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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Esempio 4.2: lo spazio euclideo (seguito). Indipendentemente da quanto abbiamo
appena detto, vediamo direttamente dalla definizione che lo spazio euclideo R n è
separabile: infatti Q n è contemporaneamente numerabile e denso. Deduciamo che è
separabile ogni spazio normato di dimensione finita, dato che esso è omeomorfo a uno
spazio euclideo e la separabilità si trasporta mediante omeomorfismi.
Esempio 4.3: lo spazio L ∞ (Ω) (seguito). Le cose cambiano invece in dimensione
infinita. Ad esempio, si dimostra che L ∞ (Ω) non è separabile e possiamo controllare
questa affermazione nel caso Ω = R . Denotiamo per semplicità con V lo spazio
L ∞ (R) . Per ogni s ∈ R consideriamo la funzione vs ∈ V definita q.o. dalle formule
vs(x) = 2 se x < s e vs(x) = 0 se x > s . Sia ora E un qualunque sottoinsieme denso
in V . Allora, per ogni s ∈ R , l’insieme E deve avere almeno un punto us ∈ B1(vs) .
D’altra parte, se r = s , risulta vr − vs ∞ = 2 , per cui le palle B1(vr) e B1(vs)
sono disgiunte e i due punti ur e us sono distinti. Dunque E contiene un’infinità non
numerabile di punti.
Teorema 4.4. Uno spazio normato V è separabile se e solo se esiste una successione
non decrescente {Vn} di sottospazi di dimensione finita la cui unione è densa.
Cenno della dimostrazione. Se V è separabile, considerato un suo sottoinsieme
denso che sia l’immagine di una successione {xn} si può prendere come Vn il sottospazio
generato da x1, . . . , xn e verificare quanto è affermato nell’enunciato.
Viceversa, se {Vn} è come nell’enunciato, scelto per ogni n un sottoinsieme Dn
al più numerabile e denso in Vn , l’unione dei Dn è al più numerabile e densa in V .
Esempio 4.5: lo spazio L p (Ω) (seguito). Se 1 ≤ p < ∞ lo spazio L p (Ω) è
separabile. Consideriamo per semplicità il caso Ω = (0, 1) e poniamo V = L p (0, 1) .
Per ogni n suddividiamo l’intervallo (0, 1) in 2 n intervalli uguali e denotiamo con
Vn il sottospazio di V costituito dalle funzioni che sono costanti in ciascuno degli
intervallini della suddivisione. Allora Vn ha dimensione 2 n e Vn ⊆ Vn+1 per ogni n .
D’altra parte, siccome le funzioni a scala costituiscono un sottoinsieme denso di V e
ogni funzione a scala può a sua volta essere approssimata nella norma di V con funzioni
a scala che hanno salti solo in punti del tipo k 2 n , cioè con funzioni che appartengono
all’unione dei Vn , tale unione è densa e V è separabile.
Osservazione 4.6. Non è difficile vedere che, già nell’ambito di spazi topologici generici,
la separabità si conserva per mezzo delle operazioni di omeomorfismo, di prodotto
topologico e di passaggio al sottospazio topologico. Così, se X1, . . . , Xm sono spazi
topologici separabili e se Y è omeomorfo a un sottoinsieme del prodotto degli Xi ,
anche Y è separabile. Allora sono separabili anche i già menzionati spazi di Sobolev
con p ∈ [1, ∞) , che sono omeomorfi a sottoinsiemi di prodotti di spazi L p .
5. Topologia debole* nel duale
Consideriamo uno spazio di Banach V e il suo duale V ′ . Allora anche V ′ è uno spazio
di Banach rispetto alla norma duale. Sebbene si possa parlare, come in ogni spazio di
Capitolo V: Compattezza 61