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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
P (λ0, L + (λ0 − λ)Lw) , ove Lw ∈ V ′ è definito dalla formula 〈Lw, v〉 = a−(w, v) per
v ∈ V . Si dimostra allora che f è una contrazione e, applicando il Teorema III.1.9
delle contrazioni, si conclude.
Esempio 4.2: altri problemi ellittici. Sia Ω un aperto di Rn limitato lipschitziano.
Costruiamo un esempio abbastanza generale di forma a nelle condizioni del
Teorema 4.1 relativamente al caso in cui V è spazio di Sobolev H1 (Ω) . Poniamo
a(u, v) = (A∇u) · ∇v dx + buv dx (4.5)
Ω
ove A = (aij) è una matrice n × n di funzioni reali aij : Ω → R e b : Ω → R . Perché
la forma a sia ben definita e bilineare su V 2 è sufficiente supporre aij ∈ L∞ (Ω) per
ogni i, j e b ∈ L∞ (Ω) . Queste condizioni assicurano anche la prima delle (4.2) per
una costante M opportuna. Per avere la seconda con una certa costante α > 0 ,
supponiamo che valgano la condizione (3.5) di ellitticità con una certa costante α0 > 0
e la disuguaglianza infΩ b > 0 . Se come L ∈ V ′ prendiamo il funzionale dato dalla
formula
〈L, v〉 = f v dx + g v dH n−1
(4.6)
Ω
ove Γ è il bordo dell’aperto, f ∈ L 2 (Ω) e g ∈ L 2 (Γ) , il problema (4.1) si interpreta
come la formulazione variazionale di un problema ai limiti. In condizioni opportune di
regolarità, infatti, possiamo integrare per parti e vedere che il problema (4.1) equivale
a quello di trovare u ∈ V verificante
− div(A∇u) + bu v dx + (A∇u) · nv dH n−1
=
Ω
Γ
Γ
Ω
Ω
f v dx +
Γ
g v dH n−1
per ogni v ∈ V (4.7)
ove n è il versore normale a Γ diretto verso l’esterno di Ω . Ebbene si dimostra che la
(4.7) equivale a
− div(A∇u) + bu = f in Ω , (A∇u) · n = g su Γ . (4.8)
La condizione al bordo che compare nella (4.8) e che era “nascosta” nella (4.1) è detta
condizione di Neumann.
Notiamo poi che nelle ipotesi fatte su A e b il Teorema 4.1 si applica prendendo
come V un sottospazio chiuso qualunque di H 1 (Ω) e che in condizioni di regolarità
abbiamo ancora la (4.7). Se V include H 1 0 (Ω) si ha ancora un’interpretazione in termini
di problema ai limiti per lo stesso operatore ellittico che compare nella (4.8), ma
la condizione al bordo non è sempre di facile scrittura dato che può essere contenuta
in parte nella condizione u ∈ V e in parte nella (4.1). Nel caso estremo V = H 1 0 (Ω)
la condizione ai limiti è la condizione di Dirichlet u = 0 su Γ ed è tutta contenuta
nell’appartenenza di u a H 1 0 (Ω) , mentre nell’altro caso estremo V = H 1 (Ω) essa è la
condizione di Neumann di cui abbiamo detto ed è tutta contenuta nella (4.7). Un caso
intermedio si ottiene invece prendendo come V il sottospazio di H 1 (Ω) costituito dalle
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 78