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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
procedimento di ortonormalizzazione costruiamo una successione {en} di vettori mutuamente
ortogonali e di norma unitaria che complessivamente generano l’unione dei Vn .
Fissiamo ora un intero i per un attimo e consideriamo la successione numerica {cn}
di termine generale cn = (un, ei) . Siccome |cn| ≤ M per ogni n , possiamo estrarre da
{cn} una sottosuccessione convergente. Tuttavia gli indici scelti nella costruzione della
sottosuccessione possono dipendere da i , per cui è opportuna una strategia più cauta.
Con un procedimento diagonale troviamo una successione {nk} strettamente crescente
di indici tale che, per ogni i , converga la corrispondente sottosuccessione estratta dalla
successione {cn} considerata sopra. Possiamo dunque, per ogni i , trovare λi ∈ R
tale che
lim
k→∞ (unk , ei) = λi per ogni i.
Costruiamo allora la somma della serie
u =
∞
λiei.
i=1
Naturalmente occorre controllare che la serie converge e ciò può essere fatto applicando
la (IV.3.7) ai vettori λiei . Il resto della dimostrazione è dedicato alla verifica della
convergenza debole di {unk } a u , cioè all’uguaglianza
lim (unk , w) = (u, w) per ogni w ∈ V.
k→∞
Ciò richiede un calcolo, che è basato, fissato w ∈ V , sulla decomposizione di Fourier
w =
∞
(w, ei)ei + z ′
i=1
con z ′ ∈ Z ⊥
ove Z è la chiusura dell’unione dei Vn . Tenendo conto delle disuguaglianze di Schwarz
in V e in ℓ 2 e della disuguaglianza (IV.3.9) di Bessel, abbiamo per ogni k e m
∞
|(unk , w) − (u, w)| = |(unk − u, w)| = (unk − u, ei)(w,
ei)
≤
|(unk − u, ei)| |(w, ei)| +
i