Capitolo G34: Poligoni - IMATI-CNR

Alberto Marini
si determinano individuando sulla retta bisettrice di α i due punti che distano b da B ai quali si può
attribuire il ruolo di vertice C opposto di A.
Nell’insieme degli aquiloni, dunque, si individua una involuzione fra aquiloni concavi e convessi.
Gli aquiloni concavi sono anche chiamati dardi.
G34:b.06 (1) Prop. Ogni aquilone convesso è un quadrilatero inciclico.
Dim.: La simmetria assiale dell’aquilone implica che i triangoli individuati con le notazioni precedenti
da △ABD e △BCD sono isosceli. Di conseguenza i due angoli interni ai vertici B e D sono uguali
e l’aquilone si può considerare unione dei due triangoli △ABC e △CDA ottenibili l’uno dall’altro
attraverso la riflessione rispetto alla retta AC . Supponiamo sia |IC| > AI e consideriamo il punto Z
variabile tra C e l’intersezione I delle due diagonali e la circonferenza con centro Z e tangente a BC.
All’avvicinarsi di Z a I il raggio della circonferenza cresce linearmente, all’inizio tocca solo BC e alla
fine è secante di AB. Quindi si trova una posizione in IC per la quale la circonferenza è tangente di
AB ed essa costituisce l’incentro dell’aquilone.
.•
•
.........
•
•.
.. . .
.•
•
• • . . .....
. ...........
(2) Prop. Un aquilone è un quadrilatero circumciclico sse gli assi di due lati adiacenti non congruenti si
incontrano sull’asse di simmetria, ossia sse si può ottenere come unione di due triangoli retti congruenti
per riflessione
In tal caso il circumcentro è il punto medio della diagonale appartenente all’asse di simmetria.
Tra gli aquiloni biciclici solo i quadrati sono monocentrici.
L’area di un aquilone, servendosi delle notazioni considerate in :b.05 si può ottenere dalle seguenti
espressioni (nelle quali C rappresenta anche C ′ ):
(3) A(Qdrlt(A, B, C, D)) = 1
2 AC · BD = a b sin( ABC) .
G34:b.07 Si dice trapezio un quadrilatero avente due lati opposti appartenenti a rette parallele. Questi
lati sono detti lati paralleli o anche basi e di solito sono raffigurati come due segmenti orizzontali; i due
lati opposti rimanenti sono detti lati obliqui. Chiamiamo altezza di un trapezio ogni segmento ortogonale
alle due rette che contengono i suoi lati paralleli; questo termine viene usato anche per la lunghezza,
unica, di tali segmenti. Si osserva che per taluni trapezi si possono tracciare altezze che incidono
entrambi i lati paralleli e trapezi per i quali si possono tracciare solo altezze che incidono un solo lato
parallelo.
•
. .
•
.• . •
•
.• . •
. .
•
.........
•
.•
•.
. .
•
• •
12 G34: Poligoni 2012-07-30