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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Questo inconveniente è eliminato dal risultato che presentiamo di seguito, il quale attribuisce in generale un significato alla scrittura v|Γ per ogni v ∈ W 1,p (Ω) e per ogni p ∈ (1, ∞) , in particolare anche nel caso 1 distinzioni e complicazioni. Precisiamo che C 1 (Ω) denota lo spazio delle funzioni v : Ω → R che hanno un prolungamento di classe C 1 definito in tutto R n e nullo fuori di un compatto. Per tali funzioni v il significato di v|Γ è il seguente: v|Γ(x) = lim y→x v(y) per ogni x ∈ Γ. (2.7) Teorema 2.7. Siano p ∈ (1, ∞) , Ω ⊂ R n un aperto limitato lipschitziano oppure un semispazio aperto di R n e Γ il bordo di Ω . Allora esiste uno e un solo operatore lineare e continuo v ↦→ v|Γ, v ∈ W 1,p (Ω), (2.8) da W 1,p (Ω) in L p (Γ) tale che, per ogni v ∈ C 1 (Ω) , v|Γ coincide con la funzione (2.7). Vale inoltre la formula di integrazione per parti Ω ∂u ∂xi v dx = − u Ω ∂v dx + u v ni dH ∂xi Γ n−1 (2.9) per ogni u ∈ W 1,p (Ω) e v ∈ W 1,p′ (Ω) , ove ni è l’ i -esima componente del versore normale a Γ diretto verso l’esterno di Ω . L’operatore di cui si parla nel teorema è chiamato operatore di traccia e il teorema stesso viene detto Teorema di traccia per questo motivo. Notiamo poi che tutti gli integrali che compaiono nella (2.9) hanno senso grazie alla disuguaglianza di Hölder. Cenno della dimostrazione. Il procedimento non è banale e si fonda sui passi seguenti: (i) il sottospazio C 1 (Ω) , che momentaneamente denotiamo con V per comodità, è denso in W 1,p (Ω) ; (ii) l’operatore lineare v ↦→ v|Γ da V in L p (Γ) è continuo se V è munito della topologia indotta da quella di W 1,p (Ω) ; (iii) tale operatore si può prolungare in uno e un solo modo a un operatore lineare e continuo da W 1,p (Ω) in L p (Γ) ; (iv) si scrive la formula di integrazione per parti su approssimanti di classe C 1 delle funzioni u e v e si passa al limite. Particolarmente delicati, almeno se n > 1 , sono i primi due punti. Qui ci limitiamo a dimostrare il punto (ii) nel caso particolare in cui Ω è il semispazio. Fissiamo v ∈ C 1 (Ω) , scriviamo il generico punto x ∈ R n come x = (x ′ , xn) ove x ′ = (x1, . . . , xn−1) e, per semplicità, denotiamo con ∂n la derivazione parziale rispetto a xn . Conserviamo la notazione · p per la norma in L p (Ω) ma, per evitare confusioni, denotiamo con · p,Γ la norma in L p (Γ) . Osservato che la funzione y ↦→ |y| p , y ∈ R , è differenziabile ovunque dato che p > 1 e che la sua derivata vale |y| p−2 y in ogni punto y pur di convenire che |y| p−2 y = 0 se y = 0 , per ogni x ∈ Ω abbiamo |v(x ′ , 0)| p = |v(x ′ , xn)| p xn − p |v(x 0 ′ , t)| p−2 v(x ′ , t) ∂nv(x ′ , t) dt. Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 69
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Imponendo la restrizione xn ≤ 1 deduciamo |v(x ′ , 0)| p ≤ |v(x ′ , xn)| p 1 + p |v(x 0 ′ , t)| p−1 |∂nv(x ′ , t)| dt e integrando in R n−1 rispetto a x ′ e in (0, 1) rispetto a xn otteniamo R n−1 |v(x ′ , 0)| p dx ′ ≤ Ω |v(x ′ , xn)| p dx ′ dxn + p |v(x Ω ′ , t)| p−1 |∂nv(x ′ , t)| dx ′ dt. Usiamo la disuguaglianza (IV.2.2) di Hölder. Notato che (p − 1)p ′ = p abbiamo v|Γ p p,Γ ≤ vp p + p vp/p′ p ∂nvp . Applichiamo ora la disuguaglianza di Young ab ≤ (1/p)ap + (1/p ′ )bp′ , che vale per ogni a, b ≥ 0 , con le scelte a = ∂nv p e b = v p . Essendo 1 + (p/p ′ ) = p otteniamo e la (IV.1.1) vale con M = p 1/p . v|Γ p p p,Γ ≤ p vp p + ∂nvp ≤ p vp 1,p Risolto così il problema delle tracce, ha senso parlare di funzioni nulle al bordo e possiamo dare la definizione seguente: Definizione 2.8. Siano p ∈ (1, ∞) , Ω ⊂ R n un aperto limitato lipschitziano e Γ il bordo di Ω . Poniamo Poniamo inoltre H 1 0 (Ω) = W 1,2 0 (Ω) . W 1,p 0 (Ω) = v ∈ W 1,p (Ω) : v|Γ = 0 . (2.10) Osservazione 2.9. Si osservi che W 1,p 0 (Ω) è definito come il nucleo di un operatore lineare e continuo. Dunque esso è un sottospazio chiuso di W 1,p (Ω) , in particolare esso è completo rispetto alla norma indotta. Valgono poi per W 1,p 0 (Ω) le stesse proprietà che il Teorema 2.5 attribuisce a W 1,p (Ω) . Avvertiamo però che più spesso il sottospazio W 1,p 0 (Ω) è definito come la chiusura in W 1,p (Ω) del sottospazio costituito dalle funzioni di classe C ∞ a supporto compatto. Questa definizione si presta al caso di un aperto Ω completamente generico e coincide con quella data sopra nel caso dell’aperto limitato lipschitziano. Segnaliamo infine che il duale dello spazio W 1,p 0 (Ω) si denota con W −1,p′ (Ω) , con la scrittura abbreviata H −1 (Ω) nel caso p = 2 . Tali spazi vengono pure annoverati fra gli spazi di Sobolev. In casi come questi si parla di spazi a esponente negativo. Riprendiamo il discorso della minimizzazione del funzionale (1.2). Allora lo spazio che dobbiamo prendere come ambiente non è tanto H 1 (Ω) quanto piuttosto H 1 0 (Ω) , e sorge un altro problema: la norma che H 1 (Ω) induce su H 1 0 (Ω) non è la stessa che Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 70
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