Corso di Laurea in Fisica Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici

20 Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici
i sistemi del primo ordine; pertanto omettiamo di esplicitare gli enunciati e lasciamo
i dettagli per il lettore.
Equazioni autonome del secondo ordine. Vedremo nel prossimo paragrafo cosa
si intende in generale per “equazione autonoma”. Per il momento, vogliamo semplicemente
sviluppare una tecnica “pratica” che consenta di risolvere o quantomeno
di “semplificare” le equazioni (scalari) della forma
o, più in generale,
y ′′ (t) = f(y(t), y ′ (t)) (1.55)
f(y(t), y ′ (t), y ′′ (t)) = 0. (1.56)
Si noti che la (1.56) è un’equazione non in forma normale. Dunque, anche nel caso f
sia molto regolare potrebbero non valere i risultati teorici di esistenza e unicità delle
soluzioni.
Il trucco consiste nel supporre la funzione y localmente invertibile nell’intorno di
ogni punto t; il procedimento potrà essere poi giustificato a posteriori. Proviamo allora
a cercare la funzione inversa t = t(y). Ponendo v = v(y) := y ′ (t(y)), si ha subito
y ′′ = dy′
dt
dunque ottengo da (1.55) la nuova equazione
dy′ dy
=
dy dt = v′ (y)y ′ (t(y)) = v ′ (y)v(y); (1.57)
v ′ (y) =
f(y, v(y))
v(y)
(1.58)
nella variabile indipendente y (o un’espressione simile nel caso (1.56)). A questo punto,
non è detto che si riesca a risolvere (1.57); tuttavia ci si è quantomeno ricondotti ad
un’equazione del primo ordine. Notiamo anche che qualora sia dato un problema di
Cauchy per la (1.55), sarà da imporre dapprima la condizione v(y0) = y1. In secondo
luogo, una volta determinata la v, si potrà ricavare la y per integrazione imponendo
la condizione y(t0) = y0. Invitiamo il lettore a svolgere esercizi su questo tipo di
equazioni: in generale, quando si ha a che fare con procedimenti tecnici, la pratica
aiuta più delle considerazioni teoriche.
1.6 Equazioni autonome – rappresentazione delle soluzioni
Si dicono autonome le equazioni della forma
y ′ (t) = f(y(t)), f : Ω → R N , (1.59)
quelle cioè in cui la f a secondo membro non dipende esplicitamente dal tempo. In
questo paragrafo, Ω sarà quindi un aperto di RN (e non di RN+1 e f : Ω → RN almeno
continua. È evidente che per tornare alle notazioni usuali, basta porre Λ := R × Ω ⊂
RN+1 , porre
g : Λ → R N , g(t, y) := f(y), ∀ (t, y) ∈ Λ, (1.60)
e riscrivere la (1.59) nella forma equivalente y ′ (t) = g(t, y(t)).