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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Conviene allora introdurre una nozione, vicina alla compattezza, che non richiede agli
insiemi di essere chiusi.
Definizione 2.8. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme E ⊆ X è detto
precompatto quando la sua chiusura è compatta ed è detto precompatto per successioni
quando da ogni successione di elementi di E si può estrarre una sottosuccessione
convergente in X .
Osservazione 2.9. Allora nel caso di un sottosinsieme di uno spazio metrico completo
la precompattezza, la precompattezza per successioni e la totale limitatezza sono
equivalenti.
Il Teorema 2.7 ripropone in modo brutale il problema della verifica della compattezza
nel caso degli spazi di Banach di dimensione infinita. Osserviamo che, espresso in
termini di precompattezza, il risultato è analogo: la palla unitaria B1(0) di uno spazio
di Banach V è precompatta se e solo se V ha dimensione finita. Segue che, se la dimensione
è infinita, nessuna palla Br(x) può essere precompatta, per cui i sottoinsiemi
precompatti hanno interno vuoto. Dunque essi sono insiemi “piccoli”.
Il risultato successivo fornisce una caratterizzazione dei sottoinsiemi precompatti
di C 0 [a, b] e va sotto il nome di Teorema di Ascoli-Arzelà. La condizione data
nell’enunciato dice sostanzialmente che, fissato comunque ε > 0 , possiamo fare in
modo che il δ della definizione di continuità (uniforme) di v sia lo stesso per tutte le
funzioni v della famiglia F considerata. Tale condizione si esprime dicendo che F è
equicontinua oppure dicendo che sono equicontinue le funzioni v ∈ F .
Teorema 2.10. Un sottoinsieme limitato F di C 0 [a, b] è precompatto se e solo se
verifica la condizione seguente: per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che |v(x) − v(y)| ≤ ε
per ogni coppia di punti x, y ∈ [a, b] tali che |x − y| ≤ δ e ogni v ∈ F .
Cenno della dimostrazione. La precompattezza equivale alla precompattezza sequenziale
e noi vediamo solo la parte della sufficienza. Tutto si riduce a dimostrare che,
data una successione {vn} limitata in C0 [a, b] che sia anche equicontinua, è possibile
estrarne una sottosuccessione uniformemente convergente.
Sia dunque {vn} una tale successione e sia D un sottoinsieme numerabile e
denso di [a, b] , sottoinsieme che presentiamo come immagine di una successione iniettiva
{xi} . Per ogni i fissato consideriamo la successione numerica {vn(xi)} : essa è
limitata e dunque ha una sottosuccessione convergente. Ma, siccome la scelta degli indici
di tale sottosuccessione può dipendere da i , occorre maggiore cautela. Con un procedimento
diagonale si riesce a costruire una successione strettamente crescente {nk} di
indici tale che, per ogni i , la sottosuccessione {vnk (xi)} converga. Usando la densità
di D e l’ipotesi di equicontinuità, si vede che, per ogni x , è di Cauchy la successione
{vnk (x)} , per cui è ben definita la funzione v : [a, b] → R limite puntuale. Usando la
totale limitatezza di [a, b] si vede che la convergenza è uniforme e si conclude.
Il teorema di Ascoli-Arzelà vale in condizioni molto più generali: l’intervallo [a, b]
può essere sostituito da uno spazio metrico compatto (con la necessaria generalizzazione
del corrispondente spazio C 0 ), in particolare da un compatto di R n .
Capitolo V: Compattezza 50