Capitolo G34: Poligoni - IMATI-CNR
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MATematica – Geometria<br />
Evidentemente questa manovra di riduzione può essere ripetuta quante volte si vogliono ed al q-esimo<br />
stadio si avrà un triangolo -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano a φ −(q−1 ed a φ −q .<br />
Similmente il triangolo △ABC si può ampliare prolungando BC verso sinistra con un segmento CZ<br />
di lunghezza b in modo da ottenere un triangolo -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano a φ 2 ed a φ. Anche<br />
questa manovra di ampliamento può essere reiterata quanto si vuole e all’r-esima iterazione si ottiene<br />
un triangolo -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano a φ r+1 ed a φ r .<br />
Abbiamo quindi una configurazione illimitatamente costruibile con riga e compasso che presenta una<br />
successione bilatera di triangoli -〈1 : 2 : 2〉. Si osserva che ogni manovra di riduzione si ottiene con<br />
la trasformazione ottenuta componendo una rotazione di −(90 + 18) ◦ = −108 ◦ avente come centro il<br />
punto D e i suoi trasformati e con una omotetia di fattore φ −1 avente come centro il punto C e gli<br />
analoghi pinti trasformati.<br />
<strong>G34</strong>:c.04 La similitudine tra due triangoli successivi, ad esempio tra △ABC e △BCD, implica<br />
b a<br />
1<br />
= , ovvero φ =<br />
a b − a φ − 1 , cioè φ2 − φ − 1 = 0 .<br />
Questa equazione ha due soluzioni, una positiva ed una negativa:<br />
φ = 1 + √ √<br />
5<br />
5 − 1<br />
φ− := − = −<br />
2<br />
2<br />
(√5 − 1)( √ 5 + 1)<br />
2(1 + √ = −<br />
5)<br />
2<br />
1 + √ 1<br />
= −<br />
5 φ .<br />
Il numero di Fidia è un numero algebrico irrazionale: se fosse razionale sarebbe tale anche √ 5, radice<br />
quadrata di un intero non quadrato di intero.<br />
Dato che √ 5 ≈ 2.36067 97749 97896 964, per il numero di Fidia si trova φ ≈ 1.61803 39887 49894 8482<br />
.<br />
<strong>G34</strong>:c.05 Una costruzione più semplice da interpretare riguardo un rettangolo che viene chiamato<br />
rettangolo aureo<br />
2012-07-30 <strong>G34</strong>: <strong>Poligoni</strong> 17