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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
per ogni v ∈ V , il che assicura che la norma indotta dal prodotto scalare a è equivalente
a quella preesistente. Allora si ottiene immediatamente un teorema di esistenza e unicità
per il problema (4.1) semplicemente applicando il Teorema IV.2.4 di Riesz allo spazio
di Hilbert V con il nuovo prodotto scalare. La soluzione, inoltre, è anche l’unico punto
di minimo del funzionale associato.
Lasciamo ora cadere l’ipotesi di simmetria di a . Allora non possediamo ancora
strumenti per la risoluzione del problema posto. Inoltre, come si può vedere, il problema
non equivale nemmeno a quello della minimizzazione di un funzionale. Il risultato che
segue, noto come Lemma di Lax-Milgram, fornisce invece una risposta positiva.
Teorema 4.1. Siano V uno spazio di Hilbert e a : V 2 → R una forma bilineare e
si supponga che esistano M, α > 0 tali che valgano le (4.2). Allora, per ogni L ∈ V ′ ,
esiste uno e un solo elemento u ∈ V che verifica la (4.1) e vale la disuguaglianza
di dipendenza continua di u da L .
u ≤ 1
α L ∗
(4.3)
Cenno della dimostrazione. La (4.3), che implica anche l’unicità, di ottiene prendendo
v = u nella (4.1) e usando la V -ellitticità di a e la (IV.1.7) per L . Molto meno
immediata è l’esistenza della soluzione. Ne diamo un cenno usando il metodo detto del
prolungamento rispetto al parametro. IN questo caso il metodo fornisce anche l’unicità
già dimostrata. Introduciamo le forme bilineari a±, aλ : V 2 → R definite da
a±(u, v) = 1
a(u, v) ± a(v, u)
2
e aλ(u, v) = a+(u, v) + λa−(u, v)
ove λ ∈ R . Notiamo che a+ e a− sono dette rispettivamente parte simmetrica e parte
antisimmetrica di a . Per ogni λ ∈ R e L ∈ V ′ denotiamo con P (λ, L) il problema di
trovare u ∈ V verificante
aλ(u, v) = 〈L, v〉 per ogni v ∈ V (4.4)
e diciamo che λ è buono se per ogni L ∈ V ′ il problema P (λ, L) ha una e una sola
soluzione. Osservato che a = a1 , noi dobbiamo dimostrare che il valore λ = 1 è buono.
D’altra parte, essendo a0 = a+ ed essendo verificate da a+ le proprietà imposte ad a
e la simmetria, il valore λ = 0 è buono. Per concludere è sufficiente trovare δ > 0
verificante la condizione seguente: se un valore λ0 è buono allora è buono anche ogni
valore λ verificante |λ−λ0| ≤ δ . Mostriamo che il numero reale δ = α/(2M) risponde
allo scopo, ove M > 0 e α > 0 sono le due costanti della (4.2).
Fissiamo dunque un valore buono λ0 , un λ ∈ [λ0 − δ, λ0 + δ] e un funzionale
L ∈ V ′ e cerchiamo di dimostrare che il problema P (λ, L) ha una e una sola soluzione.
Scritta la (4.4) nella forma
aλ0(u, v) = 〈L, v〉 + (λ0 − λ)a−(u, v) per ogni v ∈ V
vediamo che le soluzioni u di P (λ, L) sono tutti e soli i punti fissi dell’applicazione
f : V → V che a ogni elemento w ∈ V associa l’unica soluzione u del problema
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 77