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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
debole in spazi di tipo L 2 può mediare al limite le oscillazioni. La stessa cosa vale più
in generale per la convergenza debole in spazi di tipo L p con 1 ≤ p < ∞ .
Osservazione 3.9. L’Esempio 3.7 mostra che la sfera S costituita dai punti x tali
che x = 1 non è chiusa nella topologia debole e che 0 appartiene alla sua chiusura.
Lo stesso tipo di ragionamento consente di verificare che ogni x verificante x < 1
appartiene alla chiusura di S . Fissato infatti un tale x , esiste uno e un solo tn > 0
tale che, posto xn = x + tnvn = 1 , risulti xn = 1 . Si vede allora che xn ⇀ x
usando il fatto che la successione {tn} è limitata. Dunque la chiusura della sfera S
nella topologia debole include la palla chiusa di raggio 1 . Si può in realtà dimostrare
che essa coincide con tale palla chiusa.
Osservazione 3.10. Siccome la topologia debole dello spazio normato V è più debole
di quella forte, ogni funzione f : V → R continua rispetto alla topologia debole è
continua anche rispetto alla topologia forte, ma non vi è motivo perché una funzione
continua rispetto alla topologia forte sia continua anche rispetto alla topologia debole,
se non nel caso della dimensione finita. Se però ci limitiamo ai funzionali L : V → R
lineari, allora le cose cambiamo, indipendentemente dalla dimensione di V .
Supponiamo infatti che L sia lineare e continuo rispetto alla topologia forte.
Allora L ∈ V ′ , per cui | 〈L, · 〉 | è una delle seminorme della famiglia che induce la
topologia debole. Segue allora che, per ogni u ∈ V e ε > 0 , l’insieme dei v ∈ V tali
che | 〈L, v − u〉 | < ε è un intorno debole di u , da cui immediatamente la continuità di
L anche rispetto alla topologia debole.
Possiamo condensare quanto abbiamo appena dimostrato nella frase: la topologia
debole porta allo stesso spazio duale. Naturalmente, se V è uno spazio localmente
convesso anziché uno spazio normabile, il suo duale è ancora lo spazio dei funzionali
lineari e continui. Addirittura si può dire che (e spesso questa frase è assunta come
definizione): la topologia debole è la più debole delle topologie localmente convesse che
non cambiano lo spazio duale.
L’importanza della topologia debole è dovuta, in particolare, ai suoi legami con la
compattezza. Vale infatti il seguente Teorema di compattezza debole:
Teorema 3.11. Siano V uno spazio di Hilbert e E un sottoinsieme non vuoto di V .
Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: (i) E è precompatto rispetto alla topologia
debole; (ii) E è precompatto per successioni rispetto alla topologia debole; (iii) E
è limitato.
Cenno della dimostrazione. Questo è un teorema complesso e noi ci limitiamo a
dimostrare che la (iii) implica la (ii) , il che può essere fatto senza eccessive difficoltà.
Tutto si riduce a verificare che da ogni successione limitata si può estrarre una
sottosuccessione convergente debolmente.
Siano {un} una successione limitata e M tale che un ≤ M per ogni n . Se
tutti i vettori un appartengono a uno stesso sottospazio di dimensione finita allora la
situazione è simile a quella degli spazi euclidei e si banalizza. Supponiamo allora che
ciò non avvenga. Pur di estrarre una sottosuccessione possiamo allora supporre che, per
ogni n , gli elementi u1, . . . , un generino un sottospazio Vn di dimensione n . Con un
Capitolo V: Compattezza 56