(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica
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Capitolo VI<br />
Primi problemi ellittici variazionali<br />
Diamo qualche cenno su certi problemi relativi a una classe <strong>di</strong> equazioni alle derivate<br />
parziali, dette a<strong>pp</strong>unto <strong>di</strong> tipo ellittico, prendendo in considerazione problemi che consistono<br />
nella ricerca delle soluzioni dell’equazione che verificano con<strong>di</strong>zioni aggiuntive<br />
dette con<strong>di</strong>zioni al contorno o<strong>pp</strong>ure con<strong>di</strong>zioni ai limiti. Nel caso delle equazioni del<br />
secondo or<strong>di</strong>ne queste consistono nell’imporre alle soluzioni u dell’equazione ellittica<br />
considerata una con<strong>di</strong>zione in ogni punto del bordo dell’aperto Ω in cui il problema<br />
stesso è posto. Si noti che, nel caso mono<strong>di</strong>mensionale in cui Ω è un intervallo limitato<br />
(a, b) e sempre nel caso del secondo or<strong>di</strong>ne, l’equazione alle derivate parziali <strong>di</strong>venta<br />
un’equazione <strong>di</strong>fferenziale or<strong>di</strong>naria e le con<strong>di</strong>zioni ai limiti per u consistono in una con<strong>di</strong>zione<br />
relativa al punto a e in una relativa al punto b , il che lascia sperare in risultati<br />
<strong>di</strong> esistenza e unicità.<br />
1. Motivazioni per nuovi spazi funzionali<br />
Molti problemi ellittici costituiscono modelli matematici <strong>di</strong> fenomeni stazionari e molti<br />
<strong>di</strong> questi sono connessi con problemi <strong>di</strong> minimo. Consideriamo come problema-modello<br />
un tipico problema <strong>di</strong> calcolo delle variazioni: minimizzare l’integrale<br />
<br />
J(v) =<br />
Ω<br />
F (x, v(x), ∇v(x)) dx (1.1)<br />
fra le funzioni v : Ω → R che hanno una certa regolarità e che si annullano in ogni<br />
punto del bordo Γ <strong>di</strong> Ω , cioè, che verificano la cosiddetta con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> Dirichlet.<br />
Nella (1.1) Ω è un aperto limitato <strong>di</strong> R n e F è una funzione reale definita nel prodotto<br />
cartesiano Ω × R × R n . Il caso più semplice è quello in cui F è dato dalla formula<br />
F (x, s, ξ) = (1/2)|ξ| 2 − f(x)s , ove f : Ω → R è una funzione assegnata e il coefficiente<br />
1/2 non ha nulla <strong>di</strong> essenziale. La (1.1) <strong>di</strong>venta l’integrale<br />
J(v) = 1<br />
<br />
|∇v|<br />
2 Ω<br />
2 <br />
dx − fv dx (1.2)<br />
Ω<br />
detto integrale <strong>di</strong> Dirichlet. La nostra intenzione è quella <strong>di</strong> usare i meto<strong>di</strong> <strong>di</strong> analisi<br />
funzionale dei capitoli precedenti per stu<strong>di</strong>are questioni <strong>di</strong> esistenza e <strong>di</strong> unicità del<br />
minimo dei funzionali (1.1) e (1.2). Naturalmente siamo <strong>di</strong>sposti a pagare facendo<br />
ipotesi sul dominio Ω e sulle funzioni F e f .<br />
Ebbene, se confrontiamo il funzionale (1.2) con quello dato dalla formula (IV.2.5),<br />
notiamo una profonda analogia. Anzi essi formalmente coincidono se la norma e il