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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Tali disuguaglianze, infatti, implicano inclusioni del tipo precedente.
Questa condizione, tuttavia, non è necessaria. Ad esempio, si può dimostrare che
una metrica topologicamente equivalente a una metrica prefissata d ′ su un generico
insieme X è data dalla formula d ′′ (x, y) = ϕ(d ′ (x, y)) , ove ϕ : [0, +∞) → R è una
funzione continua, concava, strettamente crescente e tale che ϕ(0) = 0 . Ora, se ϕ è
limitata e d ′ non lo è (si pensi alla metrica euclidea), non è possibile soddisfare la prima
delle (2.7) con nessuna scelta di c1 .
Osservazione 2.4. Notiamo che due metriche topologicamente equivalenti ma diverse
fra loro forniscono lo stesso spazio topologico ma due diversi spazi metrici. Dunque
occorre distinguere i termini metrico e metrizzabile, il secondo dei quali si riferisce alla
topologia. Ciò nonostante si usa spesso dire “metrico” intendendo “metrizzabile”.
Esempio 2.5: lo spazio euclideo (seguito). Sia X = R n . Con la prima delle notazioni
(1.6), poniamo d(x, y) = |x − y| . Allora otteniamo una metrica, detta metrica
euclidea. In questo caso le disuguaglianze triangolari assumono un chiaro significato
geometrico ma non si dimostrano in modo banale per n generico. Osservato che la seconda
delle (1.6) e la (2.5) assumono lo stesso significato, vediamo che la metrica euclidea
induce la topologia euclidea dell’Esempio 1.3. Metriche topologicamente equivalenti alla
metrica euclidea sono date dalla formula d(x, y) = |x − y|p , con p ∈ [1, ∞] , ove si è
posto per x = (x1, . . . , xn) ∈ R n
n |x|p = |xi| p1/p i=1
e |x|∞ = max {|xi − yi| : 1 ≤ i ≤ n} (2.8)
a seconda che 1 ≤ p < ∞ o p = ∞ . La metrica euclidea corrisponde a p = 2 . La
restrizione p ≥ 1 serve perché valga la disuguaglianza triangolare. La notazione |x|∞
è dovuta alla formula |x|∞ = limp→+∞ |x|p per x ∈ R n . Il controllo dell’equivalenza
topologica si basa sul fatto seguente: per ogni p, q ∈ [1, ∞] esiste una costante c
tale che
|x|p ≤ c|x|q per ogni x ∈ R n . (2.9)
Ciò è conseguenza di un risultato generale che vedremo successivamente.
Esempio 2.6: la metrica discreta. Sia X un insieme non vuoto. Per x, y ∈ X
poniamo d(x, y) = 0 se x = y e d(x, y) = 1 se x = y . La topologia indotta è la
topologia discreta dell’Esempio 1.5.
3. Alcuni tipi di spazi vettoriali topologici
Tutti gli spazi vettoriali che consideriamo sono per semplicità reali. Ciò vale anche per
il seguito, senza alcun preavviso. Gli spazi che introduciamo sono, con l’eventuale aggiunta
di una proprietà che vedremo successivamente, casi particolari di spazi vettoriali
topologici. La definizione precisa di questo termine, tuttavia, viene rimandata dato che
richiede la conoscenza di altre cose.
Capitolo I: I concetti fondamentali 5