(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale reali continue rispetto alla topologia debole è più piccola della classe di quelle continue rispetto alla topologia forte. Tuttavia, se intendiamo solo minimizzare (cioè non ci preoccupiamo del massimo) un funzionale f e se questo è convesso, le cose vanno molto meglio, come ora cerchiamo di spiegare riferendoci, per fissare le idee, alla compattezza e alla continuità sequenziali. Una dimostrazione della parte del Teorema di Weierstrass relativa all’esistenza del minimo può essere quella che ora illustriamo e che va sotto il nome di metodo diretto. Denotato con λ l’estremo inferiore della funzione f da minimizzare, la definizione stessa di estremo inferiore garantisce l’esistenza di una successione {xn} di elementi del dominio K di f con la proprietà seguente: lim n→∞ f(xn) = λ = inf f(x). (3.8) x∈K Notiamo che una qualunque successione in queste condizioni è detta successione minimizzante. Supponiamo per un attimo che {xn} converga a un certo elemento x∗ ∈ K e che f sia continua per successioni: allora {xn} converge a f(x∗) e otteniamo λ = f(x∗) per l’unicità del limite. Dunque x∗ è il punto di minimo cercato. Tuttavia non vi è motivo perché una successione minimizzante converga, come mostrano esempi banali, ma, siccome ogni sottosuccessione di una successione minimizzante è essa stessa minimizzante, è sufficiente poter estrarre da {xn} una sottosuccessione convergente. Basta cioè una proprietà di tipo compattezza, accompagnata poi da una proprietà di chiusura di K per garantire che il limite x∗ appartenga a K . Ma torniamo al problema della continuità e cerchiamo di vedere se davvero essa è indispensabile. Osservato che f(x∗) ≥ λ per definizione di estremo inferiore, per concludere che x∗ è un punto di minimo è sufficiente saper dimostrare che f(x∗) ≤ λ , per cui dovrebbe bastare un’ipotesi più debole della continuità (sequenziale). Supponiamo infatti che f(x∗) ≤ lim inf n→∞ f(xn). Allora, siccome il secondo membro vale λ , deduciamo immediatamente la disuguaglianza f(x∗) ≤ λ richiesta e concludiamo che x∗ è un punto di minimo. Definizione 3.16. Siano X uno spazio topologico e f : X → R . Diciamo che f è semicontinua inferiormente quando, per ogni x ∈ X , risulta f(x) ≤ lim inf y→x f(y). Diciamo che f è semicontinua inferiormente per successioni, oppure che è sequenzialmente inforiormente semicontinua, quando, per ogni x ∈ X e per ogni successione {xn} convergente a x , risulta f(x) ≤ lim inf n→∞ f(xn). La proprietà di semicontinuità inferiore si abbrevia usualmente in s.c.i. Notiamo che, come per la continuità, la s.c.i. implica la s.c.i. sequenziale e che i due concetti coincidono se X è uno spazio a basi numerabili di intorni. Capitolo V: Compattezza 59
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Riprendendo il discorso precedente della ricerca del solo minimo, vediamo che il problema si sposta alla verifica della semicontinuità inferiore. Se è ancora vero che le due richieste di semicontinuità inferiore rispetto alle due topologie forte e debole sono diverse in generale, nel caso in cui f sia una funzione convessa tali richieste coincidono. Strettamente connesso con questo fatto è la proprietà di chiusura degli insiemi convessi. Definizione 3.17. Siano V uno spazio vettoriale e f : V → R . Diciamo che f è convessa quando f(x + t(y − x)) ≤ f(x) + t f(y) − f(x) (3.9) per ogni x, y ∈ V e t ∈ (0, 1) . Proposizione 3.18. Siano V uno spazio normato e f : V → R una funzione convessa. Allora f è s.c.i. rispetto alla topologia debole se e solo se essa è s.c.i. rispetto alla topologia forte. Proposizione 3.19. Sia C un convesso di uno spazio normato V . Allora C è chiuso rispetto alla topologia debole se e solo se esso è chiuso rispetto alla topologia forte. Questi risultati, non banali, sono conseguenze dei teoremi di Hahn-Banach già menzionati. La Proposizione 3.19 si applica, in particolare, ai sottospazi vettoriali. La Proposizione 3.18 ci consente di verificare la semicontinuità rispetto alla topologia forte anziché rispetto a quella debole, il che è più facile. Supponiamo ad esempio che la funzione f sia continua rispetto alla topologia forte e convessa: allora f è semicontinua rispetto alla stessa topologia forte, dunque semicontinua rispetto anche alla topologia debole grazie alla convessità. Ciò vale in particolare con f = · , per cui xn ⇀ x implica x ≤ lim inf n→∞ xn . Notiamo infine che le nozioni di semicontinuità inferiore e di convessità di una funzione si estendono in modo naturale al caso di funzioni a valori in (−∞, +∞] . Tale estensione è utile perché consente spesso di formulare certi problemi di minimo in modo più semplice. 4. Spazi separabili Abbandoniamo per un attimo il discorso sulle topologie deboli (lo riprendiamo successivamente) per parlare di spazi separabili. Definizione 4.1. Uno spazio topologico è separabile se contiene un sottoinsieme denso al più numerabile. Sono separabili tutti gli spazi topologici compatti per successioni, in particolare tutti gli spazi metrici compatti, e, più in generale, tutti gli spazi topologici che possono essere presentati come unioni di famiglie numerabili di sottoinsiemi compatti per successioni. Rientrano in questa categoria tutti gli spazi euclidei. Capitolo V: Compattezza 60
Page 1 and 2:
Elementi di Topologia e di Analisi
Page 3 and 4:
Gianni Gilardi Elementi di Topologi
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10: Gianni Gilardi Elementi di Topologi
Page 27 and 28: Capitolo III Completezza La nozione
Page 37 and 38: Capitolo IV Qualche elemento di ana
Page 59: Gianni Gilardi Elementi di Topologi
Page 65 and 66: Capitolo VI Primi problemi ellittic
show all

(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?