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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale topologia debole. Essa è una topologia associata a quella indotta dalla norma e costruita in modo canonico come segue: Definizione 3.2. Sia V uno spazio normato. Si chiama topologia debole di V la topologia indotta dalla famiglia delle seminorme |v|v ′ = | 〈v′ , v〉 |, v ∈ V, (3.1) che si ottiene al variare di v ′ nel duale V ′ . Si chiama poi convergenza debole in V la convergenza indotta dalla topologia debole. Per contrasto, la topologia originaria indotta dalla norma viene chiamata forte e lo stesso aggettivo viene usato per la convergenza corrispondente. Segnaliamo che sono in uso le notazioni vn → v e vn ⇀ v per denotare le convergenze forte e debole della successione {vn} all’elemento v . Conviene esplicitare il significato della convergenza debole. In base alla definizione stessa e tenendo conto dalla Proposizione II.3.5, abbiamo che una successione {vn} di elementi di V converge debolmente all’elemento v ∈ V se solo se lim n→∞ 〈v′ , vn〉 = 〈v ′ , v〉 per ogni v ′ ∈ V ′ . (3.2) La topologia e la convergenza debole diventano poi più “concrete” tutte le volte che disponiamo di un teorema di rappresentazione del duale, come mostano gli esempi che presentiamo di seguito. Esempio 3.3: lo spazio Lp (Ω) (seguito). Se 1 ≤ p < ∞ , grazie al Teorema IV.2.2 di Riesz, le seminorme della Definizione 3.2 possono essere parametrizzate mediante gli elementi di Lp′ (Ω) come segue |v|u = Ω uv dx, v ∈ L p (Ω) (3.3) e si lascia variare u in Lp′ (Ω) per costruire la famiglia. In particolare abbiamo che una successione {vn} di elementi di L p (Ω) converge debolmente all’elemento v ∈ L p (Ω) se e solo se lim n→∞ Ω uvn dx = Sfugge, si noti bene, il caso p = ∞ . Ω uv dx per ogni u ∈ L p′ (Ω). (3.4) Esempio 3.4: il caso hilbertiano. Grazie all’analogo Teorema IV.2.3 di Riesz, abbiamo che, se V è uno spazio di Hilbert, le seminorme |v|u = |(u, v)|, v ∈ V (3.5) Capitolo V: Compattezza 53
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale costituiscono, al variare u in V , la famiglia che induce la topologia debole. In particolare una successione {vn} di elementi di V converge debolmente all’elemento v ∈ V se e solo se lim n→∞ (u, vn) = (u, v) per ogni u ∈ V. (3.6) Prima di presentare i risultati legati alla compattezza, è opportuno fare qualche considerazione. Innanzi tutto c’è il problema della proprietà di separazione di Hausdorff e della collegata unicità del limite debole. Per la Proposizione II.4.3, la topologia debole è separata se e solo se per ogni v ∈ V non nullo esiste v ′ ∈ V ′ tale che 〈v ′ , v〉 = 0 . Nel caso hilbertiano questa condizione è facile da verificare: dato v = 0 , si prende la seminorma delle (3.5) associata allo stesso v , cioè la seminorma | · | v . Anche il caso dello spazio L p (Ω) con 1 ≤ p < ∞ non è difficile: dato v , si prende la seminorma data dalla (3.3) corrispondente alla funzione u = |v| p−2v (con la convenzione |ξ| p−2ξ = 0 se ξ = 0 ), la quale appartiene a Lp′ (Ω) . Il caso generale è dato dal teorema enunciato di seguito. La dimostrazione che diamo si basa sulla versione più semplice (cui accenniamo soltanto) dei non banali Teoremi di Hahn-Banach, che citeremo anche in seguito senza tuttavia approfondire. Teorema 3.5. La topologia debole di uno spazio di normato è di Hausdorff. Sia v ∈ V non nullo. Come è stato detto sopra, occorre trovare v ′ ∈ V ′ tale che 〈v ′ , v〉 = 0 e a questo scopo usiamo il Teorema di Hahn-Banach: se V è uno spazio normato e V0 è un sottospazio vettoriale di V munito della norma indotta, ogni L0 ∈ V ′ 0 ha un prolungamento L ∈ V ′ che ha la stessa norma duale di L0 . Come V0 e L0 prendiamo il sottospazio generato da v e, rispettivamente, il funzionale dato dalla formula L0w = t se w = tv con t ∈ R . Prendendo allora come v ′ il prolungamento di L0 fornito dal Teorema di Hahn-Banach, abbiamo 〈v ′ , v〉 = L0v = 1 = 0 . Il secondo problema consiste nel confronto fra le topologie debole e forte e fra le rispettive convergenze. Con la notazione (3.1), la (IV.1.7) fornisce |v|v ′ ≤ v′ ∗ v e si deduce facilmente che ogni intorno debole dell’origine include un intorno forte, cioè che la topologia forte è più fine della topologia debole. In particolare la convergenza forte implica la convergenza debole allo stesso limite. Se però V ha dimensione finita, vale anche il viceversa, come ora mostriamo, cioè le due topologie e i relativi concetti di convergenza coincidono. Sia (e1, . . . , en) una base di V . Rappresentato il generico v ∈ V nella forma n i=1 viei con vi ∈ R , poniamo v∞ = maxi |vi| e, per i = 1, . . . , n , definiamo e ′ i : V → R mediante e′ i : v ↦→ vi . Allora · ∞ è una norma che induce la topologia di V per il Teorema I.3.4 e risulta e ′ i ∈ V ′ per i = 1, . . . , n . Deduciamo v ∞ = max i=1,...,n |vi| = max i=1,...,n | 〈e′ i, v〉 | = max i=1,...,n |v|e ′ i per cui ogni intorno forte dell’origine è anche un intorno debole. Capitolo V: Compattezza 54
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Elementi di Topologia e di Analisi
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