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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Osservazione 2.4. Lo spazio W 1,p (Ω) è analogo allo spazio C 1 (Ω) (Esempio I.3.9):
lo “spazio di riferimento” C 0 (Ω) è qui sostituito da L p (Ω) e le derivate sono intese in
senso debole (si noti incidentalmente che non sorgono le difficoltà segnalate nell’esempio
citato, per cui non è necessario imporre ipotesi particolari su Ω ). Allora, come è stato
possibile generalizzare e passare da C 1 (Ω) a C k (Ω) , qui si può generalizzare arrivando
agli spazi di Sobolev W k,p (Ω) con k > 1 . Ad esempio, dire che una funzione v appartiene
a W 2,p (Ω) significa dire che v ∈ W 1,p (Ω) e che tutte le sue derivate parziali
(deboli) appartengono a W 1,p (Ω) . La norma si definisce poi in modo naturale. Tuttavia,
per semplicità, ci limiteremo al caso k = 1 e tratteremo solo gli spazi W 1,p (Ω) .
Teorema 2.5. Per ogni p ∈ [1, ∞] lo spazio W 1,p (Ω) è uno spazio di Banach. Esso
è poi separabile se e solo se p ∈ [1, ∞) , riflessivo se e solo se p ∈ (1, ∞) e di Hilbert
se e solo se p = 2 , nel qual caso il prodotto scalare è dato dalla formula
(u, v)1 =
Ω
uv + ∇u · ∇v) dx. (2.4)
Cenno della dimostrazione. Molte delle affermazioni del teorema possono essere
dimostrate senza eccessive difficoltà osservando preliminarmente che la formula
Lv =
v, ∂v/∂x1, . . . , ∂v/∂xn
definisce un’applicazione da W 1,p (Ω) in (L p (Ω)) n+1 lineare e isometrica e che il sottospazio
immagine di L è chiuso. Ad esempio la completezza per ogni p ∈ [1, ∞]
segue dai Teoremi III.1.6 e III.1.8 e dalla (III.1.2) e la separabilità per p ∈ [1, ∞)
e la riflessività per p ∈ (1, ∞) seguono da quanto affermato nelle Osservazioni V.4.6
e V.3.14 rispettivamente. La necessità delle condizioni imposte a p per le varie tesi, invece,
è più delicata. Precisiamo poi che, se p = 2 , nessuna norma equivalente è indotta
da un prodotto scalare.
Osservazione 2.6. Il caso p = ∞ conduce a uno spazio che è simile a quello delle
funzioni lipschitziane e che coincide con questo se Ω è un aperto limitato lipschitziano.
Ricordiamo la definizione di aperto lipschitziano, dato che questa ipotesi sarà usata
anche in seguito. Un aperto Ω ⊂ R n (n > 1) di bordo Γ è lipschitziano quando, per
ogni punto x ∈ Γ esistono un sistema di coordinate ortogonali y1, . . . , yn , un aperto
ω ⊆ R n−1 , una funzione ϕ : ω → R lipschitziana e un numero reale δ > 0 tali che i
punti (y ′ , yn) ∈ R n−1 × R = R n verificanti y ′ ∈ ω e |yn − ϕ(y ′ )| < δ costituiscano
un intorno di x nelle nuove coordinate e, per tali punti, le condizioni y ∈ Γ e y ∈ Ω
equivalgano rispettivamente alle condizioni yn = ϕ(y ′ ) e yn > ϕ(y ′ ) .
Supponiamo allora 1 ≤ p < ∞ . In tal caso vi è un altro spazio che ragionevolmente
svolge un ruolo ugualmente buono, anzi, si direbbe, migliore: il completamento
di C ∞ (Ω) ∩ W 1,p (Ω) rispetto alla prima delle norme (2.3). Tale spazio è stato effettivemente
introdotto ed è stato denotato con H 1,p (Ω) . Si è naturalmente posto il
problema del confronto fra H 1,p (Ω) e W 1,p (Ω) , eventualmente in ipotesi opportune
su Ω . Ebbene, un celebre teorema, chiamato “ H = W ” e dovuto a Meyers-Serrin,
afferma che i due spazi sono isomorfi. Precisamente, senza ipotesi alcuna su Ω , esso
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 67