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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
in W 1,p (Ω) a un certo limite u ∈ W 1,p (Ω) . Ma siccome la sottosuccessione estratta
conserva anche tutte le proprietà della successione originaria, possiamo denotarla ancora
con {vn} senza complicare le notazioni. Preparato così il materiale necessario,
cerchiamo di dimostrare che u è un punto di minimo per J .
Il primo controllo riguarda l’appartenenza di u a W 1,p
0 (Ω) . L’Osservazione 2.9
assicura che W 1,p
0 (Ω) è un sottospazio chiuso di W 1,p (Ω) . Allora, per la Propo-
sizione V.3.19, W 1,p
0 (Ω) è chiuso anche rispetto alla topologia debole, per cui effet-
tivamente u ∈ W 1,p
0 (Ω) .
Ora dobbiamo controllare che J(u) = λ e per questo basta dimostrare la semicontinuità
inferiore di J rispetto alla topologia debole. Ma, come si verifica facilmente
usando la convessità della funzione ξ ↦→ |ξ| p , ξ ∈ R n , il funzionale J è convesso.
Inoltre è immediato vedere che esso è continuo rispetto alla topologia forte. Dunque
esso è semicontinuo rispetto alla topologia debole per la Proposizione V.3.18. Abbiamo
dunque dimostrato il teorema seguente:
Teorema 3.5. Siano Ω ⊂ Rn L
è un aperto limitato lipschitziano, p ∈ (1, ∞) e f ∈
p′
(Ω) . Allora il funzionale (3.7) ha almeno un punto di minimo in W 1,p
0 (Ω) .
In realtà si vede che il punto di minimo è unico sfruttando il fatto che la funzione
ξ ↦→ |ξ| p , ξ ∈ R n , è strettamente convessa dato che p > 1 .
Osservazione 3.6. Anche per questo problema di minimo vale una caratterizzazione
in termini variazionali. Presa infatti v ∈ W 1,p
0 (Ω) ad arbitrio e posto ϕ(t) = J(u + tv)
per t ∈ R come al punto (ii) della dimostrazione del Teorema IV.2.4, si scrive la
condizione di minimalità ϕ ′ (0) = 0 . Per il calcolo di ϕ ′ (0) occorre eseguire una
derivazione sotto il segno di integrale e questa è lecita per i seguenti motivi: da un lato,
essendo p > 1 , si ha ∇ξ|ξ| p = |ξ| p−2ξ per ogni ξ ∈ Rn pur di convenire |ξ| p−2ξ = 0
per ξ = 0 ; d’altra parte |∇v| ∈ Lp (Ω) e |∇u| p−1 ∈ Lp′ (Ω) dato che (p − 1)p ′ = p . Si
arriva allora a concludere che la funzione u verifica la condizione
|∇u| p−2
∇u · ∇v dx =
Ω
Ω
f v dx per ogni v ∈ W 1,p
0 (Ω). (3.9)
Anche questo problema ha soluzione unica in W 1,p
0 (Ω) , come si può dimostrare sfruttando
ancora la stretta convessità della funzione ξ ↦→ |ξ| p , ξ ∈ R n . Infine, ancora, la
(3.9) è la formulazione variazionale di un problema ai limiti, precisamente del problema
di Dirichlet per un operatore non lineare
− div(|∇u| p−2 ∇u) = f in Ω , u = 0 su Γ (3.10)
come si vede integrando per parti in ipotesi di regolarità. Vale cioè quanto segue: se
u è regolare, allora u è anche soluzione del problema (3.10); se u non è regolare il
problema (3.10) non ha soluzioni classiche. Segnaliamo che l’operatore che compare al
primo membro della (3.10) si chiama p -laplaciano e osserviamo che esso coincide con
∆ se p = 2 .
Vediamo ora un terzo problema ellittico, partendo direttamente dall’applicazione
di un risultato astratto e cercando successivamente l’interpretazione concreta di quanto
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 74