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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
in un punto x0 fa intervenire u(x0) e perde di significato quando è applicata a classi
di funzioni misurabili, per le quali il valore nel punto ha perso di significato.
Nella definizione che segue usiamo l’espressione funzione a supporto compatto
per una funzione v : Ω → R con il significato seguente: esiste un compatto K ⊂ Ω
(che dipende dalla v fissata di volta in volta) tale che v è nulla in Ω \ K .
Definizione 2.1. Siano Ω un aperto di Rn e u ∈ L1 loc (Ω) . Diciamo che u ha
derivata debole rispetto alla i -esima variabile quando esiste una funzione w ∈ L1 loc (Ω)
che verifica la formula di integrazione per parti
Ω
wv dx = −
per tutte le funzioni v ∈ C 1 (Ω) a supporto compatto.
Ω
u ∂v
dx (2.1)
∂xi
Si noti che i due integrali che compaiono nella (2.1) hanno senso. Infatti, fissata
v di classe C 1 a supporto compatto e considerato il compatto K fuori del quale v è
nulla, ciascuno dei due integrandi è il prodotto di una funzione integrabile in K per
una funzione limitata in K .
Osservazione 2.2. Si noti che, se u è di classe C1 , allora u ∈ L1 loc (Ω) e come w
possiamo prendere proprio la derivata classica ∂u/∂xi , che pure appartiene a L1 loc (Ω) .
Invece, se u è un generico elemento di L1 loc (Ω) , in generale u non ha derivata debole,
cioè non esiste alcuna w ∈ L1 loc (Ω) nelle condizioni della definizione (ad esempio, nessuna
funzione a scala non costante su un intervallo ha derivata debole). Tuttavia si
riesce a dimostrare che, se una tale w esiste, allora essa è unica. In tal caso l’unica w
ammissibile è detta la derivata debole e viene denotata con il simbolo consueto ∂u/∂xi .
Pertanto, per la definizione stessa, vale la formula
∂u
v dx = − u
∂xi
∂v
dx (2.2)
∂xi
per ogni v ∈ C 1 (Ω) a supporto compatto.
Ω
Definiamo ora lo spazio di Sobolev W 1,p (Ω) . La definizione ha senso in quanto
(Ω) per ogni p ∈ [1, ∞] , come conseguenza del Teorema IV.2.1.
L p (Ω) ⊆ L 1 loc
Definizione 2.3. Se Ω è un aperto di Rn e p ∈ [1, ∞] denotiamo con W 1,p (Ω)
lo spazio vettoriale delle funzioni v ∈ Lp (Ω) verificanti la condizione seguente: per
i = 1, . . . , n esiste la derivata debole di u rispetto alla i -esima variabile e questa
appartiene a Lp (Ω) . Muniamo poi W 1,p (Ω) della norma
v1,p =
p p
|v| + |∇v| 1/p oppure v1,∞ = max {v∞ , ∇v∞ } (2.3)
Ω
rispettivamente nei due casi p < ∞ e p = ∞ .
Naturalmente il gradiente che compare nelle (2.3) è il vettore delle derivate parziali,
ora intese in senso debole.
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 66
Ω