Integrali multipli - Dipartimento di Matematica
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ANALISI MATEMATICA II<br />
DOMANDE DI TEORIA<br />
Oltre alle definizioni richieste, fornire sempre degli esempi.<br />
1. Definizione <strong>di</strong> iper-rettangolo in R n .<br />
INTEGRALI MULTIPLI<br />
2. Dato un iper-rettangolo R ⊆ R n e data una funzione limitata f : R → R, dare la<br />
definizione <strong>di</strong> f integrabile secondo Riemann su R.<br />
3. Fornire degli esempi <strong>di</strong> funzioni Riemann-integrabili e esempi <strong>di</strong> funzioni che non sono<br />
Riemann-integrabili.<br />
4. Dato un iper-rettangolo R ⊆ R 2 e data una funzione Riemann-integrabile f : R → R,<br />
f(x) ≥ 0 per ogni x ∈ R, cosa rappresenta <br />
R f(x, y) dx dy?<br />
5. Definire la misura <strong>di</strong> Peano-Jordan (se esiste) <strong>di</strong> un sottoinsieme limitato A ⊆ R n .<br />
6. Che relazione c’è fra la misura <strong>di</strong> Peano-Jordan <strong>di</strong> un triangolo nel piano e la sua area?<br />
7. Che relazione c’è fra la misura <strong>di</strong> Peano-Jordan <strong>di</strong> un tetraedro e il suo volume?<br />
8. Fornire degli esempi <strong>di</strong> insiemi misurabili e <strong>di</strong> insiemi non misurabili nel piano e nello<br />
spazio.<br />
9. Scrivere la definizione <strong>di</strong> insieme verticalmente convesso e <strong>di</strong> insieme orizzontalmente<br />
convesso nel piano.<br />
10. Che relazione c’è fra un insieme misurabile e la misura della sua frontiera?<br />
11. Dati due insiemi misurabili A e B, <strong>di</strong>re che relazione c’è fra le misure dei due insiemi e<br />
le misure <strong>di</strong> A ∪ B e <strong>di</strong> A ∩ B.<br />
12. Dati un insieme misurabile A ∈ R n , un iperrettangolo R contenente A e una funzione<br />
Riemann-integrabile su A, come si definisce <br />
A f?<br />
13. Dato un insieme A ⊆ R n misurabile e data la funzione f(x) = 1 per ogni x ∈ A, che<br />
relazione c’è fra la misura <strong>di</strong> A e l’integrale <br />
A f?<br />
14. Dati A e B misurabili in R n e data f Riemann-integrabile su A e su B, <strong>di</strong>re che relazione<br />
c’è fra gli integrali <br />
<br />
f, f, f.<br />
f,<br />
A<br />
B<br />
15. Sia f una funzione Riemann-integrabile su un insieme misurabile A ⊆ R n e sia C ⊆ A<br />
un insieme <strong>di</strong> misura nulla. Sia inoltre<br />
<br />
f(x), x ∈ A \ C<br />
g(x) =<br />
.<br />
0, x ∈ C<br />
È vero che <br />
A f = A g?<br />
1<br />
A∩B<br />
A∪B
16. Sia f : R 4 → R una funzione continua sull’iper-rettangolo R = [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3]×<br />
[a4, b4]. Scrivere la formula <strong>di</strong> riduzione dell’integrale <br />
R f.<br />
17. Sia A ⊆ R 2 un insieme verticalmente convesso e sia f una funzione continua su A.<br />
Scrivere la formula <strong>di</strong> riduzione dell’integrale <br />
A f.<br />
18. Siano date tre funzioni f(x), g(y), h(z) continue rispettivamente su [a1, b1], [a2, b2] e<br />
[a3, b3] e sia data la funzione k(x, y, z) = f(x)g(y)h(z).<br />
Posto R = [a1, b1] × [a2, b2] × [a3, b3], <strong>di</strong>mostrare che:<br />
<br />
<br />
b1<br />
b2<br />
b3<br />
k(x, y, z) dx dy dz = f(x) dx · g(y) dy · h(z) dz .<br />
R<br />
a1<br />
19. Dato un dominio misurabili A ⊆ R n , definire un cambiamento <strong>di</strong> variabili Φ : A ′ → A.<br />
20. Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili come sopra, scrivere la formula del cambiamento <strong>di</strong><br />
variabili negli integrali <strong>multipli</strong>.<br />
21. Siano dati i cerchi:<br />
(1) C1 <strong>di</strong> centro (R, 0) e raggio R; (2) C2 <strong>di</strong> centro (−R, 0) e raggio R;<br />
(3) C3 <strong>di</strong> centro (0, R) e raggio R; (4) C4 <strong>di</strong> centro (0, −R) e raggio R.<br />
(a) Descrivere ciascuno dei cerchi in coor<strong>di</strong>nate cartesiane.<br />
(b) Descrivere ciascuno dei cerchi in coor<strong>di</strong>nate polari centrate nel centro del cerchio<br />
stesso.<br />
(c) Descrivere ciascuno dei cerchi in coor<strong>di</strong>nate polari centrate nell’origine.<br />
22. Dato un insieme misurabile A ⊆ R n , <strong>di</strong>re se è vero o falso (spiegando perché) che:<br />
(a) Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t), <br />
A ′ ds dt è uguale<br />
all’area <strong>di</strong> A.<br />
(b) Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t), <br />
A ′ det JΦ(s, t) ds dt<br />
è uguale all’area <strong>di</strong> A.<br />
(c) Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili Φ : A ′ → A, (x, y) = Φ(s, t), <br />
A ′ |det JΦ(s, t)| ds dt<br />
è uguale all’area <strong>di</strong> A.<br />
(d) Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili Ψ : A → A ′ , (u, v) = Ψ(x, y), <br />
A ′ |det JΨ(u, v)| du dv<br />
è uguale all’area <strong>di</strong> A.<br />
(e) Dato un cambiamento <strong>di</strong> variabili Ψ : A → A ′ , (u, v) = Ψ(x, y):<br />
è uguale all’area <strong>di</strong> A.<br />
<br />
A ′<br />
a2<br />
1<br />
|det JΨ(Ψ −1 (u, v))|<br />
2<br />
du dv<br />
a3
23. Dato un aperto non vuoto A ⊆ R 3 misurabile, spigare cosa significa descrivere A ”per<br />
fili” e ”per strati”.<br />
24. Data una funzione continua f su A:<br />
(a) Se A è descritto ”per fili”, enunciare la formula <strong>di</strong> riduzione dell’integrale<br />
f(x, y, z) dxdydz che permette <strong>di</strong> integrare ”per fili”.<br />
<br />
A<br />
(b) Se A è descritto ”per strati”, enunciare la formula <strong>di</strong> riduzione dell’integrale<br />
f(x, y, z) dxdydz che permette <strong>di</strong> integrare ”per strati”.<br />
<br />
A<br />
25. Cambiamenti <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate nello spazio.<br />
(a) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, φ) → (x, y, z) in coor<strong>di</strong>nate sferiche riferite<br />
all’asse z e calcolare detJΦ(ρ, θ, φ).<br />
(b) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, t) → (x, y, z) in coor<strong>di</strong>nate cilindriche riferite<br />
all’asse x e calcolare detJΦ(ρ, θ, t).<br />
(c) Scrivere la trasformazione Φ : (ρ, θ, t) → (x, y, z) in coor<strong>di</strong>nate cilindriche ellittiche<br />
riferite all’asse y e calcolare detJΦ(ρ, θ, t).<br />
26. Quadriche.<br />
(a) Scrivere le equazioni della superficie conica con vertice in (0, 01), asse z, la cui<br />
sezione con il piano z = 2 è data dall’ellisse 3x 2 + 4y 2 = 1.<br />
Rappresentare poi la parte <strong>di</strong> spazio contenuta all’interno <strong>di</strong> tale superficie sia in<br />
coor<strong>di</strong>nate cartesiane che in opportune coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> tipo cilindrico.<br />
(b) Scrivere le equazioni dell’ellissoide <strong>di</strong> centro (−1, 01), asse z e semiassi 1,2,4.<br />
Rappresentare poi la parte <strong>di</strong> spazio contenuta all’interno <strong>di</strong> tale superficie sia in<br />
coor<strong>di</strong>nate cartesiane che in opportune coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> tipo cilindrico.<br />
27. Soli<strong>di</strong> <strong>di</strong> rotazione.<br />
(a) Data una superficie S contenuta nel semipiano (y, z), con y ≥ 0 e z ≥ 0, rappresentare<br />
in coor<strong>di</strong>nate opportune il solido D che si ottiene ruotando S intorno<br />
all’asse z.<br />
(b) Data una superficie S contenuta nel semipiano (y, z), con y ≥ 0 e z ≥ 0, rappresentare<br />
in coor<strong>di</strong>nate opportune il solido A che si ottiene ruotando S intorno<br />
all’asse y.<br />
(c) A e D sono uguali?<br />
(d) Determinare la formula che riconduce il calcolo del volume <strong>di</strong> D al calcolo <strong>di</strong> un<br />
integrale doppio su S.<br />
(e) Determinare la formula che riconduce il calcolo del volume <strong>di</strong> A al calcolo <strong>di</strong> un<br />
integrale doppio su S.<br />
(f) Enunciare e <strong>di</strong>mostrare il Teorema <strong>di</strong> Gul<strong>di</strong>no per il calcolo del volume <strong>di</strong> un solido<br />
<strong>di</strong> rotazione.<br />
(g) Dato un triangolo T <strong>di</strong> vertici (2, 0, 2), (1, 0, 1) (3, 0, 1), calcolare il volume dei soli<strong>di</strong><br />
D e A che si ottengono ruotando T rispettivamente intorno all’asse z e all’asse x.<br />
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