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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
abbiamo ottenuto. Il risultato che consideriamo è il Teorema IV.3.4 di proiezione su un
convesso e lo applichiamo nella situazione particolare che ora descriviamo.
Consideriamo un aperto Ω ⊆ R n limitato e di classe C 1 e, fissata una funzione
misurabile ψ : Ω → R , definiamo
C = v ∈ H 1 0 (Ω) : v(x) ≥ ψ(x) q.o. . (3.11)
Allora, come si vede facilmente, C è un convesso chiuso di H 1 0 (Ω) . Applichiamo allora
il Teorema IV.3.4 allo spazio di Hilbert V = H 1 0 (Ω) munito del prodotto scalare (1.4)
e al suo elemento w = 0 : se C non è vuoto, esiste una e una sola funzione u nelle
condizioni dell’enunciato, in particolare una e una sola u verificante
u ∈ C e ∇u · ∇(u − v) ≤ 0 per ogni v ∈ C. (3.12)
Ω
Notiamo subito che C può essere vuoto in situazioni che nulla hanno di patologico:
ad esempio, se ψ è la costante 1 , nessun elemento v ∈ H 1 0 (Ω) , essendo nullo al bordo,
può verificare la disuguaglianza v ≥ ψ . Occorrono dunque ipotesi su ψ , ma non
insistiamo oltre su questo punto e vediamo invece di interpretare il problema (3.12). Al
di là della regolarità della soluzione u , la prima condizione significa
u(x) ≥ ψ(x) per q.o. x ∈ Ω e u = 0 su Γ
mentre la seconda non è di interpretazione immediata. Supponendo al solito u regolare
e integrando per parti nella (3.12), deduciamo
(−∆u)(u − v) ≤ 0 per ogni v ∈ C . (3.13)
Ω
Allora, fra la possibili funzioni test v , sono ammesse tutte quelle della forma v = u + ϕ
con ϕ ∈ H 1 0 (Ω) non negativa, il che conduce a
(−∆u)ϕ ≥ 0 per ogni ϕ ∈ H
Ω
1 0 (Ω) non negativa.
Si può dimostrare che questa condizione equivale a −∆u ≥ 0 q.o. Denotiamo ora con
ω l’insieme dei punti x ∈ Ω tali che u(x) > ψ(x) , insieme che è aperto se u e ψ
sono almeno continue. In tali ipotesi, per ogni compatto K ⊂ ω , la funzione u − ψ
ha minimo positivo per cui, se ϕ è regolare in Ω e nulla fuori di un compatto K ⊂ ω
(il che implica l’annullamento su Γ ), sono ammesse, fra le v ∈ C , anche le due funzioni
v = u ± εϕ ove ε > 0 è scelto abbastanza piccolo. Dalla (3.13) deduciamo allora
(−∆u)(∓εϕ) ≤ 0 da cui (−∆u)ϕ = 0
Ω
per tutte le funzioni ϕ di cui abbiamo appena detto. Si può dimostrare che questa
condizione equivale a −∆u = 0 q.o. in ω . Riassumendo, in condizioni di regolarità
abbiamo risolto il problema seguente:
u ≥ ψ e − ∆u ≥ 0 in Ω , −∆u = 0 ove u > ψ , u = 0 su Γ . (3.14)
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 75
Ω