Applicazioni lineari da R n a R m . Isometrie e matrici ortogonali. Altri ...

LEZIONE 11
Nella preparazione delle dispense riguardanti la geometria piana e spaziale ho
dovuto inserire dei disegni che illustrassero in qualche modo i concetti geometrici
esposti nel testo. Ciò ha presentato un doppio ordine di problemi strettamente
correlati fra loro.
Un primo problema è stato quello di fare un disegno, comunque bidimensionale,
che rappresentasse oggetti bidimensionali o tridimensionali. Il secondo problema
è quello di fare in modo che il disegno bidimensionale potesse essere decodificato
naturalmente dal lettore come oggetto bidimensionale o tridimensionale. Questi
sono i due problemi standard che si devono affrontare nello studio della Geometria
Descrittiva.
Facciamo qualche commento sul primo problema. Tutti noi sappiamo che
quando si utilizza un qualsiasi programma di disegno assistito (CAD) si ha una
tavolozza di primitive grafiche da utilizzare per comporre disegni più o meno
complessi. Appaiono senz’altro punti, segmenti, curve elementari, per esempio
archi di circonferenza e, eventualmente, anche oggetti più elaborati. L’utente
sceglie l’oggetto da inserire, decide dei punti di riferimento per l’inserimento e il
programma effettua l’inserimento. Sorge naturale domandarsi
Domanda 1. Quale metodo applica il programma per inserire l’oggetto scelto
con i dati di inserimento scelti?
Passiamo ora a commentare il secondo problema. Esso è strettamente legato al
problema della ricostruzione delle immagini, cioè capire come è fatto un oggetto
tridimensionale a partire da una o più sue immagini, per esempio per fare una
panoramica tridimensionale di un oggetto rappresentato da una o più immagini
bidimensionali prese da vari punti di vista allo scopo di rendersi conto di sue
proprietà.
Domanda 2. Quante immagini bidimensionali e di quale tipo sono necessarie per
ricostruire la forma di un oggetto tridimensionale?
Per motivi di tempo, in questa seconda parte del corso, tenteremo di dare
qualche risposta parziale alla Domanda 1 limitandoci a fare qualche semplice
osservazione sulla Domanda 2. Dal punto di vista delle tecniche di calcolo, attingeremo
a piene mani da quanto illustrato nelle precedenti lezioni per trattare il
problema della descrizione delle trasformazioni del piano e dello spazio.
1
Typeset by AMS-TEX

2 LEZIONE 11
Supponiamo di aver fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oıj
nel piano affine e, quindi, di avere fissato una volta per tutte un’identificazione del
piano affine A 2 con R 2 .
Iniziamo ad osservare che abbiamo già visto come rappresentare una primitiva
grafica particolarmente importante, cioè il segmento e sappiamo, mantenendo fissa
l’origine, come ruotare, simmetrizzare, riscalare, deformare o proiettare figure.
È chiaro, però, che non tutte le operazioni richieste dalla grafica sono riconducibili
ad applicazioni lineari. Per esempio se vogliamo disegnare il rettangolo R di
vertici A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3) a partire dal segmento OUx
unitario di estremi l’origine O ed il punto Ux = (1, 0) possiamo procedere come
segue.
(1) Prendiamo OUx e lo ruotiamo di π/2 radianti in senso antiorario ottenendo
il segmento OUy di estremi O ed il punto Uy = (0, 1).
(2) Riscaliamo il segmento OUy di un fattore 2 ottenendo il segmento OV di
estremi O ed il punto V = (0, 2).
(3) Trasliamo parallelamente a se stesso di 2 unità lungo il verso positivo
dell’asse delle ordinate il segmento OUx ottenendo il segmento V W di
estremi V ed il punto W = (0, 2).
(4) Trasliamo parallelamente a se stesso di un’unità lungo il verso positivo
dell’asse delle ascisse il segmento OUy ottenendo il segmento UxW di
estremi Ux ed il punto W .
(5) Trasliamo il rettangolo ottenuto parallelamente a se stesso di un’unità
lungo il verso positivo dell’asse sia delle ascisse che delle ordinate
y
D
A
R
C
B
O x
Figura 11.1
11.1. Applicazioni lineari da R n a R m .
Abbiamo visto come gli elementi dello spazio affine A n ed il relativo insieme dei
vettori applicati Vn(O) si possa identificare con R n una volta che sia stato fissato
un sistema di riferimento. Per questo motivo gli elementi dt R n che, ricordiamo

LEZIONE 11 3
sono per noi matrici colonna con n entrate, vengono spesso chiamati vettori anche
se n > 3.
Definizione 11.1.1. Un’applicazione f: R n → R m si dice lineare se:
(AL1) per ogni X1, X2 ∈ R n si ha f(X1 + X2) = f(X1) + f(X2);
(AL2) per ogni α ∈ R e X ∈ R n si ha f(αX) = αf(X).
Osservazione 11.1.2. Sia f: R n → R m un’applicazione lineare.
i) Risulta
f(0n,1) = f(00n,1) = 0f(0n,1) = 0m,1,
f(−X) = f((−1)X) = (−1)f(X) = −f(X)
per ogni X ∈ R n . Più in generale un’applicazione f: R n → R m lineare se e solo
se α1, . . . , αh ∈ R e X1, . . . , Xh ∈ R n si ha
f(α1X1 + · · · + αhXh) = α1f(X1) + · · · + αhf(Xh).
ii) Per esercizio verificare che l’applicazione nulla 0R n ,R m: R n → R m , definita da
X ↦→ 0m,1, e l’applicazione identità idR n: R n → R n , definita da X ↦→ X, sono
lineari.
Esempio 11.1.3. L’applicazione
f: R 3 −→ R 2
(x, y, z) −→ (3x + y − z, x − y + 2z)
è lineare. Infatti si ha che se α ∈ R, (x, y, z) ∈ R 3 risulta
f(α(x, y, z)) = f(αx, αy, αz) = (3(αx) + (αy) − (αz), (αx) − (αy) + 2(αz)) =
= (α(3x + y − z), α(x − y + 2z)) = α(3x + y − z, x − y + 2z) = αf(x, y, z).
Inoltre, se (x ′ , y ′ , z ′ ), (x ′′ , y ′′ , z ′′ ) ∈ R 3 , risulta
f((x ′ , y ′ , z ′ ) + (x ′′ , y ′′ , z ′′ )) = f(x ′ + x ′′ , y ′ + y ′′ , z ′ + z ′′ ) =
= (3(x ′ + x ′′ ) + (y ′ + y ′′ ) − (z ′ + z ′′ ), (x ′ + x ′′ ) − (y ′ + y ′′ ) + 2(z ′ + z ′′ )) =
= (3x ′ + y ′ − z ′ + 3x ′′ + y ′′ − z ′′ , x ′ − y ′ + 2z ′ + x ′′ − y ′′ + 2z ′′ ) =
= (3x ′ + y ′ − z ′ , x ′ − y ′ + 2z ′ ) + (3x ′′ + y ′′ − z ′′ , x ′′ − y ′′ + 2z ′′ ) =
= f(x ′ , y ′ , z ′ ) + f(x ′′ , y ′′ , z ′′ ).
L’esempio fondamentale di applicazione lineare è il seguente.

4 11.2. ISOMETRIE E MATRICI ORTOGONALI
Esempio 11.1.4. Sia A ∈ R m,n fissata. L’applicazione matriciale
µA: R n −→ R m
X −→ AX
è lineare. Infatti scelti α ∈ R, X, X ′ , X ′′ ∈ R n risulta
µA(αX) = A(αX) = α(AX) = αµA(X),
µA(X ′ + X ′′ ) = A(X ′ + X ′′ ) = AX ′ + AX ′′ = µA(X ′ ) + µA(X ′′ ).
11.2. Isometrie e matrici ortogonali.
In questo e nei prossimi paragrafi esamineremo degli esempi notevoli di applicazioni
lineari corrispondenti a particolari trasformazioni del piano e dello spazio
in sé, ampliamente utilizzate in grafica computerizzata.
A tale scopo supporremo fissato un sistema di riferimento in A n , n = 2, 3,
quindi un’identificazione di A n e di Vn(O) con R 3 . Per questo parleremo della
retta ax + by = c o del piano ax + by + cz = d e non della retta e del piano avente
equazione ax + by = c o ax + by + cz = d.
Esempio 11.2.5. Sia ϕ ∈ R e si consideri la matrice ortogonale speciale
(11.2.5.1)
cos ϕ
− sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
Abbiamo visto che tale matrice ha un doppio significato. Da una parte lega le
coordinate (x, y) di un punto P del piano in un sistema di riferimento Oıj a
quelle (x ′ , y ′ ) dello stesso punto in un altro sistema di riferimento Oı ′ j ′ ruotato
rispetto al precedente di un angolo −ϕ. Dall’altra essa lega le coordinate (x, y) di
un punto P del piano a quelle (x ′ , y ′ ) della sua immagine tramite la rotazione di
un angolo ϕ dell’intero piano intorno all’origine. Il legame è dato, in entrambi i
casi, dalla relazione
(11.2.5.2)
′ x
y ′
=
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
x
.
y
L’applicazione inversa è la rotazione dell’angolo −ϕ, cioè è l’applicazione avente
come matrice la trasposta della Matrice (11.2.5.1)
(attenzione alla posizione del meno!).
cos ϕ
sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ

LEZIONE 11 5
Per illustrare quanto visto ruotiamo di π/3 radianti il rettangolo R di vertici
A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3)
intorno all’origine come illustrato in figura.
1
√2 3
2
− √ 3
2
1
2
D'
La trasformazione cercata è
1
1
2
1
2
3
1
=
3
C'
R'
A'
y
O
B'
π/3
D
A
R
C
B
Figura 11.2
√
1− 3
√ 2
3+1
2
2− √ 3
2
2 √ 3+1
2
x
2−3 √ 3
2
2 √ 3+3
2
Quindi il rettangolo R è trasformato nel rettangolo R ′ di vertici
1−3 √ 3
√ 2
3+3
2
A ′
1 −
=
√ √
3 3 + 1
, ,
2 2
B ′
2 −
=
√ 3
,
2
2√
3 + 1
,
2
C ′
2 − 3
=
√ 3
,
2
2√
3 + 3
,
2
D ′
1 − 3
=
√ √
3 3 + 3
, .
2 2
Esempio 11.2.6. Secondo caso interessante è quello delle simmetrie ortogonali
rispetto a rette r (passanti per l’origine). Per esempio possiamo considerare il caso
in cui r sia l’asse delle ascisse o delle ordinate: abbiamo rispettivamente
(11.2.6.1)
′ x
y ′
=
1 0
0 −1
x
y
,
′ x
y ′
=
−1 0
0 1
x
y
Sia ora r la retta di equazione cartesiana ax + by = 0, ove (a, b) = (0, 0).
Possiamo utilizzare le nozioni a nostra conoscenza di geometria vettoriale per
ottenere direttamente l’espressione della simmetria ortogonale rispetto alla retta
r.
.

6 11.2. ISOMETRIE E MATRICI ORTOGONALI
P'
v
y
O
H
Figura 11.3
Osservando la Figura 11.3, ci rendiamo conto che OP ′ = OP +(P ′ −P ). Inoltre
le proiezioni ortogonali di P e del suo simmetrico P ′ su r coincidono: indicando
con H tale punto comune risulta allora P ′ − P = −2(P − H). Si noti che P − H è
la proiezione ortogonale di OP su una retta perpendicolare a r. Quindi, se v è un
vettore non nullo perpendicolare ad r, ricordando quanto visto in una precedente
lezione, otteniamo
OP ′ =
〈 OP , v〉
OP − 2
|v| 2 v.
Se P = (x, y) e P ′ = (x ′ , y ′ ), si ha OP = xı + yj e OP ′ ′ ′ = x ı + y j . Poiché
v = aı +bj , segue 〈 OP , v〉 = ax+by, |v| 2 = a2 +b2 , sicché la simmetria ortogonale
rispetto alla retta r in esame viene ad essere data dalla moltiplicazione per la
matrice
(11.2.6.2)
− a 2 −b 2
a2 +b2 − 2ab
a2 +b2 r
− 2ab
a2 +b2 a 2 −b 2
a2 +b2 Chiaramente, ripetendo due volte la simmetria ortogonale rispetto ad una fissata
retta, si ottiene l’applicazione identica. Quindi la simmetria ortogonale rispetto
alla retta r ha se stessa come inversa. Si noti che
quindi esiste ϕ ∈ R tale che
a 2 − b 2
a 2 + b 2
2
+
− 2ab
a2 + b2 2 = 1
a2 − b2 a2 2ab
= cos ϕ, −
+ b2 a2 = sin ϕ,
+ b2 P
x

sicché la Matrice (11.2.6.2) può essere scritta nella forma
− cos ϕ
sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
LEZIONE 11 7
che è ortogonale non speciale.
Per illustrare quanto visto consideriamo il rettangolo R di vertici
A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3)
e la retta 2x+y = 0. Il rettangolo R ′ simmetrico a R rispetto a r è come in figura.
La trasformazione cercata è
− 3
5
− 4
5
C'
4 −
3
5
5
D'
R'
B'
A'
1 2 2 1
1 1 3 3
y
D
Figura 11.4
=
R
C
A B
O x
r
− 7
5
− 1
5
−2 − 18
1 − 5
5
1
5
−3
1
Quindi il rettangolo R è trasformato nel rettangolo R ′ di vertici
A ′
= − 7
, −1 ,
5 5
B ′
= −2, 1
,
5
C ′
= − 18
1
, ,
5 5
D ′ = (−3, 1) .
Vedremo nella prossima lezione che per ottenere la simmetria rispetto ad r è
anche possibile procedere ruotando r di un opportuno angolo ϕ in modo da farla
coincidere con uno degli assi, effettuando la corretta simmetria ortogonale rispetto
a tale asse utilizzando le Relazioni (11.1.6.1) e poi effettuando una rotazione di un
angolo −ϕ (si veda la lezione seguente).
Le applicazioni di rotazione e simmetria ortogonale descritte sopra sono anche
dette isometrie: infatti una proprietà che le caratterizza completamente è che
conservano le lunghezze dei segmenti cioè |P Q| = |f(P )f(Q)| per ogni coppia di
punti P e Q del piano.

8 11.3. ALTRI ESEMPI GEOMETRICI NOTEVOLI
11.3. Altri esempi geometrici notevoli.
Esempio 11.3.1. Esaminiamo delle applicazioni (o matrici) dette riscalamenti.
Siano a, b ∈ R non nulli e si consideri l’applicazione lineare data dalla moltiplicazione
per la matrice
a 0
0 b
Supponiamo inizialmente che a, b > 0. Per studiare il significato di tale matrice
osserviamo che i punti della forma (cos t, sin t), t ∈ R (cioè i punti giacenti sulla
circonferenza unitaria C) vengono trasformati nei punti della forma (a cos t, b sin t),
t ∈ R (cioè i punti giacenti sull’ellisse E di semiassi a e b).
Per esempio, se a = 1/3 e b = 2,
y
O
E
Figura 11.5
Si verifichi che anche la composizione di riscalamenti è ancora un riscalamento
e che l’inversa di un riscalamento è un riscalamento.
Consideriamo ora il rettangolo R di vertici
Poiché
A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3).
1
3
1 2 2
0 1 2 2 1
= 3 3 3 1
0 2 1 1 3 3 2 2 6 6
il rettangolo R ′ ottenuto da R con il riscalamento sopra indicato è come in figura.
C
x

y
O
D'
R'
LEZIONE 11 9
C'
A' B'
D
R
C
A B
Figura 11.6
Se, per esempio, a < 0 allora il riscalamento in esame può essere decomposto in
un riscalamento con entrate positive seguito da una simmetria ortogonale rispetto
all’asse delle ordinate.
Ovviamente l’operazione di riscalamento non è un’isometria.
Esempio 11.3.2. Considerare ora le applicazioni (o matrici) dette distorsioni.
Iniziamo a considerare distorsioni lungo l’asse delle ascisse. Sia u ∈ R e si
consideri l’applicazione lineare data dalla moltiplicazione per la matrice
1 u
0 1
Per studiarne il significato osserviamo che i punti (cos t, sin t), t ∈ R (che giacciono
su una circonferenza), vengono trasformati nei punti (cos t+u sin, sin t), t ∈ R (che
giacciono su un’ellisse con assi di simmetria ruotati rispetto agli assi coordinati).
Per esempio, se u = 3/2,
C
y
O
Figura 11.7
E
x
x

10 11.4. PROIEZIONI PARALLELE
Si verifichi che anche la composizione di distorsioni lungo l’asse delle ascisse è
ancora una distorsione lungo l’asse delle ascisse e che l’inversa di una distorsione
lungo l’asse delle ascisse è una distorsione lungo l’asse delle ascisse.
Consideriamo, come al solito, il rettangolo R di vertici
A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3).
1
0
3
2 1
1 1
2
1
2
3
5 1
= 2
3 1
7
2
1
13
2
3
11
2
3
il rettangolo R ′ ottenuto da R con il riscalamento sopra indicato è come in figura.
y
O
D
R
A B
C
A' B'
Figura 11.8
Ovviamente anche l’operazione di distorsione, così come il riscalamento, non è
un’isometria.
Se, invece vogliamo considerare distorsioni lungo l’asse delle ordinate dovremo
scegliere v ∈ R e considerare una matrice della forma
1 0
.
v 1
11.4. Proiezioni parallele.
In questo ultimo paragrafo vogliamo iniziare a descrivere delle altre applicazioni
importanti nella grafica computerizzata, le proiezioni del piano su una retta e dello
spazio su un piano.
Fissiamo perciò l’attenzione sul caso di proiezioni dallo spazio (risp. dal piano)
su un piano α (risp. su una retta r), per adesso per l’origine, diciamo ax+by+cz =
0 (risp. ax + by = 0). Sia poi v un vettore non parallelo ad α (risp. r). La
proiezione parallela di direzione v su α (risp. r) è l’applicazione f: R 3 → R 3 (risp.
f: R 2 → R 2 ) tale che f(P ) sia l’unico punto d’intersezione di α (risp. r) con la
retta per P parallela a v.
R'
D'
C'
x

LEZIONE 11 11
La proiezione parallela f si dice ortogonale se v è perpendicolare a α, obliqua
altrimenti.
P'
r
H'
y
n
O x
v
H
Figura 11.9
Esempio 11.4.1. Se P è un punto del piano allora la sua proiezione H di direzione
v sulla retta su r è l’estremo libero di un vettore della forma OH = OP − αv
parallelo a r, cioè ortogonale a n. Quindi si deve avere
da cui segue che
0 = 〈
OP − αv, n〉 = 〈
OP , n〉 − α〈v, n〉,
α =
〈 OP , n〉
〈v, n〉 .
Supponiamo che r sia ax+by = 0 e sia v = vxı +vyj . Un versore perpendicolare
a r è
a
b
n = √ ı + √ j .
a2 + b2 a2 + b2 Quindi
f
x
=
y
x
−
y
ax + by
avx + bvy
vx
(si noti che avx + bvy = 0 poiché v r). Concludiamo che
f
x
=
y
1
avx + bvy
vyb −vxb
−vya vxa
vy
P
x
.
y
Se ora andiamo a considerare la retta r di equazione ax + by = 0 la matrice della
proiezione parallela di direzione v = vxı + vyj su r è
1
avx + bvy
vyb −vxb
.
−vya vxa

12 11.4. PROIEZIONI PARALLELE
Sia r la retta di equazione 2x + y = 0 e sia v = 4ı − j . La matrice omogenea
della proiezione parallela di direzione v su r è
1 −
7
2
7
Si consideri ora il rettangolo R di vertici
Poiché − 1
4 − 7
8
7
A = (1, 1), B = (2, 1), C = (2, 3), D = (1, 3).
7
2
7
4 −
8
7
7
1 2 2 1
=
1 1 3 3
− 5
7
10
7
6 − 7
12
7
14 − 7
28
7
13 − 7
26
7
il rettangolo R ′ ottenuto da R con la proiezione sopra indicata è come in figura.
r
C'
D'
B'
A'
y
O
D
R
C
A B
Figura 11.10
Dal punto di vista della grafica computerizzata sono particolarmente interessanti
le proiezioni dallo spazio su un piano: infatti esse rispondono all’esigenza di
rappresentare bidimensionalmente degli oggetti tridimensionali.
Esempio 11.4.2. Il metodo per la costruzione della matrice associata a una
proiezione dallo spazio su un piano è totalmente analogo a quello visto nell’esempio
precedente, quindi ci limiteremo a scriverla senza ripetere i ragionamenti già fatti
sopra.
Fissiamo perciò l’attenzione sul caso di proiezioni dallo spazio su un piano α,
per adesso per l’origine, diciamo ax+by+cz = 0. Sia poi v un vettore non parallelo
ad α. La proiezione parallela di direzione v su α è l’applicazione f: R 3 → R 3 tale
che f(P ) è l’unico punto d’intersezione di α con la retta per P parallela a v.
Supponiamo inizialmente che α sia ax + by + cz = 0 e sia v = vxı + vyj + vz k .
Allora la proiezione ha per matrice
1
avx + bvy + cvz
⎛
⎝ vyb + vzc
−vya
−vxb
vxa + vzc
−vxc
−vyc ⎠
−vza −vzb vxa + vyb
v
x
⎞

LEZIONE 11 13
(si noti che, anche in questo caso, avx + bvy + cvz = 0 poiché v α).
Per esempio, se vogliamo rappresentare un sistema di riferimento cartesiano
Oıj k nel piano x = 0, proiettandolo secondo la direzione del vettore ı + j + k ,
dobbiamo considerare la matrice
⎛
0
⎝ −1
0
1
⎞
0
0 ⎠ .
−1 0 1
In particolare la circonferenza C di equazioni (cos t, sin t, 0) viene proiettata sull’ellisse
(0, − cos t + sin t, − cos t) (si veda la Figura 11.11)
x
z
O
Figura 11.11
Osservazione 11.4.3. Tra le proiezioni ortogonali ve ne sono alcune particolarmente
importanti in disegno tecnico, le assonometrie: un’assonometria è una proiezione
ortogonale su un piano α (per l’origine) non contenente nessuno degli assi coordinati.
Se ax + by + cz = 0 è un tale α poniamo v = aı + bj + c k e siano ϕx = vı ,
ϕy = vj , ϕz = v k . Allora l’assonometria si dirà monometrica (o isometrica) se
ϕx = ϕy = ϕz (che equivale a dire che a = b = c), dimetrica se esattamente due
fra gli angoli ϕx, ϕy, ϕz sono uguali (che equivale a dire che esattamente due fra
a, b, c coincidono), trimetrica se gli angoli ϕx, ϕy, ϕz sono tutti diversi fra loro
(che equivale a dire esattamente che a, b, c sono tutti diversi fra loro).
Osservazione 11.4.4. Anche tra le proiezioni oblique ve ne sono alcune importanti.
Una prima è la proiezione cavaliera (impropriamente anche detta in italiano assonometria
cavaliera): una proiezione cavaliera è una proiezione obliqua su un piano
coordinato secondo la direzione di un vettore vettore formante con tale piano un
angolo di π/4 radianti. Il vantaggio della proiezione cavaliera è la semplicità per i
calcoli, lo svantaggio è che dà una percezione scorretta delle proporzioni.
Un secondo importante esempio è quello della proiezione dell’armadio: una
proiezione dell’armadio è una proiezione obliqua su un piano coordinato secondo
C
y

14 11.4. PROIEZIONI PARALLELE
la direzione di un vettore vettore formante con tale piano un angolo di π
2 −arctan 2
radianti. Il vantaggio, rispetto alla proiezione cavaliera, è una migliore percezione
delle proporzioni.