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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Ritornando al caso dell’intervallo [a, b] , diamo una condizione sufficiente per l’equicontinuità della famiglia. Se tutte le funzioni v ∈ F verificano le disuguaglianze |v(x) − v(y)| ≤ L|x − y| α per ogni x, y ∈ [a, b] (2.1) con una stessa costante L ≥ 0 e uno stesso esponente α > 0 , allora F è equicontinua. Fissato ε > 0 , la condizione su δ che serve è infatti Lδ α ≤ ε , per cui possiamo prendere ad esempio δ = (ε/L) 1/α . Cogliamo l’occasione per dire che, fissati la funzione v e i numeri reali L e α , la disuguaglianza (2.1) è detta condizione di Hölder e che viene detta hölderiana di esponente α e di costante di Hölder L una funzione v che la verifica. Notiamo incidentalmente che la (2.1) implica |(v(x)−v(y))/(x−y)| ≤ L|x−y| α−1 , per cui, se α > 1 , la funzione v ha derivata nulla in ogni punto ed è di conseguenza costante. Per questo motivo si impone la restrizione α ≤ 1 nelle condizioni di Hölder. Tornando alla (2.1), ribadiamo che stiamo richiedendo che essa valga per tutte le v ∈ F con una stessa scelta di L e di α . Di usa esprimere tale condizione dicendo che F è una famiglia di funzioni equihölderiane. Nel caso α = 1 si parla più spesso di funzioni equilipschitziane e si chiama di Lipschitz la costante L . Grazie al Teorema del valor medio, una condizione sufficiente per l’equilipschitzianità è che tutte le v ∈ F siano differenziabili e che le loro derivate verifichino tutte la disuguaglianza |v ′ (t)| ≤ L per ogni t ∈ [0, 1] con una stessa costante L . Abbiamo allora dimostrato il seguente Corollario 2.11. Ogni sottoinsieme limitato dello spazio C 1 [a, b] è precompatto nello spazio C 0 [a, b] . Più in generale, per quanto abbiamo detto sopra circa l’equihölderianità, è precompatto in C 0 [a, b] ogni limitato dello spazio C 0,α [a, b] che introduciamo di seguito in un caso più generale. Si può dimostrare che esso è uno spazio di Banach. Definizione 2.12. Siano Ω un aperto limitato di R n e α ∈ (0, 1] . Denotiamo con C 0,α (Ω) lo spazio delle funzioni v : Ω → R verificanti la condizione sup x=y e muniamo C 0,α (Ω) della norma definita da |v(x) − v(y)| < +∞ (2.2) |x − y| α |v(x) − v(y)| v = v∞ + sup x=y |x − y| α . Il Teorema di Ascoli ha una variante per gli spazi L p con p < ∞ , noto come Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov. La corrispondente variante del corollario è la seguente: se tutte le v ∈ F sono di classe C 1 e se l’insieme delle corrispondenti derivate è limitato in L p (a, b) , allora F è precompatta in L p (a, b) . Tale enunciato, tuttavia, si generalizza opportunamente in modo da non richiedere che le v ∈ F siano di classe C 1 . Questa estensione rientra nella teoria degli spazi di Sobolev. Capitolo V: Compattezza 51
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale 3. Topologia debole e compattezza debole Ritorniamo al Teorema 1.10 di Weierstrass, il quale fornisce una risposta al problema dell’esistenza dei punti di massimo e di minimo di una funzione reale. Tale problema è molto importante e, se ci limitiamo alla ricerca dei punti di minimo per funzionali, cioè applicazioni aventi per dominio un sottoinsieme di uno spazio più generale di R n (spesso formato da funzioni), possiamo dire che esso costituisce il problema fondamentale di una branca della matematica, detta calcolo delle variazioni. Ora il Teorema 1.10 sostanzialmente riconduce il problema alla verifica di due condizioni: una proprietà di continuità della funzione e una proprietà di compattezza del suo dominio. Qui si può far giocare la scelta della topologia nella verifica delle condizioni dette. Ma queste confliggono fra loro, come ora mostriamo. Definizione 3.1. Siano X un insieme non vuoto e I e I ′ due topologie in X . Diciamo che I è più fine di I ′ , oppure che I ′ è meno fine o più debole di I , quando, per ogni x ∈ X , risulta I(x) ⊆ I ′ (x) . Dunque ogni intorno nella prima topologia è anche un intorno nella seconda. Si noti che il caso I ′ = I rientra, per cui ogni topologia è più fine e più debole di se stessa, anche se quando si dice “più fine” si tende spesso ad escludere che le due topologie considerate coincidano. Ora ci poniamo il problema di vedere che accade di alcuni concetti topologici al cambiare della topologia. Non è difficile vedere che, se raffiniamo la topologia (cioè la sostituiamo con una più fine), aumentano la famiglia degli aperti e quella dei chiusi (e vale anche il viceversa). Al contrario, diminuiscono la famiglia dei compatti, quella delle successioni convergenti e quella dei compatti per successioni, e i due casi estremi della topologia banale e della topologia discreta sono istruttivi. Nel primo abbiamo infatti pochi intorni, pochi aperti, pochi chiusi mentre nel secondo caso, al contrario, abbiamo molti intorni, molti aperti, molti chiusi; in corrispondenza, nel primo caso abbiamo che ogni successione converge e che ogni sottoinsieme è compatto e compatto per successioni, mentre nel secondo una successione converge se e solo se diventa costante a partire da un certo indice e un sottoinsieme è compatto oppure compatto per successioni se e solo se è finito. Ora ci chiediamo che avviene della continuità delle funzioni f : X → R al variare della topologia di X , la topologia di R essendo quella euclidea. Si vede facilmente che, se raffiniamo la topologia di X , la classe delle funzioni continue aumenta, così come aumenta quella delle funzioni sequenzialmente continue, e ancora sono istruttivi i due esempi considerati sopra: se X è munito della topologia banale, solo le costanti sono funzioni continue o sequenzialmente continue; se invece consideriamo in X la topologia discreta, allora tutte le funzioni sono continue e sequenzialmente continue. Queste considerazioni ci portano alle conclusioni seguenti: (i) per avere molti sottoinsiemi compatti o compatti per successioni di X occorre che la topologia di X sia molto debole; (ii) perché le funzioni f : X → R continue o sequenzialmente continue siano molte occorre che la topologia di X sia molto fine. Dunque, effettivamente, vi è dunque il conflitto di cui si diceva. Nel caso degli spazi normati, un buon compromesso è costituito dalla cosiddetta Capitolo V: Compattezza 52
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