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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
funzioni v la cui traccia su Γ si annulla su una parte prefissata Γ0 (occorrerebbe precisare
le ipotesi su Γ0 , ma soprassediamo). In tal caso le condizioni al bordo diventano
la condizione di Dirichlet u = 0 su Γ0 e la condizione di Neumann (A∇u) · n = g
su Γ \ Γ0 e si parla di condizioni ai limiti di tipo misto.
Nel caso particolare in cui lo spazio di Hilbert V è separabile si può dare una
approssimazione della soluzione u data dal Teorema 4.1. La procedura che presentiamo
è detta metodo di Faedo-Galerkin e ha risvolti numerici interessanti.
Grazie al Teorema V.4.4, esiste una successione non decrescente {Vn} di sottospazi
di dimensione finita la cui unione è densa. Fissiamo una tale successione e, per ogni n ,
consideriamo il seguente “problema approssimato”:
trovare un ∈ Vn tale che a(un, v) = 〈L, v〉 per ogni v ∈ Vn. (4.9)
Come si vede facilmente, anche a questo problema è applicabile il Teorema 4.1, per cui
la soluzione un esiste ed è unica. Inoltre, fissata una base per Vn e assunte come
incognite i coefficienti della combinazione lineare che esprime un in termini della base
stessa, si vede che il problema si traduce in un sistema lineare. Ebbene, vale il seguente
risultato di convergenza e di stima ottimale dell’errore:
Teorema 4.3. Nelle ipotesi del Teorema 4.1 si supponga V separabile e sia {Vn}
una successione di sottospazi di dimensione finita di V la cui unione è densa. Allora,
per le soluzioni un e u dei problemi (4.9) e (4.1) vale la stima dell’errore
u − un ≤ M
α u − v per ogni v ∈ Vn (4.10)
e la successione {un} converge fortemente a u .
Cenno della dimostrazione. Si osserva che a(u − un, v) = 0 per ogni v ∈ Vn .
Allora, per ogni v ∈ Vn , si ha
α u − un 2 ≤ a(u − un, u − un) = a(u − un, u − v) ≤ M u − un u − v
e si ottiene la (4.10). Per vedere che {un} converge a u basta dimostrare che, detta vn
la proiezione ortogonale di u su Vn , è infinitesima la successione reale {εn} di termine
generale εn = u − vn . In caso contrario, notato che {εn} decresce, si arriverebbe a
concludere che u è esterno all’unione dei Vn , contro l’ipotesi di densità.
Osservazione 4.4. Nella dimostrazione si è sfruttata l’esistenza della soluzione u del
problema (4.1), ma un ragionamento diverso consente di dimostrare l’esistenza di u a
partire dai problemi (4.9). Si ottiene dunque una dimostrazione alternativa del Teorema
di Lax-Milgram, almeno per quanto riguarda la parte dell’esistenza e nell’ipotesi
ulteriore di separabilità di V . Vediamo come si può procedere.
Osservato che l’esistenza (e l’unicità) della soluzione un del problema (4.9) può
essere dimostrata con considerazioni elementari di algebra lineare, si ottiene facilmente
la stima un ≤ (1/α) L ∗ e si può applicare il Teorema V.3.11 di compattezza debole.
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 79