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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Teorema 3.4. Sia V uno spazio normato di dimensione finita. Allora due norme qualunque in V inducono la stessa topologia. Cenno della dimostrazione. Per isomorfismi algebrici ci si riduce al caso V = R n . Inoltre basta verificare l’equivalenza fra una norma generica e una fissata, ad esempio la norma | · | p della (2.8) con p = 1 . Una delle due disuguaglianze è banale e l’altra può essere dimostrata per assurdo con l’aiuto del Teorema di Bolzano-Weierstrass. Esempio 3.5: lo spazio euclideo (seguito). La norma euclidea di R n è data dalla prima delle formule (1.6), che coincide con la (2.8) nel caso p = 2 . Altre norme in R n sono date dalla (2.8), ove p ∈ [1, ∞] . La topologia indotta è sempre la topologia euclidea, l’unica fra le topologie in R n che può essere indotta da una norma. Esempio 3.6: lo spazio C 0 [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : [a, b] → R continue. Esso è spesso denotato anche con C[a, b] o con notazioni analoghe che fanno intervenire parentesi tonde aggiuntive e la sua norma “naturale” è definita dalla formula v ∞ = max {|v(t)| : 0 ≤ t ≤ 1} . (3.8) Il fatto che tale scelta sia quella che abbiamo chiamato naturale sarà chiaro solo in seguito. La (3.8) è detta anche norma del massimo. Notiamo che l’intervallo chiuso [a, b] può essere sostituito da altri tipi di insiemi, ad esempio da un sottoinsieme K di R n chiuso e limitato. La sola cosa che serve, infatti, è che tutte le funzioni continue sull’insieme K considerato abbiano massimo. Si ottiene lo spazio denotato con C 0 (K) . Esempio 3.7. Un’altra norma in C 0 [a, b] è data dalla formula v 1 = b a |v(t)| dt. (3.9) Tale norma non è equivalente alla (3.8). Più in generale, altre norme sullo stesso spazio che inducono topologie tutte diverse fra loro sono date dalle formule vp = b a |v(t)| p 1/p dt (3.10) ove 1 ≤ p < ∞ . Tale restrizione serve per verificare la disuguaglianza triangolare (3.4), detta in questo caso disuguaglianza di Minkowski, la cui dimostrazione, al contrario di quelle delle altre proprietà della norma, non è banale. Segnaliamo infine che risulta v ∞ = limp→+∞ v p per ogni v ∈ C 0 [a, b] . Esempio 3.8: lo spazio C 1 [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : [a, b] → R di classe C 1 , cioè differenziabili con derivata continua. La sua topologia naturale è quella indotta dalla norma v = v ∞ + v ′ ∞ (3.11) Capitolo I: I concetti fondamentali 7
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale nella definizione della quale è stata usata la notazione (3.8). Altre norme possono essere prese in considerazione e alcune di esse, al contrario di altre, inducono la stessa topologia. Norme equivalenti alla (3.11) sono v = max {v ∞ , v ′ ∞ } e v = |v(t0)| + v ′ ∞ ove ancora si è usata la notazione (3.8) e ora t0 è fissato ad arbitrio in [a, b] . Al contrario, con le notazioni (3.8) e (3.9), le norme v = v ∞ e v = v ∞ + v ′ 1 (3.12) inducono topologie diverse fra loro e da quella naturale. Esempio 3.9: lo spazio C 1 (Ω) . L’intervallo [a, b] può essere sostituito da insiemi più generali e il caso importante è quello della chiusura Ω di un aperto limitato Ω ⊆ R n . Si ottiene lo spazio C 1 (Ω) e la singola derivata della (3.11) deve essere sostituita dalle n derivate parziali. Si noti però che questa generalizzazione porta a problemi concettuali già a livello della definizione stessa, dato che non è ovvio che cosa debba significare la derivata parziale in un punto della frontiera. Tuttavia possiamo dire che, in ipotesi opportune su Ω (nelle quali rientrerebbero tutti i casi interessanti), tutte le definizioni ragionevoli conducono allo stesso spazio. Esempio 3.10: lo spazio C k [a, b] . Esso generalizza l’Esempio 3.8. Se k > 0 si tratta dello spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : [a, b] → R di classe C k , cioè differenziabili k volte con derivate continue fino all’ordine k . La sua topologia naturale è quella indotta dalla norma (sempre con la notazione (3.8)) v = k j=0 v (j) ∞ . (3.13) Anche nella costruzione di questo spazio è possibile sostituire l’intervallo [a, b] con la chiusura di un aperto limitato Ω ⊆ R n , eventualmente in ipotesi opportune su Ω . Si ottiene lo spazio C k (Ω) . Definizione 3.11. Sia V uno spazio vettoriale. Un prodotto scalare in V è una applicazione ( · , · ) : V 2 → R verificante, per ogni x, y, z ∈ V e c ∈ R , le condizioni (x, x) ≥ 0 (3.14) (x, x) = 0 se e solo se x = 0 (3.15) (x, y) = (y, x) (3.16) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) e (cx, y) = c(x, y) (3.17) Uno spazio prehilbertiano è una coppia (V, ( · , · )) costituita da uno spazio vettoriale V e da un prodotto scalare in V . Capitolo I: I concetti fondamentali 8
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