(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
reali continue rispetto alla topologia debole è più piccola della classe di quelle continue
rispetto alla topologia forte. Tuttavia, se intendiamo solo minimizzare (cioè non ci preoccupiamo
del massimo) un funzionale f e se questo è convesso, le cose vanno molto
meglio, come ora cerchiamo di spiegare riferendoci, per fissare le idee, alla compattezza
e alla continuità sequenziali.
Una dimostrazione della parte del Teorema di Weierstrass relativa all’esistenza del
minimo può essere quella che ora illustriamo e che va sotto il nome di metodo diretto.
Denotato con λ l’estremo inferiore della funzione f da minimizzare, la definizione
stessa di estremo inferiore garantisce l’esistenza di una successione {xn} di elementi
del dominio K di f con la proprietà seguente:
lim
n→∞ f(xn) = λ = inf f(x). (3.8)
x∈K
Notiamo che una qualunque successione in queste condizioni è detta successione minimizzante.
Supponiamo per un attimo che {xn} converga a un certo elemento x∗ ∈ K
e che f sia continua per successioni: allora {xn} converge a f(x∗) e otteniamo
λ = f(x∗) per l’unicità del limite. Dunque x∗ è il punto di minimo cercato.
Tuttavia non vi è motivo perché una successione minimizzante converga, come
mostrano esempi banali, ma, siccome ogni sottosuccessione di una successione minimizzante
è essa stessa minimizzante, è sufficiente poter estrarre da {xn} una sottosuccessione
convergente. Basta cioè una proprietà di tipo compattezza, accompagnata poi da
una proprietà di chiusura di K per garantire che il limite x∗ appartenga a K .
Ma torniamo al problema della continuità e cerchiamo di vedere se davvero essa è
indispensabile. Osservato che f(x∗) ≥ λ per definizione di estremo inferiore, per concludere
che x∗ è un punto di minimo è sufficiente saper dimostrare che f(x∗) ≤ λ , per
cui dovrebbe bastare un’ipotesi più debole della continuità (sequenziale). Supponiamo
infatti che
f(x∗) ≤ lim inf
n→∞ f(xn).
Allora, siccome il secondo membro vale λ , deduciamo immediatamente la disuguaglianza
f(x∗) ≤ λ richiesta e concludiamo che x∗ è un punto di minimo.
Definizione 3.16. Siano X uno spazio topologico e f : X → R . Diciamo che f è
semicontinua inferiormente quando, per ogni x ∈ X , risulta
f(x) ≤ lim inf
y→x f(y).
Diciamo che f è semicontinua inferiormente per successioni, oppure che è sequenzialmente
inforiormente semicontinua, quando, per ogni x ∈ X e per ogni successione {xn}
convergente a x , risulta
f(x) ≤ lim inf
n→∞ f(xn).
La proprietà di semicontinuità inferiore si abbrevia usualmente in s.c.i. Notiamo
che, come per la continuità, la s.c.i. implica la s.c.i. sequenziale e che i due concetti
coincidono se X è uno spazio a basi numerabili di intorni.
Capitolo V: Compattezza 59