Prati, pascoli e paesaggio alpino - SoZooAlp

117
PRATI, PASCOLI E PAESAGGIO ALPINO
do sovrapporre i due ordinamenti in un unico diagramma (biplot), nel quale, per ragioni
di chiarezza, i punti delle variabili sono identificati da frecce decorrenti dall’origine degli
assi (Fig. 6.6). Vi sono diversi tipi di biplot. In quello di Gabriel o Euclideo (Fig 6.6 a)
i punteggi di ordinamento delle variabili sono riscalati arbitrariamente, in modo da renderli
sovrapponibili a quelli degli oggetti. Le distanze tra gli oggetti nel grafico, moltiplicate
per il fattore di scala, forniscono così la migliore approssimazione delle distanze
originali degli oggetti, da cui l’appellativo euclideo con cui è noto questo biplot. I valori
originali delle variabili negli oggetti sono ricostruibili proiettando gli oggetti sulle frecce
(o il loro prolungamento): un punteggio positivo su una freccia indicherà un valore
atteso superiore alla media, negativo inferiore (se i dati erano centrati). Naturalmente,
l’indicazione sarà tanto più affidabile quanto maggiore è la varianza rendicontata dalle
componenti. L’angolo tra la componente e la freccia esprime il grado di correlazione
con la variabile, mentre la lunghezza della freccia è proporzionale all’importanza della
variabile, ossia alla sua varianza. Un secondo tipo di biplot è quello di Mahalanobis (Fig.
6.6 b). A differenza del precedente, le coordinate degli oggetti sono modificate in modo
da unificare all’unità le varianze sulle componenti e le distanze tra gli oggetti corrispondono
alle distanze generalizzate di Mahalanobis originarie. Inoltre, le variabili non sono
rappresentate attraverso i punteggi di ordinamento riscalati, ma con le covarianze (o le
correlazioni nel caso di PCA standardizzata, come chiarito più avanti) sulle componenti.
La lunghezza delle loro frecce è proporzionale alla deviazione standard della variabile e
l’angolo tra una coppia di frecce è proporzionale alla correlazione tra le variabili. Un terzo
tipo di biplot è quello di Rohlf (Fig. 6.6 c), in cui l’ordinamento degli oggetti secondo
Gabriel è combinato con l’ordinamento delle variabili secondo Mahalanobis. Ne scaturisce
un biplot particolare, dove è impedita la ricostruzione approssimata dei dati originali,
ma è più obiettiva e immediata la rappresentazione delle relazioni tra oggetti e variabili.
Come già ricordato, la PCA presuppone un modello di riposta lineare. Quando ciò non
accade, come in presenza di gradienti ambientali più ampi di 4DS, si possono presentare
i cosiddetti effetti d’arco o ferri di cavallo. Il secondo asse di ordinamento e i successivi
appaiono come semplici distorsioni del primo: il secondo è una distorsione quadratica,
il terzo una distorsione cubica, il quarto quartica e così via. Nell’esempio di figura 6.7, i
punti, essendo equidistanziati lungo un gradiente unidimensionale, dovrebbero collocarsi
su una retta parallela al primo asse di ordinamento, senza dispersione sul secondo asse.
L’effetto d’arco è conseguenza del duplice vincolo dell’ortogonalità tra gli assi e del rispetto
delle distanze tra gli oggetti. L’arco soddisfa, infatti, il primo vincolo nei confronti
degli assi inferiori, in quanto la correlazione positiva su un lato e negativa sull’altro si
compensano. Per il secondo vincolo, la distorsione rappresenta il solo modo per raffigurare
fedelmente distanze determinate da relazioni non lineari tra le variabili descrittive
(si veda il coenocline di figura 6.2, dove si nota come, in conseguenza della risposta
unimodale, al crescere di una specie, un’altra diminuisce, un’altra si estingue e così via),
dunque non rappresentabili lungo una linea. Un riflesso negativo degli effetti d’arco è il
differimento di quote di variabilità significativa ad assi più alti, che pertanto devono essere
considerati nonostante autovalori inferiori a quelli degli assi precedenti distorti. Per
raddrizzare gli archi, eliminando le relazioni sistematiche tra gli assi, sono state proposte
procedure di segmentazione o frammentazione (detrending), descritte pià avanti. Dal momento,
però, che l’arco segnala la presenza di un gradiente ecologico rispetto al quale le
variabili descrittive rispondono in modo non lineare, è opportuno evitare un’applicazione