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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Questo inconveniente è eliminato dal risultato che presentiamo di seguito, il quale attribuisce
in generale un significato alla scrittura v|Γ per ogni v ∈ W 1,p (Ω) e per ogni
p ∈ (1, ∞) , in particolare anche nel caso 1 < p ≤ n .
I valori estremi p = 1 e p = ∞ , che pure potrebbeno essere considerati, sono
esclusi qui e nel seguito per semplicità, cioè per evitare distinzioni e complicazioni.
Precisiamo che C 1 (Ω) denota lo spazio delle funzioni v : Ω → R che hanno un
prolungamento di classe C 1 definito in tutto R n e nullo fuori di un compatto. Per tali
funzioni v il significato di v|Γ è il seguente:
v|Γ(x) = lim
y→x v(y) per ogni x ∈ Γ. (2.7)
Teorema 2.7. Siano p ∈ (1, ∞) , Ω ⊂ R n un aperto limitato lipschitziano oppure
un semispazio aperto di R n e Γ il bordo di Ω . Allora esiste uno e un solo operatore
lineare e continuo
v ↦→ v|Γ, v ∈ W 1,p (Ω), (2.8)
da W 1,p (Ω) in L p (Γ) tale che, per ogni v ∈ C 1 (Ω) , v|Γ coincide con la funzione (2.7).
Vale inoltre la formula di integrazione per parti
Ω
∂u
∂xi
v dx = − u
Ω
∂v
dx + u v ni dH
∂xi Γ
n−1
(2.9)
per ogni u ∈ W 1,p (Ω) e v ∈ W 1,p′ (Ω) , ove ni è l’ i -esima componente del versore
normale a Γ diretto verso l’esterno di Ω .
L’operatore di cui si parla nel teorema è chiamato operatore di traccia e il teorema
stesso viene detto Teorema di traccia per questo motivo. Notiamo poi che tutti gli
integrali che compaiono nella (2.9) hanno senso grazie alla disuguaglianza di Hölder.
Cenno della dimostrazione. Il procedimento non è banale e si fonda sui passi
seguenti: (i) il sottospazio C 1 (Ω) , che momentaneamente denotiamo con V per comodità,
è denso in W 1,p (Ω) ; (ii) l’operatore lineare v ↦→ v|Γ da V in L p (Γ) è
continuo se V è munito della topologia indotta da quella di W 1,p (Ω) ; (iii) tale operatore
si può prolungare in uno e un solo modo a un operatore lineare e continuo da
W 1,p (Ω) in L p (Γ) ; (iv) si scrive la formula di integrazione per parti su approssimanti
di classe C 1 delle funzioni u e v e si passa al limite.
Particolarmente delicati, almeno se n > 1 , sono i primi due punti. Qui ci
limitiamo a dimostrare il punto (ii) nel caso particolare in cui Ω è il semispazio.
Fissiamo v ∈ C 1 (Ω) , scriviamo il generico punto x ∈ R n come x = (x ′ , xn) ove
x ′ = (x1, . . . , xn−1) e, per semplicità, denotiamo con ∂n la derivazione parziale rispetto
a xn . Conserviamo la notazione · p per la norma in L p (Ω) ma, per evitare confusioni,
denotiamo con · p,Γ la norma in L p (Γ) . Osservato che la funzione y ↦→ |y| p ,
y ∈ R , è differenziabile ovunque dato che p > 1 e che la sua derivata vale |y| p−2 y in
ogni punto y pur di convenire che |y| p−2 y = 0 se y = 0 , per ogni x ∈ Ω abbiamo
|v(x ′ , 0)| p = |v(x ′ , xn)| p xn
− p |v(x
0
′ , t)| p−2 v(x ′ , t) ∂nv(x ′ , t) dt.
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 69