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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
funzionale che compaiono nella (IV.2.5) sono quelli dati dalle formule
v = ∇v2 e 〈L, v〉 =
Ω
fv dx. (1.3)
Si noti che la norma considerata è effettivamente una norma in un qualunque spazio V
ragionevole di funzioni nulle sul bordo Γ . Infatti l’unico problema lo potrebbe offrire
la (I.3.2), ma la condizione v = 0 implica (ragionevolmente) che v sia costante
su ciascuna delle componenti connesse di Ω e la condizione di annullamento al bordo
garantisce allora che v = 0 . Tale norma, inoltre, è indotta dal prodotto scalare
(u, v) =
Ω
∇u · ∇v dx. (1.4)
D’altra parte la disuguaglianza (I.3.19) di Schwarz in L 2 (Ω) , che coincide con la disuguaglianza
(IV.2.2) di Hölder con p = 2 , garantisce che
| 〈L, v〉 | ≤ f 2 v 2
non appena supponiamo f ∈ L 2 (Ω) , e la condizione (IV.1.1) (con W = R ) è soddisfatta
con M = c f 2 se lo spazio V che dobbiamo scegliere e la sua norma verificano
V ⊆ L 2 (Ω) e v 2 ≤ c v per ogni v ∈ V.
Allora tutto sembra andare nella giusta direzione, purché riusciamo a soddisfare l’ipotesi
fondamentale del Teorema IV.2.4 che intendiamo applicare: la completezza.
Ecco dunque l’esigenza di costruire uno sottospazio V di L 2 (Ω) che sia uno spazio
di Hilbert rispetto al prodotto scalare (1.4). Ora il problema vero è quello di definire
rigorosamente la regolarità delle funzioni che dovranno appartenere a V e la regolarità
C 1 non funziona perché non garantisce la completezza.
Più in generale, se si vuole che i risultati del Capitolo 5 siano applicabili a problemi
di minimizzazione di funzionali di tipo (1.1), occorre costruire spazi la cui definizione fa
intervenire le derivate e che siano riflessivi, e ancora gli spazi di tipo C 1 sono inadeguati:
occorre imitare, per quanto possibile, la costruzione di C 1 ma a partire da L p con
p ∈ (1, ∞) anziché da C 0 .
2. Spazi di Sobolev
Questi sono gli spazi che rispondono allo scopo. La loro definizione che diamo ha senso
per p ∈ [1, ∞] ma le proprietà migliori dal punto di vista dell’analisi funzionale si
hanno se p ∈ (1, ∞) o addirittura nel caso p = 2 , che è quello hilbertiano.
La definizione di spazio di Sobolev si basa su di una nuova definizione di derivata
parziale, detta derivata debole o anche derivata nel senso delle distribuzioni e adatta
a funzioni definite solo q.o., come quelle dello spazio L1 loc (Ω) introdotto nell’Esempio
III.3.14. Osserviamo infatti che la definizione classica di derivata di una funzione u
Capitolo VI: Primi problemi ellittici variazionali 65