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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Se u non è regolare, tuttavia, rimane il risultato dato dal Teorema 3.1 e il problema
(3.3) non ha soluzioni classiche. Si usa dire che la (3.1) è la formulazione variazionale
del problema (3.3), oppure che noi abbiamo risolto il problema (3.3) in forma debole.
Segnaliamo incidentalmente che l’equazione di Poisson cui siamo pervenuti, e che
è condizione sostanzialmente necessaria perché u sia un punto di minimo del funzionale
considerato, è detta equazione di Eulero (o di Eulero-Lagrange) del problema di minimo
stesso. La stessa terminologia viene usata in connessione con altri problemi di
minimo analoghi (l’equazione di Eulero essendo naturalmente diversa di volta in volta),
o addirittura in situazioni astratte. Così, nel caso della minimizzazione del funzionale
quadratico (IV.2.5), possiamo dire che l’equazione di Eulero è costituita dalla (IV.2.4).
Osservazione 3.3. Si noti che, mentre il problema (3.3) è del secondo ordine, nella
(3.1) agiscono sulla soluzione solo derivazioni del primo ordine. Dunque, considerando
la formulazione variazionale, stiamo implicitamente parlando di derivate seconde senza
farle intervenire esplicitamente.
Sottolineiamo infine una conseguenza dell’uguaglianza u = L ∗ data dal Teorema
IV.2.3 (ma sfruttiamo, di fatto, solo la disuguaglianza). Tenendo conto del Teorema
2.10, otteniamo u 1,2 ≤ c L ∗ per una certa costante c . Ma la seconda
delle (1.3) fornisce L ∗ ≤ f 2 , per cui concludiamo che vale la disuguaglianza
u 1,2 ≤ c f 2 per una certa costante c . Ciò assicura che l’applicazione lineare che
alla generica f ∈ L 2 (Ω) associa la soluzione u del problema considerato è continua da
L 2 (Ω) in H 1 (Ω) . Considerazioni analoghe si possono fare in casi più generali, come
quello dell’osservazione che segue.
Osservazione 3.4. Si sarebbe dovuto parlare di problemi ellittici, dati i titoli del
capitolo e del paragrafo. In effetti, quello appena considerato è, per certi versi, il
prototipo dei problemi ellittici del secondo ordine e la sua prima generalizzazione è
quella che ora illustriamo e che fa intervenire il termine “ellittico” in modo esplicito. Se
consideriamo, in luogo di (1.4), l’integrale
(u, v) =
Ω
(A∇u) · ∇v dx (3.4)
ove A è una matrice di funzioni aij : Ω → R , nulla sostanzialmente cambia purché la
(3.4) definisca in H 1 0 (Ω) un prodotto scalare e che questo sia topologicamente equivalente
a quello dato dalla (1.4). Richiediamo allora le condizioni seguenti: aij ∈ L ∞ (Ω)
per ogni i, j , la matrice A sia simmetrica ed esista una costante α0 > 0 tale che
(A(x)ξ) · ξ ≥ α0|ξ| 2 per ogni ξ ∈ R n e per q.o x ∈ Ω . (3.5)
L’ultima condizione è detta condizione di ellitticità uniforme ed esprime che la matrice
A(x) è definita positiva uniformemente rispetto al punto. Si noti che il caso trattato
sopra corrispondere a scegliere come A la matrice unità. Allora, se tutte queste condizioni
sono soddisfatte, basta munire H 1 0 (Ω) del nuovo prodotto scalare e applicare
il Teorema IV.2.4 al funzionale relativo alla norma indotta per generalizzare quanto è
stato fatto. In condizioni di regolarità (non tanto su u quanto piuttosto su A∇u ) resta
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 72