conto che errori relativi 

tipici nella misura dei flussi delle righe spettrali variano dal 5% al 20-30%. 

9.7.3 Rapporti di intensità fra righe spettrali 

In spettroscopia è usuale calcolare rapporti fra intensità delle righe spettrali 

misurate. Poiché ogni riga è accompagnata da un’incertezza, il rapporto 

fra due o più righe avrà a sua volta un’incertezza che si può facilmente 

calcolare applicando il metodo di propagazione degli errori. 

Supponiamo che il rapporto fra due righe spettrali di flusso f1 ± ∆f1 e 

f2 ± ∆f2 sia:


R1 = f1 

Allora, l’incertezza su R1 vale: 

 

∂R1 

 

∆R1 = 

∂f1 

∆f1 

∂R2 

 

+ 

∂f2 

∆f2 Da cui: 

E infine: 

f2 

 

∆f1 

 

∆R1 = 

+ 

 

 

 

 

∆R1 

R1 

f2 

− f1 

f 2 2 

 

 

∆f2 

 

 

 

∆f1 

 

= 

+ 

 

∆f2 

 

 

 

f1 

Anche in questo caso, poiché si stanno trattando grandezze positive, il 

modulo non è necessario. 

Nel caso in cui: 

R2 = f1 + f2 

L’incertezza su R2 vale: 

 

∂R2 

 

∆R2 = 

∂f1 

∆f1 

∂R2 

 

+ 

∂f2 

∆f2 

∂R2 

 

+ 

∂f3 

∆f3 ∆R2 = ∆f1 

∆R2 

R2 

f3 

9.7.4 Legge di Hubble 

+ ∆f2 

f3 

f3 

= ∆f1 + ∆f2 

f1 + f2 

f2 

+ f1 + f2 

f2 ∆f3 

3 

+ ∆f3 

f3 

Proviamo ad applicare la propagazione degli errori ad una delle leggi astronomiche 

più importanti e famose, la legge di Hubble: 

v = H0 d


Vogliamo calcolare la distanza d di una galassia e per farlo dobbiamo stimare 

la sua velocità di recessione v ± ∆v, sapendo che la costante di Hubble 

vale H0 = 72 ± 3 km s −1 Mpc −1 . Per farlo puntiamo un telescopio dotato 

di uno spettrografo nella direzione della galassia in esame e acquisiamo 

uno spettro, il quale per effetto dell’espansione dell’universo e quindi dell’allontanamento 

delle galassie dalla nostra posizione di osservatori, avrà le 

righe spettrali spostate a lunghezze d’onda maggiori rispetto al valore che 

avrebbero se questo allontanamento non ci fosse (redshift). 

Consideriamo una riga spettrale di lunghezza d’onda λ0, per effetto del 

redshift essa si troverà a lunghezza d’onda λ, con λ > λ0. Dalla misura 

della posizione della riga spettrale nello spettro della galassia osservata si 

determina il redshift z e la velocità di recessione: 

z = 

λ − λ0 

λ0 

v = c z 

con c velocità della luce. 

Quindi possiamo esprimere la distanza d in questi termini:


d = c 

H0 

λ 

λ0 

 

− 1 

Il valore della lunghezza d’onda misurata λ della riga spettrale in esame 

avrà una certa incertezza ∆λ, quindi l’errore sulla distanza sarà influenzato 

sia da ∆λ che da ∆H0. Applicando la propagazione degli errori si ottiene: 

 

 

∆d = 

∂d 

 

 

∂λ 

∆λ + 

∂d 

 

∂H0 

∆H0 

 

 

∆d = 

∂ c 

λ − 

∂λ H0λ0 

c 

 

 

∆λ + 

∂ c(λ − λ0) 

H0 

∂H0 

λ0 

 

 

∆d = 

 

c 

H0λ0 

E passando all’errore relativo: 

∆d 

d 

 

 

 

∆λ + 

 

− c(λ − λ0) 

λ0 

= ∆λ 

(λ − λ0) + ∆H0 

H0 

1 

H 2 0 

 

 

 

∆H0 1 

H0 

∆H0

9.8. PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI STATISTICI O QUADRATICI107 

Essendo l’errore su H0 relativamente piccolo, è facile capire che la principale 

sorgente di errore nella determinazione della distanza sta nella misura 

accurata delle posizioni delle righe spettrali. 

Possiamo arrivare allo stesso risultato ponendo d = X Y , dove X = c 

H0 e 

Y = ( λ − 1). λ0 

Infatti: 

∆X 

X 

∆d 

d = 

 

 

 

∆X 

 

X + 

 

 

 

∆Y 

Y 

= ∆c 

c 

+ ∆H0 

H0 

perché c è una costante priva di errore. 

Inoltre: 

e 

Quindi, concludendo: 

∆d 

d = 

∆Y = ∆λ 

∆Y 

Y 

λ0 

= ∆λ 

λ − λ0 

 

 

 

 

= ∆H0 

H0 

 

∆H0 

 

 

H0 

+ 

 

 

 

∆λ 

 

λ 

− λ0 

 

9.8 Propagazione degli errori statistici o quadratici 

9.8.1 Caso 1 

Supponiamo di voler calcolare una grandezza fisica y che sia funzione di una 

sola grandezza x misurata direttamente. Sia cioè: y = f(x). 

Effettuiamo adesso n misure dirette, indipendenti e nelle stesse condizioni 

della grandezza x, dalle quali poi calcoliamo la media aritmetica ¯x e 

lo scarto quadratico medio σ(x). Qual è la miglior stima per f(x) e quale 

indeterminazione dobbiamo associare?


In corrispondenza alle n misure dirette xi si hanno n valori di y = 

y1, y2, · · ·yn = f(x1), f(x2), · · ·f(xn), con valore medio: 

n i=1 ¯y = 

f(xi) 

n 

Ricordiamo che una funzione f(x) si può sviluppare in serie di Taylor 

nell’intorno di un punto x0 arbitrario: 

f(x) = f(x0) + df 

 

 

 

dx 

x=x0 

(x − x0) + 1 d 

2 

2f dx2 

 

 

x=x0 

(x − x0) 2 + · · · 

Particolarizziamo lo sviluppo in serie ad un intorno del punto ¯x e trascuriamo 

i termini di ordine superiore al primo. Otteniamo così: 

yi = f(xi) ≃ f(¯x) + df 

 

 

(xi − ¯x) 

dx 

x=¯x 

Ciò può essere fatto per ogni misura diretta della variabile xi. La media 

aritmetica delle quantità yi può essere scritta nella forma: 

 

df 

nf(¯x) + n 

dx x=¯x i=1 

¯y = (xi − ¯x) 

n 

Poiché la somma degli scarti rispetto alla media è nulla, cioè 

Si ottiene: 

n 

(xi − ¯x) = 0 

i=1 

¯y = f(¯x) 

cioè il valor medio di una funzione coincide con il valore della funzione in 

corrispondenza al valore medio dell’argomento. Tale risultato è valido solo 

approssimativamente, dato che nello sviluppo in serie di Taylor sono stati 

trascurati i termini di grado superiore al primo. I termini dello sviluppo in 

serie contengono le potenze (xi − ¯x) i , quindi poterli trascurare è giustificato 

se gli errori delle misure dirette sono piccoli. Il risultato è valido esattamente 

se la funzione y dipende linearmente dalle altre grandezze. 

Calcoliamo adesso lo scarto quadratico medio di y:


= 

= 

i=1 

σ 2 (y) = 

n 

[f(xi) − f(¯x)] 2 

i=1 

n 

 

f(¯x) + df 

 

 

 

dx 

n 

i=1 

x=¯x 

n − 1 

n − 1 

 

2x=¯x df 

(xi − ¯x) 

dx 

2 

n − 1 

Quindi lo scarto quadratico medio risulta: 

= 

2 (xi − ¯x) − f(¯x) 

= 

 

 

σ[f(x)] = 

df 

 

dx 

σ(x) 

= 

2 df 

σ 

dx 

2 (x) 

Risultato formalmente identico a quello trovato per gli errori massimi, 

sostituendo σ(x) al posto di ∆x. 

Vediamo di seguito alcune applicazioni di uso frequente. 

• Moltiplicazione per una costante: y = α x 

• Logaritmo naturale: y = ln(x) 

• Elevamento a potenza: y = x α 

σ 2 (y) = α 2 (x) σ 2 (x) → σ(y) = |α| σ(x) 

σ 2 (y) = σ2 (x) σ(x) 

→ σ(y) = 

x2 x 

σ2 (y) 

y2 = α2σ2 (x) σ(y) 

→ 

x2 y 

= |α|σ(x) 

x


9.8.2 Caso 2 

Consideriamo adesso un caso più generale, cioè sia y = f(x1, x2, · · ·xk), una 

funzione di k grandezze misurate direttamente ed affette da errori accidentali, 

di entità σ1, σ2, · · ·σk. Siamo in una situazione diversa rispetto agli errori 

massimi. In quest’ultimo caso era sufficiente sommare coerentemente tutti i 

contributi, presi in modulo. Nel caso degli errori accidentali ad ogni misura 

essi si combinano in modo imprevedibile, potendo portare anche ad una 

parziale o totale compensazione. 

Ripetendo n misure dirette per le k variabili si ottiene una distribuzione 

di valori di y, data da tutte le possibili combinazioni degli errori accidentali 

sulle xj. Tale distribuzione è rappresentata da un istogramma di frequenza, 

con valori di y più frequenti di altri corrispondenti alle combinazioni più 

frequenti di errori, e con larghezza determinata oltre che dall’entità dei ∆xj 

anche dalle modalità di dette combinazioni. 

Calcoliamo adesso il valore medio. 

Sia y = f(x1, x2, · · ·xk) e si effettuino n misure per ciascuna delle k 

variabili. Sia inoltre xji la misura i-esima della variabile j-esima. 

Analogamente al caso di una sola variabile sviluppiamo in serie di Taylor 

arrestandoci al termine di primo grado: 

¯y = 

f(x1i, x2i, · · ·xki) = f(¯x1, ¯x2, · · · ¯xk) + 

k 

 

∂f 

j=1 

∂xj 

xj=¯xj 

Quindi, dalla definizione di valore medio di y si ottiene: 

n 

f(x1i, x2i, · · ·xki) 

i=1 

n 

= 

n f(¯x1, ¯x2, · · · ¯xk) + 

n 

i=1 

j=1 

n 

k 

 

∂f 

∂xj 

(xji − ¯xj) 

x=¯x 


Dalla proprietà della media aritmetica per cui la somma degli scarti è 

identicamente nulla, 

otteniamo: 

n 

(xji − ¯xj) = 0; ∀ j = 1, 2, · · ·k 

i=1


¯y = f(¯x1, ¯x2, · · · ¯xk) 

Calcoliamo ora lo scarto quadratico medio. 

Espandiamo la i-esima determinazione yi in serie di Taylor nell’intorno 

del valore medio ¯y arrestata ai termini di primo ordine (approssimazione di 

linearità): 

= 

yi = f(x1i, x2i, · · ·xki) = f(¯x1, ¯x2, · · · ¯xk) + 

k 

 

∂f 

j=1 

Valutiamo lo scarto i-esimo rispetto alla media: 

yi − ¯y = 

k 

 

∂f 

j=1 

Calcoliamo la varianza di y: 

n 

 

k 

∂f 

i=1 

j=1 

∂xj 

σ 2 (y) = 

2 

σ 2 (y) = 

i=1 

j=1 

∂xj 

xj=¯xj 

n 

(yi − ¯y) 2 

i=1 

n − 1 

∂xj 


n 

 

k 

∂f 


∂xj 

 

(xji − ¯xj) 2 k−1 

+ 2 

n − 1 

k 

l=1 m=l+1 

n − 1 

2 

= 

xj=¯xj 


 

 

∂f ∂f 

(xli − ¯xl)(xmi − ¯xm) 

∂xl ∂xm 

Si può vedere che σ(y) 2 è dato dalla somma di due componenti, la prima 

contenente termini quadratici del tipo (xji − ¯xj) 2 , la seconda contenente 

termini misti del tipo (xli −¯xl)(xmi −¯xm). La prima parte può essere riscritta 

come: 

k 

2 n 

∂f 

j=1 

∂xj 

i=1 

(xji − ¯xj) 2 

n − 1


Quindi si può scrivere: 

σ 2 (y) = 

k 

 

∂f 

j=1 

∂xj 

2 

σ 2 (xj) 

a cui vanno aggiunti termini misti contenenti i prodotti 

 

∂f ∂f 

(xli − ¯xl)(xmi − ¯xm) 

∂xl ∂xm 

detti termini di covarianza. 

Si dimostra che se le variabili sono indipendenti i termini di covarianza 

sono piccoli e tendono a zero quando il numero di misure tende all’infinito. In 

queste condizioni la legge di propagazione degli errori quadratici o statistici 

diventa: 

σ 2 (y) = 

k 

 

∂f 

j=1 

∂xj 

2 

σ 2 (xj) 

Quindi in pratica si effettua la somma in quadratura dei prodotti delle 

derivate parziali per gli errori statistici delle singole variabili. 

Ricordiamo che tale trattazione approssimata vale quando: (1) le misure 

dirette sono affette da errori sufficientemente piccoli da legittimare la 

linearizzazione della grandezza y (sviluppo in serie di Taylor arrestato al 

primo ordine); (2) le grandezze misurate direttamente siano variabili indipendenti, 

cioè se in pratica non vi è influenza reciproca tra le misure delle 

diverse grandezze. Il procedimento è esatto nel caso in cui la grandezza y sia 

combinazione lineare di varibili indipendenti. 

Vediamo di seguito alcune applicazioni di uso frequente. 

• Somma o differenza : g = x ± y 

σ 2 (g) = σ 2 (x) + σ 2 (y) 

• Combinazioni lineari: g = ±a · x ± b · y ± · · · 

σ 2 (g) = a 2 · σ 2 (x) + b 2 · σ 2 (y) + · · · 

• Moltiplicazione o divisione: g = x · y o g = x/y 

passando ai logaritmi ln(g) = ln(x) ± ln(y) e differenziando


σ2 (g) 

¯g 2 = σ2 (x) 

¯x 2 + σ2 (y) 

¯y 2 

• Combinazioni del tipo: g = Ax α · y β 

passando ai logaritmi ln(g) = ln(A) + α · ln(x) + β · ln(y) 

σ2 (g) 

¯g 2 = α2 · σ2 (x) 

¯x 2 + β2 · σ2 (y) 

¯y 2 

Applicando quanto sopra agli errori accidentali risulta che: (1) in caso di 

somme o sottrazioni l’errore assoluto finale è la radice quadrata della somma 

in quadratura dei singoli errori assoluti; (2) in caso di moltiplicazioni o divisioni 

l’errore relativo finale è la radice quadrata della somma in quadratura 

dei singoli errori relativi. 

9.8.3 Combinazione di errori massimi e statistici 

Consideriamo il caso misto in cui la misura di una grandezza fisica dipenda 

da altre grandezze affette da errori sia massimi che statistici. Si può operare 

in modo diverso a seconda dello scopo della nostra misura. 

Se vogliamo sapere con “certezza” in quale intervallo cada il valor vero 

della grandezza in esame dobbiamo usare la trattazione degli errori 

massimi. 

Consideriamo il caso di un singolo errore massimo e di un singolo errore 

statistico, situazione cui sempre ci si può ricondurre combinando prima tutti 

gli errori massimi e poi tutti quelli statistici. Si trasforma l’errore statistico 

in massimo 

∆m ≈ 3σm 

dove σm è lo scarto quadratico medio della serie di determinazioni per m. 

Infatti, nel caso ideale della distribuzione gaussiana degli errori accidentali 

la probabilità di osservare uno scarto dalla media maggiore in modulo di 3σ 

è inferiore allo 0.3% (molto piccola). 

Se vogliamo ottenere una stima realistica ma probabilistica dell’errore 

dobbiamo usare la trattazione degli errori quadratici. 

Se una grandezza m è misurata con errore massimo ∆m, possiamo procedere 

in due modi: 

• Assumere una distribuzione uniforme, ovvero costante (misure equiprobabili) 

entro l’intervallo [m − ∆m, m + ∆m] e nulla al di fuori. Si


dimostra che tale distribuzione ha varianza σ2 (m) = (2∆m)2 

e quindi 

12 

l’ errore quadratico medio è 

σ(m) = ∆m 

√ 3 ≃ 0.577 ∆m 

• Assumere una distribuzione gaussiana, con picco centrato nel valor 

medio dell’intervallo ed errore quadratico medio tale che 6 σ(m) 

copra l’intera larghezza dell’intervallo. Sotto queste ipotesi l’ errore 

quadratico medio è 

σ(m) = ∆m 

3 

≃ 0.333 ∆m 

9.8.4 Lo scarto quadratico medio della media 

L’indeterminazione statistica della media, o meglio la larghezza della distribuzione 

relativa alle medie di una serie di misure effettuate in condizioni 

identiche, si può ottenere applicando la propagazione degli errori statistici. 

Se n è il numero totale di misure e mi la misura i-esima: 

¯m = 

n 

i=1 

n 

mi 

 

 

 

σ ¯m = n 

 

∂ ¯m 

σ(mi) 

∂mi 

i=1 

Poiché le mi sono misure della stessa grandezza si può associare ad esse 

∂ ¯m 

σ(mi) = σ; inoltre si ha = 

∂mi 

1 

n . 

Quindi lo scarto quadratico medio della media è: 

σ ¯m = 

n σ 2 

 

 

 

σ ¯m = 1 

n(n − 1) 

n 2 = σ √ n 

2 

n 

(mi − ¯m) 2 

i=1


La dipendenza da 

1 

√ n rende sempre più difficile diminuire σ ¯m aumen- 

tando il numero di misure. Anche se si potesse realizzare un numero elevatissimo 

di misure, diventerebbe impossibile mantenere costanti le condizioni 

sperimentali. L’usura degli strumenti potrebbe introdurre errori sistematici.

116 CAPITOLO 9. PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9 - Dipartimento di Fisica e Astronomia

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