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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Teorema 3.4. Sia V uno spazio normato di dimensione finita. Allora due norme
qualunque in V inducono la stessa topologia.
Cenno della dimostrazione. Per isomorfismi algebrici ci si riduce al caso V = R n .
Inoltre basta verificare l’equivalenza fra una norma generica e una fissata, ad esempio
la norma | · | p della (2.8) con p = 1 . Una delle due disuguaglianze è banale e l’altra
può essere dimostrata per assurdo con l’aiuto del Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Esempio 3.5: lo spazio euclideo (seguito). La norma euclidea di R n è data dalla
prima delle formule (1.6), che coincide con la (2.8) nel caso p = 2 . Altre norme in
R n sono date dalla (2.8), ove p ∈ [1, ∞] . La topologia indotta è sempre la topologia
euclidea, l’unica fra le topologie in R n che può essere indotta da una norma.
Esempio 3.6: lo spazio C 0 [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni
v : [a, b] → R continue. Esso è spesso denotato anche con C[a, b] o con notazioni
analoghe che fanno intervenire parentesi tonde aggiuntive e la sua norma “naturale” è
definita dalla formula
v ∞ = max {|v(t)| : 0 ≤ t ≤ 1} . (3.8)
Il fatto che tale scelta sia quella che abbiamo chiamato naturale sarà chiaro solo in
seguito. La (3.8) è detta anche norma del massimo.
Notiamo che l’intervallo chiuso [a, b] può essere sostituito da altri tipi di insiemi,
ad esempio da un sottoinsieme K di R n chiuso e limitato. La sola cosa che serve,
infatti, è che tutte le funzioni continue sull’insieme K considerato abbiano massimo.
Si ottiene lo spazio denotato con C 0 (K) .
Esempio 3.7. Un’altra norma in C 0 [a, b] è data dalla formula
v 1 =
b
a
|v(t)| dt. (3.9)
Tale norma non è equivalente alla (3.8). Più in generale, altre norme sullo stesso spazio
che inducono topologie tutte diverse fra loro sono date dalle formule
vp =
b
a
|v(t)| p 1/p
dt
(3.10)
ove 1 ≤ p < ∞ . Tale restrizione serve per verificare la disuguaglianza triangolare (3.4),
detta in questo caso disuguaglianza di Minkowski, la cui dimostrazione, al contrario di
quelle delle altre proprietà della norma, non è banale. Segnaliamo infine che risulta
v ∞ = limp→+∞ v p per ogni v ∈ C 0 [a, b] .
Esempio 3.8: lo spazio C 1 [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni
v : [a, b] → R di classe C 1 , cioè differenziabili con derivata continua. La sua topologia
naturale è quella indotta dalla norma
v = v ∞ + v ′ ∞
(3.11)
Capitolo I: I concetti fondamentali 7