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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Si pone naturalmente il problema di sapere se un risultato dello stesso tipo è vero
anche per spazi di Banach e la risposta è negativa.
Esempio 3.12: lo spazio C 0 [a, b] (seguito). Riprendiamo l’Esempio 2.6, nel quale
abbiamo mostrato che la palla unitaria chiusa B di C 0 [a, b] non è compatta per successioni
(nella topologia forte). Vediamo ora che B non è precompatta per successioni
nemmeno nella topologia debole. A questo scopo dimostriamo che la convergenza debole
di una successione {vn} a una funzione v implica la convergenza puntuale allo
stesso limite. Fatto ciò, basta procedere esattamente come nell’esempio citato usando
la stessa successione là considerata.
Supponiamo dunque vn ⇀ v in C 0 [a, b] e, fissato t ∈ [a, b] , introduciamo
il funzionale Lt : C 0 [a, b] → R dato dalla formula 〈Lt, v〉 = v(t) , funzionale che
effettivamente appartiene a (C 0 [a, b]) ′ . Allora la (3.2), applicata con v ′ = Lt , implica
limn→∞ 〈Lt, vn〉 = 〈Lt, v〉 , cioè limn→∞ vn(t) = v(t) .
Gli spazi di Banach per i quali le condizioni del teorema precedente sono fra loro
equivalenti sono una categoria particolare, che naturalmente comprende gli spazi di
Hilbert ma che non esaurisce la totalità degli spazi di Banach. Gli spazi “buoni” sono
tutti e soli quelli che soddisfano una proprietà particolare detta riflessività.
Definizione 3.13. Uno spazio di Banach V è riflessivo quando vale la condizione
seguente: per ogni L : V ′ → R lineare e continuo esiste u ∈ V tale che
〈L, v ′ 〉 = 〈v ′ , v〉 per ogni v ′ ∈ V ′ . (3.7)
Nella definizione precedente interviene implicitamente lo spazio duale di V ′ , spazio
che è detto biduale di V e che viene denotato con V ′′ . In generale, dato v ∈ V e
assunta la (3.7) come definizione di L , si ottiene un elemento di V ′′ . Infatti, grazie
alla (IV.1.7), si può prendere M = v nella (IV.1.1) applicata agli spazi V ′ e R
(e i Teoremi di Hahn-Banach assicurano che L e v hanno la stessa norma, la norma
in V ′′ essendo la duale della duale). Allora la condizione data dalla Definizione 3.13
non è altro che un preciso teorema di rappresentazione di V ′′ .
Osservazione 3.14. Siccome la riflessività è importante per quanto appena detto, è
utile conoscere categorie di spazi riflessivi. Ad esempio sono riflessivi tutti gli spazi di
tipo L p , ma limitatamente ai valori di p ∈ (1, ∞) (per cui L 1 e L ∞ sono esclusi),
mentre non lo sono gli spazi di tipo C 0 e C k . Inoltre la riflessività si conserva per mezzo
delle operazioni di isomorfismo, di prodotto topologico e di passaggio al sottospazio
chiuso. Ad esempio, se V1, . . . , Vm sono riflessivi e se W è isomorfo a un sottospazio
chiuso del prodotto dei Vi , anche W è riflessivo. Allora sono riflessivi anche i cosiddetti
spazi di Sobolev costruiti a partire dagli spazi L p , sempre con p ∈ (1, ∞) , che sono
isomorfi a sottospazi chiusi di prodotti di spazi L p .
Osservazione 3.15. Se un teorema di compattezza debole fornisce una risposta interessante
ai problemi di compattezza, abbiamo il risvolto della medaglia, dovuto al
conflitto evidenziato in precedenza: siccome la topologia debole di uno spazio di Banach
di dimensione infinita è più debole della topologia forte, la classe delle funzioni
Capitolo V: Compattezza 58