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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Il caso della dimensione infinita, invece, è completamente diverso. Sia infatti I
un intorno debole dell’origine. Allora I contiene un intorno della base naturalmente
associata alle seminorme. Esistono cioè un numero finito di elementi v ′ 1, . . . , v ′ m ∈ V ′ e
un numero r > 0 tali che I includa l’insieme
I0 =
< r, i = 1, . . . , m .
v ∈ V : |v|v ′ i
Consideriamo ora l’operatore L : v ↦→ (〈v ′ 1, v〉 , . . . , 〈v ′ m, v〉) da V in R m . Esso è
lineare (e continuo) e non è difficile vedere che, essendo V di dimensione infinita, anche
il nucleo N di L ha dimensione infinita. Ebbene, risulta chiaramente N ⊆ I0 ⊆ I .
Dunque ogni intorno debole dell’origine contiene un sottospazio di dimensione infinita,
per cui la topologia debole non coincide con quella forte.
Abbiamo dunque dimostrato parte delle affermazioni contenute nel teorema dato
di seguito. I punti restanti dell’enunciato sono invece più complessi in quanto la loro
dimostrazione richiede la conoscenza di diversi risultati di analisi funzionale.
Teorema 3.6. Sia V uno spazio normato. Allora: (i) se V ha dimensione finita
le topologie debole e forte coincidono; (ii) se V ha dimensione infinita la topologia
debole è strettamente più debole della topologia forte e non è metrizzabile; (iii) ogni
successione debolmente convergente è limitata.
Si noti che le due nozioni di convergenza debole e forte possono coincidere non solo
nel caso della dimensione finita e che un’ipotesi di completezza non aiuta. Ciò, infatti,
avviene nel caso dello spazio ℓ 1 dell’Esempio III.3.7, anche se non è facile verificare
questo fatto. Le due nozioni di convergenza sono invece diverse in ogni spazio di Hilbert
di dimensione infinita, come mostra l’esempio che segue.
Esempio 3.7: il caso hilbertiano (seguito). Sia V uno spazio di Hilbert di dimensione
infinita e sia {vn} una qualunque successione di vettori a due a due ortogonali
e tutti di norma unitaria. Allora {vn} non converge fortemente e, anzi, non
ha sottosuccessioni convergenti fortemente, come abbiamo osservato nell’Esempio 2.5.
Ebbene la successione considerata converge debolmente a 0 , come si vede usando
la caratterizzazione (3.6). Fissato infatti u ∈ V , applichiamo quanto è contenuto
nell’Osservazione IV.3.9 prendendo come Vn il sottospazio generato dal singolo vn .
Allora la proiezione un di u su Vn è data da un = (u, vn)vn per l’Esempio IV.3.8 e
la disuguaglianza (IV.3.9) di Bessel implica
∞
|(u, vn)| 2 =
n=1
∞
n=1
un 2 ≤ u 2 < +∞
da cui anche limn→∞ |(u, vn)| 2 = 0 e dunque la (3.6).
Osservazione 3.8. Con l’unica differenza di una costante moltiplicativa, è nelle condizioni
dell’esempio precedente la successione {vn} costituita dalle funzioni vn(x) =
sin nx , x ∈ (0, π) , nell’ambito dello spazio L 2 (0, π) , il che mostra che la convergenza
Capitolo V: Compattezza 55