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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale compare nel funzionale quando vogliamo identificare (1.2) con (IV.2.5). Tuttavia le norme sono equivalenti grazie al risultato dato di seguito. Teorema 2.10. Siano p ∈ (1, ∞) , Ω ⊂ R n un aperto limitato lipschitziano e Γ il bordo di Ω . Allora esiste una costante c > 0 tale che valga la disuguaglianza v p ≤ c ∇v p per ogni v ∈ W 1,p 0 (Ω) (2.11) detta disuguaglianza di Poincaré e il secondo membro della (2.11) definisce una norma in W 1,p 0 (Ω) equivalente a quella indotta dalla norma di W 1,p (Ω) . Avvertiamo che, con la definizione di W 1,p 0 (Ω) più generale cui si è accennato sopra, si potrebbe evitare di fare l’ipotesi che Ω sia lipschitziano e ottenere il Teorema 2.10 per ogni aperto Ω limitato. L’ipotesi di limitatezza può poi essere attenuata (basta la limitatezza “in una direzione”) ma non completamente soppressa. Per semplicità, tuttavia, non indaghiamo oltre su questo punto. 3. Qualche semplice problema ellittico A questo punto abbiamo tutti gli strumenti per studiare compiutamente il problema del minimo del funzionale (1.2) sullo spazio H 1 0 (Ω) : si può applicare infatti il Teorema IV.2.4 e ottenere il risultato enunciato di seguito. Teorema 3.1. Siano Ω un aperto limitato lipschitziano e f ∈ L 2 (Ω) . Allora esiste una e una sola funzione u ∈ H 1 0 (Ω) che minimizza il funzionale (1.2) su H 1 0 (Ω) . Inoltre tale u è anche l’unico elemento di H 1 0 (Ω) che verifica Ω ∇u · ∇v dx = fv dx per ogni v ∈ H Ω 1 0 (Ω). (3.1) Le funzioni v che intervengono nella (3.1) sono dette funzioni test, intendendo con questo termine il ruolo che esse svolgono nella (3.1) stessa. La stessa espressione è usata in contesti simili. Osservazione 3.2. Supponiamo ora che u sia regolare quanto basta, lasciando vago il significato della parola “regolare”, e integriamo per parti nella (3.1). Deduciamo Ω (−∆u) v = fv dx per ogni v ∈ H Ω 1 0 (Ω) . (3.2) ove ∆ = div grad è l’operatore di Laplace e, viceversa, dalla (3.2) si può risalire alla (3.1). Ora, si può dimostrare che la condizione (3.2) equivale all’equazione alle derivate parziali −∆u = f , detta equazione di Poisson, per cui u è l’unica soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Poisson, vale a dire del problema ai limiti −∆u = f in Ω , u = 0 su Γ . (3.3) Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 71
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Se u non è regolare, tuttavia, rimane il risultato dato dal Teorema 3.1 e il problema (3.3) non ha soluzioni classiche. Si usa dire che la (3.1) è la formulazione variazionale del problema (3.3), oppure che noi abbiamo risolto il problema (3.3) in forma debole. Segnaliamo incidentalmente che l’equazione di Poisson cui siamo pervenuti, e che è condizione sostanzialmente necessaria perché u sia un punto di minimo del funzionale considerato, è detta equazione di Eulero (o di Eulero-Lagrange) del problema di minimo stesso. La stessa terminologia viene usata in connessione con altri problemi di minimo analoghi (l’equazione di Eulero essendo naturalmente diversa di volta in volta), o addirittura in situazioni astratte. Così, nel caso della minimizzazione del funzionale quadratico (IV.2.5), possiamo dire che l’equazione di Eulero è costituita dalla (IV.2.4). Osservazione 3.3. Si noti che, mentre il problema (3.3) è del secondo ordine, nella (3.1) agiscono sulla soluzione solo derivazioni del primo ordine. Dunque, considerando la formulazione variazionale, stiamo implicitamente parlando di derivate seconde senza farle intervenire esplicitamente. Sottolineiamo infine una conseguenza dell’uguaglianza u = L ∗ data dal Teorema IV.2.3 (ma sfruttiamo, di fatto, solo la disuguaglianza). Tenendo conto del Teorema 2.10, otteniamo u 1,2 ≤ c L ∗ per una certa costante c . Ma la seconda delle (1.3) fornisce L ∗ ≤ f 2 , per cui concludiamo che vale la disuguaglianza u 1,2 ≤ c f 2 per una certa costante c . Ciò assicura che l’applicazione lineare che alla generica f ∈ L 2 (Ω) associa la soluzione u del problema considerato è continua da L 2 (Ω) in H 1 (Ω) . Considerazioni analoghe si possono fare in casi più generali, come quello dell’osservazione che segue. Osservazione 3.4. Si sarebbe dovuto parlare di problemi ellittici, dati i titoli del capitolo e del paragrafo. In effetti, quello appena considerato è, per certi versi, il prototipo dei problemi ellittici del secondo ordine e la sua prima generalizzazione è quella che ora illustriamo e che fa intervenire il termine “ellittico” in modo esplicito. Se consideriamo, in luogo di (1.4), l’integrale (u, v) = Ω (A∇u) · ∇v dx (3.4) ove A è una matrice di funzioni aij : Ω → R , nulla sostanzialmente cambia purché la (3.4) definisca in H 1 0 (Ω) un prodotto scalare e che questo sia topologicamente equivalente a quello dato dalla (1.4). Richiediamo allora le condizioni seguenti: aij ∈ L ∞ (Ω) per ogni i, j , la matrice A sia simmetrica ed esista una costante α0 > 0 tale che (A(x)ξ) · ξ ≥ α0|ξ| 2 per ogni ξ ∈ R n e per q.o x ∈ Ω . (3.5) L’ultima condizione è detta condizione di ellitticità uniforme ed esprime che la matrice A(x) è definita positiva uniformemente rispetto al punto. Si noti che il caso trattato sopra corrispondere a scegliere come A la matrice unità. Allora, se tutte queste condizioni sono soddisfatte, basta munire H 1 0 (Ω) del nuovo prodotto scalare e applicare il Teorema IV.2.4 al funzionale relativo alla norma indotta per generalizzare quanto è stato fatto. In condizioni di regolarità (non tanto su u quanto piuttosto su A∇u ) resta Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 72
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