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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Estratta una sottosuccessione debolmente convergente, si dimostra che il suo limite è
una soluzione del problema (4.1).
Per quanto si è detto sopra, in molti casi concreti il problema approssimato può
essere risolto per via numerica. Naturalmente, dal punto di vista numerico, la sua
risolubilità effettiva dipenderà dalla scelta degli spazi Vn e di quella delle loro basi.
Per quanto riguarda la stima dell’errore, la (4.10) fornisce delle stime concrete tutte le
volte che si dispone di un operatore Pn : V → Vn effettivamente noto e di una stima
concreta della norma v − Pnv per v ∈ V , ad esempio del tipo
v − Pnv ≤ cn −λ v ′
ove c e λ sono certe costanti positive e · ′ è una certa norma. In tali condizioni
la (4.10) implica
u − un ≤ cM
α n−λ u ′
(4.11)
e può essere applicata se l’ultima norma è finita. La verifica di questa condizione
corrisponde, nei casi concreti, a dimostrare un risultato di regolarità per la soluzione u .
Senza entrare in ulteriori dattagli e considerato solo casi corrispondenti alla forma
(4.5) e al funzionale (4.6), risultati di regolarità per u dipendono sia da ipotesi di
regolarità sui coeffienti aij e b , sui dati f e g e sull’aperto Ω , sia dalla scelta del
sottospazio V di H 1 (Ω) , scelta che stabilisce il tipo di condizioni ai limiti e che può
costituire un ostacolo alla regolarità, come avviene nei problemi di tipo misto.
Osservazione 4.5. Le stesse idee possono essere utilizzate quando il sottospazio Vn
“approssimante” è parametrizzato da un parametro di natura diversa e una situazione
tipica si riscontra della teoria degli elementi finiti: il parametro, denotato usualmente
con h , è reale e misura quanto fine sia la procedura di discretizzazione.
Supponiamo per semplicità che Ω sia un poligono di R2 e ci proponiamo di
approssimare la soluzione u del problema di Dirichlet (3.3). Consideriamo allora una
triangolazione Th di Ω , cioè una famiglia finita di triangoli chiusi la cui unione sia
la chiusura Ω di Ω e verificanti le condizioni seguenti: (i) se T ′ , T ′′ ∈ Th , allora
l’intersezione T ′ ∩T ′′ è vuota, oppure è ridotta a un vertice comune o a un lato comune ai
due triangoli considerati; (ii) tutti i lati di ogni triangolo di Th hanno lunghezza ≤ h .
Denotiamo allora on Vh il sottospazio di H1 0 (Ω) costituito dalle funzioni v ∈ H1 0 (Ω)
le cui restrizioni a ogni triangolo T ∈ Th siano polinomi di grado ≤ 1 . Ciò equivale
a dire che v ∈ Vh se e solo se v è continua in Ω , nulla su Γ e coincidente con un
polinomio di grado ≤ 1 in ogni triangolo.
Allora valgono un risultato analogo a quello dato dal Teorema 4.3, ora relativamente
a una famiglia {Th} di triangolazioni e al tendere di h a 0 , e la stima
u − uhH 1 ≤ Ch u , sotto le due ipotesi seguenti. La prima è che il poligono Ω
H2
sia convesso, altrimenti è falso che la soluzione u appartenga ad H2 (Ω) ; la seconda,
che possiamo chiamare condizione di “non appiattimento” dei triangoli, è che esista una
costante c tale che, per ogni triangolo T di ognuna delle triangolazioni considerate,
valga la disuguaglianza R(T ) ≤ c r(T ) , ove R(T ) e r(T ) denotano i raggi dei triangoli
circoscritto a T e inscritto in T rispettivamente.
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 80