Prati, pascoli e paesaggio alpino - SoZooAlp

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117 PRATI, PASCOLI E PAESAGGIO ALPINO do sovrapporre i due ordinamenti in un unico diagramma (biplot), nel quale, per ragioni di chiarezza, i punti delle variabili sono identificati da frecce decorrenti dall’origine degli assi (Fig. 6.6). Vi sono diversi tipi di biplot. In quello di Gabriel o Euclideo (Fig 6.6 a) i punteggi di ordinamento delle variabili sono riscalati arbitrariamente, in modo da renderli sovrapponibili a quelli degli oggetti. Le distanze tra gli oggetti nel grafico, moltiplicate per il fattore di scala, forniscono così la migliore approssimazione delle distanze originali degli oggetti, da cui l’appellativo euclideo con cui è noto questo biplot. I valori originali delle variabili negli oggetti sono ricostruibili proiettando gli oggetti sulle frecce (o il loro prolungamento): un punteggio positivo su una freccia indicherà un valore atteso superiore alla media, negativo inferiore (se i dati erano centrati). Naturalmente, l’indicazione sarà tanto più affidabile quanto maggiore è la varianza rendicontata dalle componenti. L’angolo tra la componente e la freccia esprime il grado di correlazione con la variabile, mentre la lunghezza della freccia è proporzionale all’importanza della variabile, ossia alla sua varianza. Un secondo tipo di biplot è quello di Mahalanobis (Fig. 6.6 b). A differenza del precedente, le coordinate degli oggetti sono modificate in modo da unificare all’unità le varianze sulle componenti e le distanze tra gli oggetti corrispondono alle distanze generalizzate di Mahalanobis originarie. Inoltre, le variabili non sono rappresentate attraverso i punteggi di ordinamento riscalati, ma con le covarianze (o le correlazioni nel caso di PCA standardizzata, come chiarito più avanti) sulle componenti. La lunghezza delle loro frecce è proporzionale alla deviazione standard della variabile e l’angolo tra una coppia di frecce è proporzionale alla correlazione tra le variabili. Un terzo tipo di biplot è quello di Rohlf (Fig. 6.6 c), in cui l’ordinamento degli oggetti secondo Gabriel è combinato con l’ordinamento delle variabili secondo Mahalanobis. Ne scaturisce un biplot particolare, dove è impedita la ricostruzione approssimata dei dati originali, ma è più obiettiva e immediata la rappresentazione delle relazioni tra oggetti e variabili. Come già ricordato, la PCA presuppone un modello di riposta lineare. Quando ciò non accade, come in presenza di gradienti ambientali più ampi di 4DS, si possono presentare i cosiddetti effetti d’arco o ferri di cavallo. Il secondo asse di ordinamento e i successivi appaiono come semplici distorsioni del primo: il secondo è una distorsione quadratica, il terzo una distorsione cubica, il quarto quartica e così via. Nell’esempio di figura 6.7, i punti, essendo equidistanziati lungo un gradiente unidimensionale, dovrebbero collocarsi su una retta parallela al primo asse di ordinamento, senza dispersione sul secondo asse. L’effetto d’arco è conseguenza del duplice vincolo dell’ortogonalità tra gli assi e del rispetto delle distanze tra gli oggetti. L’arco soddisfa, infatti, il primo vincolo nei confronti degli assi inferiori, in quanto la correlazione positiva su un lato e negativa sull’altro si compensano. Per il secondo vincolo, la distorsione rappresenta il solo modo per raffigurare fedelmente distanze determinate da relazioni non lineari tra le variabili descrittive (si veda il coenocline di figura 6.2, dove si nota come, in conseguenza della risposta unimodale, al crescere di una specie, un’altra diminuisce, un’altra si estingue e così via), dunque non rappresentabili lungo una linea. Un riflesso negativo degli effetti d’arco è il differimento di quote di variabilità significativa ad assi più alti, che pertanto devono essere considerati nonostante autovalori inferiori a quelli degli assi precedenti distorti. Per raddrizzare gli archi, eliminando le relazioni sistematiche tra gli assi, sono state proposte procedure di segmentazione o frammentazione (detrending), descritte pià avanti. Dal momento, però, che l’arco segnala la presenza di un gradiente ecologico rispetto al quale le variabili descrittive rispondono in modo non lineare, è opportuno evitare un’applicazione
Vari tipi di biplot ottenuti sulla medesima matrice di dati (i quadratini rappresentano gli oggetti, le frecce le variabili descrittive) Fausto Gusmeroli Fig. 6.6 Vari tipi di biplot ottenuti sulla medesima matrice di dati (i quadratini rappresentano gli oggetti, le frecce le variabili descrittive) a - Gabriel b - Mahalanobis c - Rohlf 118 30 CP 2 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 0 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 CP 2 -0.2 30 CP 2 25 -10 -10 0 0 0 10 10 0.2 20 20 0.4 CP 1 30 30 CP 1 0.6 CP 1
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