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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
costituiscono, al variare u in V , la famiglia che induce la topologia debole. In particolare
una successione {vn} di elementi di V converge debolmente all’elemento v ∈ V
se e solo se
lim
n→∞ (u, vn) = (u, v) per ogni u ∈ V. (3.6)
Prima di presentare i risultati legati alla compattezza, è opportuno fare qualche
considerazione. Innanzi tutto c’è il problema della proprietà di separazione di Hausdorff
e della collegata unicità del limite debole. Per la Proposizione II.4.3, la topologia debole
è separata se e solo se per ogni v ∈ V non nullo esiste v ′ ∈ V ′ tale che 〈v ′ , v〉 = 0 .
Nel caso hilbertiano questa condizione è facile da verificare: dato v = 0 , si prende
la seminorma delle (3.5) associata allo stesso v , cioè la seminorma | · | v .
Anche il caso dello spazio L p (Ω) con 1 ≤ p < ∞ non è difficile: dato v , si
prende la seminorma data dalla (3.3) corrispondente alla funzione u = |v| p−2v (con la
convenzione |ξ| p−2ξ = 0 se ξ = 0 ), la quale appartiene a Lp′ (Ω) .
Il caso generale è dato dal teorema enunciato di seguito. La dimostrazione che
diamo si basa sulla versione più semplice (cui accenniamo soltanto) dei non banali
Teoremi di Hahn-Banach, che citeremo anche in seguito senza tuttavia approfondire.
Teorema 3.5. La topologia debole di uno spazio di normato è di Hausdorff.
Sia v ∈ V non nullo. Come è stato detto sopra, occorre trovare v ′ ∈ V ′ tale
che 〈v ′ , v〉 = 0 e a questo scopo usiamo il Teorema di Hahn-Banach: se V è uno
spazio normato e V0 è un sottospazio vettoriale di V munito della norma indotta, ogni
L0 ∈ V ′
0 ha un prolungamento L ∈ V ′ che ha la stessa norma duale di L0 . Come V0 e
L0 prendiamo il sottospazio generato da v e, rispettivamente, il funzionale dato dalla
formula L0w = t se w = tv con t ∈ R . Prendendo allora come v ′ il prolungamento
di L0 fornito dal Teorema di Hahn-Banach, abbiamo 〈v ′ , v〉 = L0v = 1 = 0 .
Il secondo problema consiste nel confronto fra le topologie debole e forte e fra le
rispettive convergenze. Con la notazione (3.1), la (IV.1.7) fornisce
|v|v ′ ≤ v′ ∗ v
e si deduce facilmente che ogni intorno debole dell’origine include un intorno forte, cioè
che la topologia forte è più fine della topologia debole. In particolare la convergenza
forte implica la convergenza debole allo stesso limite.
Se però V ha dimensione finita, vale anche il viceversa, come ora mostriamo, cioè
le due topologie e i relativi concetti di convergenza coincidono. Sia (e1, . . . , en) una base
di V . Rappresentato il generico v ∈ V nella forma n i=1 viei con vi ∈ R , poniamo
v∞ = maxi |vi| e, per i = 1, . . . , n , definiamo e ′ i : V → R mediante e′ i : v ↦→ vi .
Allora · ∞ è una norma che induce la topologia di V per il Teorema I.3.4 e risulta
e ′ i ∈ V ′ per i = 1, . . . , n . Deduciamo
v ∞ = max
i=1,...,n |vi| = max
i=1,...,n | 〈e′ i, v〉 | = max
i=1,...,n |v|e ′ i
per cui ogni intorno forte dell’origine è anche un intorno debole.
Capitolo V: Compattezza 54