Capitolo G34: Poligoni - IMATI-CNR

MATematica – Geometria
G34:e.03 Il poligono con 9 lati viene chiamato enneagono, ennagono o nonagono.
È impossibile costruire esattamente un enneagono regolare utilizzando solo riga e compasso, ma si
conoscono alcune sue costruzioni approssimate chiamate neusi.
Ogni enneagono possiede 27 diagonali.
L’enneagono regolare di lato ℓ presenta angoli al centro di = 40 ◦ = π/9, angoli interni di = 140 ◦ = 7/9π
circumraggio R = 1
2
csc π
9
ℓ ≈ 1.4619ℓ, inraggio r 1
2
G34:e.04 Il poligono con 10 lati si chiama decagono.
Ogni decagono possiede 35 diagonali.
cot π
9
ℓ ≈ 1.3737ℓ e area A = 9
4
cot π
9 ≈ 6.18182ℓ2 .
Un decagono regolare inscritto in una circonferenza di dato raggio R, si può ottenere con una
costruzione mediante riga e compasso.
Similmente a quanto si può fare per ottenere un ottagono regolare da un quadrato, si potrebbe prima
costruire il pentagono regolare e successivamente per ciascuno dei 5 triangoli isosceli (4,3,3) spicchi del
pentagono individuare l’intersezione con la circonferenza della bisettrice dell’angolo al centro.
Più efficacemente si possono effettuare i primi passi della costruzione del pentagono regolare (v. :c.07)
e procedere con la individuazione di un primo triangolo isoscele (2,2,1) spicchio del decagono e con
la individuazione mediante compasso dei restanti 8 vertici sulla circumcirconferenza, come mostrato
dalla figura.
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Le misure per i decagoni regolari si ottengono con considerazioni nella linea di √quelle svolte per i
5 + 1
pentagoni regolari (:c.02); in particolare si incontra ancora il numero di Fidia φ = .
2
Il decagono regolare di lato ℓ ha come circumraggio R = 1 π
csc ℓ = φ ℓ , come inraggio
2 10
r= 1
π 1
cot ℓ = 5 + 2
2 10 2
√ 5 ℓ ≈ 1.5388ℓ e come area
A = 5 π
cot
2 10 ℓ2 = 5
5 + 2
2
√ 5 ℓ 2 ≈ 7.69421ℓ 2 .
G34:e.05 Il poligono con 11 lati si chiama endecagono; È impossibile costruire esattamente un endecagono
regolare utilizzando solo riga e compasso, mentre si conoscono sue costruzioni approssimate.
Ogni endecagono possiede 44 diagonali.
L’endecagono regolare di lato ℓ ha circumraggio R ≈ 1.7747ℓ, inraggio r ≈ 1.7028ℓ ed area
A ≈ 9.36564ℓ2 .
G34:e.06 Il poligono con 12 lati si chiama dodecagono; Un dodecagono regolare inscritto in una data
circonferenza C di raggio R si può ottenere con una costruzione mediante riga e compasso che dopo aver
individuati due diametri ortogonali ed i vertici del quadrato regolare inscritto, determina le intersezioni
delle quattro semicirconferenze aventi centro in un vertice del quadrato, due per ogni semicirconferenza;
questi 8 punti, insieme ai 4 vertici del quadrato sono i vertici del dodecagono cercato.
2012-07-30 G34: Poligoni 23
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