Capitolo G34: Poligoni - IMATI-CNR

Alberto Marini
di 108 ◦ = 3π/5 e due angoli minori di 36 ◦ . Nella nostra figura, denotata con d = φ ℓ la lunghezza delle
5 diagonali, si individuano i seguenti insiemi di triangoli:
5 triangoli -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano ℓ e d ,
10 triangoli -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano d − ℓ ed ℓ ,
5 triangoli -〈1 : 2 : 2〉 i cui lati misurano 2 ℓ − d e d − ℓ ,
5 triangoli -〈1 : 1 : 3〉 i cui lati misurano ℓ e d ,
5 triangoli -〈1 : 1 : 3〉 i cui lati misurano d − ℓ ed ℓ .
G34:c.03 Le caratteristiche dei triangoli -(1:2:2) vanno approfondite e, come vedremo, portano ad una
notevolissima gamma di risultati di grande interesse. Per questo conviene abbandonare temporaneamente
i pentagono regolari per concentrarsi su una configurazione concernente questo tipo di triangoli
e sui suoi parametri; inoltre ci facciamo aiutare da una configurazione analoga. Iniziamo dalla figura
seguente.
D
Z36 B
.
C
◦
36◦ .
. A
36◦ In essa il triangolo ABC è un triangolo -〈1 : 2 : 2〉 che chiamiamo triangolo aureo; vedremo che esso è
costruibile con riga e compasso.
Denotiamo con b la lunghezza dei suoi lati maggiori e con a quella del suo lato minore. Dobbamo
, numero che per le sue numerose ed affascinanti proprietà
esaminare il valore del loro rapporto φ := b
a
viene chiamato, oltre che numero di Fidia, rapporto aureo, sezione aurea o divina proporzione. Tracciamo
la bisettrice del triangolo nel vertice B ed otteniamo il triangolo simile △BCD i cui lati misurano
a = bφ−1 ed aφ−1 = b φ−2 .
16 G34: Poligoni 2012-07-30
.
.
.