Capitolo G34: Poligoni - IMATI-CNR
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MATematica – Geometria<br />
<strong>G34</strong>:e.03 Il poligono con 9 lati viene chiamato enneagono, ennagono o nonagono.<br />
È impossibile costruire esattamente un enneagono regolare utilizzando solo riga e compasso, ma si<br />
conoscono alcune sue costruzioni approssimate chiamate neusi.<br />
Ogni enneagono possiede 27 diagonali.<br />
L’enneagono regolare di lato ℓ presenta angoli al centro di = 40 ◦ = π/9, angoli interni di = 140 ◦ = 7/9π<br />
circumraggio R = 1<br />
2<br />
csc π<br />
9<br />
ℓ ≈ 1.4619ℓ, inraggio r 1<br />
2<br />
<strong>G34</strong>:e.04 Il poligono con 10 lati si chiama decagono.<br />
Ogni decagono possiede 35 diagonali.<br />
cot π<br />
9<br />
ℓ ≈ 1.3737ℓ e area A = 9<br />
4<br />
cot π<br />
9 ≈ 6.18182ℓ2 .<br />
Un decagono regolare inscritto in una circonferenza di dato raggio R, si può ottenere con una<br />
costruzione mediante riga e compasso.<br />
Similmente a quanto si può fare per ottenere un ottagono regolare da un quadrato, si potrebbe prima<br />
costruire il pentagono regolare e successivamente per ciascuno dei 5 triangoli isosceli (4,3,3) spicchi del<br />
pentagono individuare l’intersezione con la circonferenza della bisettrice dell’angolo al centro.<br />
Più efficacemente si possono effettuare i primi passi della costruzione del pentagono regolare (v. :c.07)<br />
e procedere con la individuazione di un primo triangolo isoscele (2,2,1) spicchio del decagono e con<br />
la individuazione mediante compasso dei restanti 8 vertici sulla circumcirconferenza, come mostrato<br />
dalla figura.<br />
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. •.<br />
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Le misure per i decagoni regolari si ottengono con considerazioni nella linea di √quelle svolte per i<br />
5 + 1<br />
pentagoni regolari (:c.02); in particolare si incontra ancora il numero di Fidia φ = .<br />
2<br />
Il decagono regolare di lato ℓ ha come circumraggio R = 1 π<br />
csc ℓ = φ ℓ , come inraggio<br />
2 10<br />
r= 1<br />
<br />
π 1<br />
cot ℓ = 5 + 2<br />
2 10 2<br />
√ 5 ℓ ≈ 1.5388ℓ e come area<br />
A = 5 π<br />
cot<br />
2 10 ℓ2 = 5<br />
<br />
5 + 2<br />
2<br />
√ 5 ℓ 2 ≈ 7.69421ℓ 2 .<br />
<strong>G34</strong>:e.05 Il poligono con 11 lati si chiama endecagono; È impossibile costruire esattamente un endecagono<br />
regolare utilizzando solo riga e compasso, mentre si conoscono sue costruzioni approssimate.<br />
Ogni endecagono possiede 44 diagonali.<br />
L’endecagono regolare di lato ℓ ha circumraggio R ≈ 1.7747ℓ, inraggio r ≈ 1.7028ℓ ed area<br />
A ≈ 9.36564ℓ2 .<br />
<strong>G34</strong>:e.06 Il poligono con 12 lati si chiama dodecagono; Un dodecagono regolare inscritto in una data<br />
circonferenza C di raggio R si può ottenere con una costruzione mediante riga e compasso che dopo aver<br />
individuati due diametri ortogonali ed i vertici del quadrato regolare inscritto, determina le intersezioni<br />
delle quattro semicirconferenze aventi centro in un vertice del quadrato, due per ogni semicirconferenza;<br />
questi 8 punti, insieme ai 4 vertici del quadrato sono i vertici del dodecagono cercato.<br />
2012-07-30 <strong>G34</strong>: <strong>Poligoni</strong> 23<br />
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