Integrali multipli - Dipartimento di Matematica

ANALISI MATEMATICA II
DOMANDE DI TEORIA
Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi.
1. Definizione di iper-rettangolo in R n .
INTEGRALI MULTIPLI
2. Dato un iper-rettangolo R ⊆ R n e data una funzione limitata f : R → R, dare la
definizione di f integrabile secondo Riemann su R.
3. Fornire degli esempi di funzioni Riemann-integrabili e esempi di funzioni che non sono
Riemann-integrabili.
4. Dato un iper-rettangolo R ⊆ R 2 e data una funzione Riemann-integrabile f : R → R,
f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R, cosa rappresenta
R f(x, y) dx dy?
5. Definire la misura di Peano-Jordan (se esiste) di un sottoinsieme limitato A ⊆ R n .
6. Che relazione c’è fra la misura di Peano-Jordan di un triangolo nel piano e la sua area?
7. Che relazione c’è fra la misura di Peano-Jordan di un tetraedro e il suo volume?
8. Fornire degli esempi di insiemi misurabili e di insiemi non misurabili nel piano e nello
spazio.
9. Scrivere la definizione di insieme verticalmente convesso e di insieme orizzontalmente
convesso nel piano.
10. Che relazione c’è fra un insieme misurabile e la misura della sua frontiera?
11. Dati due insiemi misurabili A e B, dire che relazione c’è fra le misure dei due insiemi e
le misure di A ∪ B e di A ∩ B.
12. Dati un insieme misurabile A ∈ R n , un iperrettangolo R contenente A e una funzione
Riemann-integrabile su A, come si definisce
A f?
13. Dato un insieme A ⊆ R n misurabile e data la funzione f(x) = 1 per ogni x ∈ A, che
relazione c’è fra la misura di A e l’integrale
A f?
14. Dati A e B misurabili in R n e data f Riemann-integrabile su A e su B, dire che relazione
c’è fra gli integrali
f, f, f.
f,
A
B
15. Sia f una funzione Riemann-integrabile su un insieme misurabile A ⊆ R n e sia C ⊆ A
un insieme di misura nulla. Sia inoltre
f(x), x ∈ A \ C
g(x) =
.
0, x ∈ C
È vero che
A f = A g?
1
A∩B
A∪B

16. Sia f : R 4 → R una funzione continua sull’iper-rettangolo R = [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3]×
[a4, b4]. Scrivere la formula di riduzione dell’integrale
R f.
17. Sia A ⊆ R 2 un insieme verticalmente convesso e sia f una funzione continua su A.
Scrivere la formula di riduzione dell’integrale
A f.
18. Siano date tre funzioni f(x), g(y), h(z) continue rispettivamente su [a1, b1], [a2, b2] e
[a3, b3] e sia data la funzione k(x, y, z) = f(x)g(y)h(z).
Posto R = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3], dimostrare che:
b1
b2
b3
k(x, y, z) dx dy dz = f(x) dx · g(y) dy · h(z) dz .
R
a1
19. Dato un dominio misurabili A ⊆ R n , definire un cambiamento di variabili Φ : A ′ → A.
20. Dato un cambiamento di variabili come sopra, scrivere la formula del cambiamento di
variabili negli integrali multipli.
21. Siano dati i cerchi:
(1) C1 di centro (R, 0) e raggio R; (2) C2 di centro (−R, 0) e raggio R;
(3) C3 di centro (0, R) e raggio R; (4) C4 di centro (0, −R) e raggio R.
(a) Descrivere ciascuno dei cerchi in coordinate cartesiane.
(b) Descrivere ciascuno dei cerchi in coordinate polari centrate nel centro del cerchio
stesso.
(c) Descrivere ciascuno dei cerchi in coordinate polari centrate nell’origine.
22. Dato un insieme misurabile A ⊆ R n , dire se è vero o falso (spiegando perché) che:
(a) Dato un cambiamento di variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t),
A ′ ds dt è uguale
all’area di A.
(b) Dato un cambiamento di variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t),
A ′ det JΦ(s, t) ds dt
è uguale all’area di A.
(c) Dato un cambiamento di variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t),
A ′ |det JΦ(s, t)| ds dt
è uguale all’area di A.
(d) Dato un cambiamento di variabili Ψ : A → A ′ , (u, v) = Ψ(x, y),
A ′ |det JΨ(u, v)| du dv
è uguale all’area di A.
(e) Dato un cambiamento di variabili Ψ : A → A ′ , (u, v) = Ψ(x, y):
è uguale all’area di A.
A ′
a2
1
|det JΨ(Ψ −1 (u, v))|
2
du dv
a3

23. Dato un aperto non vuoto A ⊆ R 3 misurabile, spigare cosa significa descrivere A ”per
fili” e ”per strati”.
24. Data una funzione continua f su A:
(a) Se A è descritto ”per fili”, enunciare la formula di riduzione dell’integrale
f(x, y, z) dxdydz che permette di integrare ”per fili”.
A
(b) Se A è descritto ”per strati”, enunciare la formula di riduzione dell’integrale
f(x, y, z) dxdydz che permette di integrare ”per strati”.
A
25. Cambiamenti di coordinate nello spazio.
(a) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, φ) → (x, y, z) in coordinate sferiche riferite
all’asse z e calcolare detJΦ(ρ, θ, φ).
(b) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, t) → (x, y, z) in coordinate cilindriche riferite
all’asse x e calcolare detJΦ(ρ, θ, t).
(c) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, t) → (x, y, z) in coordinate cilindriche ellittiche
riferite all’asse y e calcolare detJΦ(ρ, θ, t).
26. Quadriche.
(a) Scrivere le equazioni della superficie conica con vertice in (0, 01), asse z, la cui
sezione con il piano z = 2 è data dall’ellisse 3x 2 + 4y 2 = 1.
Rappresentare poi la parte di spazio contenuta all’interno di tale superficie sia in
coordinate cartesiane che in opportune coordinate di tipo cilindrico.
(b) Scrivere le equazioni dell’ellissoide di centro (−1, 01), asse z e semiassi 1,2,4.
Rappresentare poi la parte di spazio contenuta all’interno di tale superficie sia in
coordinate cartesiane che in opportune coordinate di tipo cilindrico.
27. Solidi di rotazione.
(a) Data una superficie S contenuta nel semipiano (y, z), con y ≥ 0 e z ≥ 0, rappresentare
in coordinate opportune il solido D che si ottiene ruotando S intorno
all’asse z.
(b) Data una superficie S contenuta nel semipiano (y, z), con y ≥ 0 e z ≥ 0, rappresentare
in coordinate opportune il solido A che si ottiene ruotando S intorno
all’asse y.
(c) A e D sono uguali?
(d) Determinare la formula che riconduce il calcolo del volume di D al calcolo di un
integrale doppio su S.
(e) Determinare la formula che riconduce il calcolo del volume di A al calcolo di un
integrale doppio su S.
(f) Enunciare e dimostrare il Teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido
di rotazione.
(g) Dato un triangolo T di vertici (2, 0, 2), (1, 0, 1) (3, 0, 1), calcolare il volume dei solidi
D e A che si ottengono ruotando T rispettivamente intorno all’asse z e all’asse x.
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