(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
3. Topologia debole e compattezza debole
Ritorniamo al Teorema 1.10 di Weierstrass, il quale fornisce una risposta al problema
dell’esistenza dei punti di massimo e di minimo di una funzione reale. Tale problema è
molto importante e, se ci limitiamo alla ricerca dei punti di minimo per funzionali, cioè
applicazioni aventi per dominio un sottoinsieme di uno spazio più generale di R n (spesso
formato da funzioni), possiamo dire che esso costituisce il problema fondamentale di una
branca della matematica, detta calcolo delle variazioni.
Ora il Teorema 1.10 sostanzialmente riconduce il problema alla verifica di due
condizioni: una proprietà di continuità della funzione e una proprietà di compattezza
del suo dominio. Qui si può far giocare la scelta della topologia nella verifica delle
condizioni dette. Ma queste confliggono fra loro, come ora mostriamo.
Definizione 3.1. Siano X un insieme non vuoto e I e I ′ due topologie in X .
Diciamo che I è più fine di I ′ , oppure che I ′ è meno fine o più debole di I , quando,
per ogni x ∈ X , risulta I(x) ⊆ I ′ (x) .
Dunque ogni intorno nella prima topologia è anche un intorno nella seconda. Si
noti che il caso I ′ = I rientra, per cui ogni topologia è più fine e più debole di
se stessa, anche se quando si dice “più fine” si tende spesso ad escludere che le due
topologie considerate coincidano.
Ora ci poniamo il problema di vedere che accade di alcuni concetti topologici al
cambiare della topologia. Non è difficile vedere che, se raffiniamo la topologia (cioè la
sostituiamo con una più fine), aumentano la famiglia degli aperti e quella dei chiusi
(e vale anche il viceversa). Al contrario, diminuiscono la famiglia dei compatti, quella
delle successioni convergenti e quella dei compatti per successioni, e i due casi estremi
della topologia banale e della topologia discreta sono istruttivi. Nel primo abbiamo
infatti pochi intorni, pochi aperti, pochi chiusi mentre nel secondo caso, al contrario,
abbiamo molti intorni, molti aperti, molti chiusi; in corrispondenza, nel primo caso abbiamo
che ogni successione converge e che ogni sottoinsieme è compatto e compatto per
successioni, mentre nel secondo una successione converge se e solo se diventa costante a
partire da un certo indice e un sottoinsieme è compatto oppure compatto per successioni
se e solo se è finito.
Ora ci chiediamo che avviene della continuità delle funzioni f : X → R al variare
della topologia di X , la topologia di R essendo quella euclidea. Si vede facilmente che,
se raffiniamo la topologia di X , la classe delle funzioni continue aumenta, così come
aumenta quella delle funzioni sequenzialmente continue, e ancora sono istruttivi i due
esempi considerati sopra: se X è munito della topologia banale, solo le costanti sono
funzioni continue o sequenzialmente continue; se invece consideriamo in X la topologia
discreta, allora tutte le funzioni sono continue e sequenzialmente continue.
Queste considerazioni ci portano alle conclusioni seguenti: (i) per avere molti
sottoinsiemi compatti o compatti per successioni di X occorre che la topologia di X sia
molto debole; (ii) perché le funzioni f : X → R continue o sequenzialmente continue
siano molte occorre che la topologia di X sia molto fine. Dunque, effettivamente, vi è
dunque il conflitto di cui si diceva.
Nel caso degli spazi normati, un buon compromesso è costituito dalla cosiddetta
Capitolo V: Compattezza 52