STATISTICA DESCRITTIVA - Cartesio.dima.unige.it

SCHEDA 4
VARIABILI QUANTITATIVE III
PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
PROGETTO MIGRAZIONI
IIS VITTORIO EMANUELE II RUFFINI - GENOVA
Esistono altri indici che forniscono informazioni sulla distribuzione dei dati osservati, oltre a quelli basati sui quantili, visti
nell’unità 3..
In seguito indicheremo con N il numero dei dati osservati e con xi l’i-esimo dato osservato (non necessariamente ordinato).
Indici di centralità o di posizione
Forniscono indicazioni sulla posizione dei dati, ovvero indicano intorno a quali valori numerici si distribuisce la variabile
osservata X.
Soffermiamoci sulla media.
Scriviamo la formula della media utilizzando la distribuzione della variabile X.
Ricordiamo che la distribuzione della variabile è l’insieme delle coppie (xk , fk), per k da 1 a m, avendo indicato
con
xk gli m differenti valori assunti dalla variabile e con fk le corrispondenti frequenze relative:
Osserviamo che se i valori assunti dalla variabile
sono tutti diversi, la frequenza di ciascun dato è 1/n e si ritrova la formula
precedente.
La
media gode delle seguenti proprietà:
1. la somma degli errori che si commettono sostituendo il valore
della media a tutte le osservazioni (scarto) è nullo, ovvero
2.
la media rende minima la somma dei quadrati degli scarti, cioè, se scegliamo qualunque altro numero a e consideriamo i
quadrati degli scarti dei dati da a, abbiamo la seguente disuguaglianza
La media viene anche detta baricentro dei dati. Infatti se interpretiamo i diversi valori assunti dalla variabile come pesi
“attaccati” all’asse
reale, la media è il punto di equilibrio dei dati. Proprio in quanto baricentro dei dati, la media risente
molto
della posizione dei valori estremi, la media troncata ovvia in parte questo problema. La mediana non è influenzata dai
valori
estremi.
Esempio 1 : Consideriamo l’età dei 509 studenti stranieri iscritti all’IIS Vittorio Emanuele II Ruffini nell’a.s. 2007/08 e
l’output ottenuto da XLSTAT →Descr izione dei dati → Statistiche descrittive
1 1

Campione No. di osservazioni
Media
Età 509 23,5
Per determinare la media spuntata, si cancellano i primi 25 (5% di 509) e gli ultimi 25 dei valori ordinati e si calcola la media
dei rimanenti. Si può utilizzare la funzione di EXCEL MEDIA.TRONCATA,
che restituisce la media della parte interna p
di un insieme di valori di dati (utilizzando p=0,9). Nel nostro caso si ha
Media spuntata
20,3
Una proprietà simile a quella sopra considerata per la media che riguarda la mediana è la seguente:
La mediana rende minima la somma degli scarti assoluti, cioè, se scegliamo qualunque altro numero a e consideriamo gli
scarti assoluti dei dati da a, abbiamo la seguente disuguaglianza
La media è preferibile in molte circostanze come indice di posizione perché ha buone proprietà che permettono di costruire
modelli statistici previsionali a partire dai dati osservati. D’altra parte la mediana è un indice di posizione
che è meno
influenzato dai valori estremi e quindi può risultare più stabile, come possiamo vedere nel seguente esempio.
Esempio 2 : Nei dati dell’esempio precedente per un errore di battitura della segreteria della scuola sono stati digitati due
anni di nascita impossibili per studenti delle superiori (il 2001 e il 1996) e per un errore di battitura di chi ha trascritto i dati
un anno di nascita molto improbabile (il 1900, corrispondente ad uno studente di 108 anni!). Eliminando questi tre dati
errati via via dalla
tabella, si verifica che la mediana resta invariata (20), mentre la media varia passando da 23.49 a 23.52, a
23.54
e a 23.37.
Esempio 3 : Supponiamo che i dati delle età dell’esercizio precedente siano già stati suddivisi in 8 classi. Si può ancora
determinare
un valor medio e una mediana, approssimando ogni classe con il suo valore centrale.
intervalli conteggi valore
centrale
15-16 54 15,5
17-19 156 18,0
20-25 162 22,5
26-30 49 28,0
31-40 59 35,5
41-50 18 45,5
51-60 6 55,5
61-80 1 70,5
Il valore medio dei dati raggruppati in classi è dato da:
15,
5⋅
54 + 18,
0 ⋅156
+ 22,
5⋅162
+ 28,
0 ⋅ 49 + 35,
5⋅
59 + 45,
5⋅18
+ 55,
5⋅
6 + 70,
5⋅1
= 23,
72
54 + 156 + 162 + 49 + 59 + 18 + 6 + 1
La mediana per dati raggruppati in classi si ottiene dalla funzione di distribuzione cumulata calcolando dapprima la classe
mediana (contenente la frequenza
cumulata 0.5) e, volendo, l’intensità mediana per interpolazione.
Nell’esempio 3 si avrebbe
intervalli conteggi cumulati frequenze cumulate
15-16 54 0.11
17-19 210 0.42
20-25 372 0.74
26-30 421 0.83
31-40 480 0.95
41-50 498 0.99
51-60 504 1.00
61-80 505 1.00
come classe mediana la classe 20-25 e come intensità mediana quella corrispondente alla posizione I all’interno della classe
mediana
20 I 25
0.42 0.50 0.74
da cui (0.50-0.42):(I-20)=(0.74-0.42):(25-20) 0.08:(I-20)=0.32:5 I-20=1.25 I=21.25
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